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2023屆高考數學復習專題 ★★
高中數學拓展公式在解題中的巧用
★角平分線定理
如下圖所示，若為中的內（外）角平分線與的交點，則。
【示例1】已知、分別為雙曲線：的左、右焦點，點，點的坐標為，為的平分線，則 。
【簡答】：依據題意可得，，因為為的平分線，且點的坐標為，所以由角平分線定理得，即。
由雙曲線的定義知，故可得。
【示例2】已知是的內心，，，，若，則的值為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【簡答】：如上圖所示，因為是的內心，即平分，平分，所以由角平分線定理得，從而得
， （評注：目的是為了確定的位置）
所以
，即，故選B。
【示例3】已知雙曲線：的右焦點為，過點向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于。若，則雙曲線的離心率 。
【簡答】：如上圖所示，因為，所以依據題意可得，，。
注意到，軸為的平分線，所以由角平分線定理可得到，所以
進而在直角三角形中，由勾股定理可得，即
所以
★廣義托勒密定理（不等式）
設為任意凸四邊形，則，當且僅當四點共圓時取等號。
【示例1】在平面四邊形中，，，，，則的最小值為 。
【簡答】：依據題意可設，則。
所以由托勒密定理得， 即
化簡得，故的最小值為。
【示例2】如圖，在凸四邊形中，，，，。當變化時，對角線的最大值為 。
【簡答】：依據題意可設，則。
所以由托勒密定理得， 即
化簡得，故的最大值為。
★阿波羅尼斯圓（軌跡問題）
若平面內一動點到兩定點的距離之比等于非的正常數，即且，則此動點的軌跡即為阿波羅尼斯圓。
【示例1】滿足條件，的三角形的面積的最大值是 。
【簡答】：根據題意有，若把看作定點，看作動點，則由阿波羅尼斯圓的軌跡定義知點的軌跡為圓。不妨設，，，由化簡得，此即為動點的軌跡方程，結合圖形易知，故面積的最大值為。
★重心性質
（Ⅰ）；（Ⅱ）（另一條中線亦如此）；
（Ⅲ）若，，，則的重心的坐標為；
（Ⅳ）三條中線將分成個面積相等的小三角形。
【1】中，，且，若，則實數的值是 。
【簡答】：因為，所以，即；
所以 ①
又因為，且，所以為的重心且。
根據重心的相關性質，不妨設，，
所以
同理，
將這三個式子的結果均代入①式可算出。
★圓的相交弦定理
如圖所示，弦與弦相交于點，則有。
【示例1】函數的圖像與軸，軸有三個交點，有一個圓恰經過這三個點，
則此圓與坐標軸的另一個交點是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【簡答】：根據題意得到三個交點分別為，，。
設過三點的圓與坐標軸交的第四個點為，且在軸的正半軸上。易知與的交點為，所以由相交弦定理得，即，解得。
所以，故選B。
★海倫公式
邊長為的三角形的面積公式為，其中。
【1】設的三邊長分別為，，，的面積為，。
若，，，，，則（ ）
（A）為遞減數列 （B）為遞增數列
（C）為遞增數列，為遞減數列 （D）為遞減數列，為遞增數列
【簡答】：本題采用特殊值法。為了便于利用海倫公式算面積，不妨設
，，，周長的一半，則
；
，，，周長的一半，則
；
，，，周長的一半，則
；
，，，周長的一半，則
；
從而易看出，故選B。（根據選項此題至少算4個）
★圓的切割線定理
如圖所示，過點引兩條割線，一條切線，則有。
【1】如圖，拋物線：的焦點為，準線l與x軸的交點為。點在拋物線上，以為圓心，為半徑作圓，設圓與準線l交于不同的兩點M，N。
（Ⅰ）若點的縱坐標為2，求；
（Ⅱ）若，求圓的半徑。
【簡答】：（Ⅰ）根據題意易得到，點到直線的距離；從而
。
（Ⅱ）先設直線與圓交另外一點為。
由圓的切割線定理得到；
因為，所以，即，所以。
此時為圓的一條弦，根據垂徑定理，易知線段的垂直平分線必過圓心，所以
從而；所以，故圓的半徑為。
★三角形內切圓半徑公式
（其中為的內切圓半徑）
【1】在封閉的直三棱柱內有一個體積為的球，若，，，，
則的最大值是（ ）
（A）4π （B） （C）6π （D）
【簡答】：根據題意只需考慮兩方面的情形：一是保證球與上下底面相切，二是保證與三側面相切。
當球與上下底面相切時，球的半徑應為，
當球與三側面相切時，球的半徑應為，
因此最終確定球半徑的最大值，進而體積最大值
【評注】：多面體的內切球半徑公式：（推導原理是體積分割法）。
★拋物線焦半徑、焦點弦公式（該課外公式僅解小題）
①為拋物線的焦點弦，為焦點，，，為直線的傾斜角，則有（課內） ；
（課外） 。
②為拋物線的焦點弦，為焦點，，，為直線的傾斜角，則有（課內） ；
（課外） 。
【示例1】已知為拋物線：的焦點，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于兩點，直線與交于兩點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【簡答】：依據題意可得，
所以
故選A。
另解：
【示例2】過拋物線的焦點作一直線交拋物線于，兩點，若線段與的長分別為，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【簡答】：依據題意可得，因大小不定，則不妨取，
所以。
評注：當然本題可利用特殊位置以確定答案，比如當平行于軸時，易得出C選項。
【示例3】過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于、兩點（點在軸左側），則 。
【簡答】：依據題意得，。（因為結合圖形易看出）。
所以。
★三次函數對稱中心公式
對于三次函數的對稱中心，只需將三次函數求導兩次后等于零，即得對稱中心的橫坐標，所以三次函數的對稱中心為。
【1】已知函數，實數滿足，，則（ ）（A） （B） （C） （D）
【簡答】：依據題意可得，則該三次函數的對稱中心為，所以滿足
，然而，所以，故選A。
【2】已知點，點在曲線上，點在直線上，為線段的中點，則的最小值為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】：B
【3】
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