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6.2 向心力
一、考點梳理
考點一、對向心力的理解
(1)定義：做勻速圓周運動的物體，受到的大小恒定不變，方向始終指向圓心的合力．這個合力叫做向心力．
①向心力并不是像重力、彈力、摩擦力那樣作為具有某種性質的力來命名的，在對物體進行受力分析時，切不可在重力、彈力等性質的力之外再添加一個向心力．
②向心力是按力的效果來命名的，它的效果使物體產生向心加速度．
③向心力可以是某一個力，也可以是幾個力的合力．
(2)向心力的方向：始終指向圓心，與線速度方向垂直，時刻改變，因此向心力是變力．
(3)向心力的作用：只改變線速度的方向，不改變線速度的大?。?br/>(4)向心力的大小
①向心力表達式的推導：因為向心加速度公式為an＝或an＝ω2r或an＝r，由牛頓第二定律Fn＝ma，得向心力Fn＝m或Fn＝mω2r或Fn＝mr.
②向心力的表達式：Fn＝m＝mω2r＝mr.
(5)對向心力表達式的理解
①由公式可知向心力的大小與物體的質量m，圓周半徑r，線速度v(或角速度ω或周期T)都有關系．
②向心力公式是從勻速圓周運動中得出的，但也適用于一般的圓周運動，只是在運用公式求解一般的圓周運動某點的向心力時，必須是該點對應的瞬時速度和對應時刻的半徑．
(6)向心力的來源：向心力是按效果命名的，不是某種性質的力．任何一個力或幾個力的合力，只要它能使物體產生向心加速度，它就是物體的向心力．
①重力、彈力、摩擦力都可以提供向心力，它們的合力(分力)也可以提供向心力．
②物體做勻速圓周運動，物體所受到的合力就是向心力且該合力的大小不變但方向時刻改變．
③若物體做非勻速圓周運動，物體所受合力沿半徑方向的分力提供向心力．
【典例1】下列關于向心力的論述中,正確的是(　　)
A.物體做圓周運動一段時間后才會受到向心力
B.向心力與重力、彈力、摩擦力一樣,是一種特定的力,它只有在物體做圓周運動時才產生
C.向心力可以是重力、彈力、摩擦力等力中某一種力,也可以是這些力中某幾個力的合力
D.向心力既可以改變物體運動的方向,又可以改變物體運動的快慢
【答案】C
【解析】因為有向心力,物體才做圓周運動,A錯誤;向心力是按作用效果命名的,與重力、彈力、摩擦力等性質力不一樣,故B錯誤;向心力可以是重力、彈力、摩擦力等力中某一種力,也可以是某一個力的分力,或者是這些力中某幾個力的合力,故C正確;向心力只能改變物體運動的方向,不能改變物體運動的快慢,故D錯誤。
練習1、關于物體所受合外力的方向，下列說法正確的是（　?。?br/>A．物體做勻變速曲線運動時，其所受合外力的大小恒定、方向變化
B．物體做曲線運動時，其所受合外力不可能是恒力
C．物體做的圓周運動時，其所受合外力的方向一定指向圓心
D．物體做速率不變的曲線運動時，其所受合外力總是與速度方向垂直
【答案】D
【解析】A．物體做勻變速曲線運動時，加速度恒定，則所受合外力恒定，故A錯誤；
B．物體做變速率的曲線運動，合力不一定改變，比如平拋運動，故B錯誤；
C．物體做勻速圓周運動時，其所受合外力的方向一定指向圓心，若非勻速圓周運動，則合外力一定不指向圓心，存在沿切向和沿徑向的分力，故C錯誤；
D．物體做勻速率曲線運動時，速度的大小不變，所以其合力一直不做功，則其的方向總是與速度方向垂直；
練習2、關于向心力的說法正確的是（　?。?br/>A．物體做圓周運動還受到一個向心力
B．向心力可以是任何性質的力
C．做勻速圓周運動的物體其向心力是恒力
D．做圓周運動的物體所受各力的合力一定指向圓心
【答案】B
【解析】A．力是改變物體運動狀態的原因，因為有向心力物體才做圓周運動,而不是因為做圓周運動才產生向心力，也不能說物體還受一個向心力，故A項錯誤；
B．向心力是效果力，可以是任何一種性質的力,故B正確；
C．物體做勻速圓周運動的向心力方向永遠指向圓心,其大小不變,方向時刻改變，故C錯誤；
D．只有勻速圓周運動中，合外力提供向心力,而非勻速圓周運動中向心力并非物體所受的合外力，而是合外力指向圓心的分力提供向心力,故D錯誤。
考點二、變速圓周運動和一般的曲線運動
(1)概念：線速度大小改變的圓周運動叫做變速圓周運動．
(2)受力特點：①物體所受的合力F不指向圓心；將F分解為跟圓弧相切的分力Fτ和指向圓心的分力Fn.
②合力F與速度方向不垂直，它改變了物體速度的大小和方向．
Fn產生向心加速度，與速度方向垂直，改變了速度的方向．
Fτ產生切向加速度，切向加速度與物體的速度方向在同一條直線上，它改變了速度的大小．
物體做加速圓周運動時，合力方向與速度方向夾角小于90°，如圖甲所示，其中Fτ使v增大，Fn使v改變方向．Fn產生的加速度就是向心加速度．同理，F與v夾角大于90°時，Fτ使v減小，Fn改變v的方向如圖乙所示．
(3)僅有向心加速度的圓周運動是勻速圓周運動；同時具有向心加速度和切向加速度的圓周運動是變速圓周運動．
(4)變速圓周運動中，某一點的向心加速度和向心力均可用an＝、an＝rω2和Fn＝、Fn＝mrω2公式求解，這些公式雖然是從勻速圓周運動中得出的，但它們對變速圓周運動仍然適用，只不過應用時要注意Fn、an、ω、v必須是同一時刻的瞬時值．
(5)解決勻速圓周運動問題依據的規律是牛頓第二定律和勻速圓周運動的運動學公式，解決變速圓周運動除了依據上述規律外，還需要用到后面章節將要學習的功能關系等．
(6)一般的曲線運動
運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動，稱為一般的曲線運動．車輛的運動通常是一個比較復雜的曲線運動，在這個復雜的曲線運動中取一小段研究，每一小段都可以看成是某個圓周的一部分，如圖所示，汽車在高低不平的路面上行駛時，不同位置上所對應的“圓周運動”的“圓心”和“半徑”是不同的．
【典例1】(多選)如圖所示，一小球用細繩懸掛于O點，將其拉離豎直位置一個角度后釋放，則小球以O點為圓心做圓周運動，運動中小球所需向心力是(　　)
A．繩的拉力
B．重力和繩拉力的合力
C．重力和繩拉力的合力沿繩方向的分力
D．繩的拉力和重力沿繩方向分力的合力
【答案】CD
【解析】分析向心力來源時就沿著半徑方向求合力即可，注意作出正確的受力分析圖．如圖所示，對小球進行受力分析，它受到重力和繩子的拉力作用，向心力是指向圓心方向的合力．因此，它可以是小球所受合力沿繩方向的分力，也可以是各力沿繩方向的分力的合力．
練習1、如圖所示，物塊P置于水平轉盤上隨轉盤一起運動，圖中c方向沿半徑指向圓心，a方向與c方向垂直．當轉盤逆時針轉動時，下列說法正確的是(　　)
A．當轉盤勻速轉動時，P所受摩擦力方向為c
B．當轉盤勻速轉動時，P不受轉盤的摩擦力
C．當轉盤加速轉動時，P所受摩擦力方向可能為a
D．當轉盤減速轉動時，P所受摩擦力方向可能為b
【答案】A
【解析】轉盤勻速轉動時，物塊P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做勻速圓周運動的向心力，故摩擦力方向為c，A項正確，B項錯誤；當轉盤加速轉動時，物塊P做加速圓周運動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有指向a方向的切向力，使線速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C項錯誤；當轉盤減速轉動時，物塊P做減速圓周運動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有與a方向相反的切向力，使線速度大小減小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D項錯誤．
練習2、如圖所示為蒙晉邊界的黃河大峽谷，河水沿著河床做曲線運動．圖中A、B、C、D四處，受河水沖擊最嚴重的是(　　)
A．A處 B．B處 C．C處 D．D處
【答案】B
【解析】可看作河水沿著河道做圓周運動，根據運動路徑可知，在B處的河床要提供做圓周運動的向心力，故B處的河床受河水的沖擊最嚴重．
考點三、向心力來源的分析
1.向心力是按照力的作用效果命名的力,可以由任何一種性質的力或幾種性質的力的合力來提供
2.若物體做勻速圓周運動,其向心力必然是物體所受的合力,它始終沿著半徑指向圓心的方向,并且大小恒定
3.若物體做非勻速圓周運動,其向心力則為物體所受的合力沿半徑方向的分力,而合力沿切線方向的分力改變線速度的大小
4.向心力來源的實例分析
實例分析 圖例 向心力來源
在勻速轉動的圓筒內壁上，有一物體隨圓筒一起轉動而未發生滑動 彈力提供向心力
用細繩拴住小球在光滑的水平面內做勻速圓周運動 繩的拉力(彈力)提供向心力
物體隨轉盤做勻速圓周運動，且物體相對于轉盤靜止 靜摩擦力提供向心力
用細繩拴住小球在豎直平面內做勻速圓周運動，當小球經過最低點時 拉力和重力的合力提供向心力
小球在細繩作用下，在水平面內做勻速圓周運動時 繩的拉力的水平分力(或拉力與重力的合力)提供向心力
【典例1】如圖所示，半徑為r的圓柱形轉筒，繞其豎直中心軸OO′轉動，小物體a靠在圓筒的內壁上，它與圓筒間的動摩擦因數為μ，要使小物體a不下落，圓筒轉動的角速度至少為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】當圓筒的角速度為ω時，其內壁對小物體a的彈力為FN，要使小物體a不下落，應滿足μFN≥mg，又因為小物體a在水平面內做勻速圓周運動，則FN＝mrω2，聯立兩式解得ω≥，則圓筒轉動的角速度至少為ω0＝.
【典例2】一質量為m的物體，沿半徑為R的向下凹的半圓形軌道滑行，如圖所示，經過最低點時的速度為v，物體與軌道之間的動摩擦因數為μ，則它在最低點時受到的摩擦力為(　　)
A．Μmg B． C．μm(g＋) D．μm(g－)
【答案】C
【解析】在最低點由向心力公式得：FN－mg＝m，
得FN＝mg＋m，又由摩擦力公式有Ff＝μFN＝μ(mg＋m)。
練習1、如圖所示，水平轉臺上放著一個紙箱A，當轉臺勻速轉動時，紙箱相對轉臺靜止。關于這種情況下紙箱A的受力情況，下列說法正確的是（　　）
A．受重力、臺面的支持力、向心力和靜摩擦力
B．受重力、臺面的支持力和靜摩擦力
C．受重力和臺面的支持力
D．受重力、臺面的支持力和向心力
【答案】B
【解析】當轉臺勻速轉動時，紙箱相對轉臺靜止，所以紙箱A受重力、臺面的支持力和靜摩擦力，其中靜摩擦力提供紙箱隨轉臺一起做圓周運動的向心力，向心力是效果力，是一種力或幾種力的合力，不是某種性質的力，因此ACD錯誤。
練習2、如圖所示，圓柱形轉筒繞其豎直中心軸轉動，小物體貼在圓筒內壁上隨圓筒一起轉動而不滑落．則下列說法正確的是(　　)
A．小物體受到重力、彈力、摩擦力和向心力共4個力的作用
B．小物體隨筒壁做圓周運動的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁對小物體的摩擦力隨轉速增大而增大
D．筒壁對小物體的彈力隨轉速增大而增大
【答案】D
【解析】小物體隨轉筒一起做圓周運動，受重力、彈力和靜摩擦力共3個力的作用，故選項A錯誤．水平方向上，彈力指向圓心，提供向心力，據牛頓第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知轉速越大，角速度越大，小物體所受的彈力就越大，故選項B錯誤，D正確；在豎直方向上，小物體所受的重力和靜摩擦力平衡，靜摩擦力大小不變，故選項C錯誤。
練習3、在光滑水平桿上穿著兩個小球m1、m2，且m1＝2m2，用水平細線把兩球連起來，當支架勻速轉動時，兩小球剛好能與桿保持無相對滑動，如圖所示．此時兩小球到轉軸的距離r1與r2之比為(　　)
A．1∶1 B．1∶4
C．2∶1 D．1∶2
【答案】D
【解析】由題圖可知，兩球均由所受繩子的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，則有：m1ω2r1＝m2ω2r2，又有m1＝2m2，聯立解得：r1∶r2＝1∶2.
考點四、從動力學角度分析幾種常見的勻速圓周運動的向心力
1．指導思路：凡是做勻速圓周運動的物體一定需要向心力．而物體所受外力的合力充當向心力，這是處理該類問題的基礎．
2．解題步驟
(1)明確研究對象，對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖．
(2)將物體所受外力分解到互相垂直的兩個方向上，其中一個分力沿半徑方向．
(3)列方程：沿半徑方向滿足F合1＝mrω2＝m＝，垂直半徑方向F合2＝0.
3．幾種常見的勻速圓周運動的實例圖表
圖形 受力分析 力的分解方法 滿足的方程及向心加速度
mgtanθ＝mlsinθω2an＝gtanθ
mgtanθ＝m(d＋lsinθ)ω2an＝gtanθ
mgtanθ＝mrω2an＝gtanθ
mgtanθ＝mrω2an＝gtanθ
an＝
【典例1】如圖所示，飛機做特技表演時，常做俯沖拉起運動，此運動在最低點附近可看作是半徑為500m的圓周運動。若飛行員的質量為65kg，飛機經過最低點時速度為360km/h，則這時飛行員對座椅的壓力為 （取g＝10 m/s2）（　?。?br/>A．650N B．1300N C．1800N D．1950N
【答案】D
【解析】分析飛行員的受力情況，根據牛頓第二定律和向心力公式可得，已知、，代入上式解得座椅對飛行員的支持力根據牛頓第三定律可知，飛行員對座椅的壓力為1950N。
練習1、(多選)如圖所示,長為L的懸線固定在O點,在O點正下方有一釘子C,O、C的距離為,把懸線另一端的小球A拉到跟懸點在同一水平面處無初速度釋放,小球運動到懸點正下方時懸線碰到釘子,則小球的 (　　)
A.線速度突然增大為原來的2倍
B.角速度突然增大為原來的2倍
C.向心力突然增大為原來的2倍
D.向心力突然增大為原來的4倍
【答案】BC
【解析】懸線碰到釘子前后,懸線的拉力始終與小球的運動方向垂直,小球的線速度大小不變,故A錯誤;懸線碰到釘子后,小球的運動半徑減小為原來的一半,線速度大小不變,由ω=知角速度變為原來的2倍,由Fn=可知向心力變為原來的2倍,故B、C對,D錯。
練習2、如圖所示,長為l的細線一端懸于O點,另一端連接一個質量為m的小球,小球從A點由靜止開始擺下,當擺到A點與最低點之間的某一位置C點時,其速度大小為v,此時懸線與豎直方向夾角為θ.求小球在經過C點時懸線對小球的拉力大小.
【答案】m+mgcos θ
【解析】小球在C點時,速度大小為v,圓周運動的軌道半徑為l.設小球在C點時懸線對小球拉力為F,由F-mgcos θ=m,可求得F=m+mgcos θ.
考點五、圓周運動中的連接體問題
圓周運動中的連接體問題，是指兩個或兩個以上的物體通過一定的約束繞同一轉軸做圓周運動的問題．這類問題的一般求解思路是：分別隔離物體，準確分析受力，正確畫出力圖，確定軌道半徑，注意約束關系(在連接體的圓周運動問題中，角速度相同是一種常見的約束關系)．
情景示例 情景圖示 情景說明
情景1 A、B兩小球固定在輕桿上隨桿繞桿的端點O做圓周運動，注意計算OA桿拉力時應以小球A為研究對象，而不能以A、B整體為研究對象
情景2 當轉盤轉速逐漸增大時，物體A先達到其最大靜摩擦力，轉速再增加，則A、B間繩子開始有拉力，當B受到的靜摩擦力達到其最大值后兩物塊開始滑動
情景3 當求轉盤對B的摩擦力時，取A、B整體為研究對象比較簡單；當研究A、B誰先發生離心滑動時，注意比較兩接觸面的動摩擦因數大小
情景4 A、B兩小球用輕線相連穿在光滑輕桿上隨桿繞轉軸O在水平面內做圓周運動時，兩球所受向心力大小相等、角速度相同、圓周半徑與小球質量成反比
【典例1】(多選)如圖，在水平轉臺上放一個質量M＝2 kg的木塊，它與轉臺間的最大靜摩擦力Fmax＝6.0 N，繩的一端系掛木塊，通過轉臺的中心孔O(孔光滑)，另一端懸掛一個質量m＝1.0 kg的物體，當轉臺以角速度ω＝5 rad/s勻速轉動時，木塊相對轉臺靜止，則木塊到O點的距離可以是(g取10 m/s2 ，M、m可看成質點)(　　)
A．0.04 m B．0.08 m C．0.16 m D．0.32 m
【答案】BCD
【解析】物體的摩擦力和繩子的拉力的合力提供向心力，根據向心力公式得：mg＋Ff＝Mω2r
解得：r＝ ；當Ff＝Ffmax＝6.0 N時，r最大，rmax＝ m＝0.32 m，當Ff＝－6 N時，r最小，則rmin＝ m＝0.08 m．
【典例2】(多選)如圖所示，A，B兩個小球質量相等，用一根輕繩相連，另有一根輕繩的兩端分別連接O點和B點，讓兩個小球繞O點在光滑水平桌面上以相同的角速度做勻速圓周運動，若OB繩上的拉力為F1，AB繩上的拉力為F2，OB＝AB，則(　　)
A．A球所受向心力為F1，B球所受向心力為F2
B．A球所受向心力為F2，B球所受向心力為F1
C．A球所受向心力為F2，B球所受向心力為F1－F2
D.F1∶F2＝3∶2
【答案】CD
【解析】小球在光滑水平桌面上做勻速圓周運動，設角速度為ω，在豎直方向上所受重力與桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦力，繩子的拉力提供向心力．由牛頓第二定律，對A球有F2＝mR2ω2，對B球有F1－F2＝mR1ω2，已知R2＝2R1，各式聯立解得F1＝F2.故C，D對，A，B錯．
練習1、（多選）如圖所示，在水平轉臺上放一個質量的木塊，它與轉臺間最大靜摩擦力，繩的一端系在木塊上，穿過轉臺的中心孔O（孔光滑），另一端懸掛一個質量的物體，當轉臺以角速度勻速轉動時，木塊相對轉臺靜止，則木塊到O點的距離可以是（取，M、m均視為質點）（　?。?br/>A．m B．m C．m D．
【答案】BC
【解析】物體的摩擦力和繩子的拉力的合力提供向心力，根據向心力公式得：
解得最大半徑
根據
得
解得最小半徑
故BC正確，AD錯誤。
練習2、甲、乙兩名滑冰運動員,在某次滑冰表演時,面對面拉著彈簧測力計做勻速圓周運動(不計冰面的摩擦),如圖所示,m甲=80 kg,m乙=40 kg,兩人相距0.9 m,彈簧測力計的示數為9.2 N。下列判斷中正確的是 (　　)
A.兩人的線速度大小相等,約為40 m/s
B.兩人的角速度相同,為6 rad/s
C.兩人的運動半徑不同,甲為0.3 m,乙為0.6 m
D.兩人的運動半徑相同,都是0.45 m
【答案】C
【解析】甲、乙兩人做勻速圓周運動的角速度相同,向心力大小都等于彈簧測力計的彈力,有m甲ω2r甲=m乙ω2r乙,即m甲r甲=m乙r乙,且r甲+r乙=0.9 m,m甲=80 kg,m乙=40 kg,解得r甲=0.3 m,r乙=0.6 m;由于F=m甲ω2r甲,所以ω== rad/s≈0.62 rad/s;線速度v=ωr,甲、乙的角速度相同,r甲與r乙不相等,v不相等。故A、B、D錯誤,C正確。
考點六、圓錐擺問題
1.如圖所示，向心力F向＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝.
2．穩定狀態下，θ角越大，對應的角速度ω和線速度v就越大，小球受到的拉力F＝和運動所需向心力也越大．
【典例1】（多選）長度L＝0.5m的細線，拴一質量m＝2kg的小球（不計大小），另一端固定于O點。讓小球在水平面內做勻速圓周運動，這種運動通常稱為圓錐擺運動。如圖所示，擺線與豎直方向的夾角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，則下列說法正確的是（　　）
A．細線的拉力大小為25N
B．小球運動的角速度為5rad/s
C．小球運動的線速度大小為1.2m/s
D．小球所受到的向心力大小為15N
【答案】ABD
【解析】A．小球受到重力和繩子的拉力，兩力的合力充當向心力，豎直方向上受力平衡，則有
解得繩子上的拉力為A正確；
BCD．兩力的合力充當向心力，則有
解得，，B正確，C錯誤，D正確。
【典例2】如圖所示，質量相等的甲、乙兩個小球，在光滑玻璃漏斗內壁做水平面內的勻速圓周運動，甲在乙的上方．則(　　)
A．球甲的角速度一定大于球乙的角速度
B．球甲的線速度一定大于球乙的線速度
C．球甲的運動周期一定小于球乙的運動周期
D．球甲對筒壁的壓力一定大于球乙對筒壁的壓力
【答案】B
【解析】對小球受力分析，小球受到重力和支持力，它們的合力提供向心力，設支持力與豎直方向夾角為θ，根據牛頓第二定律有mgtan θ＝m＝mRω2，解得v＝ ，ω＝，球甲的軌跡半徑大，則球甲的角速度一定小于球乙的角速度，球甲的線速度一定大于球乙的線速度，故A錯誤，B正確；根據T＝，因為球甲的角速度一定小于球乙的角速度，則球甲的運動周期一定大于球乙的運動周期，故C錯誤；因為支持力FN＝，結合牛頓第三定律，球甲對筒壁的壓力一定等于球乙對筒壁的壓力，故D錯誤．
練習1、如圖所示，兩個圓錐內壁光滑，豎直放置在同一水平面上，圓錐母線與豎直方向夾角分別為30°和60°，有A、B兩個質量相同的小球在兩圓錐內壁等高處做勻速圓周運動，下列說法正確的是（　?。?br/>A．A、B球受到的支持力之比為∶3
B．A、B球的向心力之比為∶1
C．A、B球運動的角速度之比為3∶1
D．A、B球運動的線速度之比為3∶1
【答案】C
【解析】A．對小球受力分析可知，A球受到的支持力，同理B球受到的支持則A、B球受到的支持力之比為∶1，故A錯誤；
B．A球的向心力B球的向心力 ，A、B球的向心力之比為3∶1，故B錯誤；
C．根據 可知 A、B球運動的角速度之比為3∶1，故C正確；
D．A、B球運動的半徑之比為根據v=ωr可知A、B球運動的線速度之比為1∶1，故D錯誤。
練習2、如圖所示，兩根長度不同的細繩，一端固定于O點，另一端各系一個相同的小鐵球，兩小球恰好在同一水平面內做勻速圓周運動，則（　　）
A．A球受繩的拉力較大
B．它們做圓周運動的角速度不相等
C．它們所需的向心力跟軌道半徑成反比
D．它們做圓周運動的線速度大小相等
【答案】A
【解析】設繩子與豎直方向之間的夾角為，
A．小球在豎直方向上的合力等于零，有，解得A球與豎直方向上的夾角大，故A球受繩子的拉力較大，A正確；
B．根據牛頓第二定律可得兩球的豎直高度相同，即相同，則相同，故B錯誤；
C．向心力等于合外力，即與r成正比，C錯誤；
D．圓周運動的線速度角速度相同，半徑不同，則線速度不等，D錯誤。
練習3、如圖所示為內壁光滑的倒立圓錐，兩個小球A、B在圓錐內壁做勻速圓周運動，距離地面高度分別為hA和hB。兩小球運動的線速度分別為vA、vB，角速度為ωA、ωB，下列結論正確的是（　?。?br/>B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示
小球A和B緊貼著內壁分別在水平面內做勻速圓周運動，均由斜面的支持力的合外力作為向心力
由向心力的計算公式
解得，，在圓錐桶里面有，
故有，故A正確，BCD錯誤。
考點七、圓周運動的臨界問題
1.圓周運動中臨界問題的分析,應首先考慮達到臨界條件時物體所處的狀態,然后分析該狀態下物體的受力特點,結合圓周運動的知識,列出相應的動力學方程
2.水平面內勻速圓周運動的物體一般由彈力、靜摩擦力等力提供向心力,確定維持物體做勻速圓周運動的臨界條件是解題的關鍵
【典例1】（多選）如圖所示，一質量為m的物塊在水平圓盤上，離圓盤中心距離為r，其與盤面間相互作用的靜摩擦力的最大值為其重力的k倍，重力加速度為g。該物塊隨圓盤一起繞豎直中心軸做勻速圓周運動。下列說法正確的是（　?。?br/>A．圓盤突然停止，則物塊將沿圓周運動半徑向外滑動
B．物塊與圓盤之間的摩擦力突然消失，物塊將沿圓周運動半徑向外滑動
C．物塊與盤面間不發生相對滑動，則圓盤轉動的最大角速度是
D．當圓盤的運動周期為時，圓盤對物塊的摩擦力大小為
【答案】CD
【解析】A．因物塊的速度方向與半徑方向垂直，則當圓盤突然停止時，物塊將沿垂直于圓周運動半徑方向外滑動，選項A錯誤；
B．同理可知，物塊與圓盤之間的摩擦力突然消失，物塊將沿垂直于圓周運動半徑向外滑動，選項B錯誤；
C．物塊與盤面間不發生相對滑動，則由 可得圓盤轉動的最大角速度是,選項C正確；
D．當圓盤的運動周期為時，則圓盤對物塊的摩擦力大小為選項D正確。
【典例2】如圖所示，兩個小木塊a和b（可視為質點），質量分別為2m和m，置于水平圓盤上。a與轉軸的距離為，b與轉軸的距離為。兩木塊與圓盤間的摩擦因數均為。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用表示圓盤轉動的角速度，則下列說法正確的是（　?。?br/>A．a，b一定同時開始滑動
B．b一定比a先開始滑動
C．發生滑動前a、b所受的摩擦力大小可能不相等
D．當時，b所受摩擦力的大小為
【答案】B
【解析】AB．木塊隨圓盤一起轉動，靜摩擦力提供向心力，a的最大靜摩擦力
a開始相對圓盤滑動時，解得
b開始相對圓盤滑動，有，解得
可知當時，b開始相對圓盤滑動；b一定比a先開始滑動，A錯誤，B正確；
C．木塊隨圓盤一起轉動，靜摩擦力提供向心力，由牛頓第二定律可知a和b的質量分別是2m和m，而a與轉軸OO′為l，b與轉軸OO′為2l，所以結果a和b受到的摩擦力是相等的，C錯誤；
D．當時，b所受摩擦力的大小為D錯誤。
【典例3】如圖所示，水平轉盤的中心有一個光滑的豎直小圓孔，質量為m的物體A放在轉盤上，A到圓心的距離為r，物體A通過輕繩與物體B相連，B與A質量相同.若物體A與轉盤間的動摩擦因數為μ，則轉盤轉動的角速度ω在什么范圍內，物體A才能隨盤轉動而不滑動？
【答案】
【解析】取物體A為研究對象，若物體隨轉盤轉動的角速度較大，則
解得：
若A物體隨轉盤轉動的角速度較小，則
解得：
要使A隨轉盤一起轉動，則角速度應滿足的關系是：
練習1、（多選）質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如右圖所示，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長為l，當輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)
A.a繩的張力不可能為零
B.a繩的張力隨角速度的增大而增大
C.角速度，b繩將出現彈力
D.若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發生變化
【答案】AC
【解析】小球做勻速圓周運動，在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，所以a繩在豎直方向上的分力與重力相等，可知a繩的張力不可能為零，故A正確；根據豎直方向上平衡得，Fasinθ=mg，解得，可知a繩的拉力不變，故B錯誤；當b繩拉力為零時，有：，解得，可知當角速度時，b繩出現彈力，故C正確；由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，故D錯誤．
練習2、(多選)如圖所示，小球m用兩根長度相等的細繩系在豎直桿上，細繩不可伸長，當桿旋轉時，對小球受力分析正確的是(　　)
A．受重力、繩的拉力和向心力作用
B．可能受重力、一根繩的拉力共兩個力作用
C．可能受重力、兩根繩的拉力共三個力作用
D．上面一根繩的拉力總大于小球的重力
【答案】BCD
【解析】轉速較小時，小球受重力和一根繩的拉力作用，轉速較大時，小球受重力和兩根繩的拉力作用，故A錯誤，B、C正確.只有上面一根繩有拉力時，繩的豎直分力大小等于球的重力；如果兩根繩都有拉力，上面繩的豎直分力大小等于球的重力和下面繩拉力的豎直分力之和，所以上面一根繩的拉力一定比球的重力大.
二、夯實小練
1、一只小狗拉著雪橇在水平冰面上沿著圓弧形的道路勻速奔跑,如圖所示為雪橇所受的牽引力F及摩擦力Ff的示意圖,其中正確的是 (　　)
【答案】C
【解析】雪橇運動時所受的摩擦力為滑動摩擦力,其方向與雪橇運動方向相反,可知與圓弧相切;又因為雪橇做勻速圓周運動,所受合力充當向心力,合力方向指向圓心。
2、如圖所示，一根輕桿(質量不計)的一端以O點為固定轉軸，另一端固定一個小球，小球以O點為圓心在豎直平面內沿順時針方向做勻速圓周運動．當小球運動到圖中位置時，輕桿對小球作用力的方向可能(　　)
A．沿F1的方向
B．沿F2的方向
C．沿F3的方向
D．沿F4的方向
【答案】C
【解析】因小球做勻速圓周運動，所以其所受各力的合力一定指向圓心，充當向心力，若受桿彈力為F1、F2、F4時與重力的合力均不可能沿桿指向圓心，只有桿的彈力為F3時合力才可能沿桿指向圓心．
3、如圖所示,一輛轎車正在水平路面上做勻速圓周運動,下列說法正確的是 ( )
A.水平路面對轎車彈力的方向斜向上
B.靜摩擦力提供向心力
C.重力、支持力的合力提供向心力
D.轎車受到的重力、支持力和摩擦力的合力為零
【答案】B
【解析】水平路面對轎車的彈力方向豎直向上,故A錯誤;在豎直方向重力和支持力相互平衡,轎車做圓周運動靠水平路面對車輪的靜摩擦力提供向心力,轎車受到的重力、支持力和摩擦力的合力不為零,故B正確,C、D錯誤。
4、如圖所示，在粗糙水平木板上放一個物塊，使水平木板和物塊一起在豎直平面內沿逆時針方向做勻速圓周運動，ab為水平直徑，cd為豎直直徑，在運動過程中木板始終保持水平，物塊相對木板始終靜止，則(　　)
A．物塊始終受到三個力作用
B．只有在a、b、c、d四點，物塊受到的合外力才指向圓心
C．從a到b，物塊所受的摩擦力先增大后減小
D．從b到a，物塊處于超重狀態
【答案】D
【解析】在c、d兩點處，只受重力和支持力，在其他位置處物塊受到重力、支持力、靜摩擦力三個作用力，故A錯誤；物塊做勻速圓周運動，合外力提供向心力，所以合外力始終指向圓心，故B錯誤；從a運動到b，物塊的加速度的方向始終指向圓心，水平方向的加速度先減小后反向增大，根據牛頓第二定律知，物塊所受木板的摩擦力先減小后增大，故C錯誤；從b運動到a，向心加速度有向上的分量，則物塊處于超重狀態.
5、如圖，置于豎直面內半徑為r的光滑金屬圓環，質量為m的帶孔小球穿于環上，同時有一長為r的細繩一端系于圓環最高點，另一端系小球，當圓環以角速度ω（ω≠0）繞圓環豎直直徑轉動時（　?。?br/>A．細繩對小球的拉力可能為零
B．細繩和金屬圓環對小球的作用力大小可能相等
C．金屬圓環對小球的作用力不可能為零
D．當ω=時，金屬圓環對小球的作用力為零
【答案】D
【解析】由幾何關系可知，此時細繩與豎直方向的夾角為60°，當圓環旋轉時，小球繞豎直軸做圓周運動，則有
解得
則細繩對小球的拉力F不為零；細繩和金屬圓環對小球的作用力大小不相等；
當時，金屬圓環對小球的作用力；故ABC錯誤。
6、如圖為《流浪地球》中旋轉空間站的示意圖，空間站為圓環，圓環內的中空管道為宇航員的活動空間。圓環外徑為r，當圓環繞O點自轉時能對管道內的宇航員產生彈力。要使宇航員感受到與在地表大小相等的力，空間站自轉的角速度應為（設地表重力加速度為g）（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【解析】宇航員是靠環對他的支持力提供向心力，根據牛頓第二定律得
FN=mω2r
據題有
FN=mg
可得
7、2020年5月23消息，巴西滑板少年圭·庫里，在半管上完成了空中轉體的壯舉，創下新的世界紀錄，滑板運動可以簡化為如圖所示的模型，半球形碗固定在水平面上，物塊（可看做質點）以某一豎直向下的初速度從碗口左邊緣向下滑，物塊與碗壁間的動摩擦因數是變化的，因摩擦作用，物塊下滑過程中速率不變，則（　　）
A．物塊下滑的過程中加速度不變
B．物塊下滑的過程所受摩擦力大小不變
C．物塊下滑過程中所受合外力方向始終指向圓心
D．物塊滑到最低點時對碗壁的壓力等于物塊的重力
【答案】C
【解析】A.物塊在下滑過程中速率不變，可看做勻速圓周運動，可知加速度大小不變，方向時刻指向圓心，故A錯誤；
B.物塊在下滑過程中可看做勻速圓周運動，設支持力FN與豎直方向的夾角為，則摩擦力f=mgsin，在下滑過程中，由于角度變小，sin變小，則f變小，故B錯誤；
C.物塊做勻速圓周運動的合外力完全提供向心力，合外力方向始終指向圓心，故C正確；
D.在最低點時，根據牛頓第二定律，有
FN-mg=m
依題意，物塊滑到最低點時速度大小不變，則支持力不等于重力，根據牛頓第三定律知，壓力大小等于支持力大小，所以壓力不等于物塊的重力，故D錯誤。
8、如圖所示，長為L的細線拴一質量為m的小球，細線另一端固定于O點，讓小球在水平面內做勻速圓周運動，這種運動通常稱為圓錐擺運動。已知運動中細線與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g，求∶
（1）小球在水平面內做勻速圓周運動的向心力大?。?br/>（2）細線對小球的拉力F的大??；
（3）小球在水平面內做勻速圓周運動的線速度大小。
【答案】1）mgtanθ；（2）；（3）
【解析】（1）由受力分析可知，重力與細線拉力的合力提供向心力，如圖：
有
Fn=mgtanθ
（2）建立如圖所示的坐標系，豎直方向上有
Fcosθ=mg
解得
（3）小球做圓周運動的半徑為
r=Lsinθ
向心力
即
解得
9、如圖所示，小球通過細線繞圓心O在光滑水平面上做勻速圓周運動。已知小球質量m＝0.50kg，角速度大小ω＝2rad/s，細線長L＝0.20m。
（1）求小球的線速度大小v、周期T、轉速n；
（2）求細線對小球的拉力大小F；
（3）若細線最大能承受10.0N的拉力，求小球運行的最大線速度vm。
【答案】（1），，；（2）；（3）
【解析】（1）根據
根據
解得
根據
解得
（2）細線對小球的拉力大小，根據牛頓第二定律得
（3）若細線最大能承受10.0N的拉力，求小球運行的最大線速度
解得
10、如圖所示，水平轉盤上放有一質量為m的物體(可視為質點)，連接物體和轉軸的繩子長為r，物體與轉盤間的最大靜摩擦力是其壓力的μ倍，重力加速度為g，轉盤的角速度由零逐漸增大，求：
(1)繩子對物體的拉力為零時轉盤的最大角速度；
(2)當角速度為時，繩子對物體拉力的大?。?br/>【答案】(1) (2)μmg
【解析】(1)當恰由最大靜摩擦力提供向心力時，繩子拉力為零時轉速達到最大，設此時轉盤轉動的角速度為ω0，則μmg＝mω02r，得ω0＝.
(2)當ω＝時，ω＞ω0，所以繩子的拉力FT和最大靜摩擦力共同提供向心力，此時，FT＋μmg＝mω2r
即FT＋μmg＝m··r，
得FT＝μmg.
11、一個圓盤在水平面內勻速轉動，角速度是。盤面上距圓盤中心的位置有一個質量為的小物體隨圓盤一起做勻速圓周運動，如圖所示，已知小物塊與盤面的動摩擦因數為0.5，認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，，求：
（1）小物體的線速度大小；
（2）小物體的向心力大小；
（3）當圓盤的角速度增加到多大時，小物體會相對圓盤滑動？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）小物體的線速度大小為
（2）小物體的向心力大小為
（3）當小物體剛好相對圓盤滑動時，最大靜摩擦力提供向心力，則有
又
聯立可得
三、培優練習
1、如圖所示，一傾斜的勻質圓盤垂直于盤面的固定對稱軸以恒定的角速度ω轉動，盤面上離轉軸距離2.5 m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止，物體與盤面間的動摩擦因數為。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），盤面與水平面間的夾角為 30°，g取10 m/s2。則ω的最大值是
A． rad/s B． rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
【答案】C
【解析】隨著角速度的增大，小物體最先相對于圓盤發生相對滑動的位置為轉到最低點時，此時對小物體有，解得，此即為小物體在最低位置發生相對滑動的臨界角速度。
2、（多選）如圖，兩個質量均為m的小木塊a和b（可視為質點）放在水平圓盤上，a與轉軸OO′的距離為l，b與轉軸的距離為2l。木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是
A．b一定比a先開始滑動 B．a、b所受的摩擦力始終相等
C．ω=是b開始滑動的臨界角速度 D．當ω=時，a所受摩擦力的大小為kmg
【答案】AC
【解析】小木塊都隨水平轉盤做勻速圓周運動時，在發生相對滑動之前，角速度相等，靜摩擦力提供向心力即，由于木塊b的半徑大，所以發生相對滑動前木塊b的靜摩擦力大，選項B錯。隨著角速度的增大，當靜摩擦力等于滑動摩擦力時木塊開始滑動，則有，代入兩個木塊的半徑，小木塊a開始滑動時的角速度，木塊b開始滑動時的角速度，選項C對。根據，所以木塊b先開始滑動，選項A對。當角速度，木塊b已經滑動，但是，所以木塊a達到臨界狀態，摩擦力還沒有達到最大靜摩擦力，所以選項D錯。
3、(多選)如圖所示，質量相等的A，B兩物塊放在勻速轉動的水平圓盤上，隨圓盤一起做勻速圓周運動，則(　　)
A．它們所受的摩擦力fA＞fB
B．它們的線速度vAC．它們的運動周期TAD．它們的角速度ωA＝ωB
【答案】AD
【解析】對兩物塊進行受力分析知：水平方向只受靜摩擦力，故由靜摩擦力提供向心力，則f＝mω2R，由于A，B在同一轉盤上無相對運動，因此它們的角速度相等，故D正確．又因為RA＞RB，故fA＞fB，故A正確；由v＝ωR，ωA＝ωB，RA＞RB，可知：vA＞vB，故B錯誤；根據ωA＝ωB，可知：TA＝TB，故C錯誤．
4、如圖所示,一軌道由圓弧和水平部分組成,且連接處光滑.質量為m的滑塊與軌道間的動摩擦因數為μ.在滑塊從A滑到B的過程中,受到的滑動摩擦力的最大值為Ff,則 (　　)
A.Ff=μmg B.Ff<μmg
C.Ff>μmg D.無法確定Ff的值
【答案】C
【解析】當滑塊剛要滑到水平軌道部分時,軌道對滑塊的支持力FN=+mg,FN>mg,滑塊在此位置受到摩擦力大于μmg,所以Ff>μmg,選項C正確.
5、(多選)甲、乙兩名溜冰運動員,面對面拉著彈簧測力計做勻速圓周運動.已知m甲=80 kg,m乙=40 kg,兩人相距0.9 m,彈簧測力計的示數為96 N,下列判斷中正確的是 (　　)
A.兩人的線速度相同,約為40 m/s
B.兩人的角速度相同,為2 rad/s
C.兩人的運動半徑相同,都是0.45 m
D.兩人的運動半徑不同,甲為0.3 m,乙為0.6 m
【答案】BD
【解析】兩人旋轉一周的時間相同,故兩人的角速度相同,兩人做圓周運動所需的向心力相同,由Fn=mω2r可知,旋轉半徑滿足r甲∶r乙=m乙∶m甲=1∶2,又r甲+r乙=0.9 m,則r甲=0.3 m,r乙=0.6 m.兩人的角速度相同,則v甲∶v乙=1∶2.由Fn=m甲ω2r甲可得ω=2 rad/s.故選項B、D正確.
6、如圖所示，一圓柱形容器繞其軸線勻速轉動，內部有A、B兩個物體，均與容器的接觸面始終保持相對靜止.當轉速增大后(A、B與容器接觸面間仍相對靜止)，下列說法正確的是(　　)
A.兩物體受到的摩擦力都增大
B.兩物體受到的摩擦力大小都不變
C.物體A受到的摩擦力增大，物體B受到的摩擦力大小不變
D.物體A受到的摩擦力大小不變，物體B受到的摩擦力增大
【答案】D
【解析】容器繞其軸線轉動時，兩個物體隨容器一起轉動，以A為研究對象，在水平方向上，容器施加的彈力提供A做圓周運動的向心力；在豎直方向上，重力和靜摩擦力平衡，所以當轉速增大后，物體A受到的摩擦力大小保持不變；以B為研究對象，水平方向的靜摩擦力提供向心力，由Ff＝Fn＝mω2r知其受到的摩擦力隨著轉速的增大而增大。
7、如圖所示，在勻速轉動的圓筒內壁上，有一物體隨圓筒一起轉動而未滑動。當圓筒的轉速減小以后，物體仍然隨圓筒一起勻速轉動而未滑動，則下列說法正確的是（ ）
A．物體所受彈力增大，摩擦力增大 B．物體所受彈力不變，摩擦力減小
C．物體所受彈力減小，摩擦力不變 D．物體所受彈力增大，摩擦力不變
【答案】C
【解析】物體所受彈力提供向心力，當圓筒的轉速減小以后，物體所需向心力減小，則彈力減小，但在豎直方向上物體合力為零，所受摩擦力與重力大小始終相等，所以摩擦力不變。
8、(多選)如圖,放在水平轉臺上的物體A、B、C能隨轉臺一起繞轉臺中心以角速度ω勻速轉動而不發生相對滑動。已知A、B、C的質量均為m,A與B、B和C與轉臺間的動摩擦因數均為μ,A和B、C離轉臺中心的距離分別為r、1.5r。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度大小為g,下列說法正確的是(深度解析)
A.B對A的摩擦力一定為μmg
B.B對A的摩擦力一定為mω2r
C.轉臺的角速度必須滿足ω≤
D.轉臺的角速度必須滿足ω≤
【答案】BD
【解析】B對A的摩擦力提供A物體做圓周運動的向心力,即fBA=mω2r,但B對A的摩擦力不一定等于最大靜摩擦力,即不一定等于μmg,選項A錯誤,B正確。對C即將發生相對滑動時的臨界狀態進行分析,有μmg=m·1.5r,可知C與轉臺發生相對滑動的最小角速度ωC==;對A、B整體分析,有μ·2mg=2mr,解得B與轉臺發生相對滑動的最小角速度ωAB=;對A分析,有μmg=mr,解得A與B發生相對滑動的最小角速度ωA=。綜上可知,若要A、B、C與轉臺保持相對靜止,轉臺的角速度一定要滿足ω≤,選項C錯誤,D正確。
9、(多選)如圖所示,在光滑水平面上釘有兩個釘子A和B,一根長細繩的一端系一個小球,另一端固定在釘子A上,開始時小球與釘子A、B均在一條直線上(圖示位置),且細繩的一大部分沿順時針方向纏繞在兩釘子上(俯視)。現使小球以初速度v0在水平面上沿逆時針方向做圓周運動,使兩釘子之間纏繞的繩子逐漸釋放,在繩子完全被釋放后與釋放前相比,下列說法正確的是 (　　)
A.小球的速度變大 B.小球的角速度變小
C.小球的向心力變小 D.細繩對小球的拉力變大
【答案】BC
【解析】由于小球所受的拉力始終與其速度方向垂直,不改變速度大小,故A錯誤;由v=ωr可知,v不變,r變大,則角速度ω變小,故B正確;小球的向心力Fn=m,v不變,r變大,則向心力變小,故C正確;細繩對小球的拉力F=m,v不變,r變大,則F變小,故D錯誤。
10、如圖所示，有一質量為m的小球在光滑的半球形碗內做勻速圓周運動，軌道平面在水平面內.已知小球與半球形碗的球心O的連線跟豎直方向的夾角為θ，半球形碗的半徑為R，重力加速度為g，求小球做勻速圓周運動的速度大小及碗壁對小球的彈力大小.
【答案】sin θ　
【解析】小球受力如圖所示，
mgtan θ＝
r＝Rsin θ
FNcos θ＝mg
聯立以上三式解得v＝sin θ
FN＝.
11、一轉動裝置如圖所示，四根輕桿OA、OC、AB和CB與兩小球以及一小環通過鉸鏈連接，輕桿長均為l，球和環的質量均為m，O端固定在豎直的輕質轉軸上，套在轉軸上的輕質彈簧連接在O與小環之間，原長為L，裝置靜止時，彈簧長為L，轉動該裝置并緩慢增大轉速，小環緩慢上升．彈簧始終在彈性限度內，忽略一切摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，求：
(1)彈簧的勁度系數k；
(2)AB桿中彈力為零時，裝置轉動的角速度ω0.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)裝置靜止時，設OA、AB桿中的彈力大小分別為F1、T1，OA桿與轉軸的夾角為θ1.小環受到彈簧的彈力F彈1＝k·，小環受力平衡：F彈1＝mg＋2T1cos θ1，小球受力平衡：F1cos θ1＋T1cos θ1－mg＝0；F1sin θ1－T1sin θ1＝0，解得：k＝
(2)設OA、AB桿中的彈力分別為F2、T2，OA桿與轉軸的夾角為θ2，彈簧長度為x.
小環受到彈簧的彈力：F彈2＝k(x－L)
小環受力平衡：F彈2＝mg，得：x＝L
對小球：F2cos θ2＝mg；F2sin θ2＝mωlsin θ2；cos θ2＝解得：ω0＝
12、某游樂設施如圖所示，由半圓形APB和直線BC組成的細圓管軌道固定在水平桌面上（圓半徑比細管內徑大得多），軌道內壁光滑。已知APB部分的半徑，BC段長。彈射裝置將一質量的小球（可視為質點）以水平初速度從A點彈入軌道，小球從C點離開軌道水平拋出，落地點D離C點的水平距離為，桌子的高度，不計空氣阻力，取，求：
(1)小球水平初速度的大小；
(2)小球在半圓形軌道上運動時的角速度以及從A點運動到C點的時間t；
(3)小球在半圓形軌道上運動時細圓管對小球的作用力F的大小。
【答案】(1)；(2)25rad/s，；(3)
【解析】(1)小球離開軌道后做平拋運動，則豎直方向有
水平方向
得

(2)小球在半圓形軌道上運動時的角速度為

小球從A到B的時間為

從B到C做勻速直線運動，時間為

因此從A點運動到C點的時間為

(3)根據牛頓第二定律得，圓管對小球的水平作用力大小為

豎直作用力大小為

故細圓管對小球的作用力為
13、如圖所示裝置可繞豎直軸OO′轉動，可視為質點的小球A與兩細線連接后分別系于B、C兩點，當細線AB沿水平方向繃直時，細線AC與豎直方向的夾角θ＝37°.已知小球的質量m＝1 kg，細線AC長L＝1 m.(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)若裝置勻速轉動，細線AB剛好被拉直成水平狀態，求此時的角速度ω1；
(2)若裝置勻速轉動的角速度ω2＝ rad/s，求細線AB和AC上的張力大小FTAB、FTAC.
【答案】(1) rad/s　(2)2.5 N　12.5 N
【解析】(1)當細線AB剛好被拉直時，AB的拉力為零，AC的拉力和小球重力的合力提供小球做圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律有mgtan 37°＝mLABω12，又有LAB＝Lsin 37°，
解得ω1＝＝ rad/s＝ rad/s
(2)若裝置勻速轉動的角速度ω2＝ rad/s
LAB＝Lsin 37°
豎直方向上有FTACcos 37°＝mg
水平方向上有FTACsin 37°＋FTAB＝mLABω22
代入數據解得FTAC＝12.5 N，FTAB＝2.5 N.
14、如圖所示,一根原長為L的輕彈簧套在光滑直桿AB上,其下端固定在桿的A端,質量為m的小球也套在桿上且與彈簧的上端相連。小球和桿一起繞經過桿A端的豎直軸OO'勻速轉動,且桿與水平面間的夾角始終保持為θ=37°。已知桿處于靜止狀態時彈簧長度為0.5L,重力加速度大小為g,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)彈簧的勁度系數k;
(2)彈簧為原長時,小球的角速度ω0;
(3)當桿的角速度ω=時彈簧的長度L'。
【答案】(1) (2) (3)3L
【解析】(1)桿處于靜止狀態時,對小球受力分析,由平衡條件得mg·sin 37°=k×(L-0.5L),解得彈簧的勁度系數k=。
(2)當彈簧處于原長時,彈簧彈力為零,小球只受重力和桿的支持力,它們的合力提供向心力,有mg tan 37°=mL cos 37°,解得ω0==。
(3)當ω=>ω0時,彈簧處于伸長狀態,設彈簧伸長量為x,則
在豎直方向有FN cos 37°-kx sin 37°=mg
在水平方向有FN sin 37°+kx cos 37°=mω2(L+x) cos 37°
解得x=2L
所以彈簧長度L'=3L。
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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