資源簡介

06 雙 曲 線
◇ 知 識 鏈 接 ◇
知識鏈接01 雙曲線的定義
條件 結論1 結論2
平面內的動點M與平面內的兩個定點F1，F2 M點的軌跡為雙曲線 F1，F2為雙曲線的焦點；|F1F2|為雙曲線的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a＜|F1F2|
注 意：若2a＜|F1F2|，則動點M的軌跡為雙曲線；
若2a＝|F1F2|，P點的軌跡是兩條射線；
若2a＞|F1F2|，P點不存在．
知識鏈接02 雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
圖形
性質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性 對稱軸：坐標軸．對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a； 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b； a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長
漸近線 y＝±x
離心率 e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
知識鏈接03 點P(x0，y0)和雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的關系
（1）點P(x0，y0)在雙曲線內 －>1．
（2）點P(x0，y0)在雙曲線上 －＝1．
（3）點P(x0，y0)在雙曲線外 －<1．
知識鏈接04 常用結論
（1）雙曲線的焦點到漸近線的距離為b．
（2）過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為．
（3）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，漸近線方程為y＝±x，離心率等于．
（4）若漸近線方程為y＝±x，則雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0) ．
（5）與雙曲線－＝1 (a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為－＝t (t≠0)．
（6）若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，
則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a．
（7）AB為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則直線AB的斜率kAB＝．
（8）焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F1，F2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 雙曲線的定義及應用
（1）已知點F1(－3,0)和F2(3,0)，動點P到F1，F2的距離之差為4，則點P的軌跡方程為________．
（2）已知雙曲線x2－＝1上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點P到另一個焦點的距離等于________．
（3）已知F1，F2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝________．
（4）設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為. P是C上一點，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則a＝________．
（5）已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2且斜率為－的直線與雙曲線在第一象限的交點為A，且·＝0，若a＝－1，則F2的坐標為________．
（6）已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內切，則動圓圓心M的軌跡方程為________．
典例剖析02 雙曲線的標準方程
（1）已知方程－＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是________．
（2）設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝x，則C的離心率為__．
（3）以橢圓＋＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為________．
（4）已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為________．
（5）設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為________．
（6）若雙曲線的漸近線方程為y＝±x，且經過點(4，)，則雙曲線的方程為___．
（7）與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程為_______．
（8）經過點P(3,2)，Q(－6，7)的雙曲線的標準方程為________．
（9）已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為____________________．
（10）已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩個頂點分別為A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐標分別為(0，b)，(0，－b)，且四邊形A1PA2Q的面積為2，四邊形A1PA2Q內切圓的周長為π，則C的方程為________．
典例剖析03 雙曲線的幾何性質
（1）若實數k滿足0A．焦距相等 B．實半軸長相等 C．虛半軸長相等 D．離心率相等
（2）若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為____．
（3）在平面直角坐標系中，已知雙曲線C與雙曲線x2－＝1有公共的漸近線，且雙曲線C經過點P(－2，)，則雙曲線C的焦距為________．
（4）已知F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．
（5）以雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F為圓心，|OF|(O為坐標原點)為半徑的圓與C的漸近線相切，則C的漸近線方程為________．
（6）如圖，F1，F2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是______．
（7）過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為點A，與另一條漸近線交于點B，若＝2，則此雙曲線的離心率為______．
（8）已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F，點A，B是C的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為________．
（9）已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F1，F2是C的兩個焦點，若·＜0，則y0的取值范圍是________．
（10）已知F1，F2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點A，與右支交于點B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，則＝________．
（11）已知在平面直角坐標系xOy中，點F2為雙曲線C：－y2＝1(a＞0)的右焦點，點M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點D，且D為MF2的中點，點I為△OMF2的外心，若O，I，D三點共線，則雙曲線C的離心率為________．
典例剖析04 直線與雙曲線的位置關系
（1）已知雙曲線x2－＝1，過點P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點，且點P是線段AB的中點？
（2）已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1.
（ⅰ）若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；
（ⅱ）若l與C交于A，B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為，求實數k的值．
（3）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，實軸長為2.
（ⅰ）求雙曲線C的方程；
（ⅱ）若l：y＝kx＋與雙曲線C左支交于A、B兩點，求k的取值范圍；
（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．若雙曲線－＝1的離心率為，則其漸近線方程為_________．
2．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為_________．
3．過雙曲線C：－＝1的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A. 若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經過A，O兩點(O為坐標原點)，則雙曲線C的方程為_________．
4．已知點F是－＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_______．
5．設雙曲線C經過點(2,2)，且與－x2＝1具有相同漸近線，則C的方程為____；漸近線方程為__．
6．設F1，F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小內角為30°，則雙曲線C的離心率為________．
7．已知F1，F2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點P在雙曲線上，則雙曲線的離心率是(　　)
8．設過雙曲線x2－y2＝9左焦點F1的直線交雙曲線的左支于點P，Q，F2為雙曲線的右焦點．若|PQ|＝7，則△F2PQ的周長為(　　)
9．已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5，0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________．
10．已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為________．
11．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)．
（1）求雙曲線方程；
（2）若點M(3，m)在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上；
（3）在（2）的條件下求△F1MF2的面積．
12．已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）若直線l：y＝kx＋與雙曲線C2恒有兩不同的交點A和B，且·>2(其中O為原點)，求k的取值范圍．
13．已知離心率為的橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為2.
（1）求橢圓及雙曲線的方程；
（2）設橢圓的左、右頂點分別為A、B，在第二象限內取雙曲線上一點P，連接BP交橢圓于點M，連接PA并延長交橢圓于點N，若＝，求四邊形ANBM的面積．
14．設A，B分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t (O為坐標原點)，求t的值及點D的坐標．
15．雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上．當BF⊥AF時，|AF|＝|BF|.
（1）求C的離心率；
（2）若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.
2022年下學期 高二數學 同步復習講義
06 雙 曲 線
◇ 知 識 鏈 接 ◇
知識鏈接01 雙曲線的定義
條件 結論1 結論2
平面內的動點M與平面內的兩個定點F1，F2 M點的軌跡為雙曲線 F1，F2為雙曲線的焦點；|F1F2|為雙曲線的焦距
||MF1|－|MF2||＝2a
2a＜|F1F2|
注 意：若2a＜|F1F2|，則動點M的軌跡為雙曲線；
若2a＝|F1F2|，P點的軌跡是兩條射線；
若2a＞|F1F2|，P點不存在．
知識鏈接02 雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
圖形
性質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
對稱性 對稱軸：坐標軸．對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a； 線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b； a叫做雙曲線的半實軸長，b叫做雙曲線的半虛軸長
漸近線 y＝±x
離心率 e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
知識鏈接03 點P(x0，y0)和雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的關系
（1）點P(x0，y0)在雙曲線內 －>1．
（2）點P(x0，y0)在雙曲線上 －＝1．
（3）點P(x0，y0)在雙曲線外 －<1．
知識鏈接04 常用結論
（1）雙曲線的焦點到漸近線的距離為b．
（2）過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為．
（3）等軸雙曲線的漸近線互相垂直，漸近線方程為y＝±x，離心率等于．
（4）若漸近線方程為y＝±x，則雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0) ．
（5）與雙曲線－＝1 (a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為－＝t (t≠0)．
（6）若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，
則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a．
（7）AB為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則直線AB的斜率kAB＝．
（8）焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F1，F2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 雙曲線的定義及應用
（1）已知點F1(－3,0)和F2(3,0)，動點P到F1，F2的距離之差為4，則點P的軌跡方程為________．
（2）已知雙曲線x2－＝1上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點P到另一個焦點的距離等于________．
（3）已知F1，F2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝________．
（4）設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為. P是C上一點，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面積為4，則a＝________．
（5）已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，過F2且斜率為－的直線與雙曲線在第一象限的交點為A，且·＝0，若a＝－1，則F2的坐標為________．
（6）已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內切，則動圓圓心M的軌跡方程為________．
【答案】（1）－＝1(x>0) （2）6 （3）4
（4）1 （5） (2,0) （6）－＝1(x≥)
典例剖析02 雙曲線的標準方程
（1）已知方程－＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是________．
（2）設雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝x，則C的離心率為________．
（3）以橢圓＋＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為________．
（4）已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為________．
（5）設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為________．
（6）若雙曲線的漸近線方程為y＝±x，且經過點(4，)，則雙曲線的方程為________．
（7）與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程為__________．
（8）經過點P(3,2)，Q(－6，7)的雙曲線的標準方程為________．
（9）已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為____________________．
（10）已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的兩個頂點分別為A1(－a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐標分別為(0，b)，(0，－b)，且四邊形A1PA2Q的面積為2，四邊形A1PA2Q內切圓的周長為π，則C的方程為________．
【答案】（1）(－∞，－5)∪(－2，＋∞) （2） （3）x2－＝1 （4）－＝1
（5） －＝1 （6）－y2＝1 （7）－＝1 （8）－＝1
（9）x2－＝1(x≤－1) （10）x2－＝1或－y2＝1
典例剖析03 雙曲線的幾何性質
（1）若實數k滿足0A．焦距相等 B．實半軸長相等 C．虛半軸長相等 D．離心率相等
（2）若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則C的漸近線方程為____．
（3）在平面直角坐標系中，已知雙曲線C與雙曲線x2－＝1有公共的漸近線，且雙曲線C經過點P(－2，)，則雙曲線C的焦距為________．
（4）已知F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．
（5）以雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F為圓心，|OF|(O為坐標原點)為半徑的圓與C的漸近線相切，則C的漸近線方程為________．
（6）如圖，F1，F2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是________．
（7）過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線，垂足為點A，與另一條漸近線交于點B，若＝2，則此雙曲線的離心率為______．
（8）已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F，點A，B是C的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為________．
（9）已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F1，F2是C的兩個焦點，若·＜0，則y0的取值范圍是________．
（10）已知F1，F2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點A，與右支交于點B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，則＝________．
（11）已知在平面直角坐標系xOy中，點F2為雙曲線C：－y2＝1(a＞0)的右焦點，點M在雙曲線C的左支上，MF2與雙曲線C的一條漸近線交于點D，且D為MF2的中點，點I為△OMF2的外心，若O，I，D三點共線，則雙曲線C的離心率為________．
【答案】（1）A　 （2）y＝±x　 （3）4 （4）2 （5）x±y＝0 （6）
（7）2 （8）y＝±x （9） （10） （11）
典例剖析04 直線與雙曲線的位置關系
（1）已知雙曲線x2－＝1，過點P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點，且點P是線段AB的中點？
【解析】（1）設點A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點為(x0，y0)，
若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意．
設經過點P的直線l的方程為y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.
由得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．①　
∴x0＝＝.
由題意，得＝1，解得k＝2.
當k＝2時，方程①成為2x2－4x＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①沒有實數解．
∴不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P(1,1)是線段AB的中點．
（2）已知雙曲線C：x2－y2＝1及直線l：y＝kx－1.
（ⅰ）若l與C有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍；
（ⅱ）若l與C交于A，B兩點，O是坐標原點，且△AOB的面積為，求實數k的值．
【解析】（2）（ⅰ）雙曲線C與直線l有兩個不同的交點，
則方程組有兩個不同的實數根，整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∴解得－∴雙曲線C與直線l有兩個不同的交點時，k∈(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
（ⅱ）設交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l與y軸交于點D(0，－1)，
由（ⅰ）知，C與l聯立的方程為(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∴
當A，B在雙曲線的一支上且|x1|>|x2|時，
S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝(|x1|－|x2|)＝|x1－x2|；
當A，B在雙曲線的兩支上且x1>x2時，
S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|.
∴S△OAB＝|x1－x2|＝，∴(x1－x2)2＝(2)2，
即()2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
又∵－（3）已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，實軸長為2.
（ⅰ）求雙曲線C的方程；
（ⅱ）若l：y＝kx＋與雙曲線C左支交于A、B兩點，求k的取值范圍；
（ⅲ）在（ⅱ）的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍．
【解析】（3）（ⅰ）設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)．
由已知得：a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，∴C的方程為－y2＝1.
（ⅱ）設A(xA，yA)、B(xB，yB)，
將y＝kx＋代入－y2＝1，得，(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由題意知解得∴當（ⅲ）由（ⅱ）得：xA＋xB＝，
∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.
∴AB的中點P的坐標為(，)．
設直線l0的方程為：y＝－x＋m，將P點坐標代入直線l0的方程，得m＝.
∵◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．若雙曲線－＝1的離心率為，則其漸近線方程為_________．
【答案】 y＝±x
2．設直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為_________．
【答案】
3．過雙曲線C：－＝1的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A. 若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經過A，O兩點(O為坐標原點)，則雙曲線C的方程為_________．
【答案】 －＝1
4．已知點F是－＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_______．
【答案】 (1,2)
5．設雙曲線C經過點(2,2)，且與－x2＝1具有相同漸近線，則C的方程為________；漸近線方程為________．
【答案】　－＝1　y＝±2x
6．設F1，F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，P是C上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小內角為30°，則雙曲線C的離心率為________．
【答案】　
7．已知F1，F2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點P在雙曲線上，則雙曲線的離心率是(　　)
【答案】 ＋1
8．設過雙曲線x2－y2＝9左焦點F1的直線交雙曲線的左支于點P，Q，F2為雙曲線的右焦點．若|PQ|＝7，則△F2PQ的周長為(　　)
【答案】 26
9．已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5，0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________．
【答案】　44
10．已知雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為________．
【答案】　
11．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)．
（1）求雙曲線方程；
（2）若點M(3，m)在雙曲線上，求證：點M在以F1F2為直徑的圓上；
（3）在（2）的條件下求△F1MF2的面積．
【解析】（1）∵離心率e＝，∴雙曲線為等軸雙曲線，可設其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，
則由點(4，－)在雙曲線上，可得λ＝42－(－)2＝6，∴雙曲線方程為x2－y2＝6.
（2）證明　∵點M(3，m)在雙曲線上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，
又雙曲線x2－y2＝6的焦點為F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)
＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，
∴MF1⊥MF2，∴點M在以F1F2為直徑的圓上．
（3）S△F1MF2＝×4×|m|＝6.
12．已知橢圓C1的方程為＋y2＝1，雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）若直線l：y＝kx＋與雙曲線C2恒有兩不同的交點A和B，且·>2(其中O為原點)，求k的取值范圍．
【解析】（1）－y2＝1.
（2）將y＝kx＋代入－y2＝1，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點，得
∴k2≠且k2<1.①
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，∴>2，即>0，解得由①②得13．已知離心率為的橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為2.
（1）求橢圓及雙曲線的方程；
（2）設橢圓的左、右頂點分別為A、B，在第二象限內取雙曲線上一點P，連接BP交橢圓于點M，連接PA并延長交橢圓于點N，若＝，求四邊形ANBM的面積．
【解析】（1）橢圓的方程為＋＝1，雙曲線的方程為－＝1.
（2）由（1）得A(－5,0)，B(5,0)，|AB|＝10，
設M(x0，y0)，則由＝得M為BP的中點，所以P點坐標為(2x0－5,2y0)．
將M、P坐標代入橢圓和雙曲線方程，得
消去y0，得2x－5x0－25＝0. 解之，得x0＝－或x0＝5(舍去)．∴y0＝.
由此可得M(－，)，∴P(－10,3)，直線PA的方程是y＝(x＋5)，
即y＝－(x＋5)，代入＋＝1，得2x2＋15x＋25＝0.
∴x＝－或－5(舍去)，∴xN＝－，xN＝xM，MN⊥x軸．
∴S四邊形ANBM＝2S△AMB＝2××10×＝15.
14．設A，B分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t (O為坐標原點)，求t的值及點D的坐標．
【解析】（1）－＝1.
（2）設M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0＞0)，則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
將直線方程y＝x－2代入雙曲線方程－＝1得x2－16x＋84＝0，
則x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12.
所以解得所以t＝4，點D的坐標為(4，3)．
15．雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點為A，右焦點為F，動點B在C上．當BF⊥AF時，|AF|＝|BF|.
（1）求C的離心率；
（2）若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.
【解析】（1）設雙曲線的離心率為e，焦距為2c，
在－＝1中，當BF⊥AF時，點B的橫坐標為c，則B點的縱坐標為y＝±，
因|AF|＝|BF|，所以a＋c＝，即a2＋ac＝b2，
a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，又e＞1，解得e＝2.
（2）由（1）知2a＝c，b2＝3a2，所以雙曲線方程可化為－＝1.
如圖，設B(x，y)(x＞0，y＞0)，則kAB＝，kBF＝，
設∠BAF＝θ，則tan θ＝，
所以tan 2θ＝＝＝＝
＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，
又因為0≤2∠BAF＜π，0≤∠BFA＜π，所以∠BFA＝2∠BAF.

展開更多......

收起↑