資源簡介

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專題05 共點力作用下的靜態平衡問題
【核心要點】
1.平衡狀態
物體處于靜止狀態或勻速直線運動狀態.
2.共點力的平衡條件
F合＝0或者
3.平衡條件的推論
(1)二力平衡：如果物體在兩個共點力的作用下處于平衡狀態，這兩個力必定大小相等，方向相反.
(2)三力平衡：如果物體在三個共點力的作用下處于平衡狀態，其中任何一個力與其余兩個力的合力大小相等，方向相反，并且這三個力的矢量可以形成一個封閉的矢量三角形.
(3)多力平衡：如果物體在多個共點力的作用下處于平衡狀態，其中任何一個力與其余幾個力的合力大小相等，方向相反.
【核心方法】
涉及三個力的靜態平衡問題，一般選擇運用矢量三角形法，涉及四個及四個以上力的靜態平衡問題，一般選擇運用正交分解法。
【經典例題】
類型一：單個物體靜態平衡問題
【例題1】近年來，智能手機的普及使“低頭族”應運而生。近日研究發現，玩手機時，就有可能讓頸椎承受多達60磅(約270 N)的重量。不當的姿勢與一系列健康問題存在關聯，如背痛、體重增加、胃痛、偏頭痛和呼吸道疾病等，當人體直立時，頸椎所承受的壓力等于頭部的重量；但當低頭時，頸椎受到的壓力會隨之變化。現將人低頭時頭頸部簡化為如圖所示的模型：重心在頭部的P點，頸椎OP(輕桿)可繞O轉動，人的頭部在頸椎的支持力和沿PA方向肌肉拉力的作用下處于靜止。假設低頭時頸椎OP與豎直方向的夾角為45°，PA與豎直方向的夾角為60°，此時頸椎受到的壓力約為直立時頸椎受到的壓力的(≈1.414，≈1.732)(　　)
A．4.2倍 B．3.3倍
C．2.8倍 D．2.0倍
【答案】B
【解析】：設頭部的質量為m，當人體直立時，頸椎所受的壓力F＝mg；當低頭時，設頸椎所受到的壓力為F1，以P點為研究對象，受力分析如圖所示，由正弦定理得＝，解得F1≈3.3F，選項B正確，A、C、D錯誤。
類型二：物體受力個數判斷與分析
【例題2】如圖所示，質量為m的小球用水平輕質彈簧系住，并用傾角θ＝37°的木板托住，小球處于靜止狀態，彈簧處于壓縮狀態，則(　　)
A．小球受木板的摩擦力一定沿斜面向上
B．彈簧彈力不可能為mg
C．小球可能受三個力作用
D．木板對小球的作用力有可能小于小球的重力mg
【答案】C
【解析】：小球的受力分析如圖，
當mgsin 37°>Fcos 37°，小球受到沿斜面向上的摩擦力，當mgsin 37°類型三：涉及輕繩、輕桿、勻質繩靜態平衡問題
【例題3】如圖所示，一輕質細繩一端固定于豎直墻壁上的O點，另一端跨過大小可忽略、不計摩擦的定滑輪P懸掛物塊B，OP段的繩子水平，長度為L。現將一帶掛鉤的物塊A掛到OP段的繩子上，A、B物塊最終靜止。已知A(包括掛鉤)、B的質量比為＝，則此過程中物塊B上升的高度為(　　)
A．L B． C.L D．L
【答案】D
【解析】將一帶掛鉤的物塊A掛到OP段的繩子上，A、B物塊最終靜止后，繩子的張力為B的重力，兩段繩子的合力為A的重力，即2mBgcos θ＝mAg，解得cos θ＝，sin θ＝，由幾何關系L＝L′sin θ，此過程中物塊B上升的高度為L′－L＝L，選項D正確。
【例題4】勻質鐵鏈懸掛在天花板上，其中A點是最低點．C點是懸掛點，B點是介于A、C之間的某一點，關于這三點鐵鏈張力大小，下列說法正確的是(　　)
A．A點的張力最大 B．C點的張力最大
C．A、B、C三點張力大小均相等 D．鐵鏈C處切線方向有可能是豎直方向
【答案】B
【解析】設AC段鐵鏈的質量為m，對AC段受力分析，受重力、左側的鐵鏈對其向左的拉力，天花板的拉力，如圖所示
根據平衡條件和受力關系，
有：FC＝
可知C點的拉力大于A點的拉力
再以AB段為研究對象，如圖，由于AB段鐵鏈的質量小于AC段的質量，則：
FB＝所以A、B、C三點張力大小關系為A點最小，C點最大，而且A點的張力的方向沿水平方向．
故只有B項正確，A、C、D三項錯誤．
類型四：平衡極值問題
【例題5】傾角為θ＝37°的斜面體與水平面保持靜止，斜面上有一重為G的物體A，物體A與斜面間的動摩擦因數μ＝0.5.現給A施加一水平力F，如圖所示．設最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物體A能在斜面上靜止，水平推力F與G的比值不可能是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0.5
【答案】A
【解析】設物體剛好不下滑時F＝F1，
則F1·cos θ＋μFN＝G·sin θ，
FN＝F1·sin θ＋G·cos θ.
得：＝＝＝；
設物體剛好不上滑時F＝F2，則：
F2·cos θ＝μFN′＋G·sin θ，
FN′＝F2·sin θ＋G·cos θ，
得：＝＝＝2，
即≤≤2，故F與G的比值不可能為A.
【例題6】(多選)如圖所示，一根長為L的細繩一端固定在O點，另一端懸掛質量為m的小球A，為使細繩與豎直方向成30°角且繃緊，小球A靜止，則需對小球施加的力可能等于(　　)
A.mg　　　　 B．Mg C.mg D．mg
【答案】AB
【解析】　
以小球為研究對象進行受力分析，如圖所示，當力F與細繩垂直時，所用的力最小。根據平衡條件得F的最小值為Fmin＝Gsin 30°＝mg，所以對小球施加的力F≥mg，故A、B正確。
【精講精練】
1.某同學參加“筷子夾玻璃珠”游戲,如圖所示,夾起玻璃珠后,左側筷子與豎直方向的夾角θ為銳角,右側筷子豎直,且兩筷子始終在同一豎直平面內。保持玻璃珠靜止,忽略筷子與玻璃珠間的摩擦,下列說法正確的是(　 　)
A.兩側筷子對玻璃珠的合力比重力大
B.兩側筷子對玻璃珠的合力比重力小
C.左側筷子對玻璃珠的彈力一定比玻璃珠受到的重力大
D.右側筷子對玻璃珠的彈力一定比玻璃珠受到的重力大
【答案】C
2.如圖所示，兩豎直木樁ab、cd固定，一不可伸長的輕繩兩端固定在a、c端，繩長L，一質量為m的物體A通過輕質光滑掛鉤掛在輕繩中間，靜止時輕繩兩端夾角為120°。若把輕繩換成自然長度為L的橡皮筋，物體A懸掛后仍處于靜止狀態，橡皮筋處于彈性限度內。若重力加速度大小為g，關于上述兩種情況，下列說法正確的是(　　)
A．輕繩的彈力大小為2mg
B．輕繩的彈力大小為mg
C．橡皮筋的彈力大于mg
D．橡皮筋的彈力大小可能為mg
【答案】B
3.如圖所示，ACB是一光滑的、足夠長的、固定在豎直平面內的“∧”形框架，其中CA、CB邊與豎直方向的夾角均為θ.P、Q兩個輕質小環分別套在CA、CB上，兩根細繩的一端分別系在P、Q環上，另一端和一繩套系在一起，結點為O.將質量為m的鉤碼掛在繩套上，OP、OQ兩根細繩拉直后的長度分別用l1、l2表示，若l1∶l2＝2∶3，則兩繩受到的拉力之比F1∶F2等于(　　)
A．1∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．4∶9
【答案】A
4.如圖，兩個輕環a和b套在位于豎直面內的一段固定圓弧上；一細線穿過兩輕環，其兩端各系一質量為m的小球。在a和b之間的細線上懸掛一小物塊。平衡時，a、b間的距離恰好等于圓弧的半徑。不計所有摩擦。小物塊的質量為(　　)
A. B.m C．m D．2m
【答案】B
5.如圖所示，小圓環A吊著一個質量為m2的物塊并套在另一個豎直放置的大圓環上，有一細繩一端拴在小圓環A上，另一端跨過固定在大圓環最高點B的一個小滑輪后吊著一個質量為m1的物塊.如果小圓環A、滑輪、繩子的大小和質量以及相互之間的摩擦都可以忽略不計，繩子不可伸長，平衡時弦AB所對的圓心角為α，則兩物塊的質量之比m1∶m2應為(　　)
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A.cos B.sin C.2sin D.2cos
【答案】C
6.(多選)如圖所示，滑塊A與小球B用同一根不可伸長的輕繩相連，且滑塊A套在水平桿上.現用大小為10 N、與水平方向成30°角的力F拉B，使A、B一起向右勻速運動，運動過程中保持相對靜止.已知A、B的質量分別為2 kg、1 kg，取g＝10 m/s2，則(　　)
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A.輕繩與水平方向的夾角θ＝60°
B.輕繩與水平方向的夾角θ＝30°
C.滑塊A與水平直桿之間的動摩擦因數為
D.滑塊A與水平直桿之間的動摩擦因數為
【答案】BD
7.(多選)如圖所示，輕質光滑滑輪兩側用輕繩連著兩個物體A與B，物體B放在水平地面上，A、B均靜止.已知A和B的質量分別為mA、mB，繩與水平方向的夾角為θ(θ<90°)，重力加速度為g，則(　　)
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A.物體B受到的摩擦力可能為零
B.物體B受到的摩擦力大小為mAgcos θ
C.物體B對地面的壓力可能為零
D.物體B對地面的壓力大小為mBg－mAgsin θ
【答案】BD
8.如圖所示,左側是傾角為60°的斜面,右側是圓弧面的物體固定在水平地面上,圓弧面底端的切線水平,一根兩端分別系有質量為m1、m2小球的輕繩跨過其頂點上的小滑輪。當它們處于平衡狀態時,連接m2小球的輕繩與水平線的夾角為60°,不計一切摩擦,兩小球可視為質點。兩小球的質量之比m1∶m2等于(　　)
A.1∶1 B.2∶3 C.3∶2 D.3∶4
【答案】B
9.如圖所示，固定在水平地面上的物體P，左側是光滑圓弧面，一根輕繩跨過物體P頂點上的小滑輪，一端系有質量為m＝4 kg的小球，小球與圓心連線跟水平方向的夾角θ＝60°，繩的另一端水平連接物塊3，三個物塊重均為50 N，作用在物塊2的水平力F＝20 N，整個系統處于平衡狀態，取g＝10 m/s2，則以下說法正確的是(　　)
A．1和2之間的摩擦力是20 N
B．2和3之間的摩擦力是20 N
C．3與桌面間的摩擦力為20 N
D．物塊3受6個力作用
【答案】B
10.將一光滑輕桿固定在地面上，桿與地面間夾角為θ，一光滑輕環套在桿上。一個大小和質量都不計的滑輪用輕繩OP懸掛在天花板上，用另一輕繩通過滑輪系在輕環上，用手拉住輕繩另一端并使OP恰好在豎直方向，如圖所示。現水平向右拉繩，當輕環重新靜止不動時OP繩與天花板之間的夾角為(　　)
A．90° B．45° C．θ D．45°＋
【答案】D
11.如圖所示，一根鐵鏈一端用細繩懸掛于A點，為了測量這個鐵鏈的質量，在鐵鏈的下端用一根細繩系一質量為m的小球，待整個裝置穩定后，測得兩細繩與豎直方向的夾角為α和β，若tanα︰tanβ＝1︰3，則鐵鏈的質量為 ( )
A．m　 B．2m　　 C．3m　 D．4m
【答案】B
12.如圖所示，質量分別為3m和m的兩個可視為質點的小球a、b，中間用一細線連接，并通過另一細線將小球a與天花板上的O點相連，為使小球a和小球b均處于靜止狀態，且Oa細線向右偏離豎直方向的夾角恒為37°，需要對小球b朝某一方向施加一拉力F.若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.重力加速度為g，則當F的大小達到最小時，Oa細線對小球a的拉力大小為(　　)
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A.2.4mg B.3mg C.3.2mg D.4mg
【答案】C
13. (多選)如圖,把重為20 N的物體放在傾角為θ=30°的粗糙斜面上并靜止。物體與固定斜面上的輕彈簧相連接,若物體與斜面間的最大靜摩擦力為12 N,則彈簧的彈力(彈簧與斜面平行)(　 　)
A.可以為22 N,方向沿斜面向上
B.可以為2 N,方向沿斜面向下
C.可以為2 N,方向沿斜面向上
D.不可以為零
【答案】ABC
14.如圖所示，質量為m1的物體甲通過三段輕繩懸掛，三段輕繩的結點為O，輕繩OB水平且B端與站在水平面上的質量為m2的人相連，輕繩OA與豎直方向的夾角θ＝37°，物體甲及人均處于靜止狀態。(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)
(1)輕繩OA、OB受到的拉力分別是多大？
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的質量m2＝60 kg，人與水平面之間的動摩擦因數μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑動，則物體甲的質量m1最大不能超過多少？
【答案】(1)m1g　m1g　(2)m1g，方向水平向左 (3)24 kg
答案
1.解析:由于玻璃珠保持靜止,所以兩側筷子對玻璃珠的合力與重力等大反向,故A、B錯誤;作出玻璃珠的受力示意圖如圖所示,根據平行四邊形定則可知,F2一定大于mg,即左側筷子對玻璃珠的彈力一定比玻璃珠受到的重力大,由于θ未知,右側筷子對玻璃珠的彈力不一定比玻璃珠受到的重力大,故C正確,D錯誤。
2.【解析】設兩桿間的距離為s，細繩的總長度為L，靜止時輕繩兩端夾角為120°，由于重物的拉力的方向豎直向下，所以三個力之間的夾角都是120°，根據矢量的合成可知，三個力的大小是相等的，故輕繩的彈力大小為mg，故A錯誤，B正確；若把輕繩換成自然長度為L的橡皮筋，橡皮筋受到拉力后長度增大，桿之間的距離不變，所以重物靜止后兩根繩子之間的夾角一定小于120°，兩個分力之間的夾角減小，而合力不變，所以兩個分力減小，即橡皮筋的拉力小于mg，故C、D錯誤。
3.【解析】系統最終將處于平衡狀態，兩個輕質小環P、Q分別受到兩個力作用，一是框架對它們的支持力，垂直AC、BC邊向外，二是細繩拉力，這兩個力是平衡力．根據等腰三角形知識可知兩細繩與水平方向的夾角相等，對結點O受力分析，其水平方向的合力為零，可得出兩細繩受到的拉力相等，即F1∶F2等于1∶1，本題選A.注意題目中提到的“輕質小環”可以不計重力，繩子的長短并不能代表力的大小，要與力的平行四邊形定則中的邊長區別開來，力的平行四邊形定則中邊長的長與短代表著力的大小．
4.【解析】對B受力分析(如圖甲)得F2＝＝2F，
對工件受力分析(如圖乙)。
其中F2′＝F2，得FN＝F2′cos 30°＝100 N，故B正確。
5.【解析】對小圓環A受力分析，如圖所示，FT2與FN的合力與FT1平衡，由矢量三角形與幾何三角形相似，可知＝，其中FT2＝m2g，F＝FT1＝m1g，聯立解得＝2sin ，C正確.
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6.【解析】對B受力分析，B受重力、拉力F及繩子的拉力而處于平衡狀態；將兩拉力合成，因拉力為10 N，小球的重力為10 N，則由幾何關系可知，輕繩的拉力也為10 N，方向與水平方向成30°角，故B正確，A錯誤；對A、B整體受力分析可知，A受到的支持力FN＝(mA＋mB)g－Fsin 30°＝25 N，摩擦力等于F沿水平方向的分力Ff＝Fcos 30°＝5 N，由Ff＝μFN′，FN′＝FN，解得μ＝＝，故D正確，C錯誤.
7.【解析】輕繩拉力FT＝mAg，對B，在水平方向有Ff＝FTcos θ＝mAgcos θ，在豎直方向地面對B的支持力FN＝mBg－FTsin θ＝mBg－mAgsin θ，由牛頓第三定律可知，選項D正確；當mBg＝mAgsin θ時，FN＝0，此時物體B不可能靜止，選項A、C錯誤，B正確.
8.解析:設輕繩的張力為FT,圓弧面對m2的彈力為FN,斜面對m1的彈力為FN1。對m1、m2分別受力分析如圖所示,對m2,由對稱性可知,FN=FT,由平衡條件可得FTcos 30°+FNcos 30°=m2g;對m1,由平衡條件可得FT=m1gsin 60°,聯立解得 =,B正確。
9.【解析】對小球受力分析可知，繩的拉力等于小球重力沿圓弧面切線方向的分力，由幾何關系可知繩的拉力等于20 N．將三個物塊看成一個整體受力分析，可知水平方向整體受到拉力F和繩的拉力的作用，由于F等于繩的拉力，故整體受力平衡，與桌面間沒有摩擦力，故物塊3與桌面間的摩擦力為0，C錯誤．由于物塊1、2之間沒有相對運動的趨勢，故物塊1和2之間沒有摩擦力的作用，A錯誤．隔離物塊3受力分析，水平方向受力平衡可知物塊2和3之間摩擦力的大小是20 N，B正確．物塊3受重力、桌面的支持力、物塊2的壓力、物塊2的摩擦力、繩的拉力5個力作用，D錯誤．
10.【解析】由于環為輕環，不計質量，故用力拉繩子后，繩子PQ段必定垂直于光滑桿，只有這樣PQ段的拉力在沿著桿方向才沒有分力，輕環方可平衡，如圖甲所示，
　
由圖甲可知PQ段繩子與豎直方向夾角為θ，對滑輪受力分析如圖乙所示：由于滑輪質量不計，則兩繩子拉力的合力與OP段繩子拉力等大反向，又因為兩繩子拉力等大，故OP段繩子拉力必定沿著兩繩子夾角的平分線，由幾何關系可知OP段繩子與天花板夾角為＝45°＋，故選項D正確。
11【解析】對小球進行受力分析，受重力、拉力和細線的拉力，由平衡條件得：tanβ＝，對鐵鏈和小球整體進行受力分析，受重力、細線的拉力T、已知力F，由平衡條件得：tanα＝，聯立解得：M＝2m，故選項B正確。
12.解析　以兩個小球組成的整體為研究對象，作出F在三個方向時整體的受力圖.根據平衡條件得知F與FT的合力與總重力總是大小相等、方向相反的，由力的合成圖可以知道當F與繩子Oa垂直時F有最小值，即圖中2位置，此時Oa細線對小球a的拉力大小為FT＝4mgcos 37°＝3.2mg，故C正確，A、B、D錯誤.
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13.解析:將重力按照作用效果分解為平行斜面的下滑分力mgsin 30°=10 N,垂直斜面的垂直分力mgcos 30°=10 N;當最大靜摩擦力平行斜面向下時,物體與斜面間的最大靜摩擦力為12 N,彈簧彈力為拉力,等于 22 N;當最大靜摩擦力平行斜面向上時,物體與斜面間的最大靜摩擦力為12 N,彈簧彈力為推力,等于2 N;故彈簧彈力可以是不大于2 N的推力或不大于22 N的拉力,也可以沒有彈力,故A、B、C正確。
14.【解析】(1)以結點O為研究對象進行受力分析，如圖甲所示，由平衡條件有
FOB－FOAsin θ＝0
FOAcos θ－m1g＝0
聯立以上二式解得FOA＝＝m1g
FOB＝m1gtan θ＝m1g
故OA、OB受到的拉力大小分別為m1g、m1g。
(2)人在水平方向受到OB繩的拉力FOB′和水平面的靜摩擦力作用，FOB′＝FOB，對人受力分析如圖乙所示，由平衡條件得Ff＝FOB′＝m1g，方向水平向左。
(3)當人剛要滑動時，甲的質量達到最大，此時人受到的靜摩擦力達到最大值。有Ffm＝μm2g
由平衡條件得FOBm′＝Ffm
又FOBm′＝m1mgtan θ＝m1mg
聯立以上二式解得m1m＝＝＝24 kg
即物體甲的質量m1最大不能超過24 kg。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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