資源簡(jiǎn)介

05 橢 圓
◇ 知 識(shí) 鏈 接 ◇
知識(shí)鏈接01 橢圓的定義
條件 結(jié)論1 結(jié)論2
平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M與平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2 M點(diǎn)的軌跡為橢圓 F1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)；|F1F2|為橢圓的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a>|F1F2|
注 意：若a>c，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓；
若a＝c，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為線段F1F2；
若a知識(shí)鏈接02 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
圖形
性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸　　對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
軸 長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b
焦距 |F1F2|＝2c
離心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2
知識(shí)鏈接03 點(diǎn)P(x0，y0)和橢圓的關(guān)系
（1）點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi) ＋<1．
（2）點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上 ＋＝1．
（3）點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外 ＋>1．
知識(shí)鏈接04 常用結(jié)論
（1）若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則：
①b≤|OP|≤a； ②a－c≤|PF|≤a＋c．
（2）AB為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則直線AB的斜率kAB＝－.
（3）焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，
則在橢圓＋＝1(a＞b＞0)中：
①△PF1F2的周長(zhǎng)為2(a＋c)；
②S＝b2tan＝c|y0|，
當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc；
③當(dāng)r1＝r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 橢圓的定義及應(yīng)用
（1）平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0，－9)，F(xiàn)2(0,9)的距離之和等于18，則點(diǎn)M的軌跡是________．
（2）若F1(3,0)，F(xiàn)2(－3,0)，點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，則P點(diǎn)的軌跡方程是____________．
（3）已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，且點(diǎn)N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　)
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
（4）設(shè)橢圓C：＋y2＝1的左焦點(diǎn)為F，直線l：y＝kx(k≠0)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則|AF|＋|BF|的值是________．
（5）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周長(zhǎng)為16，則|AF2|＝________．
（6）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為_(kāi)_______．
（7）若F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠F1AF2＝45°，則△AF1F2的面積為_(kāi)_______．
（8）若F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為_(kāi)_______．
典例剖析02 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）若方程＋＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________．
（2）橢圓＋＝1的焦距為4，則m等于________．
（3）橢圓＋＝1(m＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，若∠F1AF2＝，
則m＝________．
（4）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率等于，
則C的方程是________．
（5）已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，直線2x＋y＋10＝0過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)，則橢圓方程為_(kāi)_______．
（6）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)P(3,0)，則橢圓的方程為_(kāi)_______________．
（7）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且過(guò)兩點(diǎn)P1(，1)、P2(－，－)，則橢圓的方程為_(kāi)_______．
（8）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，M是橢圓上一點(diǎn)，
若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，則該橢圓的方程是________．
（9）過(guò)點(diǎn)(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)____．
（10）已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)________．
典例剖析03 橢圓的幾何性質(zhì)
（1）曲線＋＝1與曲線＋＝1(k＜9)的(　　)
A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等　 B．短軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等 D．焦距相等
（2）橢圓C：＋＝1的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大、最小值分別為_(kāi)_______．
（3）已知橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．
（4）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|＋|的最小值是________．
（5）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為_(kāi)_______．
（6）已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，橢圓C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝________．
（7）設(shè)M是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，以M為圓心的圓與x軸相切，切點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)F，圓M與y軸相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若△PMQ為等邊三角形，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______．
（8）已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)，上頂點(diǎn)為A(0，b)，直線x＝上存在一點(diǎn)P滿足(＋)·＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_______．
典例剖析04 直線與橢圓的位置關(guān)系
（1）已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1．試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：（ⅰ）有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)； （ⅱ）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（2）斜率為的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝，求直線l的方程．
（3）過(guò)橢圓E：＋＝1的左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若直線AB的斜率為，求△ABF2的面積．
（4）已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4,1)，則橢圓的離心率是________．
（5）已知橢圓：＋y2＝1，過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為_(kāi)_______．
（6）已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4)，離心率e＝，直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)．如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則直線l的方程為_(kāi)_______．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系為_(kāi)________．
　　　　　　　
2．直線y＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_________．
3．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為_(kāi)________．
4．(多選)設(shè)橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為F，直線y＝m(0A．|AF|＋|BF|為定值
B．△ABF的周長(zhǎng)的取值范圍是[6,12]
C．當(dāng)m＝時(shí)，△ABF為直角三角形
D．當(dāng)m＝1時(shí)，△ABF的面積為
5．已知橢圓C：＋＝1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝_________．
6．已知直線l：y＝k(x－1)與C：＋y2＝1交于不同的兩點(diǎn)A，B，AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則k＝____．
7．一個(gè)中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(0,5)的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓的方程是______________．
8．直線x－y＋＝0經(jīng)過(guò)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，若＝2，則該橢圓的離心率是_________．
9．橢圓Г：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Г的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．
10．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使
＝，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_____．
11．橢圓＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若∠F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．
12．已知點(diǎn)A(0,2)及橢圓＋y2＝1上任意一點(diǎn)P，則|PA|的最大值是________．
13．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，其中左焦點(diǎn)為F(－2,0)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y＝x＋m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2＋y2＝1上，求m的值．
14．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
15．已知橢圓＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝mx＋對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
2022年下學(xué)期 高二數(shù)學(xué) 同步復(fù)習(xí)講義
05 橢 圓
◇ 知 識(shí) 鏈 接 ◇
知識(shí)鏈接01 橢圓的定義
條件 結(jié)論1 結(jié)論2
平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M與平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2 M點(diǎn)的軌跡為橢圓 F1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)；|F1F2|為橢圓的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a>|F1F2|
注 意：若a>c，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓；
若a＝c，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為線段F1F2；
若a知識(shí)鏈接02 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
圖形
性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸　　對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn) A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
軸 長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b
焦距 |F1F2|＝2c
離心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系 c2＝a2－b2
知識(shí)鏈接03 點(diǎn)P(x0，y0)和橢圓的關(guān)系
（1）點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi) ＋<1．
（2）點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上 ＋＝1．
（3）點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外 ＋>1．
知識(shí)鏈接04 常用結(jié)論
（1）若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則：
①b≤|OP|≤a； ②a－c≤|PF|≤a＋c．
（2）AB為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則直線AB的斜率kAB＝－.
（3）焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，
則在橢圓＋＝1(a＞b＞0)中：
①△PF1F2的周長(zhǎng)為2(a＋c)；
②S＝b2tan＝c|y0|，
當(dāng)|y0|＝b時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取最大值，最大值為bc；
③當(dāng)r1＝r2時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 橢圓的定義及應(yīng)用
（1）平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0，－9)，F(xiàn)2(0,9)的距離之和等于18，則點(diǎn)M的軌跡是________．
（2）若F1(3,0)，F(xiàn)2(－3,0)，點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，則P點(diǎn)的軌跡方程是____________．
（3）已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，且點(diǎn)N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　)
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
（4）設(shè)橢圓C：＋y2＝1的左焦點(diǎn)為F，直線l：y＝kx(k≠0)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則|AF|＋|BF|的值是________．
（5）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|＝3|F1B|，且|AB|＝4，△ABF2的周長(zhǎng)為16，則|AF2|＝________．
（6）設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為_(kāi)_______．
（7）若F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠F1AF2＝45°，則△AF1F2的面積為_(kāi)_______．
（8）若F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為_(kāi)_______．
【答案】（1）線段F1F2 （2）＋＝1 （3）B （4）4
（5）5 （6） （7）7 （8）
典例剖析02 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）若方程＋＝1表示橢圓，則k的取值范圍是________．
（2）橢圓＋＝1的焦距為4，則m等于________．
（3）橢圓＋＝1(m＞0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為A，若∠F1AF2＝，
則m＝________．
（4）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率等于，
則C的方程是________．
（5）已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，直線2x＋y＋10＝0過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)，則橢圓方程為_(kāi)_______．
（6）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸是短軸的3倍，并且過(guò)點(diǎn)P(3,0)，則橢圓的方程為_(kāi)_______________．
（7）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且過(guò)兩點(diǎn)P1(，1)、P2(－，－)，則橢圓的方程為_(kāi)_______．
（8）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，M是橢圓上一點(diǎn)，
若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，則該橢圓的方程是________．
（9）過(guò)點(diǎn)(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)____．
（10）已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)________．
【答案】（1）(3,4)∪(4,5) （2）4或8 （3） （4）＋＝1 （5）＋＝1
（6）＋y2＝1或＋＝1 （7）＋＝1
（8）＋＝1 （9）＋＝1 （10）＋＝1
典例剖析03 橢圓的幾何性質(zhì)
（1）曲線＋＝1與曲線＋＝1(k＜9)的(　　)
A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等　 B．短軸長(zhǎng)相等 C．離心率相等 D．焦距相等
（2）橢圓C：＋＝1的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大、最小值分別為_(kāi)_______．
（3）已知橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．
（4）已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|＋|的最小值是________．
（5）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為_(kāi)_______．
（6）已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，橢圓C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，則C的離心率e＝________．
（7）設(shè)M是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，以M為圓心的圓與x軸相切，切點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)F，圓M與y軸相交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若△PMQ為等邊三角形，則橢圓C的離心率為_(kāi)_______．
（8）已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)，上頂點(diǎn)為A(0，b)，直線x＝上存在一點(diǎn)P滿足(＋)·＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_______．
【答案】（1）D　（2）3,1　（3）－1 （4）8 （5）6 （6） （7） （8）
【解析】（8）取AP的中點(diǎn)Q，則＝(＋)，所以(＋)·＝2·＝0，
所以FQ⊥AP，所以△AFP為等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a.
因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x＝上，所以|FP|≥－c，即a≥－c，所以≥－1，
所以e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤. 又0＜e＜1，故≤e＜1．
典例剖析04 直線與橢圓的位置關(guān)系
（1）已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1．試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：（ⅰ）有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)； （ⅱ）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（2）斜率為的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝，求直線l的方程．
（3）過(guò)橢圓E：＋＝1的左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若直線AB的斜率為，求△ABF2的面積．
（4）已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4,1)，則橢圓的離心率是________．
（5）已知橢圓：＋y2＝1，過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為_(kāi)_______．
（6）已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4)，離心率e＝，直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)．如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，則直線l的方程為_(kāi)_______．
【解析】（1）將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組
將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
（ⅰ）當(dāng)Δ>0，即－3（ⅱ）當(dāng)Δ＝0，即m＝±3時(shí)，方程③有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（2）y＝x± （3） （4） （5）x＋9y－5＝0 （6）6x－5y－28＝0.
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．直線y＝kx－k＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系為_(kāi)________．
【答案】 相交　　　　　　　
2．直線y＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是_________．
【答案】 (1,3)∪(3，＋∞)
3．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為_(kāi)________．
【答案】
4．(多選)設(shè)橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)為F，直線y＝m(0A．|AF|＋|BF|為定值
B．△ABF的周長(zhǎng)的取值范圍是[6,12]
C．當(dāng)m＝時(shí)，△ABF為直角三角形
D．當(dāng)m＝1時(shí)，△ABF的面積為
【答案】 ACD　
5．已知橢圓C：＋＝1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝_________．
【答案】 12
6．已知直線l：y＝k(x－1)與C：＋y2＝1交于不同的兩點(diǎn)A，B，AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則k＝____．
【答案】 ±
7．一個(gè)中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(0,5)的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓的方程是______________．
【答案】 ＋＝1
8．直線x－y＋＝0經(jīng)過(guò)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，若＝2，則該橢圓的離心率是_________．
【答案】 －1
9．橢圓Г：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Г的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________．
【答案】 －1
10．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn)P使
＝，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)_____．
【答案】依題意及正弦定理，得＝(注意到P不與F1F2共線)，即＝，
∴－1＝，∴＝＋1>，即e＋1>，∴(e＋1)2>2.
又0答案　　(2)(－1,1)
11．橢圓＋y2＝1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若∠F1PF2為鈍角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________．
【答案】 (－，)
12．已知點(diǎn)A(0,2)及橢圓＋y2＝1上任意一點(diǎn)P，則|PA|的最大值是________．
【答案】
13．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，其中左焦點(diǎn)為F(－2,0)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y＝x＋m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2＋y2＝1上，求m的值．
【解析】（1）由題意，得解得∴橢圓C的方程為＋＝1.
（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2∵x0＝＝－，∴y0＝x0＋m＝，
∵點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＝1上，∴(－)2＋()2＝1，∴m＝±.
14．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
（1）若直線MN的斜率為，求C的離心率；
（2）若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
【解析】（1）根據(jù)c＝及題設(shè)知M(c，)，＝，2b2＝3ac.
將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的離心率為.
（2）由題意，得原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸，
所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則即
代入C的方程，得＋＝1.②
將①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
15．已知橢圓＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝mx＋對(duì)稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解析】由題意知m≠0，可設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b.
由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因?yàn)橹本€y＝－x＋b與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以設(shè)A(x1y1)，B(x2，y2)，由題意，得Δ＝－2b2＋2＋＞0.①
將線段AB中點(diǎn)代入直線方程y＝mx＋解得b＝－.②
由①②得m＜－或m＞.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為∪.

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