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等效思想
“等效思想”在力學、電磁學中的應用
（智學精選）如圖所示，幾個擺長相同的單擺，它們在不同條件下的周期分別為T1、T2、T3、T4，關于周期大小關系的判斷，正確的是（　　）
A．T1＞T2＞T3＞T4 B．T1＜T2＜T3＜T4
C．T1＜T2＝T3＜T4 D．T1＞T2＝T3＞T4
關鍵信息：擺長相同的單擺、不同條件下比較周期 → 單擺的周期公式T＝
圖1－圖4 → 類單擺問題 → 根據T＝判斷（g′為等效重力加速度）
解題思路：根據圖中單擺所處的不同環境，結合公式T＝進行判斷，公式中的g′為等效重力加速度。
根據周期公式T＝可知單擺的周期與振幅和擺球質量無關，與擺長和重力加速度（或者等效重力加速度）有關。題圖1中單擺的等效重力加速度為重力加速度沿斜面方向的分量，即a1＝gsinθ，所以周期T1＝；題圖2中擺球所受的庫侖力始終沿擺線方向，回復力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，故擺球的等效重力加速度為a2＝g，所以周期T2＝；題圖3中的周期T3＝；題圖4中的等效重力加速度為a3＝g＋a，所以周期T4＝；故T1＞T2＝T3＞T4，故ABC錯誤，D正確。
故選D。
（智學精選）如圖所示，空間中有正交的勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度大小為B，勻強電場方向豎直向下，將一質量為m，帶電量為＋q的粒子沿水平向左以速度v拋入復合場中，忽略粒子的重力。已知勻強電場的電場強度大小E＝Bv，在粒子之后運動的過程中，以下說法錯誤的是（　　）
A．粒子偏離入射方向的最大距離為
B．粒子在軌跡最低點的曲率半徑為
C．粒子從拋出到最低點的過程中電勢能的變化量為－4mv2
D．粒子運動過程中動能與電勢能的總和是守恒的
A．根據題意E＝Bv得Eq＝Bqv將粒子以速度v水平向左拋入復合場中，根據“配速法”，粒子的初速度可以等效為一個水平向左的分速度2v和一個水平向右的分速度v，向右的分速度v會產生一豎直向上的洛倫茲F1＝qvB，由于Eq＝qvB，則粒子的一個分運動為水平向右的勻速直線運動，另一個分運動是水平向左沿逆時針方向的勻速圓周運動，速度大小為2v：Bq2v＝ 解得R＝，則粒子偏離入射方向的最大距離為2R＝，A錯誤；
B．粒子在軌跡最低點速度大小為3v，方向水平向右。由Bq3v－Eq＝ ，解得，即軌跡最低點的曲率半徑為，B正確；
C．粒子從拋出到最低點的過程中電場力做正功，電勢能減小，電勢能的變化量為－Eq×2R＝－4mv2，C正確；
D．粒子在復合場中運動過程中只有電場力做功，所以粒子的動能和電勢能的總和是守恒的，D正確。
本題選錯誤的，故選A。
1．“等效力”的思想
所謂等效力法，就是通過力的合成或者力的分解，用假設的合力或者分力，甚至矢量和為零的合力——平衡力，來代替和變換物體實際受到的力。
2．“等效運動”思想
利用運動疊加原理，可以將一個復雜運動等效為若干簡單運動；有時，為了便于分析和計算，也可以將一個比較簡單的運動等效為若干比較復雜的運動。
3．等效擺長及等效重力加速度
（1）L′——等效擺長：擺動圓弧的圓心到擺球重心的距離。
圖（a）中甲、乙在垂直紙面方向擺動起來效果是相同的，所以甲擺的擺長為l·sinα，這就是等效擺長，其周期T＝。
圖（b）中，乙在垂直紙面方向擺動時，與甲擺等效；乙在紙面內小角度擺動時，與丙等效。
（2）g′——等效重力加速度：與單擺所處物理環境有關。
①在不同星球表面：g′＝，M為星球的質量，R為星球的半徑。
②單擺處于超重或失重狀態下的等效重力加速度分別為g′＝g+a、g′＝g-a，a為超重或失重時單擺系統整體豎直向上或豎直向下的加速度大小。
③單擺中的絕緣帶電小球在豎直方向的勻強電場中擺動時，等效重力加速度分別為：g′＝。
④單擺中的絕緣帶電小球在水平方向且垂直帶電小球運動所在平面的勻強磁場中擺動時，因回復力不變，等效重力加速度仍為g。
⑤如果懸點有點電荷，單擺中的絕緣帶電小球擺動時，因回復力不變，等效重力加速度仍為g。
“等效思想”在電場中的應用
（2021年湖北聯考）如圖所示，ABCD為豎直平面內的絕緣光滑軌道，其中AB部分為傾角為30°的斜面，BCD部分為半徑為R的四分之三圓弧軌道，與斜面平滑相切，C為軌道最低點，整個軌道放置在電場強度為E的水平勻強電場中。現將一帶電荷量為＋q、質量為m的小滑塊從斜面上的A點由靜止釋放，小滑塊恰能沿圓弧軌道運動到D點。已知重力加速度為g，且qE＝mg，下列說法正確的是（　　）
A．釋放點A到斜面底端B的距離為R
B．小滑塊運動到C點時對軌道的壓力為9mg
C．小滑塊運動過程中的最大動能為mgR
D．小滑塊從D點拋出后恰好落在軌道上的B點
關鍵信息：軌道放置在勻強電場中，帶電小滑塊從軌道上滑下 → 電場與重力場疊加問題水平勻強電場且qE＝mg → 確定等效重力場中等效重力加速度的大小及方向
小滑塊恰能沿圓弧軌道運動到D點 → “等效重力場”中小滑塊運動的最高點，此時軌道對小滑塊的壓力為零，“等效重力”提供向心力
解題思路：對物體受力分析，取重力與電場力的合力為等效力，找到等效最高點，應用豎直面內“軌道模型”規律處理問題。
A．小滑塊恰能沿圓弧軌道運動到D點，表明小滑塊能通過軌道的等效最高點，重力與電場力的合力F＝＝2mg，所以軌道的等效最高點在圓心左上60°軌道上，即D點。在等效最高點，有2mg＝。從A點到軌道等效最高點，根據動能定理得：mg(xsin 30°－Rcos 30°－Rsin 30°)＋Eq(xcos 30°－Rsin 60°＋Rsin 30°)＝mv2－0，解得：x＝1.5R，A項錯誤；
B．從C到等效最高點，有－mg(R＋Rcos 60°)－Eq·Rsin 60°＝mv2－，在C點，有N－mg＝，解得N＝9mg，根據牛頓第三定律得小滑塊對軌道的壓力大小為9mg，B項正確；
C．小滑塊運動到D點在圓上關于圓心的對稱點時，速度最大，有－2mg·2R＝mv2－，解得：＝5mgR，C項錯誤；
D．小滑塊從D點拋出后，小滑塊做類平拋運動，假設其剛好落到B點，則有2mg＝ma，vt＝R，則在合力方向上的位移y＝at2＝R＜R，假設錯誤，D項錯誤。
故選B。
（2022寧夏月考）如圖所示，半徑為r的絕緣光滑圓環固定在豎直平面內，環上套有一質量為m、帶電荷量為＋q的珠子，現在圓環平面內加一個勻強電場，使珠子由最高點A從靜止開始釋放（AC、BD為圓環的兩條互相垂直的直徑），要使珠子沿圓弧經過B、C剛好能運動到D（重力加速度為g）。
（1）求所加電場的場強最小值及所對應的場強的方向；
（2）當所加電場的場強為最小值時，求珠子由A到達D的過程中速度最大時對環的作用力大小；
（3）在（1）問電場中，要使珠子能完成完整的圓周運動，在A點至少應使它具有多大的初動能？
（1）根據題述，珠子運動到BC弧中點M時速度最大，作過M點的直徑MN，
設電場力與重力的合力為F，則其方向沿NM方向，分析珠子在M點的受力情況，
由圖可知，當F電垂直于F時，F電最小，最小值為：
F電min＝mgcos 45°＝mg
F電min＝qEmin
解得所加電場的場強最小值：Emin＝，
方向沿∠AOB的角平分線方向指向左上方。
（2）當所加電場的場強為最小值時，電場力與重力的合力為F＝mgsin 45°＝mg
把電場力與重力的合力看做是“等效重力”，對珠子由A運動到M的過程，由動能定理得：
F(r＋r)＝mv2－0
在M點，由牛頓第二定律得：FN－F＝
聯立解得FN＝(＋1)mg
由牛頓第三定律知，珠子對環的作用力大小為：FN′＝FN＝(＋1)mg。
（3）由題意可知，N點為等效最高點，只要珠子能到達N點，就能做完整的圓周運動，珠子在N點速度為0時，所需初動能最小，此過程中，由動能定理得：
－F(r－r)＝0－EkA
解得：EkA＝mgr
1．等效重力法：將重力與電場力進行合成，如圖所示，則F合為等效重力場中的“重力”，g′＝為等效重力場中的“等效重力加速度”，F合的方向等效為“重力”的方向，即在等效重力場中的“豎直向下”方向。
2．帶電體在等效重力場中能做完整的圓周運動的條件是能通過“等效最高點”（這里的“等效最高點”不一定是空間分布的最高點），帶電體通過“等效最高點”時的速度最小。
3．等效最高點和等效最低點位置確定方法：把等效重力平移到軌跡圓的圓心，等效重力正向延長線與圓的交點為等效最低點，等效重力反向延長線與圓的交點為等效最高點。
“等效思想”在電路中的應用
（2021年長沙模擬）如圖1所示的電路，其中電源電動勢E＝6 V，內阻r＝2 Ω，定值電阻R＝4 Ω，已知滑動變阻器消耗的功率P與其接入電路的有效阻值RP的關系如圖2所示，下列說法正確的是（　　）
A．圖2中滑動變阻器的最大功率P2＝2 W
B．圖2中R1＝6 Ω，R2＝12 Ω
C．滑動變阻器消耗功率P最大時，定值電阻R消耗的功率也最大
D．調整滑動變阻器RP的阻值，可以使電源的輸出電流達到2 A
關鍵信息：圖2、定值電阻R＝4Ω → 電源的輸出功率問題 → 等效法的應用
解題思路：當外電阻等于電源內阻時（或外電阻與內阻最接近時）電源的輸出功率最大。若外電路中有定值電阻R，可將定值電阻看成電源內阻，此時等效電源內阻為R＋r。
A．當電源內阻r等于外電路電阻R外時，輸出功率最大，最大值Pm＝，把定值電阻看成電源內阻，由圖2可知，當RP＝R1＝R＋r＝6 Ω時，滑動變阻器消耗的功率最大，最大功率P2＝＝1.5 W，A項錯誤；
B．滑動變阻器的阻值為3 Ω時與阻值為R2時消耗的功率相等，有：，解得R2＝12 Ω，B項正確；
C．當回路中電流最大，即RP＝0時，定值電阻R消耗的功率最大，C項錯誤；
D．當滑動變阻器RP＝0時，電路中電流最大，最大值Im＝＝1 A，則調整滑動變阻器RP的阻值，不可能使電源的輸出電流達到2 A，D項錯誤。
故選B。
(2022江西月考) 如圖所示，理想變壓器原、副線圈匝數之比為1∶2，正弦交流電源電壓的有效值為U＝15V保持不變，電阻R1＝15Ω，R2＝20Ω，滑動變阻器R3最大阻值為40Ω。開始時，滑片P處于滑動變阻器正中間位置，則下列正確的是（　　）
A．通過R1的電流的有效值為1A
B．電壓表讀數為12V
C．若向下移動P，電壓表讀數將不變
D．若向下移動P，變壓器的輸出功率將變小
AB．理想變壓器原、副線圈匝數之比為1∶2，可知原副線圈的電流之比為2∶1，設通過原線圈的電流為I，則副線圈的電流為0.5I，初級電壓為U1＝U－IR1＝15－15I，次級電壓為U2＝0.5I(R2＋)＝20I，根據變壓器電壓之比等于匝數之比可得＝＝，聯立解得：I＝0.6A；U2＝12V，A錯誤，B正確；
C．向下移動P，則R3電阻增大，次級電流變小，初級電流也隨之變小，電阻R1的電壓變小，變壓器輸入的電壓變大，次級電壓也變大，電壓表讀數變大，C錯誤；
D．直流電路中外電路的總電阻等于電源內阻時，電源輸出功率最大，如圖所示
R1等效為電源內阻，若向下移動P，R3電阻變大，等效外電阻為R等效＝(R2＋R3)，開始時，滑片P處于滑動變阻器正中間位置，可知R等效＝10Ω＜R1，當R3＝40Ω時，R等效＝15Ω＝R1，則隨著向下移動P，副線圈輸出功率將變大，D錯誤。
故選B。
1．用等效電源分析問題
（1）如圖1所示，電動勢為E，內阻為r的電源與阻值為R的電阻串聯。
將圖1中虛線框內部看作一個等效電源，則電路等效為圖2所示電路。當AB間開路（Rx→∞）時，AB間的電壓為E，則等效電源電動勢E′＝E；當AB間短接（Rx→0）時，則可求得等效電源內阻。
（2）如圖3所示，電動勢為E，內阻為r，把定值電阻R接在電源的兩端。
將圖3中虛線框內的部分看作一個等效電源，則電路等效為圖4所示電路。當AB間開路（Rx→∞）時，AB間的電壓為E′，等效電源電動勢E′＝；當AB間短接（Rx→0）時，可求得等效電源內阻r′＝＝＝，即等效電源內阻為r與R并聯的結果。
2．等效電阻法在變壓器問題中的應用
如圖甲所示，圖中虛線部分可等效為一電阻R′，等效電阻R′＝，如圖乙所示，這個結論在討論交流電路動態變化問題時特別方便快捷，分析如下：
設原線圈兩端的電壓為U1，則副線圈兩端的電壓U2＝U1，那么副線圈中的電流I2＝＝，由此得到原線圈中的電流I1＝I2＝，那么等效電阻R′＝＝。
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