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11 圓錐曲線的綜合問題之證明、探究性問題
◇ 知 識 鏈 接 ◇
圓錐曲線中證明、探究性問題，由于其能很好地考查學生對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的能力，有利于提高學生綜合運用所學知識分析、解決問題的能力．
知識鏈接01 證明問題（代數(shù)轉(zhuǎn)化法）
圓錐曲線中的證明問題多涉及幾何量的證明，比如涉及線段或角相等以及位置關(guān)系等．證明時，常把幾何量用坐標表示，建立某個變量的函數(shù)，用代數(shù)方法證明．
知識鏈接01 探究、存在性問題
存在性問題的解法：先假設(shè)存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，推證滿足條件的結(jié)論，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．
要注意的是：
（1）當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；
（2）當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；
（3）當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 有關(guān)角度的證明問題
設(shè)橢圓C：＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2,0)．
（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；
（2）設(shè)O為坐標原點，證明：∠OMA＝∠OMB.
典例剖析02 有關(guān)長度的證明問題
已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距為2，直線l1：x＝4與x軸的交點為G，過點M(1,0)且不與x軸重合的直線l2交橢圓E于點A，B.當l2垂直于x軸時，△ABG的面積為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若AC⊥l1，垂足為C，直線BC交x軸于點D，證明：|MD|＝|DG|.
典例剖析03 探究有關(guān)點、線的存在性問題
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點F為左焦點，過點F作x軸的垂線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|＝3.
（1）求橢圓C的方程；
（2）在圓x2＋y2＝3上是否存在點P，使得在點P處的切線l與橢圓C相交于M，N兩點，且滿足⊥？若存在，求l的方程；若不存在，請說明理由．
典例剖析04 探究有關(guān)字母參數(shù)的存在性問題
如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點P，離心率e＝，直線l：x＝4.
（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．已知圓C：(x－1)2＋y2＝，一動圓與直線x＝－相切且與圓C外切．
（1）求動圓圓心P的軌跡T的方程；
（2）若經(jīng)過定點Q(6,0)的直線l與曲線T交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的平行線與曲線T相交于點N，試問是否存在直線l，使得NA⊥NB，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個端點為P，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)過點F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當l⊥x軸時，|RS|＝3.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）在x軸上是否存在一點T，使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．
3．在平面直角坐標系xOy中，點F的坐標為，以線段MF為直徑的圓與x軸相切．
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)T是E上橫坐標為2的點，OT的平行線l交E于A，B兩點，交曲線E在T處的切線于點N，求證：|NT|2＝|NA|·|NB|.
4．如圖，在平面直角坐標系中，點F(－1，0)，過直線l：x＝－2右側(cè)的動點P作PA⊥l于點A，∠APF的平分線交x軸于點B，|PA|＝|BF|.
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線q交曲線C于M，N，試問：x軸正半軸上是否存在點E，直線EM，EN分別交直線l于R，S兩點，使∠RFS為直角？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
2022年下學期 高二數(shù)學 同步復(fù)習講義
11 圓錐曲線的綜合問題之證明、探究性問題
◇ 知 識 鏈 接 ◇
圓錐曲線中證明、探究性問題，由于其能很好地考查學生對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的能力，有利于提高學生綜合運用所學知識分析、解決問題的能力．
知識鏈接01 證明問題（代數(shù)轉(zhuǎn)化法）
圓錐曲線中的證明問題多涉及幾何量的證明，比如涉及線段或角相等以及位置關(guān)系等．證明時，常把幾何量用坐標表示，建立某個變量的函數(shù)，用代數(shù)方法證明．
知識鏈接01 探究、存在性問題
存在性問題的解法：先假設(shè)存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，推證滿足條件的結(jié)論，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．
要注意的是：
（1）當條件和結(jié)論不唯一時要分類討論；
（2）當給出結(jié)論而要推導出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件；
（3）當條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 有關(guān)角度的證明問題
設(shè)橢圓C：＋y2＝1的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2,0)．
（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；
（2）設(shè)O為坐標原點，證明：∠OMA＝∠OMB.
【解析】（1）由已知得F(1,0)，l的方程為x＝1. 則點A的坐標為或.
又M(2,0)，所以直線AM的方程為y＝－x＋或y＝x－，
即x＋y－2＝0或x－y－2＝0.
（2）證明：當l與x軸重合時，∠OMA＝∠OMB＝0°.
當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA＝∠OMB.
當l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1<，x2<，直線MA，MB的斜率之和為kMA＋kMB＝＋.
由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝.
將y＝k(x－1)代入＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
則2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0.
從而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的傾斜角互補．所以∠OMA＝∠OMB.
綜上，∠OMA＝∠OMB成立．
典例剖析02 有關(guān)長度的證明問題
已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距為2，直線l1：x＝4與x軸的交點為G，過點M(1,0)且不與x軸重合的直線l2交橢圓E于點A，B.當l2垂直于x軸時，△ABG的面積為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）若AC⊥l1，垂足為C，直線BC交x軸于點D，證明：|MD|＝|DG|.
【解析】（1）因為橢圓E的焦距為2，所以c＝，所以a2－b2＝3，①
當l2垂直于x軸時，|MG|＝3，因為△ABG的面積為，即|AB|·|MG|＝，
所以|AB|＝，不妨設(shè)A，代入橢圓E的方程得＋＝1，②
聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝1，所以橢圓E的方程為＋y2＝1.
（2）證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(4，y1)．
因為直線l2不與x軸重合，故可設(shè)l2的方程為x＝my＋1，
聯(lián)立得整理得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
所以Δ＝16(m2＋3)＞0，y1＋y2＝，y1y2＝，
所以直線BC：y－y1＝(x－4)，令y＝0，則x＝＋4，
所以點D的橫坐標xD＝＋4，
所以xD－＝＋4－＝＋＝
＝＝＝0，所以xD＝，
因為MG中點的橫坐標為，所以D為線段MG的中點，所以|MD|＝|DG|.
典例剖析03 探究有關(guān)點、線的存在性問題
已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點F為左焦點，過點F作x軸的垂線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|＝3.
（1）求橢圓C的方程；
（2）在圓x2＋y2＝3上是否存在點P，使得在點P處的切線l與橢圓C相交于M，N兩點，且滿足⊥？若存在，求l的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）∵e＝＝，∴3a2＝4b2.
又∵|AB|＝＝3，∴a＝2，b＝.
∴橢圓C的方程為＋＝1.
（2）假設(shè)存在點P，使得⊥.
當直線l的斜率不存在時，l：x＝或x＝－，
此時M，N或M，N，
∴·＝3－＝≠0，
∴當直線l的斜率不存在時，不滿足⊥.
當直線l的斜率存在時，設(shè)y＝kx＋m，
聯(lián)立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∵直線l與橢圓C相交于M，N兩點，∴Δ>0，化簡得4k2>m2－3.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.
∵·＝0，∴＋＝0，
∵7m2－12k2－12＝0.
又∵直線l與圓x2＋y2＝3相切，∴＝，
∴m2＝3＋3k2，∴21＋21k2－12k2－12＝0，
解得k2＝－1，顯然不成立，
∴在圓上不存在這樣的點P使⊥成立．
典例剖析04 探究有關(guān)字母參數(shù)的存在性問題
如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點P，離心率e＝，直線l：x＝4.
（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題意得解得故橢圓C的方程為＋＝1.
（2）由題意可設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－1)，①
代入橢圓方程，并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2≠1，
則x1＋x2＝，x1x2＝，②
在方程①中令x＝4，得點M的坐標為(4,3k)．
從而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
因為A，F(xiàn)，B三點共線，所以k＝kAF＝kBF，即＝＝k，
所以k1＋k2＝＋＝＋－
＝2k－·，③
將②代入③得，k1＋k2＝2k－·＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.
故存在常數(shù)λ＝2符合題意．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．已知圓C：(x－1)2＋y2＝，一動圓與直線x＝－相切且與圓C外切．
（1）求動圓圓心P的軌跡T的方程；
（2）若經(jīng)過定點Q(6,0)的直線l與曲線T交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的平行線與曲線T相交于點N，試問是否存在直線l，使得NA⊥NB，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設(shè)P(x，y)，分析可知動圓的圓心不能在y軸的左側(cè)，故x≥0，
因為動圓與直線x＝－相切，且與圓C外切，所以|PC|－＝，
所以|PC|＝x＋1，所以 ＝x＋1，化簡可得y2＝4x.
（2）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知，當直線l與y軸垂直時，顯然不符合題意，
故可設(shè)直線l的方程為x＝my＋6，
聯(lián)立消去x，可得y2－4my－24＝0，
顯然Δ＝16m2＋96>0，則①
所以x1＋x2＝(my1＋6)＋(my2＋6)＝4m2＋12，②
因為x1x2＝·，所以x1x2＝36，③
假設(shè)存在N(x0，y0)，使得·＝0，
由題意可知y0＝，所以y0＝2m，④
由N點在拋物線上可知x0＝，即x0＝m2，⑤
又＝(x1－x0，y1－y0)，＝(x2－x0，y2－y0)，
若·＝0，
則x1x2－x0(x1＋x2)＋x＋y1y2－y0(y1＋y2)＋y＝0，
由①②③④⑤代入上式化簡可得3m4＋16m2－12＝0，
即(m2＋6)(3m2－2)＝0，所以m2＝，故m＝±，
所以存在直線3x＋y－18＝0或3x－y－18＝0，使得NA⊥NB.
2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個端點為P，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)過點F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當l⊥x軸時，|RS|＝3.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）在x軸上是否存在一點T，使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由內(nèi)切圓的性質(zhì)，得×2c×b＝×(2a＋2c)×，所以＝.
將x＝c代入＋＝1，得y＝±，所以＝3.
又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝，故橢圓C的標準方程為＋＝1.
（2）當直線l垂直于x軸時，顯然x軸上任意一點T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱．
當直線l不垂直于x軸時，假設(shè)存在T(t,0)滿足條件，
設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)．
聯(lián)立消去y，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得①，其中Δ>0恒成立，
由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，得kTS＋kTR＝0(顯然TS，TR的斜率存在)，
即＋＝0.②
因為R，S兩點在直線y＝k(x－1)上，
所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得
＝＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0.③
將①代入③得＝＝0，則t＝4，
綜上所述，存在T(4,0)，使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱．
3．在平面直角坐標系xOy中，點F的坐標為，以線段MF為直徑的圓與x軸相切．
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）設(shè)T是E上橫坐標為2的點，OT的平行線l交E于A，B兩點，交曲線E在T處的切線于點N，求證：|NT|2＝|NA|·|NB|.
【解析】（1）設(shè)點M(x，y)，因為F，所以MF的中點坐標為.
因為以線段MF為直徑的圓與x軸相切，所以＝，即|MF|＝，
故 ＝，得x2＝2y，所以M的軌跡E的方程為x2＝2y.
（2）證明：因為T是E上橫坐標為2的點，所以由(1)得T(2,2)，所以直線OT的斜率為1.
因為l∥OT，所以可設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，m≠0.
由y＝x2，得y′＝x，則曲線E在T處的切線的斜率為y′|x＝2＝2，
所以曲線E在T處的切線方程為y＝2x－2.
由得所以N(m＋2,2m＋2)，
所以|NT|2＝[(m＋2)－2]2＋[(2m＋2)－2]2＝5m2.
由消去y，得x2－2x－2m＝0，
由Δ＝4＋8m＞0，解得m＞－.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，x1x2＝－2m.
因為N，A，B在l上，
所以|NA|＝|x1－(m＋2)|，|NB|＝|x2－(m＋2)|，
所以|NA|·|NB|＝2|x1－(m＋2)|·|x2－(m＋2)|
＝2|x1x2－(m＋2)(x1＋x2)＋(m＋2)2|
＝2|－2m－2(m＋2)＋(m＋2)2|
＝2m2，
所以|NT|2＝|NA|·|NB|.
4．如圖，在平面直角坐標系中，點F(－1，0)，過直線l：x＝－2右側(cè)的動點P作PA⊥l于點A，∠APF的平分線交x軸于點B，|PA|＝|BF|.
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線q交曲線C于M，N，試問：x軸正半軸上是否存在點E，直線EM，EN分別交直線l于R，S兩點，使∠RFS為直角？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）設(shè)P(x，y)，由平面幾何知識得＝，
即＝，化簡得＋y2＝1，
所以動點P的軌跡C的方程為＋y2＝1(x≠)．
（2）假設(shè)滿足條件的點E(n,0)(n>0)存在，
設(shè)直線q的方程為x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(－2，y3)，S(－2，y4)．
聯(lián)立消去x，得(m2＋2)y2－2my－1＝0，
則y1＋y2＝，y1y2＝－，
x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝－－＋1＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝－2＝－，
由條件知＝，y3＝－，同理y4＝－，
kRF＝＝－y3，kSF＝－y4.
因為∠RFS為直角，所以y3y4＝－1，
所以(2＋n)2y1y2＝－[x1x2－n(x1＋x2)＋n2]，
(2＋n)2＝＋＋n2，
所以(n2－2)(m2＋1)＝0，n＝，
故滿足條件的點E存在，其坐標為(，0)．

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