資源簡介

數列的通項公式的求法
◇ 知 識 鏈 接 ◇
知識鏈接01 形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函數) 累加法
an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1
知識鏈接02 形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的函數) 累乘法
an＝··…···a1
知識鏈接03 利用an＝求通項
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
知識鏈接04 形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型
（1）若c＝1，數列{an}為等差數列；
（2）若d＝0，數列{an}為等比數列；
（3）若c≠1且d≠0，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求．
方法如下：設an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，
與題設an＋1＝can＋d比較系數得λ＝(c≠1)，
所以an＋＝c(n≥2)，
即構成以a1＋為首項，以c為公比的等比數列．
知識鏈接05 形如an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)型
方法如下：等式兩邊同時除以pn＋1，即得－＝q，則數列為等差數列．
知識鏈接06 形如an＋1＝pan＋q·rn＋1(p≠0,1，p≠r，q≠0)型
方法如下：設an＋1＋λ·rn＋1＝c(an＋λ·rn)，求λ轉化成則數列為等比數列．
知識鏈接07 形如an＋1＝(r，p，q為常數，r>0，p，q，an≠0)型
方法如下：等式兩邊同時取倒數變形構造出an＋1＝Aan＋B(A，B是常數)，進而求解．
知識鏈接08 形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型
方法如下：設an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，則x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個根．
若1是方程的根，則直接構造數列{an－an－1}，
若1不是方程的根，則需要構造兩個數列，采取消元的方法求數列{an}．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 （1）已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n，則an＝________．
（2）已知數列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數列{an}的通項公式是 ．
（3）數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an＋1，則數列的通項公式an＝________．
（4）設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝________．
（5）設Sn是{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列結論正確的是___．
①an＝ ②an＝③Sn＝－ ④數列是等差數列
典例剖析02 （1）在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則通項公式an＝________．
（2）已知a1＝2，an＋1＝2nan，則數列{an}的通項公式an＝________．
（3）若{an}滿足2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0，且an>0，a1＝1，
則an＝____________．
（4）已知{an}的前n項和為Sn，其首項a1＝1，且滿足3Sn＝(n＋2)an，則an＝_____．
典例剖析03 （1）在數列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，求{an}的通項公式．
（2）已知正項數列{an}滿足a1＝4，an＋1＝2an＋2n＋1，求{an}的通項公式．
（3）在數列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求{an}的通項公式．
典例剖析03 （1）已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求{an}的通項公式．
（2）在數列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，求{bn}的通項公式．
（3）在數列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，求{an}的通項公式．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．已知數列{an}的前n項和為Sn＝－2n2＋1，則{an}的通項公式為an＝ ．
2．若數列{an}滿足a1＝1，an＋1－an－1＝2n，則an＝ ．
3．已知數列a1＝2，an＝1－(n≥2)．則a2 022＝＝ ．
4．設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*.則通項公式an＝ .
5．已知在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，求an.
6．在數列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n＋1(n∈N*)，則通項公式an＝ ．
7．已知在數列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求這個數列的通項公式．
2022年下學期 高二數學 同步復習講義
15 數列的通項公式的求法
◇ 知 識 鏈 接 ◇
知識鏈接01 形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函數) 累加法
an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＋a1
知識鏈接02 形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的函數) 累乘法
an＝··…···a1
知識鏈接03 利用an＝求通項
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
知識鏈接04 形如an＋1＝can＋d(c≠0，其中a1＝a)型
（1）若c＝1，數列{an}為等差數列；
（2）若d＝0，數列{an}為等比數列；
（3）若c≠1且d≠0，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求．
方法如下：設an＋1＋λ＝c(an＋λ)，得an＋1＝can＋(c－1)λ，
與題設an＋1＝can＋d比較系數得λ＝(c≠1)，
所以an＋＝c(n≥2)，
即構成以a1＋為首項，以c為公比的等比數列．
知識鏈接05 形如an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)型
方法如下：等式兩邊同時除以pn＋1，即得－＝q，則數列為等差數列．
知識鏈接06 形如an＋1＝pan＋q·rn＋1(p≠0,1，p≠r，q≠0)型
方法如下：設an＋1＋λ·rn＋1＝c(an＋λ·rn)，求λ轉化成則數列為等比數列．
知識鏈接07 形如an＋1＝(r，p，q為常數，r>0，p，q，an≠0)型
方法如下：等式兩邊同時取倒數變形構造出an＋1＝Aan＋B(A，B是常數)，進而求解．
知識鏈接08 形如an＋1＝pan＋qan－1，其中a1＝a，a2＝b型
方法如下：設an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，則x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個根．
若1是方程的根，則直接構造數列{an－an－1}，
若1不是方程的根，則需要構造兩個數列，采取消元的方法求數列{an}．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 （1）已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n，則an＝________．
（2）已知數列{an}的前n項和Sn＝2n－3，則數列{an}的通項公式是 ．
（3）數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an＋1，則數列的通項公式an＝________．
（4）設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝________．
（5）設Sn是{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則下列結論正確的是___．
①an＝ ②an＝③Sn＝－ ④數列是等差數列
【答案】（1）2n＋1 （2）an＝（3）－2n－1 （4） （5）②③④
典例剖析02 （1）在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則通項公式an＝________．
（2）已知a1＝2，an＋1＝2nan，則數列{an}的通項公式an＝________．
（3）若{an}滿足2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0，且an>0，a1＝1，
則an＝____________．
（4）已知{an}的前n項和為Sn，其首項a1＝1，且滿足3Sn＝(n＋2)an，則an＝_____．
【答案】（1）2＋ln n （2） （3）n·2n－1 （4）
典例剖析03 （1）在數列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，求{an}的通項公式．
（2）已知正項數列{an}滿足a1＝4，an＋1＝2an＋2n＋1，求{an}的通項公式．
（3）在數列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求{an}的通項公式．
【解析】（1）∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，
又a1＋3＝4，∴數列{an＋3}是首項為4，公比q＝2的等比數列，
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3．
【解析】（2）∵an＋1＝2an＋2n＋1，∴＝＋1，即－＝1，
又∵＝＝2，∴數列是首項為2，公差為1的等差數列，
∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝(n＋1)·2n．
【解析】（3）∵an＋1＝2an＋3n，∴an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)，
即an＋1＝2an－λ·3n，∴λ＝－1，即an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，
又a1－3＝－2，∴{an－3n}是首項為－2，公比q＝2的等比數列，
∴an－3n＝－2·2n－1＝－2n，∴an＝3n－2n．
典例剖析03 （1）已知數列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求{an}的通項公式．
（2）在數列{bn}中，b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，求{bn}的通項公式．
（3）在數列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，求{an}的通項公式．
【解析】（1）∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，
又a1＝1，則＝1，∴是以1為首項，為公差的等差數列．
∴＝＋(n－1)×＝＋＝，∴an＝(n∈N*)．
【解析】（2）對bn＋1＝的兩邊同時取倒數，得＝，即＝2·＋3，
因此＋3＝2·，＋3＝2，
故是以2為首項、2為公比的等比數列，
于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝(n∈N*)．
【解析】（3）an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∵a2－a1＝2，
∴{an－an－1}為首項為2，公比也為2的等比數列，an－an－1＝2n－1(n>1)，
n>1時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1
＝＝2n－1.
顯然n＝1時滿足上式，∴an＝2n－1．
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．已知數列{an}的前n項和為Sn＝－2n2＋1，則{an}的通項公式為an＝ ．
【答案】　
2．若數列{an}滿足a1＝1，an＋1－an－1＝2n，則an＝ ．
【解析】 an＝2n＋n－2．
3．已知數列a1＝2，an＝1－(n≥2)．則a2 022＝＝ ．
【解析】 數列{an}滿足an＝an＋3，所以a2 022＝a3＝－1.
4．設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*.則通項公式an＝ .
【解析】 因為Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1. 因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，＝2.
因為a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首項為2，公比為2的等比數列．
所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也滿足此式，故an＝2n－1(n∈N*)．
5．已知在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，求an.
【解析】 ∵＝3·＋1，∴＋＝3，＋＝1，
∴是以1為首項，3為公比的等比數列，
∴＋＝3n－1，∴＝3n－1－，∴an＝(n∈N*)．
6．在數列{an}中，a1＝，且an＋1＝－2an＋3n＋1(n∈N*)，則通項公式an＝ ．
【解析】兩邊同時除以3n＋1，得到＝－·＋1.
令bn＝，則bn＋1＝－bn＋1.顯然有bn＋1－＝－，b1－＝－，
故是以－為首項，－為公比的等比數列．
因此bn－＝－·n－1，可得an＝－·(－2)n－1＋·3n＋1(n∈N*)．
7．已知在數列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2(n≥3)，求這個數列的通項公式．
【解析】 ∵an＝2an－1＋3an－2，∴an＋an－1＝3(an－1＋an－2)，
又a1＋a2＝7，{an＋an－1}形成首項為7，公比為3的等比數列，
則an＋an－1＝7×3n－2，①
又an－3an－1＝－(an－1－3an－2)，a2－3a1＝－13，
∴{an－3an－1}形成首項為－13，公比為－1的等比數列，
則an－3an－1＝(－13)·(－1)n－2，②
①×3＋②得，4an＝7×3n－1＋13·(－1)n－1，∴an＝×3n－1＋(－1)n－1．

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