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考前5天 數(shù)學(xué)思想及應(yīng)用
看看去年考了什么
（下面6個小題中有兩個不正確，請在題后用√或×判定，并改正過來）
1、（2013安徽）函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖1－1所示，在區(qū)間[a，b]上可找到n(n≥2)個不同的數(shù)x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，則n的取值范圍是{2，3，4} (　　)
圖1－1
2、(2013福建) 滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為12 (　　)21教育網(wǎng)
3、（2013陜西） 觀察下列等式:

…
照此規(guī)律, 第n個等式可為.
4、（2013遼寧）已知點O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有(b－a3)＝0 (　　)21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
5、（2013天津）已知函數(shù)f(x)＝x(1＋a|x|)，設(shè)關(guān)于x的不等式f(x＋a)6、（2013浙江） 在空間中，過點A作平面π的垂線，垂足為B，記B＝fπ(A)．設(shè)α，β是兩個不同的平面，對空間任意一點P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，則平面α與平面β垂直(　　)　　21*cnjy*com
再熟悉熟悉這些知識
(1)構(gòu)造等式關(guān)系，從函數(shù)或方程角度，選擇主從變量，直接找到函數(shù)性質(zhì)或利用二次方程探求出函數(shù)性質(zhì)，再利用函數(shù)性質(zhì)和圖象解題；(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y>0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)可以解決．而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式；(3)數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要；(4)函數(shù)f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這個函數(shù)，結(jié)合賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題；(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論；(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決．2-1-c-n-j-y
?易錯點　使用函數(shù)思想時注意函數(shù)的定義域，使用方程思想時注意方程解的合理性；在解答題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題思路使用的，不能使用形的直觀代替相關(guān)的計算和推理論證.　【來源：21cnj*y.co*m】
2、分類討論思想
　引發(fā)數(shù)學(xué)中進行分類討論的主要情況：由數(shù)學(xué)的概念、圖形的位置等引發(fā)的分類討論；
由數(shù)學(xué)的定理、法則、公式等引發(fā)的分類討論；由參數(shù)變化引發(fā)的分類討論；問題的具
體情況引發(fā)的分類討論．
易錯點　分類討論時要不重復(fù)也不遺漏，結(jié)果的整合要符合問題的要求.
3、數(shù)形結(jié)合思想
掌握數(shù)形結(jié)合思想，首先要注意中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識的三類：一類是側(cè)重數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程(組)、不等式(組)等；一類是側(cè)重形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是數(shù)形并重的知識，主要體現(xiàn)是函數(shù)、三角、向量、解析幾何．其次在解題中要明白所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法，包含“數(shù)形對應(yīng)”、“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”三個方面．一是圖形和數(shù)式之間簡單的轉(zhuǎn)譯，找數(shù)形之間的簡單對應(yīng)；二是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；三是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)．【出處：21教育名師】
4、化歸與轉(zhuǎn)化思想
化歸轉(zhuǎn)化思想的幾種方向：
(1)化為已知：當(dāng)所解決的問題和我們已經(jīng)掌握的問題有關(guān)系時，把所解決的問題化為已知
問題，是化歸的基本形式之一．
(2)化難為易：化難為易是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想，當(dāng)我們遇到的問題是嶄新的，解決起來困難時，就要把這個問題化為我們熟悉的問題，熟悉的問題我們有解決的方法，就是容
易的問題，這是化難為易的一個方面；當(dāng)我們所面臨的問題正面解決較為困難時，從其反面
考慮，也是化難為易的一個方面．
(3)化繁為簡：在一些問題中，已知條件或是求解結(jié)論比較繁，這時就可以通過化簡這些較繁的已知或者結(jié)論為簡單的情況，再解決問題．有時把問題中的某個部分看作一個整體，進
行換元，這種方法也是化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)．
(4)化大為小：在解答綜合性試題時，一個問題往往是由幾個小問題組成的，整個問題的結(jié)論，是通過這一系列的小問題得出的，這種情況下，就可以把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為幾個小
問題進行解決，這就是化大為小．
5、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解答及數(shù)學(xué)建模
解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題，一般先從閱讀著手，建立起相關(guān)問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)
問題，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識使數(shù)學(xué)問題獲得解答．因此，此類問題的難點有兩個：一是解
析式的建立，二是數(shù)學(xué)知識的靈活應(yīng)用．
數(shù)學(xué)建模應(yīng)過好三關(guān)：
(1)閱讀理解關(guān)：一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關(guān)鍵詞、
句，理解其意義．
(2)建模關(guān)：即建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
(3)數(shù)理關(guān)：運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型．
?易錯點　常見的易錯原因在于閱讀理解的不到位，不能有效地抓住題干有用信息建立起實際問題的數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)致無從下手.21cnjy.com
讀讀高考評分細(xì)則
（2013天津19）． 已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；www.21-cn-jy.com
(2)設(shè)Tn＝Sn－(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值．
閱卷現(xiàn)場
規(guī)范解答
19．解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝，所以q＝－，故等比數(shù)列{an}的通項公式為an＝×（－）n－1＝(－1)n－1· .
(2)由(1)得Sn＝1－（－）n＝
當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以1當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而增大，所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－.
綜上，對于n∈N*，總有－≤Sn－≤.
所以數(shù)列{Tn}最大項的值為，最小項的值為－.
失分原因與防范措施
失分原因：1、不能準(zhǔn)確的分類討論；2、不能適當(dāng)進行的放縮變換。
防范措施：掌握數(shù)學(xué)思想和方法在解題中的應(yīng)用，以便于解題。
答案
1、正確　[解析] 問題等價于直線y＝kx與函數(shù)y＝f(x)圖像的交點個數(shù)，從圖中可以看出交點個數(shù)可以為2，3，4，故n的取值范圍是{2，3，4}．21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有
4＋4＋3＋2＝13個.
3、正確 【解析】分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況。第n個等式為。
當(dāng)n為偶數(shù)時，分組求和：。
當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個等式=。
綜上，第n個等式：
4、正確　[解析] 由題意知當(dāng)三角形ABC為直角三角形時，分為兩類，∠OAB，∠OBA分別為直角．當(dāng)∠OAB為直角時b＝a3；當(dāng)∠OBA為直角時，·＝0，則(a，a3)·(a，a3－b)＝0，所以b－a3－＝0.所以(b－a3)·＝0.21·cn·jy·com
－ax2＋x，f(x＋a)＝－a(x＋a)2＋x＋a，令f(x)＝f(x＋a)，則x＝，令<－，可得a2＋a－1<0，故6、正確　[解析] 當(dāng)α⊥β，且α∩β＝b，設(shè)fα(P)＝A，則PA⊥α，Q1＝fβ[fα(P)]＝fβ(A)，故AQ1⊥β；同理設(shè)fβ(P)＝B，則PB⊥β，Q2＝fα[fβ(P)]＝fα(B)，故BQ2⊥α，故AQ1∥PB，PA∥BQ2，所以Q1和Q2重合，恒有PQ1＝PQ2，則平面α與平面β垂直.【來源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】

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