資源簡介

10 圓錐曲線的綜合問題之最值、范圍問題
◇ 知 識(shí) 鏈 接 ◇
圓錐曲線中參數(shù)的范圍及最值問題，由于其能很好地考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)的能力，有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力．該類試題設(shè)計(jì)巧妙、命制新穎別致，常求特定量、特定式子的最值或范圍．常與函數(shù)解析式的求法、函數(shù)最值、不等式等知識(shí)交匯，成為近年高考熱點(diǎn)．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理。
知識(shí)鏈接01 幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法
若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決．
知識(shí)鏈接02 函數(shù)取值法
當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值(或值域)、常用方法有：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍構(gòu)建目標(biāo)不等式解最值或范圍問題
已知A是橢圓E：＋＝1(t>3)的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M
兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA．
（1）當(dāng)t＝4，|AM|＝|AN|時(shí)，求△AMN的面積；
（2）當(dāng)2|AM|＝|AN|時(shí)，求k的取值范圍．
典例剖析02 利用點(diǎn)在曲線內(nèi)(外)的充要條件或判別式構(gòu)建目標(biāo)不等式解最值或范圍問題
已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)Q到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被直線x＝－平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．
典例剖析03 利用已知條件中的幾何關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式解最值或范圍問題
設(shè)橢圓＋＝1(a>)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A．已知|OA|－|OF|＝1，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程及離心率e的值；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．
典例剖析04 構(gòu)建函數(shù)模型解最值或范圍問題
在平面直角坐標(biāo)系中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O交x軸于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，交y軸于點(diǎn)B1，B2.以B1，B2為頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓E恰好經(jīng)過點(diǎn).
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)(－2,0)的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，求△F2MN面積的最大值．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)與短軸一端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為1.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F(1,0)，直線l：x＝－1，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足：RQ⊥PF，PQ⊥l.
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（2）若直線PF與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線PF的垂線與曲線E相交于C，D兩點(diǎn)，求·＋·的最大值．
3．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O，離心率等于，以橢圓E的長軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長為4.直線l：y＝kx＋m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓E相交于A，B兩個(gè)點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若＝3，求m2的取值范圍．
4．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線的交點(diǎn)為N.
（1）若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；
（2）若△ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程．
5．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且橢圓C過點(diǎn).
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C分別相交于A，B兩點(diǎn)，且與圓O：x2＋y2＝2相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求|AB|·|EF|2的取值范圍．
2022年下學(xué)期 高二數(shù)學(xué) 同步復(fù)習(xí)講義
10 圓錐曲線的綜合問題之最值、范圍問題
◇ 知 識(shí) 鏈 接 ◇
圓錐曲線中參數(shù)的范圍及最值問題，由于其能很好地考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)的能力，有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力．該類試題設(shè)計(jì)巧妙、命制新穎別致，常求特定量、特定式子的最值或范圍．常與函數(shù)解析式的求法、函數(shù)最值、不等式等知識(shí)交匯，成為近年高考熱點(diǎn)．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點(diǎn)，就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系．建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量，其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問題，這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理。
知識(shí)鏈接01 幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法
若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決．
知識(shí)鏈接02 函數(shù)取值法
當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值(或值域)、常用方法有：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍構(gòu)建目標(biāo)不等式解最值或范圍問題
已知A是橢圓E：＋＝1(t>3)的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M
兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA．
（1）當(dāng)t＝4，|AM|＝|AN|時(shí)，求△AMN的面積；
（2）當(dāng)2|AM|＝|AN|時(shí)，求k的取值范圍．
【解析】（1）由|AM|＝|AN|，可得M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，由MA⊥NA，可得直線AM的斜率k為1.
因?yàn)閠＝4，所以A(－2,0)，所以直線AM的方程為y＝x＋2，
代入橢圓方程＋＝1，可得7x2＋16x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－，
所以M，N，則△AMN的面積為××＝.
（2）由題意知t>3，k>0，A(－，0)，
將直線AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0，
設(shè)M(x1，y1)，則x1·(－)＝，即x1＝，
故|AM|＝|x1＋|＝.
由題設(shè)知，直線AN的方程為y＝－(x＋)，故同理可得|AN|＝.
由2|AM|＝|AN|，得＝，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．
當(dāng)k＝時(shí)上式不成立，因此t＝.
由t>3，得>3，所以＝<0，即<0.
由此得或解得典例剖析02 利用點(diǎn)在曲線內(nèi)(外)的充要條件或判別式構(gòu)建目標(biāo)不等式解最值或范圍問題
已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)Q到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被直線x＝－平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．
【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，由條件可得a＝2，c＝，則b＝1.
故橢圓C的方程為＋x2＝1.
（2）法一：設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，
則由點(diǎn)M，N為橢圓C上的點(diǎn)，可知4x＋y＝4，4x＋y＝4，
兩式相減，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，
將xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－，代入上式得k＝－.
又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上，
所以y0＝－k＋m，所以m＝y(tǒng)0＋k＝y(tǒng)0. 由點(diǎn)P在線段BB′上
，
所以yB′故m的取值范圍為∪.
法二：設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，
則由點(diǎn)M，N為橢圓C上的點(diǎn)，可知4x＋y＝4,4x＋y＝4，
兩式相減，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，
將xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－，代入上式得y0＝－2k.
又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上，
所以y0＝－k＋m，所以m＝y(tǒng)0＋k＝－k.
設(shè)直線l的方程為y＋2k＝－，即x＝－ky－2k2－，
聯(lián)立得(4k2＋1)y2＋8k(2k2＋)y＋16k4＋8k2－3＝0，
由Δ>0，得k∈∪，
所以m＝－k∈∪，
即m的取值范圍為∪.
典例剖析03 利用已知條件中的幾何關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式解最值或范圍問題
設(shè)橢圓＋＝1(a>)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A．已知|OA|－|OF|＝1，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程及離心率e的值；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．
【解析】（1）由題意可知|OF|＝c＝ ，又|OA|－|OF|＝1，所以a－＝1，解得a＝2，
所以橢圓的方程為＋＝1，離心率e＝＝.
（2）設(shè)M(xM，yM)，易知A(2,0)，在△MAO中，∠MOA≤∠MAO |MA|≤|MO|，
即(xM－2)2＋y≤x＋y，化簡得xM≥1.
設(shè)直線l的斜率為k(k≠0)，則直線l的方程為y＝k(x－2)．
設(shè)B(xB，yB)，聯(lián)立消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
解得x＝2或x＝. 由題意得xB＝，從而yB＝.
由(1)知F(1,0)，設(shè)H(0，yH)，則＝(－1，yH)，＝.
由BF⊥HF，得·＝0，即＋＝0，解得yH＝，
所以直線MH的方程為y＝－x＋.
由消去y，得xM＝.
由xM≥1，得≥1，解得k≤－或k≥，
所以直線l的斜率的取值范圍為∪.
典例剖析04 構(gòu)建函數(shù)模型解最值或范圍問題
在平面直角坐標(biāo)系中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O交x軸于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，交y軸于點(diǎn)B1，B2.以B1，B2為頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓E恰好經(jīng)過點(diǎn).
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)(－2,0)的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，求△F2MN面積的最大值．
【解析】（1）由已知可得，橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上．
設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，焦距為2c，則b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
又橢圓E過點(diǎn)，∴＋＝1，解得b2＝1.∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.
（2）由于點(diǎn)(－2,0)在橢圓E外，∴直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l：y＝k(x＋2)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
由Δ>0，得0≤k2<，從而x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|MN|＝ |x1－x2|＝2·.
∵點(diǎn)F2(1,0)到直線l的距離d＝，
∴△F2MN的面積S＝|MN|·d＝3.
令1＋2k2＝t，則t∈[1,2)，
∴S＝3 ＝3 ＝3 ＝3 ，
當(dāng)＝，即t＝時(shí)，S有最大值，Smax＝，此時(shí)k＝±.
∴當(dāng)直線l的斜率為±時(shí)，可使△F2MN的面積最大，其最大值為.
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)與短軸一端點(diǎn)組成一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為1.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．
【解析】（1）由題意知又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝.
所以橢圓E的方程為＋＝1.
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx＋m(m≠0)，代入橢圓方程，
整理得：(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
由Δ＞0，得4k2－m2＋3＞0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1·x2＝.
于是|AB|＝·＝4··.
又坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離d＝，
所以△OAB的面積S＝·|AB|·d＝2·|m|·.
因?yàn)閨m|·＝≤＝，
所以S＝·|AB|·d≤.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)其方程為x＝t，
同理可求得S＝·|AB|·d＝|t|·≤.
綜上，△OAB面積的最大值為.
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F(1,0)，直線l：x＝－1，點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與y軸的交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足：RQ⊥PF，PQ⊥l.
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程；
（2）若直線PF與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)F作直線PF的垂線與曲線E相交于C，D兩點(diǎn)，求·＋·的最大值．
【解析】（1）由題意可知R是線段PF的中點(diǎn)，
因?yàn)镽Q⊥PF，所以RQ所在直線為線段PF的垂直平分線，
連接QF，所以|QP|＝|QF|，又PQ⊥l，所以點(diǎn)Q到點(diǎn)F的距離和到直線l的距離相等，
設(shè)Q(x，y)，則|x＋1|＝，化簡得y2＝4x，
所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E的方程為y2＝4x.
（2）由題可知直線PF的斜率存在且不為0，
設(shè)直線PF：y＝k(x－1)(k≠0)，則CD：y＝－(x－1)，
聯(lián)立方程，得消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1·x2＝1.
因?yàn)橄蛄浚较蛳喾矗?br/>所以·＝－||||＝－(x1＋1)(x2＋1)＝－(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－.
同理，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)，可得·＝－||·||＝－4k2－4，
所以·＋·＝－4－8，
因?yàn)閗2＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝1，即k＝±1時(shí)取等號(hào)，
所以·＋·的最大值為－16.
3．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O，離心率等于，以橢圓E的長軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長為4.直線l：y＝kx＋m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓E相交于A，B兩個(gè)點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若＝3，求m2的取值范圍．
【解析】（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，焦距為2c，
由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝.
∵以橢圓E的長軸和短軸為對(duì)角線的四邊形的周長為4，
∴4＝2a＝4，∴a＝2，b＝1.
∴橢圓E的方程為x2＋＝1.
（2）根據(jù)已知得P(0，m)，設(shè)A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
由消去y，得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0.
由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0，即k2－m2＋4>0，
且x1＋x2＝，x1x2＝.
由＝3，得x1＝－3x2.
∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0.
∴＋＝0，即m2k2＋m2－k2－4＝0.
當(dāng)m2＝1時(shí)，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立，∴k2＝.
∵k2－m2＋4>0，∴－m2＋4>0，即>0. 解得1∴m2的取值范圍為(1,4).
4．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過點(diǎn)M的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線的交點(diǎn)為N.
（1）若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；
（2）若△ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程．
【解析】設(shè)直線AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
（1）由x2＝2py得y′＝，則A，B處的切線斜率的乘積為＝－，
∵點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上，∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.
（2）易得直線AN：y－y1＝(x－x1)，直線BN：y－y2＝(x－x2)，
聯(lián)立，得結(jié)合①式，解得即N(pk，－1)．
|AB|＝|x2－x1|＝·＝·，
點(diǎn)N到直線AB的距離d＝＝，
則△ABN的面積S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，當(dāng)k＝0時(shí)，取等號(hào)，
∵△ABN的面積的最小值為4，
∴2＝4，∴p＝2，故拋物線C的方程為x2＝4y.
5．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且橢圓C過點(diǎn).
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C分別相交于A，B兩點(diǎn)，且與圓O：x2＋y2＝2相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求|AB|·|EF|2的取值范圍．
【解析】（1）由題意得＝，所以a2＝b2，所以橢圓的方程為＋＝1，
將點(diǎn)代入方程得b2＝2，即a2＝3，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
（2）由（1）可知，橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0)，
①若直線l的斜率不存在，直線l的方程為x＝1，
則A，B，E(1,1)，F(xiàn)(1，－1)，
所以|AB|＝，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝.
②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯(lián)立可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝＝＝.
因?yàn)閳A心O(0,0)到直線l的距離d＝，
所以|EF|2＝4＝，
所以|AB|·|EF|2＝·＝＝·＝.
因?yàn)閗2∈[0，＋∞)，所以|AB|·|EF|2∈.
綜上，|AB|·|EF|2的取值范圍為.

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