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2023屆復習精品資料---高中數學解題小結大匯總
熟悉這些解題小結論，啟迪解題思路、探求解題佳徑，總結解題方法，防止解題易誤點的產生，對提升高考數學成績將會起到立竿見影的效果。
一、集合與簡易邏輯
1. 集合中元素的特征：確定性、無序性、互異性
集合元素的互異性：如：，，求；
2. 集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。
注意：區分集合中元素的形式：如：；；；；；
；
空集是指不含任何元素的集合。（、和的區別；0與三者間的關系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。
如：，如果，求的取值。
　 3.對于含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為 則A的個數為個
(14) 則B的個數為個
4.“交的補等于補的并，即”；“并的補等于補的交，即”.
8.分清條件和結論是關鍵 滿足條件，滿足條件，
若；則是的充分非必要條件；
若；則是的必要非充分條件；
若；則是的充要條件；
9 全稱量詞與全稱命題
（1）短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞。含有全稱量詞的命題叫做全稱命題。表示“對M中任意一個x有p(x)成立”簡記為 它的否定
全稱命題p：， 它的否定：，
⑵存在量詞--------“存在一個”、“至少有一個”等，用表示；
特稱命題p：； 特稱命題p的否定p：；
10 全稱（特稱）命題的否定與命題的否定的區別，全稱（特稱）命題的否定將其全稱量詞改為存在量詞(或存在量詞改為全稱量詞)并把結論否定，而命題的否定則直接否定結論
二、函　數
1.指數式、對數式，
（1）分數指數冪
(2) （，且）(2)（，且）3）．根式的性質（1）（2）當為奇數時，；當為偶數時，
(4)．有理指數冪的運算性質
(1) (2)
(3)
注： 若a＞0，p是一個無理數，則ap表示一個確定的實數．上述有理指數冪的運算性質，對于無理數指數冪都適用
(5)指數式與對數式的互化式:
(6)對數的換底公式 : (,且,,且, )
對數恒等式：(,且, )推論 (,且, )
(7)．對數的四則運算法則:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1); (2) ;
(3); (4)
(8)設函數,記若的定義域為,則且;若的值域為,則，且
(9) 對數換底不等式及其推廣：設，，，且，則
（1）　　　（2）
(10) 平均增長率的問題（負增長時）
如果原來產值的基礎數為N，平均增長率為，則對于時間的總產值，有
(2)函數圖像與軸垂線至多一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可任意個.
3.單調性和奇偶性
(1)奇函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同.
偶函數在關于原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.
單調函數的反函數和原函數有相同的性；如果奇函數有反函數，那么其反函數一定還是奇函數.
注意：（1）確定函數的奇偶性，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱.確定函數奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.　對于偶函數而言有：.
（2）若奇函數定義域中有0，則必有.即的定義域時，是為奇函數的必要非充分條件.
（3）確定函數的單調性或單調區間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑒定）、導數法；在選擇、填空題中還有：數形結合法(圖像法)、特殊值法等等.
（4）函數單調是函數有反函數的一個充分非必要條件.
(5)定義在關于原點對稱區間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數與一個偶函數的和（或差）”.
(6)函數單調是函數有反函數的充分非必要條件，奇函數可能反函數，但偶函數只有有反函數；既奇又偶函數有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）.
5.復合函數的有關問題
（1）復合函數定義域求法：
① 若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出
② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。
（2）復合函數單調性的判定：
①首先將原函數分解為基本函數：內函數與外函數；
②分別研究內、外函數在各自定義域內的單調性；
③根據“同性則增，異性則減”來判斷原函數在其定義域內的單調性。
(4)復合函數的單調性特點是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”.
復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外”.
6函數的單調性的等價關系
(1)設那么
上是增函數；
上是減函數
(2)設函數在某個區間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數
7如果函數和都是減函數,則在公共定義域內,和函數也是減函數; 如果函數和都是增函數,則在公共定義域內,和函數也是增函數
6.對稱性與周期性（以下結論要消化吸收，不可強記）
(1)函數與函數的圖像關于直線（軸）對稱.
推廣一：如果函數對于一切，都有成立，那么的圖像關于直線（由“和的一半確定”）對稱.
推廣二：函數，的圖像關于直線（由確定）對稱.
(2)函數與函數的圖像關于直線（軸）對稱.
推廣：函數與函數的圖像關于直線對稱（由“和的一半確定”）.
(3)函數與函數的圖像關于坐標原點中心對稱.
推廣：函數與函數的圖像關于點中心對稱.
(4)函數與函數的圖像關于直線對稱.
推廣：曲線關于直線的對稱曲線是；
曲線關于直線的對稱曲線是.
(5)繞原點逆時針旋轉，得，若有反函數，則得.
(6)類比“三角函數圖像”得：
若圖像有兩條對稱軸，則必是周期函數，且一周期為.
若圖像有兩個對稱中心，則是周期函數，且一周期為.
如果函數的圖像有下一個對稱中心和一條對稱軸，則函數必是周期函數，且一周期為.
　如果是R上的周期函數，且一個周期為，那么.
　特別：若恒成立，則.
若恒成立，則.若恒成立，則.如果是周期函數，那么的定義域“無界”.
　 記住函數的幾個重要性質：
函 數 滿 足 的 條 件 對稱軸(中心)
滿足的函數的圖象[或]
滿足的函數的圖象[或]
滿足的函數的圖象
滿足的函數的圖象
滿足的函數的圖象(偶函數)
滿足的函數的圖象(奇函數)
滿足與的兩個函數的圖象
滿足與的兩個函數的圖象
滿足與的兩個函數的圖象
y=f(ax+b)是奇函數滿足f(ax+b)=-f(-ax+b)
y=f(ax+b)是偶函數滿足f(ax+b)=f(-ax+b)
7.圖像變換
(1)函數圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點、特殊線也作相應的變換.
(2)圖像變換應重視將所研究函數與常見函數（正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、對數函數、指數函數、三角函數、“雙鉤函數”及函數等）相互轉化.
注意：①形如的函數，不一定是二次函數.
②應特別重視“二次三項式”、“二次方程”、“二次函數”、“二次曲線”之間的特別聯系.
③形如的圖像是等軸雙曲線，雙曲線兩漸近線分別直線(由分母為零確定)、直線(由分子、分母中的系數確定)，雙曲線的中心是點.
(3)：將函數的圖象在x軸下方的部分對稱到x軸的上方，連同函數的圖象在x軸上方的部分得到的新的圖像就是的圖像；上不變下折上
(4)：將函數的圖象在y軸左側的部分去掉，函數的圖象在y軸右側的部分對稱到y軸的左側，連同函數的圖象在y軸右側的部分得到的新的圖像就是的圖像。.右不變，右折左
(5)若將函數的圖象右移、上移個單位，得到函數的圖象；若將曲線的圖象右移、上移個單位，得到曲線的圖象
函數平移找零點
(6)．互為反函數的兩個函數的關系：
8幾個常見的函數方程
(1)正比例函數
(2)指數函數
(3)對數函數
(4)冪函數
(5)余弦函數,正弦函數，，
9幾個函數方程的周期(約定a>0)
（1），則的周期T=a；
（2），或,則的周期T=2a；
10常見函數的圖像：
11．函數零點的求法：
⑴直接法（求的根）；⑵圖象法；⑶二分法.
(4)零點定理：若y=f(x)在[a,b]上滿足f(a)f(b)<0,則y=f(x)在（a,b)內至少有一個零點。
12閉區間上的二次函數的最值
二次函數在閉區間上的最值只能在處及區間的兩端點處取得，具體如下：
(1)當a>0時，若，則；
，，
(2)當a<0時，若，則，
若，則，
13定區間上含參數的不等式恒成立(或有解)的條件依據
(1)在給定區間的子區間（形如，，不同）上含參數的不等式(為參數)恒成立的充要條件是
(2)在給定區間的子區間上含參數的不等式(為參數)恒成立的充要條件是
(3) 在給定區間的子區間上含參數的不等式(為參數)的有解充要條件是
(4) 在給定區間的子區間上含參數的不等式(為參數)有解的充要條件是
14．導數
⑴導數定義：f(x)在點x0處的導數記作；
⑵常見函數的導數公式: ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 。
⑶導數的四則運算法則：
⑷復合函數的導數：
⑸導數的應用：
①利用導數求切線：注意：ⅰ)所給點是切點嗎？ⅱ)所求的是“在”還是“過”該點的切線？
②利用導數判斷函數單調性：
①是增函數；②為減函數；③為常數；
③利用導數求極值：ⅰ）求導數；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得極值。
④利用導數最大值與最小值：ⅰ）求的極值；ⅱ——求區間端點值（如果有）；ⅲ）得最值。
(6)導數與函數的單調性的關系
㈠與為增函數的關系。
能推出為增函數，但反之不一定。如函數在上單調遞增，但，∴是為增函數的充分不必要條件。
㈡時，與為增函數的關系。
若將的根作為分界點，因為規定，即摳去了分界點，此時為增函數，就一定有。∴當時，是為增函數的充分必要條件。
㈢與為增函數的關系。
為增函數，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數在某個區間內恒有，則為常數，函數不具有單調性。∴是為增函數的必要不充分條件。
補充：
關于抽象函數構造之與
定理1：；
定理2：當時，；
關于
定理3：；
定理4：由于；
關于或
定理5：正弦同號，余弦反號定理
；當
Xlnx模型
定理6：
記憶方法：將式子全部轉化為形式，首先滿足導數構造中加乘減除符號不變性，若括號內無則是；若括號內是，則是；
非對稱的構造
定理7：平移模型：
倍數模型：
奇偶模型：為奇函數；
為偶函數（為奇函數）內是，則是．
放縮，
常見放縮，將和同時放縮成直線，這種方法叫做改頭換面。如圖所示，，此時取等條件都相同，原因是他們在處的切線平行；恒成立，則整數的最大值為2，無法取等（圖3）；當，無法恒成立．
較大比較大小用：
①；；（利用）；
這一系列放縮的取等條件就是，或者；
②；；（利用）；
這一系列放縮的取等條件就是，或者；
③；；（利用），這一系列放縮的取等條件就是，或者．
同構式問題構造xex與xlnx 我們發現，在，而在，在，在考查同構式的類型中，構造來求取值范圍，構造來判斷零點個數及分布；同構式模型：①，②；③
若不是存在或者之類的可以直接消除對數的，一般考慮對遞增較慢的進行放縮，但在區間內重點考慮切線放縮，通常放縮有：①；②（取等條件）；③（取等條件）；④；⑤（取等條件）；⑥； ⑦（取等條件）；⑧（取等條件以及
兩個正數和的對數平均定義：，對數平均與算術平均、幾何平均的大小關系：
（此式記為 對數平均不等式）取等條件：當且僅當時，等號成立．
只證：當時，，可設，（I）先證：……①
不等式①
構造函數，則.
15常用不等式：
（1）(當且僅當a＝b時取“=”號)．
（2）(當且僅當a＝b時取“=”號)．
（3）
（4）柯西不等式：
（5）
（6）(當且僅當a＝b時取“=”號)
16最值定理:已知都是正數，則有
（1）若積是定值，則當時和有最小值；
（2）若和是定值，則當時積有最大值
（3）已知，若則有
（4）已知，若則有
17一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間；
18含有絕對值的不等式 ：
(1)
或>g(x)或f(x)<-g(x)
2．絕對值不等式：
3．不等式的性質：
⑴；⑵；⑶；
；⑷；；
;⑸;⑹
19指數不等式與對數不等式
(1)當時,;　
(2)當時,
;　
三、數列
1.數列的通項、數列項的項數，遞推公式與遞推數列，數列的通項與數列的前項和公式的關系：(必要時請分類討論).
注意：；
.
2.等差數列中：
（1）等差數列公差的取值與等差數列的單調性.
（2）；.
(3)、也成等差數列. (4)兩等差數列對應項和(差)組成的新數列仍成等差數列.
(5)仍成等差數列.
（6），，，
，.
(7)；；.
(8)“首正”的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；
“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和；
(9)有限等差數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定.若總項數為偶數，則“偶數項和”－“奇數項和”＝總項數的一半與其公差的積；若總項數為奇數，則“奇數項和”－“偶數項和”＝此數列的中項.
（10）兩數的等差中項惟一存在.在遇到三數或四數成等差數列時，常考慮選用“中項關系”轉化求解.
(11)判定數列是否是等差數列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法(也就是說數列是等差數列的充要條件主要有這五種形式).
3.等比數列中：
（1）等比數列的符號特征(全正或全負或一正一負)，等比數列的首項、公比與等比數列的單調性.
（1）； .
(3) 、、成等比數列；成等比數列成等比數列.
(4)兩等比數列對應項積(商)組成的新數列仍成等比數列.
(5)成等比數列.
（6）.
　特別：.
(7) .
(8)“首大于1”的正值遞減等比數列中，前項積的最大值是所有大于或等于1的項的積；“首小于1”的正值遞增等比數列中，前項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；
(9)有限等比數列中，奇數項和與偶數項和的存在必然聯系，由數列的總項數是偶數還是奇數決定.若總項數為偶數，則“偶數項和”＝“奇數項和”與“公比”的積；若總項數為奇數，則“奇數項和”＝“首項”加上“公比”與“偶數項和”積的和.
（10）并非任何兩數總有等比中項. 僅當實數同號時，實數存在等比中項.對同號兩實數的等比中項不僅存在，而且有一對.也就是說，兩實數要么沒有等比中項(非同號時)，如果有，必有一對(同號時).在遇到三數或四數成等差數列時，常優先考慮選用“中項關系”轉化求解.
(11) 2．等差、等比數列性質
等差數列 等比數列
通項公式
前n項和
性質 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m;
m+n=p+q時am+an=ap+aq ②m+n=p+q時aman=apaq
③成AP ③成GP
成AP, ④成GP,
4.等差數列與等比數列的聯系
(1)如果數列成等差數列，那么數列(總有意義)必成等比數列.
(2)如果數列成等比數列，那么數列必成等差數列.
(3)如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列；但數列是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件.
(4)如果兩等差數列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數.
如果一個等差數列與一個等比數列有公共項順次組成新數列，那么常選用“由特殊到一般的方法”進行研討，且以其等比數列的項為主，探求等比數列中那些項是他們的公共項，并構成新的數列.
注意：(1)公共項僅是公共的項，其項數不一定相同，即研究.但也有少數問題中研究，這時既要求項相同，也要求項數相同.(2)三(四)個數成等差(比)的中項轉化和通項轉化法.
5.數列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數列求和公式（三種形式），②等比數列求和公式（三種形式），
③，，
，.
（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.
（3）倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）.
（4）錯位相減法：其中
（注意是次方）
（5）裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
①， ②，③，
，
④ ，⑤,
⑥,
⑦，⑧.
9、nn!=(n+1)!-n! 10、
特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時分類討論.
（8）數列通項轉換法。
類型1 這種類型數列求的方法一般采用疊加法
例1（2008天津）在數列中，，，
且（）．
（Ⅰ）設（），證明是等比數列；（Ⅱ）求數列的通項公式；
解：（Ⅰ）證明：由題設（），得
，即，．
又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ），，…，（）．
將以上各式相加，得（）．
所以當時，上式對顯然成立．
類型2 這種類型的數列求的方法一般采用疊乘法
例2（2004全國）已知數列滿足 ，
求數列的通項公式；
解：已知
－（2）得
所以將n個式子相乘，得
所以
類型3這種類型一般采用等式兩邊取倒數轉化為等差或等比數列求解
例3（2008陜西）已知數列的首項，，…．
（Ⅰ）證明：數列是等比數列；
解：（Ⅰ） ， ，
，又，，
數列是以為首項，為公比的等比數列．
類型4 這種類型的數列求的方法一般采用
驗證n=1是否滿足 ，若滿足則寫成若不滿足則寫成上式
例4．(2008全國2)設數列的前項和為．已知，，．
（Ⅰ）設，求數列的通項公式；
解：（Ⅰ）依題意，，即，
由此得．因此，所求通項公式為，．
練習（2007重慶）已知各項均為正數的數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＞1，且
（Ⅰ）求｛an｝的通項公式；答案：．
類型5
這種類型的數列求的方法一般采用待定系數法構造新數列為等比數列，即令 解得 從而轉化為是公比為p的等比數列
例5．（全國2）設數列的首項．
（1）求的通項公式；
解：（1）由 整理得 ．
又，所以是首項為，公比為的等比數列，得
類型6 當時 將等式兩邊同時除以得
從而轉化為是以為公差的等差數列
例6：在數列中，，.
(Ⅰ)設.證明：數列是等差數列；（2）并求通項公式
解：(Ⅰ)
即，所以數列是等差數列
(Ⅱ)由(Ⅰ)，所以一般采用待定系數法構造新數列為等比數列即令 解得
從而轉化為是公比為p的等比數列
例7（2006全國1）設數列的前項的和，
（Ⅰ）求首項與通項；
解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…將①和②相減得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而數列{ an+2n}是首項為+2=4,公比為4的等比數列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3,
6.數列應用問題
⑴生產部門中有增長率的總產量問題. 例如，第一年產量為，年增長率為，則每年的產量成等比數列，公比為. 其中第年產量為，且過年后總產量為：
⑵銀行部門中按復利計算問題. 例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復利計算，則每月的元過個月后便成為元. 因此，第二年年初可存款：=.
⑶分期付款應用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.
四、三角函數
1.終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上).
終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上).
終邊與終邊關于軸對稱.
終邊與終邊關于軸對稱.
終邊與終邊關于原點對稱.
一般地：終邊與終邊關于角的終邊對稱.
與的終邊關系由“兩等分各象限、一二三四”確定.
2.弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad).
3.三角函數符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.
注意：，
，.
4．誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符號看象限”；
5．⑴對稱軸：；對稱中心：；
⑵對稱軸：；對稱中心：；
7．三角函數的單調區間：
的遞增區間是，遞減區間是；的遞增區間是，遞減區間是，的遞增區間是，的遞減區間是。
8．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①
②③ 。
9．二倍角公式：①；
②；③。
角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.
如， ，
，等.
常值變換主要指“1”的變換：
等.
三角式變換主要有：三角函數名互化(切割化弦)、三角函數次數的降升(降次、升次)、運算結構的轉化(和式與積式的互化). 解題時本著“三看”的基本原則來進行:“看角、看函數、看特征”,基本的技巧有:巧變角,公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次.
注意：和(差)角的函數結構與符號特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次(升次)公式中的符號特征.“正余弦‘三兄妹—’的內存聯系”(常和三角換元法聯系在一起
).
輔助角公式中輔助角的確定：(其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用.尤其是兩者系數絕對值之比為的情形.有實數解.
8.三角函數性質、圖像及其變換：
(1)三角函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、有界性和周期性
注意：正切函數、余切函數的定義域；絕對值對三角函數周期性的影響：一般說來，某一周期函數解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數又是偶函數的函數自變量加絕對值，其周期性不變；其他不定. 如的周期都是, 但的周期為， y=|tanx|的周期不變，問函數y=cos|x|, ，y=cos|x|是周期函數嗎？
(3)三角函數圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換.
(4)三角函數圖像的作法：三角函數線法、五點法(五點橫坐標成等差數列)和變換法.
9.三角形中的三角函數：
(1)內角和定理：三角形三角和為，任意兩角和與第三個角總互補
（4）考點一、①任意三角形的內角和為180°；三條邊滿足：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.②大邊對大角，小邊對小角，，所以在中的充要條件
③在銳角中，一定有，即一個角的正弦值一定大于另一個角的余弦值，從而可以得到銳角中，一定有
考點二：正弦定理
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即．
考點三：由正弦定理推出的幾個結論
①a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC．②
③由等比性質和圓的性質可知，＝＝＝＝2R.其中，R為△ABC外接圓的半徑．
④A考點四：由三角形性質和誘導公式導出的幾個結論
①，
所以，同理，，
，同理，，
，同理，，
所以，同理，，
考點五：三角形面積公式
S△ABC＝ ah(h表示邊a上的高) ；S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
由正弦定理可得
海倫公式：，其中
三角形面積和內切圓半徑的關系：（其中為三角形內切圓的半徑）
(5)在三角形中，則三角形ABC的面積
（6）正切恒等式
（7）射影定理在中，，，.
（8）余弦定理推導式：，（把當做一個整體）
（9）張角定理
如圖，在中，為邊上的一點，連接，設，，，則一定有．
證明：，，
同除以得：．
推論：①當時，，（角平分線張角定理）
②（張角底邊比值問題）
定理1 平行四邊形兩條對角線的平分和等于兩條鄰邊平分和的兩倍．以此類推到三角形中線定理，若AM是的中線，則．
(2)異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角、向量的夾角的范圍依次是，.直線的傾斜角、到的角、與的夾角的范圍依次是.
五、向 量
1.向量運算的幾何形式和坐標形式，請注意：向量運算中向量起點、終點及其坐標的特征.
2.幾個概念：零向量、單位向量(與共線的單位向量是，特別：)、平行(共線)向量(無傳遞性，是因為有)、相等向量(有傳遞性)、相反向量、向量垂直、以及一個向量在另一向量方向上的投影（在上的投影是).
3.兩非零向量平行(共線)的充要條件 .
兩個非零向量垂直的充要條件 .
特別：零向量和任何向量共線. 是向量平行的充分不必要條件
4.平面向量的基本定理：
（1）共線向量定理
對空間任意兩個向量、 (≠ )，∥存在實數λ使=λ．
三點共線
、共線且不共線且不共線
（2）共面向量定理
向量與兩個不共線的向量、共面的存在實數對,使．
推論 空間一點P位于平面MAB內的存在有序實數對,使，
或對空間任一定點O，有序實數對，使
（3）對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足（），則當時，對于空間任一點，總有P、A、B、C四點共面；當時，若平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面．四點共面與、共面
（平面ABC）
（4）空間向量基本定理 如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使＝x＋y＋z．
（5）推論 設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使
向量中三終點共線存在實數使得：且.
（6）.向量的數量積：，，
，.
注意：為銳角且不同向；為直角且；為鈍角且不反向是為鈍角的必要非充分條件.
向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件，要注意運用；對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量；向量的“乘法”不滿足結合律，即，切記兩向量不能相除(相約).
（7）.
注意：同向或有；
反向或有；
不共線.(這些和實數集中類似)
（8）.平移與定比分點
(1)線段的定比分點坐標公式
設P（x,y）、P1（x1,y1），P2（x2,y2），且，則.，.
特別：分點的位置與的對應關系.
中點坐標公式， 為的中點.
中，過邊中點；；.
為的重心；特別為的重心.
為的垂心；
所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；的內心.
.
奔馳定理
奔馳定理：若為內一點，且滿足，則、、的面積之比等于
(2)極化恒等式:
證明：①；②
兩式相減得：
特別地，如圖在中，若為的中點，.
考點二：平面向量的矩形大法
如圖：若四邊形為矩形，為矩形所在平面內任一點，則。
對角線向量定理：
七、直線和圓
1.直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向量的意義(或)及其直線方程的向量式((為直線的方向向量)).應用直線方程的點斜式、斜截式設直線方程時，一般可設直線的斜率為k，但你是否注意到直線垂直于x軸時，即斜率k不存在的情況？
2.知直線縱截距，常設其方程為或；知直線橫截距，常設其方程為(直線斜率k存在時，為k的倒數)或.知直線過點，常設其方程為或.
注意：(1)直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式、向量式．以及各種形式的局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩式呢？）
與直線平行的直線可表示為；
與直線垂直的直線可表示為；
過點與直線平行的直線可表示為：；
過點與直線垂直的直線可表示為：.
(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點.
(3)在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.
3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個不同的概念：夾角特指相交兩直線所成的較小角，范圍是，而其到角是帶有方向的角，范圍是.相應的公式是：夾角公式，直線到角公式.注：點到直線的距離公式.
特別：；
；
.
4.線性規劃中幾個概念：約束條件、可行解、可行域、目標函數、最優解.
5.圓的方程：最簡方程；標準方程；
一般式方程；
參數方程為參數)；直徑式方程.
注意：(1)在圓的一般式方程中，圓心坐標和半徑分別是.
(2)圓的參數方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有：
，，
，.
6.解決直線與圓的關系問題有“函數方程思想”和“數形結合思想”兩種思路，等價轉化求解，重要的是發揮“圓的平面幾何性質(如半徑、半弦長、弦心距構成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等)的作用!”
(1)過圓上一點圓的切線方程是：，
過圓上一點圓的切線方程是：
，
過圓上一點圓的切線方程是：.
如果點在圓外，那么上述直線方程表示過點兩切線上兩切點的“切點弦”方程.
如果點在圓內，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于(為圓心)的直線方程，(為圓心到直線的距離).
7.曲線與的交點坐標方程組的解；
過兩圓、交點的圓(公共弦)系為，當且僅當無平方項時，為兩圓公共弦所在直線方程.
八、圓錐曲線
1橢圓焦長以及焦比問題
體:過橢圓的左焦點F1的弦與右焦點F2圍成的三角形的周長是4a；
焦長公式：A是橢圓上一點，、是左、右焦點，為，過，c是橢圓半焦距，則（1）；（2）；（3）．
體面積：，
2焦比定理：過橢圓的左焦點F1的弦，，令，即，代入弦長公式可得
3雙曲線的焦點三角形問題
周長問題：雙曲線（，）的兩個焦點為、，弦過左焦點（、都在左支上），，則的周長為（如圖1）
圖1 圖2 圖3
焦長公式：（1）當AB交雙曲線于一支時，，（圖2）；
（2）當AB交雙曲線于兩支時，，（圖3）．
雙曲線焦比定理和橢圓的焦比定理一致：
令，即，代入弦長公式可得．
若交于兩支時，，代入弦長公式可得
4拋物線焦長公式及性質
1．．2．．
3．．4．設,則．
5．設AB交準線于點P，則；．
橢圓焦點三角形的性質
橢圓焦點為，，P為橢圓上的點，，則；
證明：設
推論與應用：（注意：r為內切圓半徑）
直角三角等面積法：如右圖，當時，有；
，．
（2）任意角度的等面積法：．
（3）最大面積、最大夾角問題：當點P位于橢圓的短軸頂點時，取最大值，根據等面積原理，此時．
（4）直角頂點的討論：當時，取得最大值，若，則，；同理，若，則，；若，則，．在分析直角頂點個數時，當時，有四個點P存在；當時，有兩個點P存在；當時，無點P存在。（注意：與的區別）
（5）已知的度數，求橢圓離心率的取值范圍：假設為橢圓的最大角，則．
雙曲線焦點三角形性質
雙曲線焦點為F1、F2，為雙曲線上的點，
，則
證明：
推論與應用：
（1）直角三角等面積法：當時，有；；
（2）任意角度的等面積法：；
（3）內切圓的圓心橫坐標一定等于；證：如圖，；
（4）橢圓雙曲線共焦點三角形的問題：如圖，橢圓和雙曲線共焦點，由于兩個式子不同，將橢圓寫成，雙曲線寫成可以知道，
①當時，橢圓和雙曲線的離心率；
②當時，一定有．
證明：．
雙曲線焦點到漸近線距離為b
定理一：雙曲線C：的焦點到兩條漸近線的距離為常數；頂點到兩條漸近線的距離為常數
定理二：雙曲線C：上的任意點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數；
橢圓聯立與設點設線
橢圓與直線相交于AB兩點，求AB的弦長．
設 設則
（常規設點設線）
．
橢圓與直線交點的判別式：用來判斷是否有交點問題．
面積問題：橢圓與直線相交與兩點，為AB外任意一點，求.設C到的距離為，則．
若橢圓中出現，或者橢圓與過定點的直線l，則直線設為，如此消去，保留，構造的方程如下：
（就是將）
．
橢圓與直線交點的判別式：用來判斷是否有交點問題．
雙曲線的弦長公式與面積（不過焦點的弦）
雙曲線與直線相交于AB兩點，求AB的弦長。
設 設則
將代入得：
雙曲線與直線交點的判別式：用來判斷是否有兩個交點問題。
面積問題：雙曲線與直線相交與兩點，為AB外任意一點，求。設C到的距離為，則
直線與雙曲線交點問題：
(1)直線與雙曲線有兩個交點時，；，有僅有一個交點；，沒有交點；
(2)過點的直線與雙曲線有一個交點情況需要分類討論：
①當時，點在漸近線上，當時，有兩條直線（一條切線，一條與另一條漸近線平行的直線）；②當時，且在雙曲線外部，有三條直線（兩條切線，一條與另一條漸近線平行的直線）；
③當時（點在雙曲線內部），一定有交點，當直線斜率時，有一交點，當直線斜率時，有兩個交點．
過原點的向量乘積問題
橢圓與雙曲線與直線相交于兩點，O為坐標原點，求
解：設
將代入得： 將代入得：
將（1）（2）分別代入（3）得：
橢圓 雙曲線
拋物線角平分線定理
拋物線與直線相交于兩點，聯立得消去得：
；即※；由此推出三大定理。
定理1：拋物線準線與坐標軸的交點G與焦半徑端點A、B連線AG、BG所成角被坐標軸軸平分
定理2：過對稱軸上任意一定點的一條弦AB，端點與對應點的連線所成角被對稱軸（NG所在直線）平分。
定理3：過點的任一直線交拋物線于AB兩點，點A關于x軸的對稱點A’,則點A’，B，三點共線。（對稱之點，三點共線
拋物線的設線問題如圖1，已知AB是過拋物線焦點F的弦，M是AB的中點，是拋物線的準線，，N為垂足．則：（1）以AB為直徑的圓與準線l相切．（2）（3）則（重點）（4）設，D為垂足，則A、O、D三點在一條直線上（重點）與拋物線聯立的直線只能是，故可得兩種直線與拋物線的聯立形式定理：已知AB是拋物線的弦，則令AB方程為，故（k為直線AB斜率的倒數）（5）（中點弦問題）（k為直線AB斜率的倒數）（6）（圖2）故拋物線的弦AB中點，則AB中垂線過定點（7）直線過定點(圖3)時，（垂直問題）已知AB是拋物線弦，則令AB方程為，故（k為直線AB斜率）（8）（中點弦問題）（k為直線AB斜率）（9） （中垂線過定點問題）故拋物線的弦AB中點，則AB中垂線過定點（10）直線過定點
中點問題找點差，直徑問題問點差
中點弦問題：若橢圓(雙曲線)與直線交于兩點，為中點，則可以采用點差法
定理1：（橢圓）；（雙曲線）中垂線問題：若A、B關于直線或者對稱，可以知道線段AB被直線垂直平分，設N為與坐標軸交點，則能得出以下定理：
定理2：(橢圓)，（雙曲線）；(橢圓)，（雙曲線）
直徑問題：若過原點，則為橢圓（雙曲線）直徑，為橢圓（雙曲線）上異于任意一點，
定理3：（橢圓）；（雙曲線）
定比點差法原理
定比分點：若，則稱點M為AB的定比分點，若，則
若且，則稱M，N調和分割A，B，根據定義，那么A，B也調和分割M，N.
定理：在橢圓或雙曲線中，設A，B為橢圓或雙曲線上的兩點。若存在P，Q兩點，滿足，，一定有
證明：若， ，則
則，有 ①—②得：即
九、直線、平面、簡單多面體
1.計算異面直線所成角的關鍵是平移（補形）轉化為兩直線的夾角，或建立空間坐標系轉化為空間向量的夾角計算
(、、
、、
,
.
特別：，,
則- =.
，
2.計算直線與平面所成的角關鍵是作面的垂線找射影，或向量法(直線上向量與平面法向量夾角的余角)，三余弦公式(最小角定理，)，或先運用等積法求點到直線的距離，后虛擬直角三角形求解.注：一斜線與平面上以斜足為頂點的角的兩邊所成角相等斜線在平面上射影為角的平分線.
3.計算二面角的大小主要有：定義法(先作其平面角后計算大小)、公式法()、向量法(兩平面法向量的夾角)、等價轉換法等等.二面角平面角的主要作法有：定義法(取點、作垂、構角)、三垂線法(兩垂一連，關鍵是第一垂(過二面角一個面內一點，作另一個面的垂線))、垂面法.
4.計算空間距離的主要方法有：定義法(先作垂線段后計算)、等積法、轉換法(平行換點、換面)等.
5.空間平行垂直關系的證明，主要依據相關定義、公理、定理和空間向量進行，模式是：
線線關系線面關系面面關系，請重視線面平行關系、線面垂直關系(三垂線定理及其逆定理)的橋梁作用.注意：書寫證明過程需規范.
特別聲明：①證明計算過程中，若有“中點”等特殊點線，則常借助于“中位線、重心”等知識轉化.
②在證明計算過程中常將運用轉化思想，將具體問題轉化 (構造) 為特殊幾何體(如三棱錐、正方體、長方體、三棱柱、四棱柱等)中問題，并獲得去解決.
③如果根據已知條件，在幾何體中有“三條直線兩兩垂直”，那么往往以此為基礎，建立空間直角坐標系，并運用空間向量解決問題.
6.直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四面體、棱錐、正棱錐關于側棱、側面、對角面、平行于底的截面的幾何體性質.
如長方體中：對角線長，棱長總和為，全(表)面積為，(結合可得關于他們的等量關系，結合基本不等式還可建立關于他們的不等關系式)，；
如三棱錐中：側棱長相等(側棱與底面所成角相等)頂點在底上射影為底面外心，側棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底上射影為底面垂心，斜高長相等(側面與底面所成相等)且頂點在底上在底面內頂點在底上射影為底面內心.
如正四面體和正方體中：
7.求幾何體體積的常規方法是：公式法、割補法、等積(轉換)法、比例(性質轉換)法等.注意：補形：三棱錐三棱柱平行六面體 分割：三棱柱中三棱錐、四三棱錐、三棱柱的體積關系是 .
8．表（側）面積與體積公式：
⑴柱體：①表面積：S=S側+2S底；②側面積：S側=；③體積：V=S底h
⑵錐體：①表面積：S=S側+S底；②側面積：S側=；③體積：V=S底h：
⑶臺體：①表面積：S=S側+S上底S下底;②側面積：S側=;③體積：V=（S+）h；
⑷球體：①表面積：S=；②體積：V= 。
9．位置關系的證明（主要方法）：
⑴直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質定理；③面面平行的性質定理。
⑵直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行線面平行。
⑶平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平面平行。
⑷直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質定理。
⑸平面與平面垂直：①定義---兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。
注：理科還可用向量法。
10求角：（步驟-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角）
⑴異面直線所成角的求法：
①平移法：平移直線，構造三角形；②用向量法:
⑵直線與平面所成的角：
①直接法（利用線面角定義）；②用向量法:
11.求距離：（步驟-------Ⅰ。找或作垂線段；Ⅱ。求距離）
點到平面的距離：①等體積法；②向量法：。
12．結論：
⑴長方體從一個頂點出發的三條棱長分別為a，b，c，則對角線長為，全面積為2ab+2bc+2ca，體積V=abc。
⑵正方體的棱長為a，則對角線長為，全面積為6a2，體積V=a3。
⑶長方體或正方體的外接球直徑2R等于長方體或正方體的對角線長。
⑷正四面體的性質：設棱長為，則正四面體的：
高：；②對棱間距離：；③內切球半徑：；④外接球半徑：。
（5）三余弦定理
設AC是α內的任一條直線，AD是α的一條斜線AB在α內的射影，且BD⊥AD，垂足為D，設AB與α(AD)所成的角為， AD與AC所成的角為， AB與AC所成的角為．則
（6） 三射線定理
若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有 ;
(當且僅當時等號成立)
（7）空間兩點間的距離公式
若A，B，則=
（8） 點到直線距離
(點在直線上，為直線的方向向量， =)
（9）異面直線間的距離
(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離)
（10）點到平面的距離
（為平面的法向量，，是的一條斜線段）
外接球問題
十、排列、組合和概率
1.排列數、組合數中.
(1)排列數公式
；.
(2)組合數公式
；.
(3)組合數性質：
,,
.
2.解排列組合問題的依據是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合．
3.解排列組合問題的規律是(優限法和間接法)：相鄰問題捆綁法；不鄰(相間)問題插空法；多排問題單排法；定位問題優先法；多元問題分類法；有序問題用除法(組合法)；選取問題先選后排法；至多至少問題間接法，特別地還有隔板法(什么時候用？)、字典法、構造法等.
4.(1)二項式定理：，其中各系數就是組合數，它叫做第r+1項的二項式系數；展開式共有n+1項，其中第r+l項.某項“加數”的指數該項的“項數減去1的差”，也可看成組合數的上標.
(2)二項式展開式中二項式系數(組合數)的性質：對稱性、等距性、單調最值性和.
（3）應用“賦值法”同樣可得相關性質或尋求二項式展開式中“奇次(數)項”“偶次(數)項”的系數和.如，奇(偶)次項系數和().
注意：二項式展開式中區分“二項式系數、項的系數”，尋求其中項的系數的最大值是將相鄰兩項的系數構建不等式進行.
二項式的應用主要是進行應用其前幾項近似計算、整除性計算或證明、應用其首尾幾項進行放縮.
5.概率的計算公式：
(1)等可能事件的概率計算公式：；
(2)互斥事件的概率計算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)；
(3)對立事件的概率計算公式是：P()=1－P(A)；
(4)獨立事件同時發生的概率計算公式是：P(A B)＝P(A) P(B)；
(5)獨立事件重復試驗的概率計算公式是：
(是二項展開式[(1－P)+P]n的第(k+1)項).
6．概率公式：
⑴互斥事件（有一個發生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；
⑵古典概型：；
⑶幾何概型： ；
第十二部分 統計與統計案例
1．抽樣方法
⑴簡單隨機抽樣：一般地，設一個總體的個數為N，通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量為n的樣本，且每個個體被抽到的機會相等，就稱這種抽樣為簡單隨機抽樣。
注：①每個個體被抽到的概率為；②常用的簡單隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數法。
⑵系統抽樣：當總體個數較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然后按照預先制定的
規則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統抽樣。
注：步驟：①編號；②分段；③在第一段采用簡單隨機抽樣方法確定其時個體編號；
④按預先制定的規則抽取樣本。
⑶分層抽樣：當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。
注：每個部分所抽取的樣本個體數=該部分個體數
2．總體特征數的估計：
⑴樣本平均數；
⑵樣本方差 ；
⑶樣本標準差= ；
3．相關系數（判定兩個變量線性相關性）：
注：⑴>0時，變量正相關； <0時，變量負相關；⑵① 越接近于1，兩個變量的線性相關性強；② 接近于0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系。（3）當r 大于0.75時兩個變量的線性相關性越強
4．回歸分析中回歸效果的判定：
⑴總偏差平方和：；⑵殘差：；⑶殘差平方和： ；
⑷回歸平方和：－；⑸相關指數 。
注：①得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；②越接近于1，，則回歸效果越好。
5．獨立性檢驗（分類變量關系）：
隨機變量越大，說明兩個分類變量，關系越強，反之，越弱。
聯表
總計
a b a+b
c d c+d
總計 a+c b+d n=a+b+c+d
當時，沒有充分的證據判斷變量A,B沒有關聯時，有的把握判斷變量A,B有關聯時，有的把握判斷變量A,B有關聯 有的把握判斷變量A,B有關聯
3離散型隨機變量的分布列的兩個性質
（1）;（2）
（3）數學期望：
4數學期望的性質
（1）（2）若～,則
(3) 若服從幾何分布,且，則
5方差：
6標準差：=
7方差的性(1)；(2）若～，則
(3) 若服從幾何分布,且，則
8方差與期望的關系：
9正態分布密度函數：，
式中的實數μ，（>0）是參數，分別表示個體的平均數與標準差
10標準正態分布密度函數：
11對于，取值小于x的概率：
12二項分布（獨立重復試驗）：
（1）若X～B（n,p）,則EX＝np, DX＝np（1- p）;注： 。
⑵條件概率：稱為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率。
注：①0P（B|A）1；②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶獨立事件同時發生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。
⑷正態總體的概率密度函數：式中是參數，分別表示總體的平均數（期望值）與標準差；
（5）正態曲線的性質：
①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，關于直線x＝ 對稱；③曲線在x＝處達到峰值；④曲線與x軸之間的面積為1；
當一定時，曲線隨質的變化沿x軸平移；
當一定時，曲線形狀由確定：越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越集中；
越小，曲線越“高瘦”，表示總體分布越分散。
注：P=0.6826；P=0.9544
P=0.9974
A
B
C
M
對稱點共線
拋物線等角定理
圖1
圖2
圖3
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