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考前12天 解析幾何
看看去年考了什么
（下面6個(gè)小題中有2個(gè)不正確，請(qǐng)?jiān)陬}后用“正確”或“錯(cuò)誤”判定，并將錯(cuò)誤的改正過(guò)來(lái)）
1、（2013 新課標(biāo)I）已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡方程＋＝1(x≠－2)．（ ）
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2、（2013 全國(guó)卷I））已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為＋＝1 (　　)
3、（2013 山東）拋物線C1：y=??x2(p＞0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2： 的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p=?，（ ）
4、（2013安徽 ）已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點(diǎn)．若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為[1，＋∞)．（ ）
5、（2013 重慶）已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為－1 (　　)
6、（2013江蘇 ）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>0，b>0)，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2.若d2＝d1，則橢圓C的離心率為．（ ）
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再熟悉熟悉這些知識(shí)
一、直線與圓
1、斜率計(jì)算公式：
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；斜率不存在；
2、直線方程一般式注意：（1）直線方程的特殊形式，都可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，這要看系數(shù)是否為0才能確定。
（2）此時(shí)直線的方向向量：，，
（單位向量）；直線的法向量：；（與直線垂直的向量）
3、兩條直線的位置關(guān)系
（1）對(duì)于平行和重合，即它們的方向向量（法向量）平行；如：；
對(duì)于垂直，即它們的方向向量（法向量）垂直；如[來(lái)源:Zxxk.Com]
（2）若兩直線的斜率都不存在，則兩直線平行 ；若一條直線的斜率不存在，另一直線的斜率為 0 ，則兩直線垂直。
（3）對(duì)于來(lái)說(shuō)，無(wú)論直線的斜率存在與否，該式都成立。因此，此公式使用起來(lái)更方便．
（4）斜率相等時(shí)，兩直線平行(重合)；但兩直線平行(重合)時(shí)，斜率不一定相等，因?yàn)樾甭视锌赡懿淮嬖凇來(lái)源:Z21*cnjy*com
4、兩平行線的距離公式：
兩平行線，的距離為：；21*cnjy*com
5、直線系：
（1）設(shè)直線，，經(jīng)過(guò)的交點(diǎn)的直線方程為（除去）；
如：①，即也就是過(guò)與的交點(diǎn)除去 的直線方程。21*cnjy*com
②直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)。
注意：推廣到過(guò)曲線與的交點(diǎn)的方程為：；
（2）與平行的直線為；
（3）與垂直的直線為；
6、對(duì)稱問(wèn)題：21*cnjy*com
（2）軸對(duì)稱：
①點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：21*cnjy*com
Ⅰ、點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)。
Ⅱ、求出過(guò)該點(diǎn)與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點(diǎn)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。
如：求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的坐標(biāo)。
②直線關(guān)于直線對(duì)稱：（設(shè)關(guān)于對(duì)稱）21*cnjy*com
Ⅰ、若相交，則任一點(diǎn)到的距離與到的距離相等；若，則，且與的距離相等。
Ⅱ、求出上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。
Ⅲ、設(shè)為所求直線直線上的任意一點(diǎn)，則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)適合的方程。
如：求直線關(guān)于對(duì)稱的直線的方程。
7、圓的方程．
一般方程的特點(diǎn)：①和的系數(shù)相同，且不等于零；②沒(méi)有這樣的二次項(xiàng)；③；
若，則以線段為直徑的圓的方程是：；21*cnjy*com
8、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（僅以標(biāo)準(zhǔn)方程為例，其他形式，則可化為標(biāo)準(zhǔn)式后按同樣方法處理）
設(shè)與圓；若到圓心之距為；
（1）在在圓外；
（2）在在圓內(nèi)；
（3）在在圓上；
9、直線與圓的位置關(guān)系：
設(shè)直線和圓，圓心到直線之距為，由直線和圓聯(lián)立方程組消去（或）后，所得一元二次方程的判別式為，則它們的位置關(guān)系如下：
相離；相切；相交；
注意：這里用與的關(guān)系來(lái)判定，稱為幾何法，只有對(duì)圓才實(shí)用，也是最簡(jiǎn)便的方法；利用判定稱為代數(shù)法，對(duì)討論直線和二次曲線的位置關(guān)系都適應(yīng)。
10、兩圓的位置關(guān)系：
（1）代數(shù)法：解兩個(gè)圓的方程所組成的二元二次方程組；若方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，則兩圓相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，兩圓相離。
（2）幾何法：設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為
①兩圓外離；②兩圓外切；
③兩圓相交；④兩圓內(nèi)切；
⑤兩圓內(nèi)含；
11、與圓的切線有關(guān)的問(wèn)題：
（1）若點(diǎn)在圓；則過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的切線方程為：；
若點(diǎn)在圓；則過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的切線方程為：
；[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
若點(diǎn)在圓；則過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的切線方程為：
；21*cnjy*com
（2）斜率為且與圓相切的切線方程為：；
斜率為且與圓 相切的切線方程的求法，可設(shè)切線為，然后利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程求；[來(lái)源:Zxxk.Com]
（3）當(dāng)點(diǎn)在圓外面時(shí)，可設(shè)切方程為，利用圓心到直線之距等于半徑即，求出即可，或利用，求出，若求得只有一值，則還應(yīng)該有一條斜率不存在的直線，此時(shí)應(yīng)補(bǔ)上。
（4）當(dāng)直線和圓相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)為的方程和圓的方程聯(lián)立的方程組的解，或過(guò)圓心與切線垂直的直線與切線聯(lián)立的方程組的解。
（5）若點(diǎn)在圓外一點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)弦方程為：；
若點(diǎn)在圓，則過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)弦方程為：； 21*cnjy*com
12、圓的弦長(zhǎng)的求法：
（1）幾何法：當(dāng)直線和圓相交時(shí)，設(shè)弦長(zhǎng)為，弦心距為，半徑為，則有：；
（2）代數(shù)法：設(shè)的斜率為，與圓交點(diǎn)分別為，則
，（其中的求法是將直線和圓的方程聯(lián)立消去或，利用韋達(dá)定理求解。）
（2）經(jīng)過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程是#科#網(wǎng)]
；
二、圓錐曲線
1、（1）橢圓定義注意：表示橢圓；表示線段；沒(méi)有軌跡；
（2）雙曲線定義注意：與（）表示雙曲線的一支；表示兩條射線；沒(méi)有軌跡；
（3）雙曲線的漸近線：
①求雙曲線的漸近線，可令其右邊的1為0，即得，因式分解得到。
②與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是；
（4）等軸雙曲線為，其離心率為
2、拋物線性質(zhì)21*cnjy*com
若是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦，是的 中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足，，，，為垂足，求證：
（1）； （2）； （3）；
（4）設(shè)交拋物線于，則平分；
（5）設(shè)，則，；
（6）； （7）三點(diǎn)在一條直線上
（8）過(guò)作，交軸于，求證：，；
3、軌跡方程的求法：
（1）直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系“翻譯”成含的等式就得到曲線的軌跡方程。
如：已知底邊的長(zhǎng)為8，兩底角之和為，求頂點(diǎn)且的軌跡方程。
（2）定義法：其動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡的定義，則根據(jù)定義直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。如：已知圓，定點(diǎn)，若是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線交 于，求的軌跡方程。
（3）幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），
可以用幾何法，列出幾何式，再代人點(diǎn)的坐標(biāo)較簡(jiǎn)單。
如：是的直徑，且，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為，在上取點(diǎn)，使，求點(diǎn)的軌跡。
（4）相關(guān)點(diǎn)法（代人法）：有些問(wèn)題中，其動(dòng)點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著
另一動(dòng)點(diǎn)（稱之為相關(guān)點(diǎn)）而運(yùn)動(dòng)的；如果相關(guān)點(diǎn)所滿足的條件是明顯的，或是可分析的，
這時(shí)可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。
如：在雙曲線的兩條漸近線上分別取點(diǎn)和，使（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的半焦距），求中點(diǎn)的軌跡。
（5）交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這類問(wèn)題常常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程。常與參數(shù)法并用。
如：己知兩點(diǎn)，以及一直線，設(shè)長(zhǎng)為的線段在直線上運(yùn)動(dòng)，求直線和的交點(diǎn)的軌跡方程。
（6）整體法（設(shè)而不求法）：當(dāng)探求的軌跡較復(fù)雜時(shí)，可擴(kuò)大考察視角，將問(wèn)題中的條件、結(jié)論的各種關(guān)系看成一個(gè)整體，從整體出發(fā)運(yùn)用整體思想，注重整體結(jié)構(gòu)的挖掘和分析。
如：以為圓心的圓與橢圓交于兩點(diǎn)，求中點(diǎn)的軌跡方程。
（7）參數(shù)法：有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)
（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量（角度、斜率、比值、截距或時(shí)
間等）的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，稱這個(gè)變量為參
數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法，
如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數(shù)即可；在選擇參數(shù)時(shí)，選用的參變量要以具有某種物理或幾何的性質(zhì)，如時(shí)間、速度、距離、角度，有向線段的數(shù)量、直線的斜率，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等，也可以沒(méi)有具體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍的對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響。
注意：所有的求軌跡的問(wèn)題都要根據(jù)題意，求其中的取值范圍。
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4、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：21*cnjy*com
（1）會(huì)利用方程組解的狀況確定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；解此類問(wèn)題一般從直線與圓錐曲線聯(lián)立的方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)入手。（要注意考慮二次項(xiàng)系數(shù)為零，思考此時(shí)幾何
意義），也通過(guò)圖形進(jìn)行討論。（要注意的是：與對(duì)稱軸、漸近線平行的情況）
如：試確定實(shí)數(shù)的不同取值，討論直線與雙曲線的公共
點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
（2）會(huì)求直線被圓錐曲線所截的弦長(zhǎng)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)：解決此類問(wèn)題時(shí)，由于直線和圓錐曲線相交，故其方程組的（尤其含有待定的系數(shù)是否則會(huì)增解）；涉及到中點(diǎn)坐標(biāo)，要注意韋達(dá)定理的應(yīng)用，而韋達(dá)定理的前提條件是。
如：設(shè)拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和，對(duì)稱軸與軸平行，開口向右，直線 被拋物線截得的線段長(zhǎng)是，求拋物線方程。
（3）當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，求在某些給定條件下地直線線方程；解此類問(wèn)題，一般是根據(jù)條件求解，但要注意條件的應(yīng)用。
如：已知拋物線方程為在軸上截距為2的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且以為徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程。
（4）圓錐曲線上的點(diǎn)關(guān)于某一直線的對(duì)稱問(wèn)題，解此類題的方法：圓錐曲線上的兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直，則圓錐曲線上兩點(diǎn)的中點(diǎn)一定在對(duì)稱直線上，得到關(guān)系式而求解。
如：拋物線上有關(guān)于對(duì)稱的相異兩點(diǎn)，求的取值范圍。
讀讀高考評(píng)分細(xì)則
例題 （2013安徽18）． 設(shè)橢圓E：＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上．
(1)若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q.證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上．
閱卷現(xiàn)場(chǎng)
規(guī)范解答
解：(1)因?yàn)榻咕酁?，所以2a2－1＝，
解得a2＝. 故橢圓E的方程為＋＝1.
(2)設(shè)P(x0，y0)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c＝.
由題設(shè)知x0≠c，
則直線F1P的斜率kF1P＝，
直線F2P的斜率kF2P＝，
故直線F2P的方程為y＝(x－c)．
令x＝0時(shí)，y＝，
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，）.
因此，直線F1Q的斜率為kF1Q＝.
由于F1P⊥F1Q，
所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.
化簡(jiǎn)得y＝x－(2a2－1)．①
將①代入橢圓E的方程，
由于點(diǎn)P(x0，y0)在第一象限，
解得x0＝a2，y0＝1－a2，
即點(diǎn)P在定直線x＋y＝1上．
失分原因與防范措施
失分原因：1、計(jì)算能力差，得不出P坐標(biāo)的關(guān)系；2、沒(méi)仔細(xì)審題，忽視點(diǎn)P了在第一象限；3、不能與橢圓方程聯(lián)立求解點(diǎn)P坐標(biāo)的參數(shù)方程。
防范措施：1、提高運(yùn)算能力；2、認(rèn)真審題，看清題目要求。
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答案
1、正確 　[解析] 由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.設(shè)圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由橢圓的定義可知，曲線C是以M, N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)．
2、錯(cuò)誤　[解析] 由題意知kAB＝，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則?＋＝0.由AB的中點(diǎn)是(1，－1)知， ∴＝＝，聯(lián)立a2－b2＝9，解得a2＝18，b2＝9，故橢圓E的方程為＋＝1. 21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com
所以，即.
4、正確　[解析] 方法一：設(shè)直線y＝a與y軸交于M點(diǎn)，若拋物線y＝x2上存在C點(diǎn)使得∠ACB＝90°，只要以|AB|為直徑的圓與拋物線y＝x2有除A、B外的交點(diǎn)即可，即使|AM|≤|MO|，所以≤a，所以a≥1或a≤0，因?yàn)橛深}意知a>0，所以a≥1.
方法二：設(shè)C(m，m2)，由已知可令A(yù)(，a)，B(－，a)，則＝(m－，m2－a)，＝(m＋，m2－a)，因?yàn)椤停詍2－a＋m4－2am2＋a2＝0，可得(m2－a)(m2＋1－a)＝0，解得m2＝a>0且m2＝a－1≥0，故a∈[1，＋∞)．21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com
6、正確 [解析] 由題意知F(c，0)，l：x＝，不妨設(shè)B(0，b)，則直線BF：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0. 于是d1＝＝，d2＝－c＝＝. 由d2＝d1，得＝6，化簡(jiǎn)得6c4＋a2c2－a4＝0，即6e4＋e2－1＝0，解得e2＝或e2＝－(舍去)，故e＝，故橢圓C的離心率為.21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com

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