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09 圓錐曲線的綜合問題之定值、定點問題
◇ 知 識 鏈 接 ◇
定點、定值問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數量積、比例關系等，這些直線方程、數量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值．該類問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數與方程、向量等知識交匯，形成了過定點、定值等問題的證明．難度較大．化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量．
知識鏈接01 定點問題
（1）參數法：
①引進動點的坐標或動直線中的參數表示變化量，即確定題目中的核心變量(此處設為k)；
②利用條件找到k與過定點的曲線F(x，y)＝0之間的關系，得到關于k與x，y的等式，再研究變化量與參數何時沒有關系，找到定點；
（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關．
知識鏈接02 定值問題
（1）直接消參求定值（常見處理方法）：
①確定一個(或兩個)變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示；
②將所求表達式用核心變量進行表示(有的甚至就是核心變量)，然后進行化簡，看能否得到一個常數．
（2）從特殊到一般求定值：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
常用處理技巧：
①在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數，以便于向定值靠攏；
②巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 引進參數解決圓錐曲線中的定點問題
（1）橢圓E：＋y2＝1(a>1)的左、右頂點分別為A，B，上頂點為G，·＝8.
（ⅰ）求E的方程；
（ⅱ）設P為直線x＝6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．證明：直線CD過定點．
（2）已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F(1,0)，O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．
（ⅰ）求拋物線C的方程；
（ⅱ）若直線OA，OB的斜率之積為－，求證：直線AB過x軸上一定點．
典例剖析02 研究圖形特征處理解決圓錐曲線中的定點問題
已知拋物線C：y2＝2px (p>0)的焦點為F(1，0)，點O為坐標原點，A，B是曲線C上異于O的兩點．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線OA，OB的斜率之積為－，求證：直線AB過定點．
典例剖析03 引進參數解決圓錐曲線中的定值問題
已知Q(－1,2)，F(1,0), 動點P滿足|·|＝||.
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）過點F的直線與E交于A，B兩點，記直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，求證：k1＋k2為定值．
典例剖析04 研究特殊位置處理解決圓錐曲線中的定值問題
（1）在直角坐標系xOy中，動點P與定點F(1,0)的距離和它到定直線x＝4的距離之比是1∶2，設動點P的軌跡為E.
（ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；
（ⅱ）設過F的直線交軌跡E的弦為AB，過原點的直線交軌跡E的弦為CD，若CD∥AB，求證：為定值．
（2）已知點M是橢圓C：＋＝1 (a>b>0)上一點，F1，F2分別為C的左，右焦點，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面積為.
（ⅰ）求橢圓C的方程；
（ⅱ）設N(0,2)，過點P(－1，－2)作直線l，交橢圓C異于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，證明：k1＋k2為定值．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點A(2,2)，點B在拋物線C上，O為坐標原點，且滿足＝－2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過焦點F任作兩條相互垂直的直線l與l′，直線l與拋物線C交于P，Q兩點，直線l′與拋物線C交于M，N兩點，△OPQ的面積記為S1，△OMN的面積記為S2．
求證：＋為定值．
2．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點F(，0)，長半軸長與短半軸長的比值為2.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設不經過點B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N，若點B在以線段MN為直徑的圓上，證明：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且過點A(2,1)．
（1）求C的方程；
（2）點M，N在C上且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．
2022年下學期 高二數學 同步復習講義
09 圓錐曲線的綜合問題之定值、定點問題
◇ 知 識 鏈 接 ◇
定點、定值問題必然是在變化中所表現出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數量積、比例關系等，這些直線方程、數量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值．該類問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數與方程、向量等知識交匯，形成了過定點、定值等問題的證明．難度較大．化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數表示直線方程、數量積、比例關系等，根據等式的恒成立、數式變換等尋找不受參數影響的量．
知識鏈接01 定點問題
（1）參數法：
①引進動點的坐標或動直線中的參數表示變化量，即確定題目中的核心變量(此處設為k)；
②利用條件找到k與過定點的曲線F(x，y)＝0之間的關系，得到關于k與x，y的等式，再研究變化量與參數何時沒有關系，找到定點；
（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關．
知識鏈接02 定值問題
（1）直接消參求定值（常見處理方法）：
①確定一個(或兩個)變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示；
②將所求表達式用核心變量進行表示(有的甚至就是核心變量)，然后進行化簡，看能否得到一個常數．
（2）從特殊到一般求定值：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
常用處理技巧：
①在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數，以便于向定值靠攏；
②巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 引進參數解決圓錐曲線中的定點問題
（1）橢圓E：＋y2＝1(a>1)的左、右頂點分別為A，B，上頂點為G，·＝8.
（ⅰ）求E的方程；
（ⅱ）設P為直線x＝6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．證明：直線CD過定點．
【解析】（1）（ⅰ）由題意得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．則＝(a,1)，＝(a，－1)．
由·＝8得a2－1＝8，即a＝3. 所以E的方程為＋y2＝1.
（ⅱ）證明：設C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．
若t≠0，設直線CD的方程為x＝my＋n，由題意可知－3由于直線PA的方程為y＝(x＋3)，所以y1＝(x1＋3)．
直線PB的方程為y＝(x－3)，所以y2＝(x2－3)．
可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．
由于＋y＝1，故y＝－，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，
即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0.①
將x＝my＋n代入＋y2＝1，得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.
所以y1＋y2＝－，y1y2＝.
代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2·(m2＋9)＝0.
解得n＝－3(舍去)或n＝.
故直線CD的方程為x＝my＋，即直線CD過定點.
若t＝0，則直線CD的方程為y＝0，過點.
綜上，直線CD過定點.
（2）已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F(1,0)，O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．
（ⅰ）求拋物線C的方程；
（ⅱ）若直線OA，OB的斜率之積為－，求證：直線AB過x軸上一定點．
【解析】（2）（ⅰ）因為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標為F(1，0)，所以＝1，所以p＝2.
所以拋物線C的方程為y2＝4x.
（ⅱ）證明：
①當直線AB的斜率不存在時，設A，B.
因為直線OA，OB的斜率之積為－，所以·＝－，化簡得t2＝32.
所以A(8，t)，B(8，－t)，此時直線AB的方程為x＝8.
②當直線AB的斜率存在時，設其方程為y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯立消去x，化簡得ky2－4y＋4b＝0.所以yAyB＝，
因為直線OA，OB的斜率之積為－，所以·＝－，
整理得xAxB＋2yAyB＝0. 即·＋2yAyB＝0，
解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32. 所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，
所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)． 綜上所述，直線AB過定點(8,0)．
典例剖析02 研究圖形特征處理解決圓錐曲線中的定點問題
已知拋物線C：y2＝2px (p>0)的焦點為F(1，0)，點O為坐標原點，A，B是曲線C上異于O的兩點．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線OA，OB的斜率之積為－，求證：直線AB過定點．
【解析】（1）∵焦點為F(1,0)，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x.
（2）證明　∵直線OA，OB的斜率之積為－，
∴設直線OA的方程為y＝kx，直線OB的方程為y＝－x.
聯立得A，同理B(16k2，－8k)．
由拋物線關于x軸對稱可知定點在x軸上，
那么A，B橫坐標相同時的橫坐標即為定點的橫坐標．
令＝16k2，解得k2＝，則＝16k2＝8，點M(8,0)為直線AB過的定點．
下面證明直線AB過M點．
∵＝，＝(16k2－8，－8k)，
由·(－8k)＝(16k2－8)·可知向量與共線，∴直線AB過定點M.
典例剖析03 引進參數解決圓錐曲線中的定值問題
已知Q(－1,2)，F(1,0), 動點P滿足|·|＝||.
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）過點F的直線與E交于A，B兩點，記直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，求證：k1＋k2為定值．
【解析】（1）設P(x，y)，則＝(－1－x,2－y)，＝(1,0)，＝(1－x，－y)．
由|·|＝||知，|－1－x|＝，化簡得y2＝4x，
即動點P的軌跡E的方程為y2＝4x.
（2）證明：設過點F(1,0)的直線為x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－4my－4＝0，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∵k1＋k2＝＋，x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，
∴k1＋k2＝＋＝
＝，
將y1＋y2＝4m，y1y2＝－4代入上式，得k1＋k2＝＝－2，
故k1＋k2為定值－2.
典例剖析04 研究特殊位置處理解決圓錐曲線中的定值問題
（1）在直角坐標系xOy中，動點P與定點F(1,0)的距離和它到定直線x＝4的距離之比是1∶2，設動點P的軌跡為E.
（ⅰ）求動點P的軌跡E的方程；
（ⅱ）設過F的直線交軌跡E的弦為AB，過原點的直線交軌跡E的弦為CD，若CD∥AB，求證：為定值．
【解析】（1）（ⅰ）設點P (x，y)，由題意得＝，將兩邊平方，并化簡得＋＝1，
故軌跡E的方程是＋＝1.
（ⅱ）證明：
①當直線AB的斜率不存在時，易求得|AB|＝3，|CD|＝2，則＝4.
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的斜率為k，依題意知k≠0，
則直線AB的方程為y＝k(x－1)，直線CD的方程為y＝kx.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)
由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.
由整理得x2＝，則|x3－x4|＝ .
|CD|＝×|x3－x4|＝4.
∴＝·＝4. 綜合①②知＝4，為定值．
（2）已知點M是橢圓C：＋＝1 (a>b>0)上一點，F1，F2分別為C的左，右焦點，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面積為.
（ⅰ）求橢圓C的方程；
（ⅱ）設N(0,2)，過點P(－1，－2)作直線l，交橢圓C異于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，證明：k1＋k2為定值．
【解析】（2）（ⅰ）在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin 60°＝，得|MF1||MF2|＝.
由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos 60°
＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|(1＋cos 60°)，
解得|MF1|＋|MF2|＝4. 從而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4，即a＝2.
由|F1F2|＝4，得c＝2，從而b＝2，故橢圓C的方程為＋＝1.
（ⅱ）證明：
當直線l的斜率不存在時，可得A，B，得k1＋k2＝4.
當直線l的斜率存在時，設斜率為k，則其方程為y＋2＝k(x＋1)，
由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝.
從而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)·＝4.
綜上，k1＋k2為定值．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點A(2,2)，點B在拋物線C上，O為坐標原點，且滿足＝－2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過焦點F任作兩條相互垂直的直線l與l′，直線l與拋物線C交于P，Q兩點，直線l′與拋物線C交于M，N兩點，△OPQ的面積記為S1，△OMN的面積記為S2．
求證：＋為定值．
【解析】（1）由＝－2，得＋＝－，即＝，
∴點A為OB的中點，又A(2,2)，∴B(4,4)，又點B在拋物線C上，
將其坐標代入y2＝2px，解得p＝2，∴所求拋物線的方程為y2＝4x.
（2）證明：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
則△OPQ的面積S1＝·|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|，
△OMN的面積S2＝·|OF|·|y3－y4|＝|y3－y4|.
依題意，設直線l：x＝my＋1(m≠0)，則l′：x＝－y＋1.
將直線l與拋物線的方程聯立，得消去x，得y2－4my－4＝0，
∴Δ＝16(m2＋1)＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
∴|y1－y2|＝＝4.
同理，可得|y3－y4|＝4 ＝.
∴＋＝＋＝，為定值．
2．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點F(，0)，長半軸長與短半軸長的比值為2.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設不經過點B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N，若點B在以線段MN為直徑的圓上，證明：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
【解析】（1）由題意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，
∴橢圓C的標準方程為＋y2＝1.
（2）證明：
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
聯立消去y，可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
∴Δ＝16(4k2＋1－m2)＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.
∵點B在以線段MN為直徑的圓上，∴·＝0.
∵·＝(x1，kx1＋m－1)·(x2，kx2＋m－1)
＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，
∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0，整理，得5m2－2m－3＝0，
解得m＝－或m＝1(舍去)．∴直線l的方程為y＝kx－.
易知當直線l的斜率不存在時，不符合題意．
故直線l過定點，且該定點的坐標為.
3．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且過點A(2,1)．
（1）求C的方程；
（2）點M，N在C上且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．
【解析】（1）由題意得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3. 所以C的方程為＋＝1.
（2）證明：設M(x1，y1)，N(x2，y2)．
若直線MN與x軸不垂直，設直線MN的方程為y＝kx＋m，
代入＋＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是x1＋x2＝－，x1x2＝.①
由AM⊥AN知，·＝0，故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
將①代入上式可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0.
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因為A(2,1)不在直線MN上，所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1.
于是MN的方程為y＝k－(k≠1)．所以直線MN過點P.
若直線MN與x軸垂直，可得N(x1，－y1)．
由·＝0得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
又＋＝1，可得3x－8x1＋4＝0.解得x1＝2(舍去)，x1＝.
此時直線MN過點P.
令Q為AP的中點，即Q.
若D與P不重合，則由題設知AP是Rt△ADP的斜邊，故|DQ|＝|AP|＝.
若D與P重合，則|DQ|＝|AP|.
綜上，存在點Q，使得|DQ|為定值．

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