資源簡介

等比數(shù)列及其前n項和
◇ 知 識 鏈 接 ◇
知識鏈接01 等比列的有關概念
（1）定義 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示．
（2）符號語言：＝q (常數(shù))(n≥2，n∈N*)或＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
（3）等比中項：若三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，
則G叫做a與b的等比中項，且有G2＝ab >0．
知識鏈接02 等比數(shù)列的通項公式
（1）an＝a1qn－1＝·qn；
（2）an＝am·qn－m(m，n∈N*) ；
（3）an＝B·qn．
知識鏈接03 等比數(shù)列公比的求法
（1）q＝＝……＝； （2）qn-m＝ ．
知識鏈接04 等比數(shù)列的單調性
若或則等比{an}遞增； 若或則等比{an}遞減．
知識鏈接05 等比數(shù)列的前n項和公式
（1）Sn＝；
（2）Sn＝＝－qn＋( q≠1)；
（3）Sn＝－A·qn＋A(其中A＝≠0，q≠1)．
知識鏈接06 判斷數(shù)列{an}是等比數(shù)列的常用方法
（1）定義法：對任意n∈N*，是同一常數(shù)．
（2）中項法：對任意n≥2，n∈N*，滿足an2＝an＋1·an－1.
（3）通項法：對任意n∈N*，都滿足an＝B·qn (B，q是不為0的常數(shù))．
（4） Sn 法：對任意n∈N*，都滿足Sn＝－A·qn＋A(其中A≠0，q≠1)．
知識鏈接07 等比數(shù)列的性質 已知{an}為等比數(shù)列，其公差為d，前n項和為Sn．
（1）若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an．
（2）ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公比為qm的等比數(shù)列．
（3）數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)也是等比數(shù)列且公比為qm．
（4）若Sn＝A·qn＋B，則A＋B＝0．
（5）若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比數(shù)列．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 等比數(shù)列基本量的運算
（1）設等比{an}的前n項和為Sn，若S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，則a3＝___．
（2）已知等比{an}的前n項和為Sn，若a2＝，＋＋＝，則S3等于_____．
（3）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2＝1，a5＝－，若Sk＝－，則k＝________．
（4）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則＝_____．
（5）已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項之和S3＝21，則公比q的值是_____．
（6）數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于________．
典例剖析02 等比數(shù)列的判定與證明
（1）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝________．
（2）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝4an＋3n－1，bn＝an＋n.
證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．
（3）已知數(shù)列{an}，{cn}滿足cn＝2an＋1＋an. 若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，試判斷數(shù)列{cn}是否為等比數(shù)列，并說明理由．
（4）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.
（ⅰ）證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；
（ⅱ）若a1＝，a2＝，求{an}的通項公式．
典例剖析03 等比數(shù)列的性質及其應用
（1）等比數(shù)列{an}中，a3a7a15＝6，a8＝3，則a9＝________．
（2）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a2a6＋2a＝π，則tan(a3·a5)等于________．
（3）在等比數(shù)列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，
則＋＋…＋的值為________．
（4）設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝，則＝________．
（5）設{an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝_____．
（6）在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，
則n＝________．
（7）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于________．
（8）已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝________．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．在正項等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a3＝2a2＋3，則其前3項的和S3＝________．
2．在正項等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a4·a6＝64，則的值是________．
3．設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝S1＋2S2，且a2＝3，則a5等于________．
4．已知等比數(shù)列{an}中，a4＋a8＝－2，則a6(a2＋2a6＋a10)的值為________．
5．設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且anan＋1＝，則＝________．
6．已知數(shù)列a1，，…，，…是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則log2an等于________．
7．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a1＝1，且S4＝a5－1，則公比q＝________．
8．已知在遞增的等比數(shù)列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，則＝________．
9．已知公比不為1的等比數(shù)列{an}，且a＝a7，a6＋2a4＝3a5，則數(shù)列的通項公式an＝________．
10．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝，a＝a4，則S5＝________．
11．如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個樹狀圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有1 023個正方形，且其最大的正方形的邊長為，則其最小正方形的邊長為 ．
12．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n＋a，則數(shù)列{a}的前n項和為(　　)
13．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3an－2n(n∈N*)，若{an＋λ}成等比數(shù)列，則實數(shù)λ＝________．
14．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，且＝2＋(－1)n(n∈N*)，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S100等于________．
15．已知{an}是遞減的等比數(shù)列，且a2＝2，a1＋a3＝5，則{an}的通項公式為 ；
a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________．
16．已知數(shù)列{an}與均為等差數(shù)列(n∈N*)，且a1＝2，則an＝________；
a1＋2＋3＋…＋n＝________．
17．(多選)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，則有(　　)
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}為等比數(shù)列
C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D．a(chǎn)n＝
18．(多選)設等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結論正確的是(　　)
A．數(shù)列是公比為q2的等比數(shù)列 B．數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列
C．數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列 D．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列
19．(多選)已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，且＋＝，則a5的值可能是(　　)
A．2 B．4 C. D．
20．(多選)已知數(shù)列{an}不是常數(shù)列，其前n項和為Sn，則下列選項正確的是(　　)
A．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn>0恒成立，則{an}為遞增數(shù)列
B．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1>0，S3＝S10，則Sn的最大值在n＝6或7時取得
C．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S2 021·a2 021>0恒成立
D．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則{}也為等比數(shù)列
21．(多選)在等比{an}中，公比為q，其前n項積為Tn，并且滿足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，下列選項中正確的是(　　)
A．0＜q＜1 B．a(chǎn)99·a101－1＜0
C．T100的值是Tn中最大的 D．使Tn＞1成立的最大自然數(shù)n等于198
22．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設bn＝.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）求{an}的通項公式．
23．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an－1}的前n項和Tn.
24．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，記T2n為{an}的前2n項的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
（1）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；
（2）求T2n.
25．已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列，數(shù)列{anbn}的前n項和為.
（1）分別求出數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（1）設數(shù)列的前n項和為Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求實數(shù)m的最小值．
26．等差數(shù)列{an}(n∈N*)中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且其中的任何兩個數(shù)都不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）請選擇一個可能的{a1，a2，a3}組合，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）記（1）中您選擇的{an}的前n項和為Sn，判斷是否存在正整數(shù)k，使得a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，若有，請求出k的值；若沒有，請說明理由．
2022年下學期 高二數(shù)學 同步復習講義
14 等比數(shù)列及其前n項和
◇ 知 識 鏈 接 ◇
知識鏈接01 等比列的有關概念
（1）定義 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示．
（2）符號語言：＝q (常數(shù))(n≥2，n∈N*)或＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．
（3）等比中項：若三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，
則G叫做a與b的等比中項，且有G2＝ab >0．
知識鏈接02 等比數(shù)列的通項公式
（1）an＝a1qn－1＝·qn；
（2）an＝am·qn－m(m，n∈N*) ；
（3）an＝B·qn．
知識鏈接03 等比數(shù)列公比的求法
（1）q＝＝……＝； （2）qn-m＝ ．
知識鏈接04 等比數(shù)列的單調性
若或則等比{an}遞增； 若或則等比{an}遞減．
知識鏈接05 等比數(shù)列的前n項和公式
（1）Sn＝；
（2）Sn＝＝－qn＋( q≠1)；
（3）Sn＝－A·qn＋A(其中A＝≠0，q≠1)．
知識鏈接06 判斷數(shù)列{an}是等比數(shù)列的常用方法
（1）定義法：對任意n∈N*，是同一常數(shù)．
（2）中項法：對任意n≥2，n∈N*，滿足an2＝an＋1·an－1.
（3）通項法：對任意n∈N*，都滿足an＝B·qn (B，q是不為0的常數(shù))．
（4） Sn 法：對任意n∈N*，都滿足Sn＝－A·qn＋A(其中A≠0，q≠1)．
知識鏈接07 等比數(shù)列的性質 已知{an}為等比數(shù)列，其公差為d，前n項和為Sn．
（1）若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an．
（2）ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公比為qm的等比數(shù)列．
（3）數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)也是等比數(shù)列且公比為qm．
（4）若Sn＝A·qn＋B，則A＋B＝0．
（5）若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比數(shù)列．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 等比數(shù)列基本量的運算
（1）設等比{an}的前n項和為Sn，若S1＝－2，S3＝－6，且公比q≠1，則a3＝___．
（2）已知等比{an}的前n項和為Sn，若a2＝，＋＋＝，則S3等于_____．
（3）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2＝1，a5＝－，若Sk＝－，則k＝________．
（4）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則＝_____．
（5）已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項之和S3＝21，則公比q的值是_____．
（6）數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于________．
【答案】（1）－8 （2） （3）5 （4）2－21－n （5）1或－ （6）4
典例剖析02 等比數(shù)列的判定與證明
（1）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝________．
（2）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝4an＋3n－1，bn＝an＋n.
證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．
【答案】（1）n－1 （2）略
（3）已知數(shù)列{an}，{cn}滿足cn＝2an＋1＋an. 若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，試判斷數(shù)列{cn}是否為等比數(shù)列，并說明理由．
【解析】 設等比數(shù)列{an}的公比為q，則cn＝2an＋1＋an＝2anq＋an＝(2q＋1)an，
當q＝－時，cn＝0，數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列；
當q≠－時，因為cn≠0，所以＝＝q，所以數(shù)列{cn}是等比數(shù)列．
（4）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.
（ⅰ）證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；
（ⅱ）若a1＝，a2＝，求{an}的通項公式．
【解析】（ⅰ）證明　因為an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因為數(shù)列{an}中各項均為正數(shù)，所以an＋1＋an＞0，所以＝3，
所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列．
（ⅱ）由（ⅰ）知數(shù)列{an＋an＋1}是以a1＋a2為首項，3為公比的等比數(shù)列，
且a1＝，a2＝，則an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因為an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)＝(－1)2(an－3an－1)＝…＝(－1)n(a2－3a1)，
又因為a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，an＝·3n－1.
典例剖析03 等比數(shù)列的性質及其應用
（1）等比數(shù)列{an}中，a3a7a15＝6，a8＝3，則a9＝________．
（2）已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a2a6＋2a＝π，則tan(a3·a5)等于________．
（3）在等比數(shù)列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，
則＋＋…＋的值為________．
（4）設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝，則＝________．
（5）設{an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝_____．
（6）在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，
則n＝________．
（7）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于________．
（8）已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝________．
【答案】（1） （2） （3）2 （4） （5）32 （6）14 （7）60 （8）2
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．在正項等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a3＝2a2＋3，則其前3項的和S3＝________．
【答案】 13
2．在正項等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a4·a6＝64，則的值是________．
【答案】 16
3．設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝S1＋2S2，且a2＝3，則a5等于________．
【答案】 24
4．已知等比數(shù)列{an}中，a4＋a8＝－2，則a6(a2＋2a6＋a10)的值為________．
【答案】 4
5．設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且anan＋1＝，則＝________．
【答案】
6．已知數(shù)列a1，，…，，…是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則log2an等于________．
【答案】
7．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a1＝1，且S4＝a5－1，則公比q＝________．
【答案】 2或－1
8．已知在遞增的等比數(shù)列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，則＝________．
【答案】
9．已知公比不為1的等比數(shù)列{an}，且a＝a7，a6＋2a4＝3a5，則數(shù)列的通項公式an＝________．
【答案】 2n＋1
10．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝，a＝a4，則S5＝________．
【答案】
11．如圖所示，正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個樹狀圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有1 023個正方形，且其最大的正方形的邊長為，則其最小正方形的邊長為 ．
【答案】
12．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n＋a，則數(shù)列{a}的前n項和為(　　)
【答案】
13．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3an－2n(n∈N*)，若{an＋λ}成等比數(shù)列，則實數(shù)λ＝________．
【答案】 2
14．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝3，且＝2＋(－1)n(n∈N*)，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則S100等于________．
【答案】 ＋50
15．已知{an}是遞減的等比數(shù)列，且a2＝2，a1＋a3＝5，則{an}的通項公式為 ；
a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)＝________．
【答案】 an＝4×n－1　 ×
16．已知數(shù)列{an}與均為等差數(shù)列(n∈N*)，且a1＝2，則an＝________；
a1＋2＋3＋…＋n＝________．
【答案】 2n　 2n＋1－2
17．(多選)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，則有(　　)
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}為等比數(shù)列
C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D．a(chǎn)n＝
【答案】 ABD
18．(多選)設等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結論正確的是(　　)
A．數(shù)列是公比為q2的等比數(shù)列 B．數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列
C．數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列 D．數(shù)列是公比為的等比數(shù)列
【解析】選AD　對于A，由＝q2(n≥2)知數(shù)列{anan＋1}是公比為q2的等比數(shù)列；
對于B，當q＝－1時，數(shù)列{an＋an＋1}的項中有0，不是等比數(shù)列；
對于C，若q＝1時，數(shù)列{an－an＋1}的項中有0，不是等比數(shù)列；
對于D，＝＝，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故選A、D.
19．(多選)已知數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，且＋＝，則a5的值可能是(　　)
A．2 B．4 C. D．
【解析】選ABD　依題意，數(shù)列{an}是正項等比數(shù)列，∴a3＞0，a7＞0，a5＞0，
∴＝＋≥2 ＝，因為a5＞0，
所以上式可化為a5≥2.故選A、B、D.
20．(多選)已知數(shù)列{an}不是常數(shù)列，其前n項和為Sn，則下列選項正確的是(　　)
A．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn>0恒成立，則{an}為遞增數(shù)列
B．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1>0，S3＝S10，則Sn的最大值在n＝6或7時取得
C．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S2 021·a2 021>0恒成立
D．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則{}也為等比數(shù)列
【解析】選ABC
對于A，若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn>0恒成立，則公差d>0，故{an}為遞增數(shù)列，故A正確；
對于B，若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1>0，設公差為d，由S3＝S10，得3a1＋d＝10a1＋d，
即a1＝－6d，故an＝(n－7)d，所以當n≤7時，an≥0，a7＝0，
故Sn的最大值在n＝6或7時取得，故B正確；
對于C，若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S2 021·a2 021＝·a1·q2 020＝a·q2 020·>0恒成立，故C正確；
對于D，若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則，所以不是常數(shù)，
故{}不是等比數(shù)列，故D錯誤． 故選ABC.
21．(多選)在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其前n項積為Tn，并且滿足a1＞1，a99·a100－1＞0，＜0，下列選項中正確的是(　　)
A．0＜q＜1 B．a(chǎn)99·a101－1＜0
C．T100的值是Tn中最大的 D．使Tn＞1成立的最大自然數(shù)n等于198
【解析】選ABD　
對于A，∵a99a100－1＞0，∴a·q197＞1，∴(a1·q98)2·q＞1.
∵a1＞1，∴q＞0.又∵＜0，∴a99＞1，且a100＜1.∴0＜q＜1，故A正確；
對于B，∵a＝a99·a101，a100<1，∴0＜a99·a101＜1，即 a99·a101－1＜0，故B正確；
對于C，由于T100＝T99·a100，而0＜a100＜1，故有 T100＜T99，故C錯誤；
對于D，T198＝a1·a2·…·a198＝(a1·a198)(a2·a197)·…·(a99·a100)＝(a99·a100)99＞1，
T199＝a1·a2·…·a199＝(a1·a199)(a2·a198)…(a99·a101)·a100＜1，故D正確．故選A、B、D.
22．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設bn＝.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（3）求{an}的通項公式．
【解析】（1）由條件可得an＋1＝an，
將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．理由如下：
由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（3）由（2）可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
23．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an－1}的前n項和Tn.
【解析】（1）證明　2Sn＝－an＋n，
當n≥2時，2Sn－1＝－an－1＋n－1，
兩式相減，得2an＝－an＋an－1＋1，即an＝an－1＋.
∴an－＝，∴數(shù)列為等比數(shù)列．
（2）由2S1＝－a1＋1，得a1＝，
由（1）知，數(shù)列是以－為首項，為公比的等比數(shù)列．
∴an－＝－n－1＝－n，∴an＝－n＋，∴an－1＝－n－，
∴Tn＝－＝－.
24．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，記T2n為{an}的前2n項的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
（1）判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；
（2）求T2n.
【解析】（1）∵an·an＋1＝n，∴an＋1·an＋2＝n＋1，∴＝，即an＋2＝an.
∵bn＝a2n＋a2n－1，
∴＝＝＝，
∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝，∴b1＝a1＋a2＝.
∴{bn}是首項為，公比為的等比數(shù)列．∴bn＝×n－1＝.
（2）由（1）可知，an＋2＝an，
∴a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項，以為公比的等比數(shù)列；
a2，a4，a6，…是以a2＝為首項，以為公比的等比數(shù)列．
∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－.
25．已知等比數(shù)列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列，數(shù)列{anbn}的前n項和為.
（1）分別求出數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（1）設數(shù)列的前n項和為Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求實數(shù)m的最小值．
【解析】（1）因為a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差數(shù)列，所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因為a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)，
兩式相減，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，因為an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，
當n＝1時，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，所以bn＝n(n∈N*)．
（1）因為數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以Sn＝＝<.
因為 n∈N*，Sn≤m恒成立，所以m≥，即實數(shù)m的最小值為.
26．等差數(shù)列{an}(n∈N*)中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且其中的任何兩個數(shù)都不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）請選擇一個可能的{a1，a2，a3}組合，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）記（1）中您選擇的{an}的前n項和為Sn，判斷是否存在正整數(shù)k，使得a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，若有，請求出k的值；若沒有，請說明理由．
【解析】（1）由題意可知，有兩種組合滿足條件：
①a1＝8，a2＝12，a3＝16，此時等差數(shù)列{an}，a1＝8，d＝4，
所以其通項公式為an＝8＋(n－1)×4＝4n＋4；
②a1＝2，a2＝4，a3＝6，此時等差數(shù)列{an}，a1＝2，d＝2，
所以其通項公式為an＝2n.
（2）若選擇①，Sn＝＝2n2＋6n. 則Sk＋2＝2(k＋2)2＋6(k＋2)＝2k2＋14k＋20.
若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，則a＝a1·Sk＋2，
即(4k＋4)2＝8(2k2＋14k＋20)，整理得5k＝－9，
此方程無正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)k，使a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列．
若選擇②，Sn＝＝n2＋n，則Sk＋2＝(k＋2)2＋(k＋2)＝k2＋5k＋6，
若a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列，則a＝a1·Sk＋2，
即(2k)2＝2(k2＋5k＋6)，整理得k2－5k－6＝0，
因為k為正整數(shù)，所以k＝6.
故存在正整數(shù)k＝6，使a1，ak，Sk＋2成等比數(shù)列．

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