資源簡介

07 拋 物 線
◇ 知 識 鏈 接 ◇
知識鏈接01 拋物線的定義
（1）平面內與一個定點F和一條定直線l ( l不經過點F) 距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
（2）注 意：當時，動點的軌跡為拋物線；
當時，動點的軌跡為過點F且與l垂直的直線．
知識鏈接02 拋物線的標準方程和幾何性質
標準方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
頂點 O(0,0)
對稱軸 x軸 y軸
焦點 F F F F
離心率 e＝1
準線 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
焦半徑 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
知識鏈接03 點P(x0，y0)和拋物線y2＝2px(p＞0)的關系
（1）點P(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p＞0)內 y02 < 2px．
（2）點P(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p＞0)上 y02＝2px．
（3）點P(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p＞0)外 y02 > 2px．
知識鏈接04 拋物線焦點弦的常用結論
設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
（1）x1x2＝，y1y2＝－p2；
（2）過焦點垂直于對稱軸的弦長等于2p(通徑) ；
（3）弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)；
（4）|AF|＝x1＋ ＝，|BF|＝；
（5）＋＝；
（6）以弦AB為直徑的圓與準線相切．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 拋物線的定義及應用
（1）已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p＝________．
（2）設拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為l，P是拋物線上異于O的一點，過P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線(　　)
A．經過點O　 B．經過點P C．平行于直線OP D．垂直于直線OP
（3）設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F是拋物線的焦點．
若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．
（4）設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F是拋物線的焦點．
若(3,4)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．
（5）設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F是拋物線的焦點．若B(3,2)，求P到準線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是________．
（6）已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|等于________．
典例剖析02 拋物線的標準方程和幾何性質
（1）頂點在原點，且過點P(－2,3)的拋物線的標準方程是________．
（2）已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是________．
（3）設O為坐標原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p＞0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為________．
（4）動圓過點(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為________．
（5）若拋物線x2＝ay的焦點到準線的距離為1，則a＝________．
（6）過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點．如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于________．
（7）若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為__．
（8）直線l過拋物線C：y2＝12x的焦點，且與拋物線C交于A，B兩點，若弦AB的長為16，則直線l的傾斜角等于________．
（9）過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于________．
典例剖析03 直線與拋物線的位置關系
（1）已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標為3，則此拋物線方程為________．
（2）已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與
x軸的交點為P.
（ⅰ）若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
（ⅱ）若＝3，求|AB|.
（3）拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．
（ⅰ）若＝2，求直線AB的斜率；
（ⅱ）設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值．
（4）已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F(1,0)，O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．
（ⅰ）求拋物線C的方程；
（ⅱ）若直線OA，OB的斜率之積為－，求證：直線AB過x軸上一定點．
（5）在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點．
（ⅰ）如果直線l過拋物線的焦點，求·的值；
（ⅱ）如果·＝－4，證明：直線l必過一定點，并求出該定點．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．拋物線y＝x2的準線方程是_________．
2．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為_________．
3．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為_________．
4．拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A、B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝_________．
5．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于_________．
6．(多選)已知x2＝y的焦點為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上兩點，則下列結論正確的是(　)
A．點F的坐標為
B．若直線MN過點F，則x1x2＝－
C．若＝λ，則|MN|的最小值為
D．若|MF|＋|NF|＝，則線段MN的中點P到x軸的距離為
7．若拋物線y2＝4x上一點P到其焦點F的距離為3，延長PF交拋物線于Q，若O為坐標原點，則S△OPQ＝_________．
8．如圖，過拋物線y2＝2px (p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為_________．
9．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．
10．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B，若A＝M，則p＝_________．
11．如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________ m．
12．(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線的斜率為，且經過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線的準線交于點D. 若|AF|＝8，則以下結論正確的是(　　)
A．p＝4 B．＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
　
13．設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經過原點O.
14．已知拋物線C：y2＝2px (p>0)的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M、N兩點，且|MN|＝8.
（1）求拋物線C的方程；
（2）設直線l是拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點，求·的最小值．
15．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1（1）求該拋物線的方程；
（2）O為坐標原點，C為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值．
16．已知點M為直線l1：x＝－1上的動點，N(1,0)，過M作直線l1的垂線l，l交MN的中垂線于點P，記點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線l2：y＝kx＋m(k≠0)與圓E：(x－3)2＋y2＝6相切于點D，與曲線C交于A，B兩點，且D為線段AB的中點，求直線l2的方程．
2022年下學期 高二數學 同步復習講義
07 拋 物 線
◇ 知 識 鏈 接 ◇
知識鏈接01 拋物線的定義
（1）平面內與一個定點F和一條定直線l ( l不經過點F) 距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
（2）注 意：當時，動點的軌跡為拋物線；
當時，動點的軌跡為過點F且與l垂直的直線．
知識鏈接02 拋物線的標準方程和幾何性質
標準方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
頂點 O(0,0)
對稱軸 x軸 y軸
焦點 F F F F
離心率 e＝1
準線 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
焦半徑 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
知識鏈接03 點P(x0，y0)和拋物線y2＝2px(p＞0)的關系
（1）點P(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p＞0)內 y02 < 2px．
（2）點P(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p＞0)上 y02＝2px．
（3）點P(x0，y0)在拋物線y2＝2px(p＞0)外 y02 > 2px．
知識鏈接04 拋物線焦點弦的常用結論
設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
（1）x1x2＝，y1y2＝－p2；
（2）過焦點垂直于對稱軸的弦長等于2p(通徑) ；
（3）弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)；
（4）|AF|＝x1＋ ＝，|BF|＝；
（5）＋＝；
（6）以弦AB為直徑的圓與準線相切．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 拋物線的定義及應用
（1）已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p＝________．
（2）設拋物線的頂點為O，焦點為F，準線為l，P是拋物線上異于O的一點，過P作PQ⊥l于Q.則線段FQ的垂直平分線(　　)
A．經過點O　 B．經過點P C．平行于直線OP D．垂直于直線OP
（3）設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F是拋物線的焦點．
若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．
（4）設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F是拋物線的焦點．
若(3,4)，則|PB|＋|PF|的最小值為________．
（5）設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，F是拋物線的焦點．若B(3,2)，求P到準線l的距離與P到直線3x＋4y＋7＝0的距離之和的最小值是________．
（6）已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|等于________．
【答案】（1）6 （2）B （3）4 （4）2 （5）2 （6）3
典例剖析02 拋物線的標準方程和幾何性質
（1）頂點在原點，且過點P(－2,3)的拋物線的標準方程是________．
（2）已知拋物線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是________．
（3）設O為坐標原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p＞0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為________．
（4）動圓過點(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為________．
（5）若拋物線x2＝ay的焦點到準線的距離為1，則a＝________．
（6）過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點．如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于________．
（7）若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為__．
（8）直線l過拋物線C：y2＝12x的焦點，且與拋物線C交于A，B兩點，若弦AB的長為16，則直線l的傾斜角等于________．
（9）過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于________．
【答案】（1）y2＝－x或x2＝y （2）y2＝±4x （3） （4）y2＝4x
（5）±2 （6）8 （7） （8）或 （9）
典例剖析03 直線與拋物線的位置關系
（1）已知拋物線x2＝ay與直線y＝2x－2相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標為3，則此拋物線方程為________．
（2）已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與
x軸的交點為P.
（ⅰ）若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
（ⅱ）若＝3，求|AB|.
（3）拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．
（ⅰ）若＝2，求直線AB的斜率；
（ⅱ）設點M在線段AB上運動，原點O關于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值．
【解析】（1）x2＝3y
（2）設直線l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
（ⅰ）由題設得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋. 又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－.
從而－＝，得t＝－. 所以l的方程為y＝x－.
（ⅱ）由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0. 所以y1＋y2＝2，
從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝.
（3）（ⅰ）依題意知F(1,0)，設直線AB的方程為x＝my＋1.
將直線AB的方程與拋物線的方程聯立，消去x得y2－4my－4＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.①
因為＝2，所以y1＝－2y2.②
聯立①和②，消去y1，y2，得m＝±. 所以直線AB的斜率是±2.
（ⅱ）由點C與原點O關于點M對稱，得M是線段OC的中點，
從而點O與點C到直線AB的距離相等，
所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB.
因為2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|＝＝4，
所以當m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4.
（4）已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F(1,0)，O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．
（ⅰ）求拋物線C的方程；
（ⅱ）若直線OA，OB的斜率之積為－，求證：直線AB過x軸上一定點．
（5）在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點．
（ⅰ）如果直線l過拋物線的焦點，求·的值；
（ⅱ）如果·＝－4，證明：直線l必過一定點，并求出該定點．
【解析】（4）（ⅰ）因為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標為F(1，0)，所以＝1，所以p＝2.
所以拋物線C的方程為y2＝4x.
（ⅱ）證明：①當直線AB的斜率不存在時，設A，B.
因為直線OA，OB的斜率之積為－，所以·＝－，化簡得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此時直線AB的方程為x＝8.
②當直線AB的斜率存在時，設其方程為y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，
聯立消去x，化簡得ky2－4y＋4b＝0.所以yAyB＝，
因為直線OA，OB的斜率之積為－，所以·＝－，
整理得xAxB＋2yAyB＝0. 即·＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.
所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，
所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)．綜上所述，直線AB過定點(8,0)．
（5）（ⅰ）由題意：拋物線焦點為(1,0)，
設l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
（ⅱ）設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直線l過定點(2,0)．
∴若·＝－4，則直線l必過一定點(2,0)．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．拋物線y＝x2的準線方程是_________．
【答案】 y＝－1
2．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為_________．
【答案】 －
3．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為_________．
【答案】 x＝－1
4．拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A、B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝_________．
【答案】 6
5．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點弦AB的兩端點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則的值一定等于_________．
【答案】－4
6．(多選)已知x2＝y的焦點為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上兩點，則下列結論正確的是(　)
A．點F的坐標為
B．若直線MN過點F，則x1x2＝－
C．若＝λ，則|MN|的最小值為
D．若|MF|＋|NF|＝，則線段MN的中點P到x軸的距離為
【答案】BCD　
7．若拋物線y2＝4x上一點P到其焦點F的距離為3，延長PF交拋物線于Q，若O為坐標原點，則S△OPQ＝_________．
【答案】
8．如圖，過拋物線y2＝2px (p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為_________．
【答案】 y2＝3x
9．已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，若△FPM為邊長是4的等邊三角形，則此拋物線的方程為________．
【答案】 x2＝4y
10．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B，若A＝M，則p＝_________．
【答案】 2
11．如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________ m．
【答案】 2
12．(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線的斜率為，且經過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線的準線交于點D. 若|AF|＝8，則以下結論正確的是(　　)
A．p＝4 B．＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
【答案】 ABC　
13．設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經過原點O.
【證明】　設AB：x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.
由根與系數的關系，得yAyB＝－p2，即yB＝－.
∵BC∥x軸，且C在準線x＝－上，∴C(－，yB)．
則kOC＝＝＝＝kOA. ∴直線AC經過原點O.
14．已知拋物線C：y2＝2px (p>0)的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M、N兩點，且|MN|＝8.
（1）求拋物線C的方程；
（2）設直線l是拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點，求·的最小值．
【解析】（1）由題意可知F，則該直線方程為：y＝x－，
代入y2＝2px (p>0)，得：x2－3px＋＝0.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2.
∴拋物線的方程為y2＝4x.
（2）設l方程為y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0，
∵l為拋物線C的切線，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝0，解得b＝1，∴l方程為y＝x＋1.
由（1）可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1.
由P(m，m＋1)，則＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]
＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4，y－y＝4(x1－x2)，
∴y1＋y2＝4·＝4，
∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14.
當且僅當m＝2，即點P的坐標為(2,3)時，·的最小值為－14.
15．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1（1）求該拋物線的方程；
（2）O為坐標原點，C為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值．
【解析】（1）由題意得直線AB的方程為y＝2，
與y2＝2px聯立，消去y得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，
所以p＝4，從而該拋物線的方程為y2＝8x.
（2）由（1）得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，
則x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，從而A(1，－2)，B(4,4)．
設C(x3，y3)，則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．
又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2. 故λ的值為0或2.
16．已知點M為直線l1：x＝－1上的動點，N(1,0)，過M作直線l1的垂線l，l交MN的中垂線于點P，記點P的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線l2：y＝kx＋m(k≠0)與圓E：(x－3)2＋y2＝6相切于點D，與曲線C交于A，B兩點，且D為線段AB的中點，求直線l2的方程．
【解析】（1）由已知可得，|PN|＝|PM|，即點P到定點N的距離等于它到直線l1的距離，
故點P的軌跡是以N為焦點，l1為準線的拋物線，∴曲線C的方程為y2＝4x.
（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
由得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
∴x1＋x2＝，∴x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，即D，
∵直線l2與圓E：(x－3)2＋y2＝6相切于點D，∴|DE|2＝6，且DE⊥l2，
從而2＋2＝6，kDE·k＝－1，即
整理可得2＝2，即k＝±，∴m＝0，
故直線l2的方程為x－y＝0或x＋y＝0.

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