資源簡(jiǎn)介

03 圓的方程
◇ 知 識(shí) 鏈 接 ◇
知識(shí)鏈接01 圓的定義和圓的方程
（1）
（2）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F＞0.
當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，此方程表示一個(gè)點(diǎn)；
當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，它不表示任何圖形．
（3）以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為：
(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
（4）求圓的方程的2種方法：
幾何法 根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程
待定系數(shù)法 ①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程； ②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組； ③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程
知識(shí)鏈接02 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 圓的方程
（1）若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以點(diǎn)(－2,3)為圓心，4為半徑的圓，則D，E，F(xiàn)的值分別為______________．
（2）圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為1，且過(guò)點(diǎn)A(1,2)的圓的方程是為______________．
（3）已知圓C經(jīng)過(guò)A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為________．
（4）若過(guò)點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為___．
（5）若不同的四點(diǎn)A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圓，則a的值為_______．
（6）已知圓心在直線y＝－x＋1上，且與直線x＋y－2＝0相切于點(diǎn)(1,1)的圓的方程為___________________．
典例剖析02 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
（1）已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
①的最大值和最小值；
②y－x的最小值；
③x2＋y2的最大值和最小值．
（2）已知點(diǎn)P(t，t)，t∈R，點(diǎn)M是圓x2＋(y－1)2＝上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓(x－2)2＋y2＝上的動(dòng)點(diǎn)，則|PN|－|PM|的最大值是_________．
（3）設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：(x－3)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(0,2)，B(0，－2)，則的最大值為________．
（4）設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，則·的最大值為________．
典例剖析03 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
（1）已知A(－1,0)，B(1,0)，C為平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|AC|＝|BC|，則點(diǎn)C的軌跡方程為______________．
（2）已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．
①求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；
②若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．
（3）設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，則點(diǎn)P的軌跡方程為______________．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圓”的(　　)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．
3．點(diǎn)P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25內(nèi)弦AB的中點(diǎn)，則AB的方程為______________________．
4．若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圓，則m的取值范圍是________；當(dāng)半徑最大時(shí)，圓的方程為______________________．
5．若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．
6．(多選)設(shè)圓A：x2＋y2－2x－3＝0，則下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A．圓A的半徑為2
B．圓A截y軸所得的弦長(zhǎng)為2
C．圓A上的點(diǎn)到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為1
D．圓A與圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相離
7．已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對(duì)稱，則a－b的取值范圍是________．
8．若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長(zhǎng)，
則＋的最小值為___________．
9．若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是__________________．
10．已知圓C和直線x－6y－10＝0相切于點(diǎn)(4，－1)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,6)，則圓C的方程是___________．
11．已知點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是_____．
12．若x2＋y2＝8，則2x＋y的最大值為(　　)
13．(多選)已知圓C過(guò)點(diǎn)M(1，－2)且與兩坐標(biāo)軸均相切，則下列敘述正確的是(　　)
A．滿足條件的圓C的圓心在一條直線上
B．滿足條件的圓C有且只有一個(gè)
C．點(diǎn)(2，－1)在滿足條件的圓C上
D．滿足條件的圓C有且只有兩個(gè)，它們的圓心距為4
14．阿波羅尼斯是亞歷山大時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)M，N的距離之比為λ(λ>0，且λ≠1)，則點(diǎn)P的軌跡就是圓，事實(shí)上，互換該定理中的部分題設(shè)和結(jié)論，命題依然成立．已知點(diǎn)M(2,0)，點(diǎn)P為圓O：x2＋y2＝16上的點(diǎn)，若存在x軸上的定點(diǎn)N(t，0)(t>4)和常數(shù)λ，對(duì)滿足已知條件的點(diǎn)P均有|PM|＝λ|PN|，則λ＝(　　)
A．1 B． C． D．
2022年下學(xué)期 高二數(shù)學(xué) 同步復(fù)習(xí)講義
03 圓的方程
◇ 知 識(shí) 鏈 接 ◇
知識(shí)鏈接01 圓的定義和圓的方程
（1）
（2）二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F＞0.
當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，此方程表示一個(gè)點(diǎn)；
當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，它不表示任何圖形．
（3）以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為：
(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
（4）求圓的方程的2種方法：
幾何法 根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程
待定系數(shù)法 ①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程； ②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組； ③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程
知識(shí)鏈接02 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 圓的方程
（1）若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以點(diǎn)(－2,3)為圓心，4為半徑的圓，則D，E，F(xiàn)的值分別為______________．
（2）圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為1，且過(guò)點(diǎn)A(1,2)的圓的方程是為______________．
（3）已知圓C經(jīng)過(guò)A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為________．
（4）若過(guò)點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為___．
（5）若不同的四點(diǎn)A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圓，則a的值為_______．
（6）已知圓心在直線y＝－x＋1上，且與直線x＋y－2＝0相切于點(diǎn)(1,1)的圓的方程為___________________．
【答案】（1）4，－6，－3 （2）x2＋(y－2)2＝1 （3）(x－2)2＋y2＝10
（4） （5）7 （6）2＋2＝
典例剖析02 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
（1）已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
①的最大值和最小值；
②y－x的最小值；
③x2＋y2的最大值和最小值．
（2）已知點(diǎn)P(t，t)，t∈R，點(diǎn)M是圓x2＋(y－1)2＝上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是圓(x－2)2＋y2＝上的動(dòng)點(diǎn)，則|PN|－|PM|的最大值是_________．
（3）設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：(x－3)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(0,2)，B(0，－2)，則的最大值為________．
（4）設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，則·的最大值為________．
【解析】（1）①如圖，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，以為半徑的圓．
設(shè)＝k，即y＝kx，
則由＝，解得k2＝3，∴kmax＝，kmin＝－.
②設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，僅當(dāng)直線y＝x＋b與圓切于第四象限時(shí)，截距b取最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－.
③x2＋y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，故連接OC，與圓交于B，并延長(zhǎng)交圓于C′，
則(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.
（2）易知圓x2＋(y－1)2＝的圓心為A(0,1)，圓(x－2)2＋y2＝的圓心為B(2,0)，P(t，t)在直線y＝x上，A(0,1)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1,0)，則
|PN|－|PM|≤－＝|PB|－|PA|＋1＝|PB|－|PA′|＋1≤|A′B|＋1＝2.
（3）由題意，知＝(－x,2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以＝ ＝2.由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以當(dāng)x＝5時(shí)，的值最大，最大值為2＝10. 答案：10
（4）由題意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時(shí)，·的值最大，最大值為6×4－12＝12. 答案：　12
典例剖析03 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
（1）已知A(－1,0)，B(1,0)，C為平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|AC|＝|BC|，則點(diǎn)C的軌跡方程為______________．
（2）已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．
①求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；
②若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．
（3）設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，則點(diǎn)P的軌跡方程為______________．
【解析】（1）x2＋y2－6x＋1＝0
（2）①設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知點(diǎn)P坐標(biāo)為(2x－2,2y)．
因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
②設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
（3）如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分，
故＝，＝. 從而.
N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上的情況)．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圓”的(　　)
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】　A
2．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．
【答案】　－13．點(diǎn)P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25內(nèi)弦AB的中點(diǎn)，則AB的方程為______________________．
【答案】　x－y－3＝0
4．若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圓，則m的取值范圍是________；當(dāng)半徑最大時(shí)，圓的方程為______________________．
【答案】　25．若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．
【答案】　x2＋(y－1)2＝1
6．(多選)設(shè)圓A：x2＋y2－2x－3＝0，則下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A．圓A的半徑為2
B．圓A截y軸所得的弦長(zhǎng)為2
C．圓A上的點(diǎn)到直線3x－4y＋12＝0的最小距離為1
D．圓A與圓B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相離
【答案】　ABC　
7．已知圓x2＋y2＋2x－4y＋a＝0關(guān)于直線y＝2x＋b成軸對(duì)稱，則a－b的取值范圍是________．
【答案】　(－∞，1)
8．若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長(zhǎng)，
則＋的最小值為___________．
【答案】　3＋2
9．若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是__________________．
【答案】　(x－2)2＋2＝
10．已知圓C和直線x－6y－10＝0相切于點(diǎn)(4，－1)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,6)，則圓C的方程是___________．
【答案】　(x－3)2＋(y－5)2＝37
11．已知點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC面積的最小值是_____．
【答案】　3－
12．若x2＋y2＝8，則2x＋y的最大值為(　　)
【答案】　2
13．(多選)已知圓C過(guò)點(diǎn)M(1，－2)且與兩坐標(biāo)軸均相切，則下列敘述正確的是(　　)
A．滿足條件的圓C的圓心在一條直線上
B．滿足條件的圓C有且只有一個(gè)
C．點(diǎn)(2，－1)在滿足條件的圓C上
D．滿足條件的圓C有且只有兩個(gè)，它們的圓心距為4
【答案】　ACD　
14．阿波羅尼斯是亞歷山大時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家，“阿波羅尼斯圓”是他的主要研究成果之一：若動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)M，N的距離之比為λ(λ>0，且λ≠1)，則點(diǎn)P的軌跡就是圓，事實(shí)上，互換該定理中的部分題設(shè)和結(jié)論，命題依然成立．已知點(diǎn)M(2,0)，點(diǎn)P為圓O：x2＋y2＝16上的點(diǎn)，若存在x軸上的定點(diǎn)N(t，0)(t>4)和常數(shù)λ，對(duì)滿足已知條件的點(diǎn)P均有|PM|＝λ|PN|，則λ＝(　　)
A．1 B． C． D．
【答案】　如圖所示，由于圓上的任意一點(diǎn)P均有|PM|＝λ|PN|，
所以A，B兩點(diǎn)也滿足該關(guān)系式．A(－4，0)，B(4,0)，M(2,0)，N(t,0)，
λ＝＝＝＝，解得t＝8，λ＝，故選B.

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