資源簡介

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人教A版必修第二冊 第八章 閱讀與思考
歐幾里得《原本》與公理化方法
一、課堂引入
2.向量“空間”
實數是有序的，可以比較大小；實數集對加、減、乘、除（除數不為零）四則運算具有封閉性；加法運算滿足交換律、結合律，乘法運算滿足交換律、分配律、結合律；在現實生活中有廣泛運用.
1.實數“域”.
創建新體系的一種方法——公理化方法
向量的加、減、數乘運算是封閉的；向量的加法滿足交換律、結合律；數量積運算滿足交換律、分配律.
向量是溝通幾何和代數的橋梁，并且有豐富的物理背景，有廣泛的運用價值，是一個優良的“空間”.
推論3 過兩條平行直線，有且只有一個平面.
平面與平面平行性質定理 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行
第一次給出公理化的數學
體系——歐幾里得《原本》
數學公理化方法，就是從盡可能少的原始概念（基本概念）
基本概念——如中學數學中的點，直線，平面等.
二.公理化方法
公理是對基本概念間的相互關系和基本性質所作的一種闡述和規定.
相容性：不能自相矛盾.
獨立性：任一條公理不能從別的公理推出來.
和盡可能少的一組不加證明的原始命題（公理，公設）出發，
應用嚴格的邏輯推理，推導出其余的命題，使某一數學分支成 為 演繹系統的一種方法.
三.《原本》簡介
由于人類生活和生產的需要，產生了幾何學.
古希臘數學積累了大量的、具體的成果.但這些知識缺乏系統性, 大多數是片斷的、零散的.
1.歷史起源
歐幾里得將公元前7世紀以來希臘幾何學家積累起來的豐富成果整理、收集起來，并加以系統化.
他從少數已被經驗反復驗證的公理出發，運用邏輯推理以及數學運算方法演繹出一系列定理與推論，寫成了十三卷在數學史上的數學巨作《原本》，使幾何學成為一門獨立、演繹的科學.
2. 《原本》誕生
幾何《原本》在人類數學史中第一次給出了公理化的數學體系，成為理性思維的象征.對整個數學發展產生了深遠的影響.
3. 《原本》的意義
公理化方法作為一種理論形式為人們普遍接受.人們普遍建立了這樣的認識，所有的數學理論，都必須按照數學的定義，公理與三段論的邏輯論證來組織.
四. 《原本》內容簡介 1.整體概述
卷 內容 定義 公理 公設 命題
1 直線形 23 5 5 48
2 幾何代數法 2 14
3 圓 11 37
4 多邊形 7 16
5 比例論 18 25
6 相似形 4 33
7 數論 22 39
8 數論 0 27
9 數論 0 36
10 不可公度量 16 115
11 立體圖形 28 39
12 求積術 0 18
13 正多面體 0 18
合計 131 5 5 465
2.內容框架（第I卷）
設AB為已知的線段.要求以線段AB為邊建立一個等邊三角形.
以A為圓心、AB為半徑作圓BCD(公設1.3)；再以B為圓心，以BA為半徑作圓ACE(公設1.3)；兩圓相交與C點，連接CA、CB.
圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內有一點與這條直線上任何一點所連成的線段都相等.
因為A點是圓CDB的圓心，故AC等于AB（定義I.15） .
又點B是圓CAE的圓心，故BC等于BA（定義I.15），
因為等于同量的量彼此相等（公理I.1）；
所以CA等于CB. 三條線段CA、AB、BC相等.
所以三角形ABC是建立在線段AB上的等邊三角形. 證畢
命題I.1 已知一條線段可作一個等邊三角形
以定點為圓心及定長的線段為半徑可作圓.
在點A上取AD等于c，又以A為圓心、以AD為半徑建圓DEF（公設I.3）.
因為點A是圓DEF的圓心，所以AE=AD（定義I.15）.
又c也等于AD，所以線段AE和c都等于AD，所以AE也等于c(公理I.1).
所以從較長AB上作出了AE等于短線段c. 證畢
命題I.3 給定兩條不等線段，可以在較長的線段切取一條線段等于較短的線段.
設AB和c是給定的兩條不等線段.AB較長.
A B
c
在AC上任取一點D,CB上任取一點E，并讓CD等于CE(命題I.3).
在DE上建立等邊三角形FDE（命題I.1）.連接FC，那么FC就是直線AB在C點上的垂線.
因為DC等于CE，CF是公共邊，邊DC、CF與EC、CF是對應邊；底邊DF與底邊相等；故三角形DCF全等于三角形ECF.
角DCF、ECF互為鄰角. 所以角DCF、FCE皆為直角.（定義I.10）
所以線段CF垂直于線段AB，并在C點上平分.
所以過一條直線上的一個點可以作該直線的垂線. 證畢
命題I.11 過直線上的一點，可以作該直線的垂線.
設AB已知直線，C為直線上的點.
要求從C點作一條直線垂直于AB.
五、非歐幾何的創立
羅巴切夫斯基認為第五公設不能被證明，把第五公設換成一條新的公設“平面內過已知直線外一點至少可以引兩條直線與已知直線不相交”，用公理化方法創建自己的公理體系，提出新的幾何學
1826年2月11日在物理數學系會議上宣讀了論文《平行線理論和幾何學原理概論及證明》
1829年發表了《幾何學原理》
1835年發表了《平行線理論的幾何學探討》 ...
公設
I.1 過現點可以作一條直線.
I.2 直線可以向兩端無限延伸.
I.3 以定點為圓心及定長的線段為半徑可以作圓.
I.4 凡直角都相等.
—羅氏幾何
羅巴切夫斯基
I.5 同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小于1800，則這兩條直線經無限延長后在這一側一定相交.
五、非歐幾何的創立
在研究和應用公理化過程中產生了非歐幾何.
平行公理不同
歐氏幾何：過直線外一點有且只有一條直線與已知
直線平行.
非歐幾何
直線、平面的認識
觀察下的平面、直線，事實上的直線、平面.
觀察下的平面、直線，事實上的曲線和曲面
黎曼幾何
三角形內角和=1800
三角形內角和>1800
三角形內角和
歐式幾何
數學家們通過非歐幾何學的創立，意識到我們在接受歐幾里得幾何學的證明時，不知覺地依賴過直觀.
很多數學家開始認真的研究幾何學基礎以及數概念、分析學、代數學乃至整個數學基礎等問題，公理化方法在這些研究中取得了進一步的完善和發展.
六、公理化方法的作用
1.概括整理數學知識.《原本》就是歐幾里得用公理化方法把零散的幾何知識歸為一體，樹立了研究數學的典范.
2. 促進新理論的創建. 非歐幾何就是在研究和應用公理 化過程中產生的.
3.對其他學科有示范作用.由于數學公理化方法表述數學理論的簡捷性、條理性、結構的合理性，其他學科紛紛效法，建立了自己的公理化體系.
七、作業布置
1.細讀歐幾里得《原本》的若干定義、公理、公設和命題.
2.簡述《原本》在數學史上的意義.
3.寫一篇有關公理化方法的小論文.
一、
教材分析
二、
學情分析
三、
教學目標及重難點
四、
整體思考
五、
課程設計
1.《歐幾里得<原本>與公理化方法》是新人教A版高中數學必修第二冊第八章《立體幾何初步》內容結束后的拓展閱讀課.
一、
教材分析
3.公理化方法對概括整理數學知識、促進新理論的創立、對其他學科的示范都有重要作用，是創建新的體系的一種方法，對學生后續學習、研究有積極的延伸.
2.本課是繼學生掌握了立體幾何四個基本事實、三個推論、平行和垂直的定理、性質基礎上，結合歐幾里得《原本》的內容，從歷史發展的角度學習公理化方法.后續還連接著“文獻閱讀與數學寫作-幾何學的發展”.
1.學生已經掌握了實數運算性質、初中平面幾何、必修第二冊《平面向量》等基本內容，對很多額外的知識內容如向量中的“外積”、代數中的“群、環、域”等都沒有基礎.
二、
學情分析
2.學生重點學習了必修第二冊第八章《立體幾何初步》中的內容，
能直觀認識和理解空間中點、直線、平面的位置關系，會用數學語
言表述、證明有關立體幾何中平行、垂直等問題.
三、
教學目標及重難點
教學重點
教學難點
教學目標
教學目標
1.經歷兩個熟悉命題的證明，分析命題的推理結構，理解公理化方法.
2.經歷《原本》第I卷中兩個命題的證明，進一步了解《原本》的內容，加深對公理化方法的理解.
3.通過介紹《原本》的起源、誕生、意義及非歐幾何的創立，了解公理化方法的作用，為后續“文獻閱讀與數學寫作”積累背景知識.
教學重點：
結合歐幾里得《原本》和學生已有的知識掌握公理化方法.
教學難點：公理化方法和非歐幾何中的平行公理.
四、
整體思考
本節課容量大，涉及很多課外知識，有一定的深度和挑戰.如何
基于學生已有數學知識儲備增加學生的活動經驗，讓學生在親身經
歷的活動中深入體會公理化方法的思想是本節課重點思考的問題.
1.所用命題和定理均取材于教科書，從學生已經熟悉問題引入，主要為了
提取出證明框架，有效地節約了課堂時間，也讓學生對公理化方法概念有
了經驗積累.
2.引入中特地選擇平行相關的定義和證明命題，和后面歐氏幾何、非歐幾何
中的平行公理形成一體.
五、
課程設計
課堂引入
作業布置
公理化方法和《原本》介紹
《原本》第I卷內容
非歐幾何的創立
公理化方法作用
1.從學生熟悉的實數、向量兩個體系出發，讓學生了解“為什么要學公理化方法”、創建什么樣的體系更有意義”.
課堂引入
2.從書本的一個命題出發，追本溯源回到定義和定理，在實踐證明中體會公理化思想.
1.根據前面的經驗積累自然給出數學公理化方法的內涵，對學生理解相對模糊的“基本概念、公設、公理”等作必要的解讀，讓學生加深對公理化方法內涵的理解.
公理化方法和《原本》介紹
2.學生對《原本》比較生疏，通過對《原本》的發展、意義簡述，拉近學生和《原本》的距離；通過對《原本》的歷史起源、誕生的介紹，拓寬知識面，滲透數學文化.
《原本》第I卷內容介紹
1.通過第I卷中三個命題的學習，讓學生理解《原本》中一系列命題的推理結構，滲透公理化方法.
2.鑒于學生對第一卷中的定義、公理、公設不熟悉，且量較大，短時間無法細讀運用，故選取了學生知識范圍內能證明的命題I.1 和I.3，重點提取它們的推理結構，理解公理化方法的具體運用.
非歐幾何的創立
1.第五公設.
2.剖析歐式幾何和非歐幾何.
3.建立一個粗略的模型解釋黎曼幾何中直線、平行公理幫助學生理解.
通過介紹非歐幾何的創立，滲透公理化方法的作用.
通過介紹非歐幾何中一些淺顯易懂的內容，拓寬、豐富學生的數學知識；同時通過主要人物、主要成果的介紹，拓展數學文化.
公理化方法的作用
1.概括整理數學知識.
2.促進新理論的創建.
3.對其他的學科有示范作用.
作業布置
1.細讀歐幾里得《原本》的若干定義、公理、公設和命題.
2.結合“文獻閱讀與數學寫作”，寫一篇有關幾何學的發展或者公理化方法的小論文.
了解歐式幾何的發展以及對數學和人類文明的貢獻，布置開放性作業激發學生學習興趣，并且通過閱讀書籍、請教老師、上網收集等過程性學習提升學生綜合素養.

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