資源簡(jiǎn)介

考前13天 數(shù)列、推理與證明
看看去年考了什么
（下面6個(gè)小題中有兩個(gè)不正確，請(qǐng)?jiān)陬}后用√或×判定，并改正過(guò)來(lái)）
1、（2013廣東）在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7＝20．（ ）
2、（2013重慶）已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝62．（ ）21cnjy.com
3、（2013全國(guó)卷I）設(shè)△AnBnCn的三邊長(zhǎng)分別為an，bn，cn，△AnBnCn的面積為Sn，n＝1，2，3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，則{Sn}為遞增數(shù)列(　　)21·cn·jy·com
4、（2013安徽）如圖1－3所示，互不相同的點(diǎn)A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等，設(shè)OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝．（ ）www.21-cn-jy.com
5、（2013江蘇）在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3. 則滿(mǎn)足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為10．（ ）2·1·c·n·j·y
6、（2013湖南）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝(－1)nan－，n∈*，則(1)a3＝－；(2)S1＋S2＋…＋S100＝．（ ）【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
再熟悉熟悉這些知識(shí)
1、等差數(shù)列中以下性質(zhì)須注意：
（1）等差數(shù)列中，若，則；
（2）等差數(shù)列中，若，則；
（3）等差數(shù)列中，若，則；；
（4）若，若p+q為偶數(shù)，則時(shí)，最大；若p+q為奇數(shù)則時(shí)，最大。
項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，有，（為中間項(xiàng)），
；；；
2、等比數(shù)列中有以下性質(zhì)須注意：
（1）若是等比數(shù)列，則，也是等比數(shù)列，公比分別q；|q|；
（2）若是等比數(shù)列，則，也是等比數(shù)列，公比分別；；
2、判定方法：
（1）等差數(shù)列的判定方法：
①定義法：或（為常數(shù)）是等差數(shù)列
②中項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列
③通項(xiàng)公式法：（為常數(shù)）是等差數(shù)列
④前項(xiàng)和公式法：（為常數(shù)）是等差數(shù)列
注意：①②是用來(lái)證明是等差數(shù)列的理論依據(jù)。
（2）等比數(shù)列的判定方法：
①定義法：或（是不為零的常數(shù)）是等比數(shù)列
②中項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列
③通項(xiàng)公式法：（是不為零常數(shù)）是等差數(shù)列
④前項(xiàng)和公式法：（是常數(shù)）是等差數(shù)列
注意：①②是用來(lái)證明是等比數(shù)列的理論依據(jù)。
3、數(shù)列的通項(xiàng)求法：
（1）觀察法：如：①0.2，0.22，0.222，……；②）21，203，2005，20007，……
（2）化歸法：通過(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列。
①遞推式為及（為常數(shù)）：直接運(yùn)用等差（比）數(shù)列。
②遞推式為：迭加法
如：已知中，，求；
③遞推式為：迭乘法
如：已知中，，求；
④遞推式為（為常數(shù)）：
構(gòu)造法：Ⅰ、由相減得，則
為等比數(shù)列。
Ⅱ、設(shè)，得到，，則 為等比數(shù)列。
如：已知，求；
⑤遞推式為（為常數(shù)）：
兩邊同時(shí)除去得，令，轉(zhuǎn)化為，再用④法解決。
如：已知中，，，求；
⑥遞推式為（為常數(shù)）：
將變形為，可得出解出，于是是公比為的等比數(shù)列。
如：已知中，，，求。
（3）公式法：運(yùn)用，
①已知，求；②已知中， ，求；
③已知中，，求。
4、數(shù)列的求和法：
（1）公式法：
①等差（比）數(shù)列前項(xiàng)和公式：②；
③；④
（2）倒序相加（乘）法：
如：①求和：；
②已知為不相等的兩個(gè)正數(shù)，若在之間插入個(gè)正數(shù)，使它們構(gòu)成以為首項(xiàng)，為末項(xiàng)的等比數(shù)列，求插入的這個(gè)正數(shù)的積；
③若，則；
（5）并項(xiàng)法：如：求；
（6）拆項(xiàng)組合法：如：在數(shù)列中，，求，
5、數(shù)列問(wèn)題的解題的策略：
（1）分類(lèi)討論問(wèn)題：①在等比數(shù)列中，用前項(xiàng)和公式時(shí)，要對(duì)公比進(jìn)行討論；只有
時(shí)才能用前項(xiàng)和公式，時(shí)
②已知求時(shí)，要對(duì)進(jìn)行討論；最后看滿(mǎn)足不滿(mǎn)足，若滿(mǎn)足中的擴(kuò)展到，不滿(mǎn)足分段寫(xiě)成。
（2）設(shè)項(xiàng)的技巧：
①對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，可設(shè)為，公差為；
對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，可設(shè)為，公差為；
②對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，可設(shè)為，公比為；
對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列，可設(shè)為公比為；
讀讀高考評(píng)分細(xì)則
例題（2013湖北18）． 已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．
閱卷現(xiàn)場(chǎng)
規(guī)范解答
解： (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
則由已知可得
解得或
故an＝·3n－1或an＝－5·(－1)n－1.
(2)若an＝·3n－1，則＝()n－1，
故{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而＝＝[1－()m]<<1.
若an＝(－5)·(－1)n－1，則＝－(－1)n－1，
故是首項(xiàng)為－，公比為－1的等比數(shù)列，從而
＝
故<1.
綜上，對(duì)任何正整數(shù)m，總有<1.
故不存在正整數(shù)m，使得＋＋…＋≥1成立．
失分原因與防范措施
失分原因：1、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式寫(xiě)錯(cuò)了；2、當(dāng)公比q為1或時(shí)為特殊數(shù)列，仍舊代入公式；
防范措施：1、熟練掌握和應(yīng)用公式；2、特殊數(shù)列利用特殊求法。
答案
1、正確　[解析] 方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，而3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝2(2a1＋9d)＝20.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
方法二：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20.
2、錯(cuò)誤 [解析]設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a1，a2，a5成等比數(shù)列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以S8＝8×1＋×2＝64.21教育網(wǎng)
3、正確　　[解析] 因?yàn)閍n＋1＝an，所以an＝a1.又因?yàn)閎n＋1＋cn＋1＝(bn＋cn)＋an＝(bn＋cn)＋a1，所以bn＋1＋cn＋1－2a1＝(bn＋cn－2a1)．因?yàn)閎1＋c1－2a1＝0，所以bn＋cn＝2a1，故△AnBnCn中邊BnCn的長(zhǎng)度不變，另外兩邊AnBn，AnCn的和不變．
因?yàn)閎n＋1－cn＋1＝－(bn－cn)，且b1－c1>0，所以bn－cn＝(b1－c1)，當(dāng)n→＋∞時(shí)，bn→cn，也就是AnCn→AnBn，所以三角形△AnBnCn中BnCn邊上的高隨著n的增大而增大．設(shè)三角形△AnBnCn中BnCn邊上的高為hn，則{hn}單調(diào)遞增，所以Sn＝a1hn是增函數(shù)．
5、錯(cuò)誤　[解析] 設(shè){an}的公比為q.由a5＝及a5(q＋q2)＝3得q＝2，所以a1＝，所以a6＝1，a1a2…a11＝a＝1，此時(shí)a1＋a2＋…＋a11>1.又a1＋a2＋…＋a12＝27－，a1a2…a12＝26<27－，所以a1a2…a12>a1a2…a12，但a1＋a2＋…＋a13＝28－，a1a2…a13＝26·27＝25·28>28－，所以a1＋a2＋…＋a13＝－－＋2×－＝－＝.

展開(kāi)更多......

收起↑