資源簡介

混合數列的前n項和
◇ 知 識 鏈 接 ◇
數列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數列或等比數列或可求前n項和的數列求和．
知識鏈接01 公式法
（1）等差數列的前n項和公式Sn＝＝na1＋d.
（2）等比數列的前n項和公式Sn＝
知識鏈接02 分組或并項求和
知識鏈接03 裂項相消求和
（1）三種常見的拆項公式
＝－；
＝；
＝－．
（2）基本步驟
（3）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發現被消去項的規律為止．
（4）消項規律：
消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項．
知識鏈接04 錯位相減求和
（1）適用條件：
若{an}是公差為d(d≠0)的等差
數列，{bn}是公比為q(q≠1)的
等比數列，求數列{an·bn}的前
n項和Sn；
（2）基本步驟
知識鏈接05 倒序相加法：如果一個數列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 分組求和與并項求和
（1）求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2 021－2 023＝________．
（2）已知數列{an}滿足an＝(－1)nn2，則a1＋a2＋a3＋…＋a2n＋1＝________．
（3）在數列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝則數列{an}的前20項和為________．
（4）設等差{an}的公差為d，等比{bn}的公比為q，且a1＝b1＝1，b4＝64，q＝2d．
（ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（ⅱ）記cn＝a2n－1＋b2n，求數列{cn}的前n項和Sn．
典例剖析02 裂項相消求和
（1）已知函數f(x)＝xα的圖象過點(4,2)，令an＝，n∈N*．記數列{an}的前n項和為Sn，則S2 020＝________．
（2）已知公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4＝26，a1，a3，a11成等比數列．
（ⅰ）求數列{an}的通項公式；（ⅱ）若數列的前n項和為Tn，求Tn.
（3）在①a2，a3，a4－4成等差數列；②S1，S2＋2，S3成等差數列中任選一個，補充在下列的問題中，并解答．在公比為2的等比數列{an}中， ．
（ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（ⅱ）若bn＝(n＋1)log2an，求數列的前n項和Tn．
注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
典例剖析03 錯位相減求和
已知Sn為等差數列{an}的前n項和，a3＝5，S7＝49.
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn＝，Tn為數列{bn}的前n項和，求Tn.
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．數列{1＋2n－1}的前n項和為(　　)
2．數列{an}中，an＝，若{an}的前n項和為，則項數n為(　　)
3．數列{an}的通項公式為an＝，若{an}的前n項和為24，則n＝(　　)
4．已知數列{an}的通項公式an＝，則數列{an}的前n項和Sn＝ .
5．在數列{an}中a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，則S60的值為(　　)
6．設y＝f(x)是一次函數，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數列，則f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)
8．已知數列{an}的通項公式為an＝(－1)n(2n－1)，則數列{an}的前n項和Sn＝ .
9．已知Tn為數列的前n項和，若m>T10＋1 013恒成立，則整數m的最小值為(　　)
10．設數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，則S2n－1＝ .
11．設Sn是數列{an}的前n項和，且a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，則Sn＝ ，數列的前n項和為 ．
12．已知函數f(x)＝x2cos ，數列{an}中，an＝f(n)＋f(n＋1)(n∈N*)，
則數列{an}的前40項之和S40＝ .
13．已知數列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝ .
14．(多選)數列{an}滿足a1＝1，且對任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，則(　　)
A．an＝ B．數列的前100項和為
C．數列的前100項和為 D．數列{an}的第100項為50 050
15．已知數列{an}的前n項和為Sn，且2an－Sn＝2，記數列的前n項和為Tn，若對于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，則實數k的取值范圍為(　　)
A. B． C. D．
16．已知公比大于1的等比數列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.
（1）求{an}的通項公式；
（2）記bm為{an}在區間(0，m](m∈N*)中的項的個數，求數列{bm}的前100項和S100.
17．設{an}是公比不為1的等比數列，a1為a2，a3的等差中項．
（1）求{an}的公比；
（2）若a1＝1，求數列{nan}的前n項和．
18．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a5＝9，S5＝25.
（1）求數列{an}的通項公式及前n項和Sn；
（2）設bn＝(－1)nSn，求{bn}的前n項和Tn.
19．已知Sn為等差數列{an}的前n項和，滿足S4＝10，a5＝5. Tn為數列{bn}的前n項和，滿足
Tn＝(4n－1)，n∈N*.
（1）求{an}和{bn}的通項公式；
（2）設cn＝log2bn＋，若數列{cn}的前n項和Kn＜100，求n的最大值．
2022年下學期 高二數學 同步復習講義
16 混合數列的前n項和
◇ 知 識 鏈 接 ◇
數列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數列或等比數列或可求前n項和的數列求和．
知識鏈接01 公式法
（1）等差數列的前n項和公式Sn＝＝na1＋d.
（2）等比數列的前n項和公式Sn＝
知識鏈接02 分組或并項求和
知識鏈接03 裂項相消求和
（1）三種常見的拆項公式
＝－；
＝；
＝－．
（2）基本步驟
（3）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發現被消去項的規律為止．
（4）消項規律：
消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項．
知識鏈接04 錯位相減求和
（1）適用條件：
若{an}是公差為d(d≠0)的等差
數列，{bn}是公比為q(q≠1)的
等比數列，求數列{an·bn}的前
n項和Sn；
（2）基本步驟
知識鏈接05 倒序相加法：如果一個數列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解．
◇ 典 例 剖 析 ◇
典例剖析01 分組求和與并項求和
（1）求值：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2 021－2 023＝________．
（2）已知數列{an}滿足an＝(－1)nn2，則a1＋a2＋a3＋…＋a2n＋1＝________．
（3）在數列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝則數列{an}的前20項和為________．
（4）設等差{an}的公差為d，等比{bn}的公比為q，且a1＝b1＝1，b4＝64，q＝2d．
（ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（ⅱ）記cn＝a2n－1＋b2n，求數列{cn}的前n項和Sn．
【答案】（1）－1 012 （2）－(n＋1)(2n＋1) （3）1 123
【解析】（4）因為b4＝64，所以b1q3＝64，又b1＝1，所以q＝4. 又q＝2d，所以d＝2.
因為a1＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝4n－1．
∵cn＝a2n－1＋b2n＝4n－3＋42n－1.
所以Sn＝(1＋5＋9＋…＋4n－3)＋(4＋43＋…＋42n－1)
＝＋＝2n2－n＋．
典例剖析02 裂項相消求和
（1）已知函數f(x)＝xα的圖象過點(4,2)，令an＝，n∈N*．記數列{an}的前n項和為Sn，則S2 020＝________．
（2）已知公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4＝26，a1，a3，a11成等比數列．
（ⅰ）求數列{an}的通項公式；（ⅱ）若數列的前n項和為Tn，求Tn.
（3）在①a2，a3，a4－4成等差數列；②S1，S2＋2，S3成等差數列中任選一個，補充在下列的問題中，并解答．在公比為2的等比數列{an}中， ．
（ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（ⅱ）若bn＝(n＋1)log2an，求數列的前n項和Tn．
注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】（1）－1
【解析】（2）由a1，a3，a11成等比數列，得a1a11＝a，又S4＝26，
所以又d≠0，所以a1＝2，d＝3.
所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.
∵Sn＝na1＋d＝2n＋＝＋，
＝＝＝，
Tn＝＝＝.
【解析】（3）選①：因為a2，a3，a4－4成等差數列，所以2a3＝a2＋a4－4，
所以8a1＝2a1＋8a1－4，解得a1＝2，所以an＝2n；
選②：因為S1，S2＋2，S3成等差數列，所以2(S2＋2)＝S1＋S3，即a2＋4＝a3，
所以2a1＋4＝4a1，解得a1＝2，所以an＝2n.
因為an＝2n，所以bn＝(n＋1)log2an＝(n＋1)log22n＝n(n＋1)，
所以＝＝2，
所以Tn＝2＋2＋…＋2
＝2＝2＝2－.
典例剖析03 錯位相減求和
已知Sn為等差數列{an}的前n項和，a3＝5，S7＝49.
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn＝，Tn為數列{bn}的前n項和，求Tn.
【解析】（1）設數列{an}的公差為d，則由已知得
解得，a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
（2）bn＝＝，所以Tn＝＋＋＋ … ＋， ①
Tn＝ ＋＋＋…＋＋，②
①－②，得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝－－，
故Tn＝3－－.
◇ 小 試 牛 刀 ◇
1．數列{1＋2n－1}的前n項和為(　　)
【答案】 n＋2n－1
2．數列{an}中，an＝，若{an}的前n項和為，則項數n為(　　)
【答案】 2 021
3．數列{an}的通項公式為an＝，若{an}的前n項和為24，則n＝(　　)
【答案】 624
4．已知數列{an}的通項公式an＝，則數列{an}的前n項和Sn＝ .
【答案】
5．在數列{an}中a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，則S60的值為(　　)
【答案】 990
6．設y＝f(x)是一次函數，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比數列，則f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)
【答案】 n(2n＋3)
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝______.
【答案】 44.5
8．已知數列{an}的通項公式為an＝(－1)n(2n－1)，則數列{an}的前n項和Sn＝ .
【答案】 Sn＝＝(－1)nn.
9．已知Tn為數列的前n項和，若m>T10＋1 013恒成立，則整數m的最小值為(　　)
【答案】 1 024
10．設數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝(n＝1,2,3，…)，則S2n－1＝ .
【答案】
11．設Sn是數列{an}的前n項和，且a1＝1，an＋1＋SnSn＋1＝0，則Sn＝ ，數列的前n項和為 ．
【答案】 　
12．已知函數f(x)＝x2cos ，數列{an}中，an＝f(n)＋f(n＋1)(n∈N*)，
則數列{an}的前40項之和S40＝ .
【解析】因為f(x)＝x2cos ，且an＝f(n)＋f(n＋1)，
所以a1＝f(1)＋f(2)＝0－4＝－4，a2＝f(2)＋f(3)＝－4＋0＝－4，
a3＝f(3)＋f(4)＝0＋16＝16，a4＝f(4)＋f(5)＝16，
a5＝f(5)＋f(6)＝0－36＝－36，a6＝f(6)＋f(7)＝－36，…，
可得數列{an}為－4，－4,16,16，－36，－36,64,64，－100，－100，…，
即數列{an}的前40項之和
S40＝(－4－4＋16＋16)＋(－36－36＋64＋64)＋(－100－100＋144＋144)
＋…＋(－1 444－1 444＋1 600＋1 600)
＝24＋56＋88＋…＋312＝×10×(24＋312)＝1 680.
13．已知數列{an}的前n項和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝ .
【答案】(n－1)2n＋1＋2
14．(多選)數列{an}滿足a1＝1，且對任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，則(　　)
A．an＝ B．數列的前100項和為
C．數列的前100項和為 D．數列{an}的第100項為50 050
【答案】選AB　
15．已知數列{an}的前n項和為Sn，且2an－Sn＝2，記數列的前n項和為Tn，若對于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，則實數k的取值范圍為(　　)
A. B．
C. D．
【答案】選A　
16．已知公比大于1的等比數列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.
（1）求{an}的通項公式；
（2）記bm為{an}在區間(0，m](m∈N*)中的項的個數，求數列{bm}的前100項和S100.
【解析】（1）設{an}的公比為q. 由題設得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8. 解得q＝(舍去)，q＝2.
由題設得a1＝2. 所以{an}的通項公式為an＝2n.
（2）由題設及（2）知b1＝0，且當2n≤m<2n＋1時，bm＝n.
所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.
17．設{an}是公比不為1的等比數列，a1為a2，a3的等差中項．
（1）求{an}的公比；
（2）若a1＝1，求數列{nan}的前n項和．
【解析】（1）設{an}的公比為q，由題意得2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.
所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2. 故{an}的公比為－2.
（2）記Sn為{nan}的前n項和．由（1）及題意可得，an＝(－2)n－1.
所以Sn＝1＋2×(－2)＋ … ＋n×(－2)n－1， ①
－2Sn＝ －2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)×(－2)n－1＋n×(－2)n.②
①－②，可得3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n×(－2)n＝－n×(－2)n.
所以Sn＝－.
18．已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a5＝9，S5＝25.
（1）求數列{an}的通項公式及前n項和Sn；
（2）設bn＝(－1)nSn，求{bn}的前n項和Tn.
【解析】（2）由題意，得S5＝＝＝5a3＝25，得a3＝5，
設等差數列{an}的公差為d，則d＝＝＝2，
∴an＝a3＋(n－3)·d＝5＋2(n－3)＝2n－1，n∈N*.
則a1＝2×1－1＝1，∴Sn＝＝n2.
（2）由（1）知，bn＝(－1)nSn＝(－1)nn2，
①當n為偶數時，n－1為奇數，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－12＋22－32＋42－…－(n－1)2＋n2
＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[n2－(n－1)2]
＝(2＋1)(2－1)＋(4＋3)(4－3)＋…＋[n＋(n－1)]·[n－(n－1)]
＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＋n＝；
②當n為奇數時，n－1為偶數，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－12＋22－32＋42－…－(n－2)2＋(n－1)2－n2
＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[(n－1)2－(n－2)2]－n2
＝(2＋1)(2－1)＋(4＋3)(4－3)＋…＋[(n－1)＋(n－2)][(n－1)－(n－2)]－n2
＝1＋2＋3＋4＋…＋(n－2)＋(n－1)－n2＝－n2＝－.
綜上所述，Tn＝(－1)n.
19．已知Sn為等差數列{an}的前n項和，滿足S4＝10，a5＝5. Tn為數列{bn}的前n項和，滿足
Tn＝(4n－1)，n∈N*.
（1）求{an}和{bn}的通項公式；
（2）設cn＝log2bn＋，若數列{cn}的前n項和Kn＜100，求n的最大值．
【解析】（1）已知Sn為等差數列{an}的前n項和，設首項為a1，公差為d，
由于滿足S4＝10，a5＝5.所以解得
所以an＝1＋(n－1)＝n.
Tn為數列{bn}的前n項和，滿足Tn＝(4n－1)，①
當n＝1時，b1＝4，
當n≥2時，Tn－1＝(4n－1－1)，②
①－②得bn＝Tn－Tn－1＝4n，因為b1＝4也適合上式，所以bn＝4n.
（2）由（1）得設cn＝log2bn＋＝log24n＋＝2n＋.
所以Kn＝c1＋c2＋…＋cn＝2(1＋2＋…＋n)＋
＝n(n＋1)＋1－，
數列{cn}的前n項和Kn＜100，所以n(n＋1)＋1－<100，
當n＝9時，K9＜100，當n＝10時，K10＞100.
所以n的最大值為9.

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