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萬有引力定律應用二
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【知識梳理】
一、解決天體運動問題的模型及思路
1．一種模型
無論自然天體(如地球)還是人造天體(如宇宙飛船)都可以看做質點，圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運動．
2．兩條思路
(1)在中心天體表面或附近時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度)，此式兩個用途：①GM＝gR2，稱為黃金代換式；②求g＝，從而把萬有引力定律與運動學公式相結合解題．
(2)天體運動的向心力來源于中心天體的萬有引力，即 G＝m＝mrω2＝mr＝ma.
例1　如圖是發射地球同步衛星的簡化軌道示意圖，先將衛星發射至距地面高度為h1的近地軌道Ⅰ上．在衛星經過A點時點火實施變軌，進入遠地點為B的橢圓軌道Ⅱ上，最后在B點再次點火，將衛星送入同步軌道Ⅲ.已知地球表面重力加速度為g，地球自轉周期為T，地球的半徑為R，求：
(1)近地軌道Ⅰ上的速度大小；
(2)遠地點B距地面的高度．
二、“赤道上的物體”與“同步衛星”、“近地衛星”的比較
赤道上的物體、同步衛星和近地衛星都近似做勻速圓周運動，當比較它們的向心加速度、線速度及角速度(或周期)時，要注意找出它們的共同點，然后再比較各物理量的大?。?br/>1．赤道上的物體與同步衛星具有相同的角速度和周期，由v＝ωr和a＝ω2r可分別判斷線速度、向心加速度的關系．
2．不同軌道上的衛星向心力來源相同，即萬有引力提供向心力，由＝ma＝m＝mω2r＝mr可分別得到a＝、v＝、ω＝及T＝2π，故可以看出，軌道半徑越大，a、v、ω越小，T越大．
3.同步衛星：指相對于地面不動的人造地球衛星。運行周期一定為 h；軌道一定在 上空；離地高度一定，約為3.6×104km；線速度大小一定；向心加速度大小一定。
4.赤道上的物體、近地衛星、同步衛星三類物體的比較
例2　如圖所示，a為地面上的待發射衛星，b為近地圓軌道衛星，c為地球同步衛星．三顆衛星質量相同．三顆衛星的線速度分別為va、vb、vc，角速度分別為ωa、ωb、ωc，周期分別為Ta、Tb、Tc，向心力分別為Fa、Fb、Fc，則(　 　)
A．ωa＝ωc<ωb　　　 B．Fa＝FcC．va＝vcTb
三、人造衛星、飛船的發射和變軌問題
1．當衛星繞天體做勻速圓周運動時，萬有引力提供向心力，滿足G＝m.
2．當衛星由于某種原因速度改變時，萬有引力不再等于向心力，衛星將做變軌運行．
(1)當衛星的速度突然增加時，G(2)當衛星的速度突然減小時，G>m，即萬有引力大于所需要的向心力，衛星將做近心運動，衛星的發射和回收就是利用這一原理．
3．衛星到達橢圓軌道與圓軌道的公切點時，衛星受到的萬有引力相同，所以加速度相同．
4．飛船對接問題：兩飛船實現對接前應處于高低不同的兩軌道上，目標船處于較高軌道，在較低軌道上運動的對接船通過合理地加速，做離心運動而追上目標船與其完成對接．
（1、）當兩顆不在同一軌道上的衛星相距最近時稱為相遇；從同一位置出發的兩顆衛星第一次相距最近應滿足，第一次相距最遠滿足
（2、）從不同軌道上的衛星要相互對接，就要改變自身的速度實現變軌對接，從低軌道上的要與高軌道上的衛星對接，必須在低軌道上 ，以使地球提供的引力小于需要的向心力做 運動，從而追上高軌道的衛星；從高軌道上的要與低軌道上的衛星對接，必須在高軌道上 ，以使地球提供的引力大于需要的向心力做 運動，從而追上低軌道的衛星。
【例3.】 如圖所示，有A、B兩顆行星繞同一顆恒星M做圓周運動，旋轉方向相同，A行星的周期為T1，B行星的周期為T2，在某一時刻兩行星相距最近，則（ ）
A．經過時間 t=T1+T2兩行星再次相距最近
B．經過時間 t=T1T2/(T2-T1)，兩行星再次相距最近
C．經過時間 t=(T1+T2 )/2，兩行星相距最遠
D．經過時間 t=T1T2/2(T2-T1) ，兩行星相距最遠
例4　2013年5月2日凌晨0時06分，我國“中星11號”通信衛星發射成功．“中星11號”是一顆地球同步衛星，它主要用于為亞太地區等區域用戶提供商業通信服務．如圖3為發射過程的示意圖，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再一次點火，將衛星送入同步圓軌道3.軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點，則當衛星分別在1、2、3軌道上正常運行時，以下說法正確的是(　　)
A．衛星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率
B．衛星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度
C．衛星在軌道1上經過Q點時的速度大于它在軌道2上經過Q點時的速度
D．衛星在軌道2上經過P點時的速度小于它在軌道3上經過P點時的速度
四、雙星問題
兩個離得比較近的天體，在彼此間的引力作用下繞兩者連線上的某一點做圓周運動，這樣的兩顆星組成的系統稱為雙星．
1．雙星特點
(1)兩星做圓周運動的向心力相等；
(2)兩星具有相同的角速度和周期；
(3)兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1＋r2＝L.
2．處理方法
雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力．即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2.
3．雙星的兩個結論
(1)運動半徑：與質量成反比，即m1r1＝m2r2
(2)質量之和：m1＋m2＝
例5　兩個靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠，它們以其連線上某一點O為圓心各自做勻速圓周運動，兩者的距離保持不變，科學家把這樣的兩個天體稱為“雙星”，如圖所示．已知雙星的質量分別為m1和m2，它們之間的距離為L，求雙星的運行軌道半徑r1和r2及運行周期T.
【天體運動規律的理解及應用】
1．如圖所示，甲、乙兩顆衛星以相同的軌道半徑分別繞質量為M和2M的行星做勻速圓周運動．下列說法正確的是(　　)
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的運行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的線速度比乙的大
【“赤道上的物體”與“同步衛星”以及“近地衛星”的區別】
2．四顆地球衛星a、b、c、d的排列位置如圖7所示，其中a是靜止在地球赤道上還未發射的衛星，b是近地軌道衛星，c是地球同步衛星，d是高空探測衛星，四顆衛星相比較(　　)
A．a的向心加速度最大
B．相同時間內b轉過的弧長最長
C．c相對于b靜止
D．d的運動周期可能是23 h
【衛星、飛船的發射和變軌問題】
3.如圖8所示，假設月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運動，到達軌道的A點點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道的近月點B再次點火進入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運動．則(　　)
A．飛船在軌道Ⅰ上的運行速度為
B．飛船在A點處點火時，速度增加
C．飛船在軌道Ⅰ上運行時通過A點的加速度大于在軌道Ⅱ上運行時通過A點的加速度
D．飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間為2π
【雙星問題】
4.現代觀測表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特點，眾多的恒星組成了不同層次的恒星系統，最簡單的恒星系統是兩顆互相繞轉的雙星，事實上，冥王星也是和另一星體構成雙星，如圖9所示，這兩顆行星m1、m2各以一定速率繞它們連線上某一中心O勻速轉動，這樣才不至于因萬有引力作用而吸引在一起，現測出雙星間的距離始終為L，且它們做勻速圓周運動的半徑r1與r2之比為3∶2，則(　　)
A．它們的角速度大小之比為2∶3
B．它們的線速度大小之比為3∶2
C．它們的質量之比為3∶2
D．它們的周期之比為2∶3

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