資源簡介

模型建構能力
建構對象模型
（智學精選）雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過程中受到空氣阻力有關。雨滴間無相互作用且雨滴質量不變，重力加速度為g。
（1）將雨滴看作半徑為r的球體，設其豎直落向地面的過程中所受空氣阻力f＝kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系數。設雨滴的密度為ρ，推導雨滴下落趨近的最大速度vm與半徑r的關系式；
（2）由于大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。將雨滴簡化為垂直于運動方向面積為S的圓盤，證明：圓盤以速度v下落時受到的空氣阻力f∝v2（提示：設單位體積內空氣分子數為n，空氣分子質量為m0）。
關鍵信息：（1）雨滴看作半徑為r的球體 → 球體的體積V＝πr3
雨滴所受空氣阻力f＝kr2v2 → 雨滴所受阻力隨速度增大而增加，雨滴所受合力逐漸減小
最大速度vm → 重力與阻力平衡時速度最大
（2）氣體分子在各方向運動的幾率相等，對靜止雨滴的作用力為零 →各個方向上氣體分子與雨滴發生碰撞（可近似為彈性碰撞）產生對應方向上的作用力，由對稱性可知總作用力為零
圓盤以速度v下落時受到的空氣阻力f → 由于各個方向的氣體分子與圓盤碰撞后產生的作用力不平衡產生了空氣阻力 → 下落速度為v時與圓盤產生作用的氣體可以看成以圓盤為底面，v t為高的微小圓柱體內的所有氣體分子
單位體積內空氣分子數為n，空氣分子質量為m0 → 確定微小圓柱體中各個方向上撞擊圓盤的分子的質量
解題思路：解決本題關鍵是要清楚空氣對雨點產生阻力的微觀原因，并構建起空氣與雨滴簡化后的“圓盤”之間相互作用的模型。
（1）當雨滴的速度最大時：mg＝f
其中：m＝ρ·πr3，空氣阻力f＝kr2vm2，
聯立可得：vm＝
（2）取圓盤Δt時間內掃過柱體內分子的個數為N，則：N＝v·Δt·Sn
由題意，由于大量氣體分子在各方向運動的幾率相等，若取上下左右前后6個方向，則各方向的分子各占N；
設分子的平均速率為v0，碰撞為彈性碰撞，則：
對上表面，向下運動的分子與圓盤碰撞，設向下運動的分子的總質量為m，圓盤的質量為M，根據動量守恒與動能守恒可知：
mv0＋Mv＝mv01＋Mv1
＋Mv2＝＋
解得：v01＝v0＋v
由于圓盤的質量遠大于分子的質量，則分子碰撞后的速率：v01＝2v－v0
對向下與圓盤碰撞的所有分子，取豎直向下為正，由動量定理知：－f1Δt＝·m0(v01－v0)對下表面，沿前后左右方向運動的分子與盤的下表面碰撞（豎直方向上的碰撞類似于質量很大的物體撞擊質量很小的靜止物體），獲得向下的速率，大小為2v，在水平方向的速度不發生變化。
由動量定理知：f2Δt＝·m0·2v
向上運動的分子與圓盤碰撞，由于圓盤的質量遠大于分子的質量，根據動量守恒與動能守恒可知，分子碰撞后的速率：v2＝v0＋2v
對向上運動的分子，根據動量定理有：f3Δt＝·m0(v2＋v0)
故圓盤受到的阻力的大小為：f＝f2＋f3－f1
聯立可得：f＝2S·nm0v2
則：f∝v2
（2023·湖北省月考）霍爾元件是一種重要的磁傳感器，可用在多種自動控制系統中。長方體半導體材料厚為a、寬為b、長為c，以長方體三邊為坐標軸建立坐標系xyz，如圖所示。半導體中有電荷量均為e的自由電子與空穴兩種載流子，空穴可看作帶正電荷的自由移動粒子，單位體積內自由電子和空穴的數目分別為n和p。當半導體材料通有沿＋x方向的恒定電流后，某時刻在半導體所在空間加一勻強磁場，磁感應強度的大小為B，沿＋y方向，于是在z方向上很快建立穩定電場，稱其為霍爾電場，已知電場強度大小為E，沿－z方向。
（1）判斷剛加磁場瞬間自由電子受到的洛倫茲力方向；
（2）若自由電子定向移動在沿＋x方向上形成的電流為In，求單個自由電子由于定向移動在z方向上受到洛倫茲力和霍爾電場力的合力大小Fnz；
（3）霍爾電場建立后，自由電子與空穴在z方向定向移動的速率分別為vnz、vpz，求Δt時間內運動到半導體z方向的上表面的自由電子數與空穴數，并說明兩種載流子在z方向上形成的電流應滿足的條件。
（1）根據左手定則可知，自由電子受到的洛倫茲力沿＋z方向；
（2）設t時間內流過半導體垂直于x軸某一橫截面自由電子的電荷量為q，由電流定義式，有：In＝ ①
設自由電子在x方向上定向移動速率為vnx，則在時間t內流過垂直x方向長方體截面的電荷量集中在以該截面為底，高為vnxt的小長方體中，故流過該截面的電荷量為q＝neabvnxt
由①式可得：In＝neabvnx ②
單個自由電子所受洛倫茲力大小為：F洛＝evnxB ③
霍爾電場力大小為：F電＝eE ④
自由電子在z方向上受到的洛倫茲力和霍爾電場力方向相同，聯立②③④式，可得其合力大小為：
Fnz＝e(＋E)；
（3）設Δt時間內在z方向上運動到半導體上表面的自由電子數為Nn、空穴數為Np，
則：Nn＝nacvnzΔt Np＝pacvpzΔt
霍爾電場建立后，半導體z方向上表面的電荷量就不再發生變化，則應Nn＝Np，
即在任何相等時間內運動到上表面的自由電子數與空穴數相等，這樣兩種載流子在z方向形成的電流應大小相等、方向相反。
常見的對象模型
1、質點：在研究物體的機械運動時，有時可以忽略物體的大小和形狀的影響，將其簡化為一個具有質量的點；高中階段我們接觸的大部分問題，在題中未有特殊說明時，均可將研究的對象視為質點處理。
2、體積元：當涉及單位體積內微觀粒子的數量且涉及對應的宏觀量的求解或是處理流體問題選定研究對象時，通常會建立規則幾何體的體積元模型。
①研究電流的微觀表達式時，引入的圓柱體體積元模型
該體積內的自由電子數為N＝nesvt（n為單位體積內自由電子的數量），此外體積元的形狀由導體的橫截面的形狀決定，也可以是長方體等規則幾何體。
②處理流體問題時，流體的速度會發生變化，此時在很短的時間 t內可認為流體的速度v不變，如此同樣可以建立類似上面的體積微元，該體積元的底面積即為流體的橫截面積，高即為v t。對于液體來說，當流量Q不變時，其對應的體積元的表達式為V＝vS t＝v0S0 t＝Q t（S0、v0分別為液體剛流出時對應的橫截面積和速度）。
3、其他常見的對象模型：點電荷（忽略帶電體的大小形狀）、理想氣體（忽略氣體大小、相互作用且嚴格遵循氣體實驗定律）、輕繩、輕桿、輕彈簧（忽略質量）等常見模型。
建構過程模型
（2022·北京市歷年真題）利用物理模型對問題進行分析，是重要的科學思維方法。
（1）某質量為m的行星繞太陽運動的軌跡為橢圓，在近日點速度為v1，在遠日點速度為v2。求從近日點到遠日點過程中太陽對行星所做的功W；
（2）設行星與恒星的距離為r，請根據開普勒第三定律（＝k）及向心力相關知識，證明恒星對行星的作用力F與r的平方成反比；
（3）宇宙中某恒星質量是太陽質量的2倍，單位時間內向外輻射的能量是太陽的16倍。設想地球“流浪”后繞此恒星公轉，且在新公轉軌道上的溫度與“流浪”前一樣。地球繞太陽公轉的周期為T1，繞此恒星公轉的周期為T2，求。
關鍵信息：近日點速度為v1，在遠日點速度為v2，太陽對行星所做的功W → 應用動能定理處理
根據開普勒第三定律（＝k）及向心力相關知識 → 向心力的表達式Fn＝
單位時間內向外輻射的能量是太陽的16倍，兩次軌道上溫度相同 → 構建“球面波”輻射模型 → 確定兩次軌道半徑的關系
解題思路：解決本題的關鍵是明確行星繞恒星運動的向心力由恒星對行星的作用力提供并能根據題中信息建立起能量輻射的球面波模型。
（1）由于行星只受太陽引力的作用，從近日點到遠日點，根據動能定理有：W＝
（2）設行星繞恒星做勻速圓周運動，行星的質量為m，運動半徑為r，運動速度大小為v。
恒星對行星的作用力F提供向心力，則F＝
運動周期：T＝
根據開普勒第三定律＝k，k為常量，聯立得F＝
即恒星對行星的作用力F與r的平方成反比。
（3）假定恒星的能量輻射各向均勻，地球繞恒星做半徑為r的圓周運動，恒星單位時間內向外輻射的能量為P0。以恒星為球心，以r為半徑的球面上，單位面積單位時間接受到的輻射能量P＝
設地球繞太陽公轉半徑為r1，在新軌道上公轉半徑為r2。地球在新公轉軌道上的溫度與“流浪”前一樣，必須滿足P不變，由于恒星單位時間內向外輻射的能量是太陽的16倍，得r2＝4r1
設恒星質量為M，地球在軌道上運行周期為T，萬有引力提供向心力，有＝
解得T＝
由于恒星質量是太陽質量的2倍，得：＝
（2022·北京市月考）秋千由踏板和繩構成，人在秋千上的擺動過程可以簡化為單擺的擺動，等效“擺球”的質量為m，人蹲在踏板上時擺長為l1，人站立時擺長為l2。不計空氣阻力，重力加速度大小為g。
（1）如果擺長為l1，“擺球”通過最低點時的速度為v，求此時“擺球”受到拉力T的大小。
（2）在沒有別人幫助的情況下，人可以通過在低處站起、在高處蹲下的方式使“擺球”擺得越來越高。
a．人蹲在踏板上從最大擺角θ1開始運動，到最低點時突然站起，此后保持站立姿勢擺到另一邊的最大擺角為θ2。假定人在最低點站起前后“擺球”擺動速度大小不變，通過計算證明θ2＞θ1。
b．實際上人在最低點快速站起后，“擺球”擺動速度的大小會增大。隨著擺動越來越高，達到某個最大擺角θ后，如果再次經過最低點時，通過一次站起并保持站立姿勢就能實現在豎直平面內做完整的圓周運動，求在最低點“擺球”增加的動能ΔEk應滿足的條件。
（1）根據牛頓運動定律：T－mg＝
解得：T＝mg＋
（2）a．設人在最低點站起前后“擺球”的擺動速度大小分別為v1、v2，根據功能關系得：mgl1(1－cosθ1)＝，mgl2(1－cosθ2)＝
已知v1＝v2，得：mgl1(1－cosθ1)＝mgl2(1－cosθ2)
因為l1＞l2，故cosθ1＞cosθ2，所以θ2＞θ1。
b．設“擺球”由最大擺角θ擺至最低點時動能為Ek，根據功能關系得：Ek＝mgl1(1－cosθ)
“擺球”在豎直平面內做完整的圓周運動，通過最高點最小速度為vm，根據牛頓運動定律得：mg＝
“擺球”在豎直平面內做完整的圓周運動，根據功能關系得：Ek＋ΔEk≥2mgl2＋
得：ΔEk≥mgl2－mgl1(1－cosθ)
一、運動模型
運動模型 典型情境 建構條件
勻變速直線運動 物體受恒定合外力作用且合外力方向與初速度方向共線
勻變速曲線運動 物體受恒定合外力作用且合外力方向與初速度方向不共線
水平面內的勻速圓周運動 運動軌跡為圓周且速率不變
豎直面內的變速圓周運動 桿模型：有支撐效果的豎直平面內的圓周運動 繩模型：沒有支撐效果的豎直平面內的圓周運動
二、碰撞模型
碰撞模型 典型情境 建構條件
彈性碰撞 碰撞過程動能無損失，內力遠大于外力，滿足動能、動量守恒
完全非彈性碰撞 碰撞過程動能損失最大，內力遠大于外力，碰撞后兩物體共速
“反沖”與“爆炸” 系統內物體之間的作用力和反作用力產生的效果
拓展碰撞模型 圖1：滑塊到達最高點時為完全非彈性碰撞，返回最低點時為彈性碰撞 圖2：彈簧長度最短或最長時為完全非彈性碰撞，彈簧恢復原長時為彈性碰撞
三、能量輻射模型
在處理能量輻射類的問題時，通常將輻射源看成是一個能量集中的點，并假設能量向各個方向均勻輻射，于是就建立起了類似“球面波”傳播方式的能量輻射模型，如圖所示
這樣，在距離輻射源距離為r處，單位時間內單位面積上接受的能量即為P＝（其中P0為輻射源單位時間內向外輻射的能量）
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