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(共67張PPT)
5．實驗：用單擺測
量重力加速度
課前自主學習
課堂探究評價
課后課時作業
6
口5．實驗：用單擺測量重力加速度
1．學會用單擺測量當地的重力加速度。2.能正確熟練地使用游標卡尺和秒表。
一、實驗原理
當擺角較小(不大于5°)時，單擺做簡諧運動。根據單擺周期公式T＝2π，有g＝，通過實驗方法測出擺長l和周期T，即可計算得到當地重力加速度g的值。
二、實驗器材
帶小孔的小金屬球、長1 m左右的細尼龍線、鐵夾、鐵架臺、游標卡尺、毫米刻度尺、秒表。
三、實驗步驟
(1)讓細線穿過球上的小孔，在細線的穿出端打一個比孔稍大一些的線結。
(2)把細線上端固定在鐵架臺上，使擺球自由下垂，制成一個單擺。
(3)用刻度尺測量單擺的擺長(擺線靜止時從懸掛點到球心間的距離)。
(4)把此單擺從平衡位置拉開一個角度，并使這個角小于等于5°，再釋放小球。當擺球擺動穩定以后，用秒表測量單擺全振動30次(或50次)的時間，求出一次全振動的時間，即單擺的振動周期。
(5)改變擺長，反復測量幾次，將數據填入表格。
課堂任務　測量過程·獲取數據
仔細觀察下列圖片，認真參與“師生互動”。
活動1：本實驗的研究對象是誰？要得到什么數據？
提示：本實驗的研究對象是單擺，通過測量其周期與擺長從而得到當地的重力加速度。
活動2：如圖1所示，細線上端的兩種不同的懸掛方式，哪種較好？為什么？
提示：乙較好。這樣擺球在擺動過程中，細線上端固定，擺長不變。
活動3：怎樣測量擺長？
提示：從懸掛點到球心的距離是擺長。可以用刻度尺直接測量，也可以先用刻度尺量出擺線長L(精確到毫米)，再用游標卡尺測出小球直徑D，則單擺的擺長l＝L＋。
活動4：怎樣測量周期？如圖2所示，選哪個位置作為計時的起始和終止位置更好？為什么？
提示：將單擺從平衡位置拉開一個角度(小于或等于5°)，然后釋放小球，可以測量單擺做一次全振動的時間，也可以先記下單擺全振動30次或50次的總時間，算出全振動一次的時間，即為單擺的振動周期。選圖乙小球經過平衡位置時作為計時的起始和終止位置更好，因為小球經過平衡位置時速率大，所用時間短，這樣測量時間的誤差較小，測出的周期更準確。
活動5：秒表怎么讀數？圖3甲、乙的讀數分別是多少？
提示：所測時間超過半分鐘時，半分鐘的整數倍部分由分針讀出，不足半分鐘的部分由秒針讀出，總時間為兩針示數之和。如圖甲所示，小圓刻度盤上分針所指示的刻度數值超過了1.5 min，指針在1.5 min和2 min之間，其分針指示時間數可記為t1＝1.5 min，而大圓刻度盤上秒針所指示的刻度線為21.4，故秒針所測得的數值為t2＝21.4 s，所測時間讀數為：t＝t1＋t2＝1 min 30 s＋21.4 s＝1 min 51.4 s。圖乙的讀數是2 min 7.6 s。
活動6：本實驗中有哪些注意事項？
提示：(1)選擇擺線時要選用細、輕又不易伸長的線，長度一般在1 m左右；小球應選用密度較大、直徑較小(最好不超過2 cm)的金屬球；
(2)懸點要固定，單擺懸線的上端不可隨意卷在鐵架臺的桿上，應夾緊在鐵夾中；
(3)小球擺動時控制擺線偏離豎直方向的擺角不超過5°；
(4)擺球擺動時，要使之保持在同一豎直平面內，不要形成圓錐擺；
(5)擺長l為懸點到球心的距離；
(6)測單擺周期時，應從擺球通過平衡位置開始計時，并且采用倒數到0開始計時計數的方法，即4、3、2、1、0、1、2……，在數“0”的同時按下表開始計時計數。
課堂任務　分析數據·得出結論
活動1：分析數據有哪些方法？
提示：(1)平均值法：根據公式g＝，將每次實驗的l、n、t數值代入，計算重力加速度g，然后取平均值。
實驗次數 擺長l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2)
1 g＝
2
3
(2)圖像法：作出T2 l圖像，由T2＝可知T2 l圖線是一條過原點的直線，其斜率k＝，求出k，可得g＝。
活動2：圖像法分析有什么優點？
提示： 圖像法的優點：除了簡化計算外，還可以修正擺長測量引起的誤差。
如果l記錄錯誤，比如說把它記為了擺線長(少加小球半徑)或記為了擺線長加球的直徑(即多加半徑)，若此時還以l作橫坐標的話直線將不通過原點。
比如若漏加小球半徑r，T2＝的公式應修正為T2＝，即圖中的①，若多加半徑r，則為圖中的②。由數學知識可知將圖像左右平移，k不變，故g不變。
通過作圖像來計算g，實驗誤差主要來自時間(周期T)的測量。
活動3：實驗中有哪些誤差？分別來源于哪里？怎么減小這些實驗誤差？
提示：(1)本實驗的系統誤差主要來源于單擺模型本身是否符合要求，即懸點是否固定；球、線是否符合要求；振動是圓錐擺還是同一豎直平面內的振動以及測量哪段長度作為擺長等。
(2)本實驗的偶然誤差主要來自時間(即單擺周期)和擺長的測量。要從擺球通過平衡位置開始計時，并采用倒數計時計數的方法，不能多記或漏記振動次數。本實驗中在長度(擺線長、擺球的直徑)的測量時，讀數讀到毫米即可(即使用游標卡尺測擺球直徑也只需讀到毫米)；在時間的測量中，秒表讀數的有效數字的末位在秒的十分位即可。為了減小偶數誤差，需進行多次測量后取平均值。
課堂任務　典例探究·提升能力
例　一位同學用單擺做測量重力加速度的實驗，他將擺掛起后，進行了如下步驟：
A．測擺長l：用米尺量出擺線的長度。
B．測周期T：將擺球拉起，然后放開，在擺球某次通過最低點時，按下秒表開始計時，同時將此次通過最低點作為第一次，接著一直數到擺球第60次通過最低點時，按秒表停止計時，讀出這段時間t，算出單擺的周期T＝。
C．將所測得的l和T代入單擺的周期公式T＝2π ，算出g，將它作為實驗的最后結果寫入報告中。
指出上面步驟中遺漏或錯誤的地方，寫出該步驟的字母，并加以改正。
________________________________________________________________；
_______________________________________________________________；
_______________________________________________________________。
[規范解答]　該實驗的原理為當單擺擺角很小(小于或等于5°)時，可把其振動看成是簡諧運動，其固有周期T＝2π ，因此g＝，所以只要測出l和單擺的周期T，即可得到g值。該題步驟中遺漏或錯誤的地方為：A.要用游標卡尺測擺球的直徑d，擺長l應等于擺線長加上；B.T＝；C.應改變擺長，重做幾次實驗，得出多個g值，然后取g的平均值作為實驗的最后結果。
[完美答案]　見規范解答
實驗點撥
用單擺測重力加速度的實驗操作中的注意事項
1 小球擺動時，擺角應小于等于5°，且應在同一豎直面內擺動；
2 計算單擺的全振動次數時，應以擺球通過平衡位置開始計時，擺球從同一側通過平衡位置時記為一次全振動；
3 測擺長應測出擺球重心到懸點的距離，要用游標卡尺測擺球直徑d，擺長l等于懸線長加；
4 應改變擺長，重做幾次實驗，取多次測出的重力加速度的平均值作為最終結果。
　某實驗小組在利用擺長約為1 m的單擺測量當地重力加速度的實驗中：
(1)周期測量環節進行了下列振動圖像所描述的四種操作過程，圖中橫坐標原點表示計時開始，A、B、C、D均為30次全振動圖像，已知sin5°＝0.087，sin15°＝0.259，這四種操作過程合乎實驗要求且誤差最小的是________。(填字母代號)
(2)改變擺長，利用測出的多組周期T、擺長L數據，作出T2 L圖像，可以更準確地求出重力加速度g。已知三位同學作出的T2 L圖線如圖中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都過原點，圖線b對應的g值最接近當地重力加速度的值。則相對于圖線b，出現圖線a的原因可能是擺長L的測量值________(填“偏大”或“偏小”)，出現圖線c的原因可能是周期T的測量值________(填“偏大”或“偏小”)。
答案　(1)B　(2)偏小　偏小
解析　(1)當擺角小于等于5°時，我們認為單擺做簡諧運動，所以振幅A≤Lsin5°＝1×0.087 m＝8.7 cm。當小球擺到最低點開始計時，計時誤差較小，測量周期時要讓小球做30或50次全振動，求平均值，所以B合乎實驗要求且誤差最小。
(2)根據單擺的周期公式T＝2π得：T2＝。已知圖線b滿足T2＝L，再由圖可知，圖線a的函數關系式可寫成T2＝L＋r，其中r是圖線a的縱截距，上式可整理成T2＝(L＋r)，與圖線b的方程T2＝L比較可知，出現圖線a的原因可能是擺長L的測量值偏小一個量r。由圖可知圖線c的斜率k＝偏小，可能是對于同一L值，T的測量值偏小。
1．在“用單擺測量重力加速度”時，某同學用同一套實驗裝置，用同樣的步驟進行實驗，但所測得的重力加速度總是偏大，其原因可能是(　　)
A．測定周期時，振動次數少數了一次
B．測定周期時，振動次數多數了一次
C．擺球的質量過大
D．計算擺長時，只考慮懸線的長度，沒有加上小球的半徑
答案　B
解析　由計算g的公式g＝可知，如果振動次數多數了一次，則T偏小，g就會偏大，A錯誤，B正確；擺球的質量過大，不影響單擺的周期與擺長，所以不影響測得的重力加速度，C錯誤；計算擺長時，沒有加上小球的半徑，則l偏小，求得的g偏小，D錯誤。
2．(多選)在做“用單擺測量重力加速度”的實驗中，以下幾點建議中對提高測量結果精確度有利的是(　　)
A．適當加長擺線
B．質量相同、體積不同的擺球，應選用體積較大的
C．單擺偏離平衡位置的角度不能太大
D．當單擺經過平衡位置時開始計時，經過一次全振動后停止計時，用此時間間隔作為單擺振動的周期
答案　AC
解析　適當加長擺線有利于擺長的測量，使相對誤差減小，另外有利于控制擺角較小，A正確；質量相同、體積不同的擺球，應選用體積較小的，以減小擺動過程中空氣阻力的影響，B錯誤；單擺偏離平衡位置的角度不能太大，若擺角太大，單擺的運動就不能看作簡諧運動，C正確；經過一次全振動后停止計時，所測時間偶然誤差過大，應測量多次全振動的時間再求平均值，以減小偶然誤差，D錯誤。
3．在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，實際上要改變擺長，重做幾次實驗，進行多次測量，再求g的平均值。下表是甲、乙兩個同學設計的記錄計算表，你認為正確的是(　　)
次數 1 2 3 4 平均值
L
T
－ g＝
甲
次數 1 2 3 4 平均值
L －
T －
g
乙
A．只能是甲 B．只能是乙
C．甲、乙均可 D．甲、乙均不可
答案　B
解析　一個擺長對應著一個周期，不同擺長或不同的周期取平均值沒有物理意義。在一次實驗中可以重復測量擺長和周期，但擺長不能變，變了擺長就是另一次實驗。這里因為可以通過擺長改變周期，進而得到重力加速度，同一個擺長只需做一組實驗即可。故只有乙同學設計的表是正確的，B正確。
4．在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，供選用的器材和操作有：
A．帶夾子的鐵架臺；B.帶小孔的實心木球；C.帶小孔的實心鋼球；D.秒表；E.長約1 m的細線；F.長約10 cm的細線；G.毫米刻度的米尺；H.游標卡尺；I.螺旋測微器；J.天平；K.為便于改變擺長，可將擺線的一頭繞在鐵架臺上的圓桿上以代替鐵夾；L.擺線上端固定，即用鐵夾夾緊。
為使實驗誤差較小，應選用的器材和操作有________________。
答案　ACDEGHL
解析　單擺振動時，要求空氣阻力遠小于擺球的重力，這樣，在擺球大小相同時，擺球密度越大，越符合這種要求，故選用小鋼球而不選木球；又因為要求單擺接近理想模型(即用無質量不可伸縮的線拴一質點)，所以線的長度應遠大于擺球直徑，且較長的線有利于控制擺角較小，故選長1 m的細線，而不用長0.1 m的細線；實驗過程中要用鐵夾夾緊擺線上端進行固定，以保證擺動時擺長不變；實驗過程中要測量擺長和周期，擺長等于擺線長與小球半徑之和，故還需選用毫米刻度的米尺、游標卡尺和秒表。應選用A、C、D、E、G、H、L。
5．在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，某實驗小組在測量單擺的周期時，從單擺運動到最低點開始計時，且記數為1，到第n次經過最低點所用的時間為t；在測量單擺的擺長時，先用毫米刻度尺測得懸掛擺球后的擺線長為l，再用游標卡尺測得擺球的直徑為d。
(1)該單擺的擺長為________。
(2)該單擺的周期為________。
(3)用上述物理量的符號寫出求重力加速度的一般表達式g＝________。
(4)實驗結束后，某同學發現他測得的重力加速度的值總是偏大，其原因可能是下述原因中的________。
A．單擺的懸點未固定緊，擺動中出現松動，使擺線增長了
B．把n次擺動的時間誤記為(n＋1)次擺動的時間
C．以擺線長作為擺長來計算
D．以擺線長與擺球的直徑之和作為擺長來計算
答案　(1)l＋　(2)
(3)　(4)BD
解析　(1)單擺的擺長為懸掛點到擺球重心的距離，即為l＋。
(2)到第n次經過最低點所用的時間內的周期數為，該單擺的周期為T＝。
(3)由單擺周期公式，得T＝2π ，聯立解得g＝。
(4)若單擺的懸點未固定緊，擺動中出現松動，使擺線增長了，測量的周期增大，則t增大，由此可知，測得的重力加速度的值偏小，A錯誤；若把n次擺動的時間誤記為(n＋1)次擺動的時間，由g＝可知測得的重力加速度的值偏大，B正確；若以擺線長作為擺長來計算，由g＝可知測得的重力加速度的值偏小，C錯誤；若以擺線長與擺球的直徑之和作為擺長來計算，由g＝可知測得的重力加速度的值偏大，D正確。
6．在做“用單擺測量重力加速度”的實驗時，用擺長l和周期T計算重力加速度的公式是g＝________。若已知擺球直徑為2.00 cm，讓刻度尺的零點對準擺線的懸點，擺線豎直下垂，如圖甲所示，則單擺擺長是________ m。若測定了40次全振動的時間如圖乙中秒表所示，則秒表讀數是________ s，單擺擺動周期是________ s。
為了提高測量精度，需多次改變l值，并測得相應的T值。現將測得的六組數據標示在以l為橫坐標、以T2為縱坐標的坐標系上，即圖丙中用“·”表示的點，則：
(1)單擺做簡諧運動應滿足的條件是__________________。
(2)試根據圖丙中給出的數據點作出T2和l的關系圖線，根據圖線可求出g＝________ m/s2。(結果取兩位有效數字)
答案　　0.8750　75.2　1.88
(1)單擺的擺角較小
(2)圖見解析　9.9(或9.8)
解析　由T＝2π，可知g＝。
由題圖甲可知：擺長l＝(88.50－1.00) cm＝87.50 cm＝0.8750 m。
秒表的讀數t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，所以T＝＝1.88 s。
(1)單擺做簡諧運動的條件是單擺的擺角較小，一般最大擺角θ≤5°。
(2)把在一條直線上的點連在一起，誤差較大的點平均分布在直線的兩側(如圖)，則直線斜率k＝。
由g＝＝，可得g＝9.9 m/s2(結果為9.8 m/s2也正確)。
7．在“用單擺測量重力加速度”的實驗中，由單擺做簡諧運動的周期公式可得到g＝。只要測出多組單擺的擺長l和運動周期T，作出T2 l圖像，就可以求出當地的重力加速度。理論上T2 l圖像是一條過坐標原點的直線，某同學根據實驗數據作出的圖像如圖所示。
(1)造成圖像不過坐標原點的原因可能是________________________。
(2)由圖像求出的重力加速度g＝________ m/s2。(取π2＝9.87)
答案　(1)測擺長時漏掉了擺球半徑　(2)9.87
解析　(1)既然所畫T2 l圖像與縱坐標有正截距，這就表明l的測量值與真實值相比偏小了，原因可能是測擺長時漏掉了擺球半徑。
(2)圖像的斜率k＝＝4，則g＝＝9.87 m/s2。
8．有兩個同學利用假期分別去參觀北大和南大的物理實驗室，各自在那里利用先進的DIS系統較準確地探究了“單擺的周期T與擺長l的關系”，他們通過校園網交換實驗數據，并由計算機繪制了T2 l圖像，如圖甲所示。去北大的同學所測實驗結果對應的圖線是________(填“A”或“B”)。另外，在南大做探究的同學還利用計算機繪制了a、b兩個擺球的振動圖像(如圖乙)，由圖可知，兩單擺擺長之比＝________。
答案　B　
解析　由單擺的周期公式T＝2π得T2＝l，即T2 l圖像的斜率k＝，重力加速度越大，斜率越小，我們知道北京的重力加速度比南京的大，所以去北大的同學所測實驗結果對應的圖線是B；從題圖乙可以得出：Tb＝1.5Ta，由單擺的周期公式得：Ta＝2π，Tb＝2π ，聯立解得：＝。
9．根據單擺周期公式T＝2π ，可以通過實驗測量當地的重力加速度。如圖甲所示，將細線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺。
(1)用游標卡尺測量小鋼球直徑，示數如圖乙所示，讀數為________ mm。
(2)下列操作正確的是________。
A．小球從偏離平衡位置60°開始擺動
B．細線上端用鐵夾子固定
C．小球到達最高點時作為計時開始與終止的位置
D．小球自由下垂時測量擺線的長度
答案　(1)18.6　(2)BD
解析　(1)根據游標卡尺讀數規則，游標卡尺的讀數：18 mm＋6×0.1 mm＝18.6 mm。
(2)擺線與豎直方向的夾角不超過5°時，才可以認為擺球的運動為簡諧運動，故A錯誤；細線上端應用鐵夾子固定，防止松動引起擺長變化，故B正確；當小球運動到最低點時開始計時誤差較小，故C錯誤；實驗時應該測量小球自由下垂時擺線的長度，故D正確。
10．將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h(未知)且開口向下的小筒中(單擺的下部分露于筒外)，如圖甲所示，將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放，設單擺擺動過程中懸線不會碰到筒壁，如果本實驗的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心的距離L，并通過改變L而測出對應的擺動周期T，再以T2為縱軸、L為橫軸作出函數關系圖像，那么就可以通過此圖像得出小筒的深度h和當地的重力加速度g。
(1)測量單擺的周期時，某同學在擺球某次通過最低點時，按下停表開始計時，同時數“1”，當擺球第二次通過最低點時數“2”，依此法往下數，當他數到“59”時，按表停止計時，讀出這段時間t，則該單擺的周期為(　　)
A. B. C. D.
(2)如果實驗中所得到的T2 L關系圖像如圖乙所示，那么真正的圖像應該是a、b、c中的________。
(3)由圖像可知，小筒的深度h＝________ m；當地重力加速度g＝________ m/s2。
答案　(1)A　(2)a　(3)0.3　9.86
解析　(1)這段時間t含有58個“半周期”，即29個周期，則該單擺的周期為，A正確。
(2)擺線在筒內部分的長度為h，由T＝2π 得，T2＝L＋h，可知T2 L的關系圖像為a。
(3)將T2＝0，L＝－30 cm代入T2＝L＋h可得：h＝30 cm＝0.3 m，將T2＝1.20 s2，L＝0，h＝0.3 m代入T2＝L＋h可求得：g＝π2 m/s2≈9.86 m/s2。
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