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考前11天 立體幾何
看看去年考了什么
（下面6個小題中有2個不正確，請在題后用“正確”或“錯誤”判定，并將錯誤的改正過來）
1、（2013福建 ）已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖1－1所示，且圖中的四邊形是
邊長為2的正方形，則該球的表面積是12π．(　　)
2、（2013廣東 ）某四棱臺的三視圖如圖1－2所示，則該四棱臺的體積是 (　　)
3、（2013全國卷I）如圖1－3所示， 有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為 cm3　(　　)2-1-c-n-j-y
4、（2013山東 ）已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,如圖1-4，體積為 ,底面積是邊長為 的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為 ( )?　　21*cnjy*com
5、（2013江蘇 ）如圖1－5，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2＝1∶25．(　　)21cnjy.com
6、（2013 安徽）如圖1－6所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則：①當(dāng)0再熟悉熟悉這些知識
點、線、面重要定理
（1）最小角定理：斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的是與它在平面內(nèi)射影所成的角。
（2）異面直線的判定：①反證法；②過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線。【來源：21cnj*y.co*m】
（3）過已知點與一條直線垂直的直線都在過這點與這條直線垂直平面內(nèi)。
（4）如果—直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個平面的交線。
（5）如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于第三個平面。
2、空間角的求法：（所有角的問題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）
（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)相交直線所
成的角。異面直線所成角的范圍：；
注意：若異面直線中一條直線是三角形的一邊，則平移時可找三角形的中位線。有的還可以通過補形，如：將三棱柱補成四棱柱；將正方體再加上三個同樣的正方體，補成一個底面是正方形的長方體。【版權(quán)所有：21教育】
（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內(nèi)：線面所成的角為； ②線面垂直：線面所成的角為；③斜線與平面所成的角：范圍；即也就是斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角。21教育名師原創(chuàng)作品
（3）二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；④向量法。
注意：還可以用射影法：；其中為二面角的大小，為內(nèi)的一個封閉幾何圖形的面積；為內(nèi)的一個封閉幾何圖形在內(nèi)射影圖形的面積。一般用于解選擇、填空題。
3、距離的求法：
（2）線線距離：
關(guān)于異面直線的距離，常用方法有：
①定義法，關(guān)鍵是確定出的公垂線段；②轉(zhuǎn)化為線面距離，即轉(zhuǎn)化為與過而平行于的平面之間的距離，關(guān)鍵是找出或構(gòu)造出這個平面；③轉(zhuǎn)化為面面距離；
（3）線面、面面距離：線面間距離、面面間距離與線線間、點線間距離常常相互轉(zhuǎn)化； [來4、
4、常用的結(jié)論：
（1）若直線在平面內(nèi)的射影是直線，直線是平面內(nèi)經(jīng)過的斜足的一條直線，與 所成的角為， 與所成的角為, 與所成的角為，則這三個角之間的關(guān)系是；【出處：21教育名師】
（2）如何確定點在平面的射影位置：
①Ⅰ、如果一個角所在平面外一點到角兩邊距離相等，那么這點在平面上的射影在這個角的平分線上；
Ⅱ、經(jīng)過一個角的頂角引這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角的兩邊夾角相等，那么斜線上的點在平面上的射影在這個角的平分線所在的直線上；
Ⅲ、如果平面外一點到平面上兩點的距離相等，則這一點在平面上的射影在以這兩點為端點的線段的垂直平分線上。21*cnjy*com
②垂線法：如果過平面外一點的斜線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這一點在這平面上的射影在過斜足且垂直于平面內(nèi)直線的直線上(三垂線定理和逆定理)；
③垂面法：如果兩平面互相垂直，那么一個平面內(nèi)任一點在另一平面上的射影在這兩面的交線上(面面垂直的性質(zhì)定理)；
④整體法：確定點在平面的射影，可先確定過一點的斜線這一整體在平面內(nèi)的射影。
（3）在四面體中：
①若，則；且在平面上的射影是的垂心。
②若，則在平面上的射影是的外心。
③若到邊的距離相等，則在平面上的射影是的內(nèi)心。
5、正四面體：
棱長為正四面體的問題可轉(zhuǎn)化為將它補成一個邊長為的正方體的問題。
對棱間的距離為（正方體的邊長）：
正四面體的高（）；
正四面體的體積為（）；
正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為（）；
外接球的半徑為（是正方體的外接球，則半徑）；
內(nèi)切球的半徑為（是正四面體中心到四個面的距離，則半徑）。
6、球體
（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面，并且，其中為球半徑，為
截面半徑，為球心的到截面的距離。
（2）面積公式：（為球半徑）； （4）體積公式：（為球半徑）
讀讀高考評分細(xì)則
例題（2013湖南19）． 如圖1－7所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.www.21-cn-jy.com
(1)證明：AC⊥B1D；
(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．
閱卷現(xiàn)場
規(guī)范解答
解：方法一
(1)證明：如圖所示，因為BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D.
(2)因為B1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ)．
如圖所示，聯(lián)結(jié)A1D，因為棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.
由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.
在直角梯形ABCD中，因為AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB，從而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，即AB＝＝.
聯(lián)結(jié)AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，即cos(90°－θ)＝，從而sin θ＝.即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.
方法二
(1)證明：易知，AB，AD，AA1兩兩垂直，如圖所示，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點的坐標(biāo)為A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)．
從而＝(－t，3，－3)，＝(t，1，0)，＝(－t，3，0)．
因為AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．于是＝(－，3，－3)，＝(，1，0)．
因為·＝－3＋3＋0＝0，
所以⊥，即AC⊥B1D.
(2)由(1)知，1＝(0，3，3)，＝(，1，0)，＝(0，1，0)．
設(shè)＝(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則，即令x＝1，則＝(1，－，)．設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.
即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.
失分原因與防范措施
失分原因：1、找不到線面所成的角；2、空間向量法不熟練，寫不出法向量。
防范措施：1、加深加固線面概念、性質(zhì)定理、常用方法的應(yīng)用；2、熟練掌握建立空間直角坐標(biāo)系的技巧，正確求出平面的法向量。
答案
3、正確 [解析] 設(shè)球的半徑為R，則球的截面圓的半徑是4，且球心到該截面的距離是R－2，故R2＝(R－2)2＋42?R＝5，所以V＝πR3＝(cm3)．21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
4、正確【解析】取正三角形ABC的中心，連結(jié),則是PA與平面ABC所成的角。因為底面邊長為，所以,.三棱柱的體積為,解得，即,所以，即.21教育網(wǎng)
6、正確　[解析] 對于①②，如圖(1)所示，因為正方體ABCD－A1B1C1D1，的棱長為1，當(dāng)CQ＝時，PQ＝，這時過A，P，Q三點的截面與正方體表面交于D1，AP＝D1Q＝，且PQ∥AD1，截面S為等腰梯形，2·1·c·n·j·y
當(dāng)CQ<時，過A，P，Q三點的截面與正方體表面的交點在棱DD1上，截面S為四邊形，故①②正確．對于③④，如圖(2)所示，聯(lián)結(jié)QR并延長交DD1的延長線于N點，聯(lián)結(jié)AN交A1D1于M，【來源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】
取AD中點G，作GH∥PQ交DD1于H點，可得GH∥AN，且GH＝AN，設(shè)CQ＝t，則DN＝2t，ND1＝2t－1，＝＝，21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
當(dāng)t＝時，＝，可得C1R＝，故③正確，
當(dāng)當(dāng)t＝1時，Q與C重合，M為A1D1的中點，
S為菱形PC1MA，AM＝AP＝PC1＝C1M＝，MP＝，AC1＝，S的面積等于××＝，故④正確．www-2-1-cnjy-com

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