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極值法
利用數學方法求極值
（2022·云南省歷年真題）如圖所示，學校門口水平地面上有一質量為m的石墩，石墩與水平地面間的動摩擦因數為μ，工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動石墩時，兩平行輕繩與水平面間的夾角均為θ，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．輕繩的合拉力大小為
B．輕繩的合拉力大小為
C．減小夾角θ，輕繩的合拉力一定減小
D．輕繩的合拉力最小時，地面對石墩的摩擦力也最小
關鍵信息：勻速移動 → 受力平衡
求解繩子拉力、地面對石墩的摩擦力 → 選石墩為研究對象
輕繩的合拉力最小 → 極值問題
解題思路：石墩受五個力的作用處于平衡狀態，多力平衡問題通常采用正交分解，再列平衡方程進行解答。求輕繩的合拉力最小值時，利用數學中的三角函數關系式求解。
AB．設輕繩的合拉力大小為T，對石墩受力分析：
由平衡條件，在水平方向上有：Tcosθ＝f
豎直方向上有：Tsinθ＋N＝mg
根據滑動摩擦力公式得：f＝μN
聯立解得：T＝，故A錯誤，B正確；
C．輕繩的合拉力的大小為：T＝＝，其中tanφ＝，可知當θ＋φ＝90°時，輕繩的合拉力有最小值，即減小夾角θ，輕繩的合拉力不一定減小，故C錯誤；
D．摩擦力大小為：f＝Tcosθ＝＝
可知增大夾角θ，摩擦力一直減小，當趨近于90°時，摩擦力最小，故輕繩的合拉力最小時，地面對石墩的摩擦力不是最小，故D錯誤；
故選B。
（2022湖北歷年真題）打樁機是基建常用工具。某種簡易打樁機模型如圖所示，重物A、B和C通過不可伸長的輕質長繩跨過兩個光滑的等高小定滑輪連接，C與滑輪等高（圖中實線位置）時，C到兩定滑輪的距離均為L。重物A和B的質量均為m，系統可以在如圖虛線位置保持靜止，此時連接C的繩與水平方向的夾角為60°。某次打樁時，用外力將C拉到圖中實線位置，然后由靜止釋放。設C的下落速度為時，與正下方質量為2m的靜止樁D正碰，碰撞時間極短，碰撞后C的速度為零，D豎直向下運動距離后靜止（不考慮C、D再次相碰）。A、B、C、D均可視為質點。
（1）求C的質量；
（2）若D在運動過程中受到的阻力F可視為恒力，求F的大?。?br/>（3）撤掉樁D，將C再次拉到圖中實線位置，然后由靜止釋放，求A、B、C的總動能最大時C的動能。
（1）系統在如圖虛線位置保持靜止，以C為研究對象，
根據平衡條件：mCg＝2mgcos30°
解得mC＝
（2）C、D碰后C的速度為零，設碰撞后D的速度為v，
根據動量守恒定律：＝×0＋2mv
解得：v＝
C、D碰撞后D向下運動距離后停止，
根據動能定理：0－×2mv2＝2mg－F
解得：F＝6.5mg
（3）設某時刻C向下運動的速度為v′，此時輕質長繩與豎直方向的夾角為α，
根據運動的合成與分解，AB向上運動的速度為v″＝v′cosα，根據機械能守恒定律：
＝
令y＝
對上式求導數可得：＝
當＝0時，y取最大值，即此時A、B、C的總動能最大
解得：cosα＝
即α＝30°，此時有y＝＝mgL
于是有：mCv′2＋2×m(v′cosα)2＝mgL
解得：v′2＝
此時C的動能為：Ekm＝mCv′2＝(4－)mgL
所謂利用數學方法求極值，即根據物理現象，建立物理模型，利用物理公式寫出需求量與自變量間的數學函數關系式，再利用函數關系式討論出現極值的條件和極值的大小，常見的利用函數求極值的方法有：
1．三角函數法：
①y＝asinθ＋bcosθ＝sin(φ＋θ)，當φ＋θ＝90°時，函數有最大值。最大值ymax＝，此時θ＝90°－arctan；
②y＝asinθcosθ＝asin2θ，當θ＝45°時，有最大值ymax＝；
2．二次函數法：y＝ax2＋bx＋c，當a＞0時，函數有極小值ymin＝；當a＜0時，函數有極大值ymax＝；
3．不等式法：y＝（a＞0、b＞0），當ab＝x2時，有最小值ymin＝；
4．導數法：對相應函數表達式進行求導，當導數值為零時，函數出現極值。
利用臨界條件求極值
（2022·北京模擬題）如圖所示，一傾斜的勻質圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定的角速度ω轉動，盤面上離轉軸距離0.1m處有一質量為m＝1kg的小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因數為μ＝0.8（設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），盤面與水平面的夾角為37°（已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。
（1）若ω＝1rad/s，求當小物體通過最高點時所受摩擦力的大??；
（2）若ω＝1rad/s，求當小物體通過與圓心等高處時所受摩擦力的大??；（保留兩位有效數字）
（3）求符合條件的ω的最大值．
關鍵信息：傾斜的勻質圓盤 → 斜面上的圓周運動
圓盤以恒定的角速度轉動 → 圓盤做勻速圓周運動
小物體與圓盤始終保持相對靜止 → 小物體與圓盤之間的摩擦力為靜摩擦
符合條件的ω的最大值 → 極值問題
解題思路：已知角速度時，由牛頓第二定律可得物體所受的合力，進而求得摩擦力；由小物體與圓盤始終保持相對靜止的臨界條件求解ω的最大值。
（1）在最高點，根據牛頓第二定律可得：mgsinθ－Ff 1＝mω2r
解得：Ff 1＝5.9N
（2）小物體通過與圓心等高處時，重力沿斜面向下的分力和靜摩擦力的合力提供向心力：
＝mω2r
解得：Ff 2≈6.0N
（3）由小物體與圓盤始終保持相對靜止的臨界條件是靜摩擦力達到最大值，即Ff 3＝μmgcosθ
圓盤轉速相同時，小物體在最低點所受的摩擦力最大，
在最低點，根據牛頓第二定律可得：Ff 3－mgsinθ＝mω2r
聯立解得小物體與圓盤始終保持相對靜止的角速度最大值為：ω＝2rad/s
（智學精選）汽車在晴天干燥瀝青路面上以108km/h的速度勻速行駛時，剎車距離為50m；貨車在晴天干燥瀝青路面上以72km/h的速度行駛時，剎車距離為40m。若雨天時在瀝青路面上汽車與貨車所受阻力均為晴天時的0.8倍，則其他條件不變的情況下，雨天時汽車與前方貨車在瀝青路面上同時剎車的最小安全距離約為（ ）
A．12m B．16m C．20m D．24m
晴天時，對汽車有＝2a1x1，其中v1＝108km/h＝30m/s，x1＝50m，
對貨車有＝2a2x2，v2＝72km/h＝20m/s，x2＝40m，
解得a1＝9m/s2，a2＝5m/s2。
雨天時兩車不相撞的臨界條件為v1－0.8a1t＝v2－0.8a2t，解得t＝3.125s。
則v共＝v1－0.8a1t＝7.5m/s
雨天時汽車與前方貨車在瀝青路面上同時剎車的最小安全距離為x＝＝15.625m，B正確。
故選B。
使用臨界條件求極值的問題很多：
①追及問題中，兩車相距最近（或最遠）的臨界條件是速度相等；
②圓盤上的物體剛要發生滑動時的臨界條件是靜摩擦力達到最大值，可以求出此時圓盤的最大角速度；
③滑塊滑板問題中，滑塊剛好不滑離木板的臨界條件是滑到木板邊緣時，剛好共速，往往可以求木板的最小長度；
④有界磁場中，不出磁場的臨界往往是軌跡與磁場邊界相切，可以求半徑的最大值；
⑤物體做斜拋或類斜拋這類勻變速曲線運動時，速度最小值的臨界條件是物體所受合力與速度方向垂直，據此條件可求解相關問題。
利用圖像求極值
（2022·江蘇模擬）如圖所示，質量為m的小球用細線拴住放在光滑斜面上，斜面足夠長，傾角為α的斜面體置于光滑水平面上，用水平力F推斜面體使斜面體緩慢地向左移動，小球沿斜面緩慢升高。當線拉力最小時，推力F等于（ ）
A．mgsinα B．mgsinα C．mgsin2α D．mgsin2α
關鍵信息：光滑斜面 → 小球無摩擦
光滑水平面 → 地面無摩擦
斜面體緩慢向左移動、小球沿斜面緩慢升高 → 動態平衡
線拉力最小 → 極值問題
解題思路：斜面體緩慢地向左移動過程中，小球緩慢上升，則屬于動態平衡的問題。運用圖解法得到拉力最小的條件和最小值，進而可得推力的值。
以小球為研究對象。小球受到重力mg、斜面的支持力N和細線的拉力T，
在小球緩慢上升過程中，小球的合力為零，則N與T的合力與重力大小相等、方向相反，根據平行四邊形定則作出三個位置力的合成圖如下，
則得當T與N垂直，即線與斜面平行時T最小，則得線的拉力最小值為Tmin＝mgsinα。
再以小球和斜面體組成的整體為研究對象，由平衡條件可知：
F＝Tmincosα＝(mgsinα)cosα＝mgsin2α。
故選D。
（2022·福建省月考）如圖所示，質量M＝ kg的木塊套在水平桿上，并用輕繩將木塊與質量m＝ kg的小球相連。今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝ N拉著球帶動木塊一起向右勻速運動，運動中M、m相對位置保持不變，取g＝10m/s2。求：
（1）運動過程中輕繩與水平方向夾角θ的度數；
（2）木塊與水平桿間的動摩擦因數；
（3）改變α，使球和木塊一起向右勻速運動時拉力最小，求α的正切值。
（1）對小球體進行分析，如下，
水平方向：Fcos30°＝Tcosθ
豎直方向：Fsin30°＋Tsinθ＝mg
解得θ＝30°
（2）對木塊與小球體整體分析如下，
豎直方向：Fsin30°＋FN＝(M＋m)g
水平方向：Fcos30°＝μFN
解得μ＝
（3）將摩擦力與桿的支持力合成，令該合力F0與水平方向夾角為β，則有tanβ＝＝
作出木塊與小球體整體受力分析圖如下，
可知，當F方向與F0方向垂直時，拉力最小，且有tanα＝＝μ＝。
利用圖解法求極值一般適用于求矢量極值問題，如動態平衡問題、運動的合成等問題，求解常常是通過“垂直線段”距離最短來求最小值。
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