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考前4天 數學創新題應對
看看去年考了什么
（下面6個小題中有兩個不正確，請在題后用√或×判定，并改正過來）
1、（2013廣東） 設整數n≥4，集合X＝{1，2，3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三條件x2、（2013重慶） 在平面上，⊥，|OB1|＝||＝1，＝＋.若||＜，則||的取值范圍是 . (　　)www-2-1-cnjy-com
3、（2013山東）定義“正對數”：，現有四個命題：
①若，則；②若，則
③若，則；
④若，則，其中的真命題有3個. （ ）
　
4、（2013四川） 設P1，P2，…，Pn為平面α內的n個點，在平面α內的所有點中，若點P到P1，P2，…，Pn點的距離之和最小，則稱點P為P1，P2，…，Pn點的一個“中位點”．例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點．則有下列命題：
①若A，B，C三個點共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；
②直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點A，B，C，D共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．其中的真命題是①④． (　　)
5、（2013湖北） 古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形數1，3，6，10，…，第n個三角形數為＝n2＋n，記第n個k邊形數為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：21·cn·jy·com
三角形數　N(n，3)＝n2＋n，
正方形數　N(n，4)＝n2，
五邊形數　N(n，5)＝n2－n，
六邊形數　N(n，6)＝2n2－n，
……
可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10，24)＝1 002. (　　)
6、（2013湖南） 設函數f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0. (1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構成一個三角形的三條邊長，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對應的f(x)的零點的取值集合為{x|00；②?x∈，使ax，bx，cx不能構成一個三角形的三條邊長；③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈(1，2)，使f(x)＝0. (　　)【出處：21教育名師】
再熟悉熟悉這些知識
數學創新題應對策略：
1、要想解答好數學題，平時注重良好解題習慣的培養
2、注重閱讀題的訓練
通過閱讀，在一個較短的時間內抓住問題的本質，提煉隱藏在文字或圖形中的規律性，進一步實現題目的要求，這就是“閱讀題”的基本特征．閱讀理解力是一種重要的潛能，在新課程高考命題中“閱讀題”倍受青睞．新課程高考中“閱讀題”主要有兩大題型：其一是“概念學習型”問題；其二是讀圖題．21世紀教育網版權所有
3、加強對應用意識的訓練
新課標要求數學教學中要注意“發展學生的數學應用意識”，注重數學學科的本質，要求學生能夠以學到的數學知識為載體，并運用于解決實際問題．對應用意識的考查，一直是高考數學命題的一個熱點，在“貼近生活、背景公平、控制難度”的原則下考查三個建模層次的應用題：①熟悉數學模型的直接應用；②建立簡單數學模型解決實際問題；③從復雜的背景中抽象出數學模型解決實際問題．【來源：21·世紀·教育·網】
4、積累數學價值與數學文化
試題背景取材于數學史料，可彰顯高考數學文化，讓考生在豐富多彩的試題背景中體驗高考數學的人文精神，實現知識的遷移，感受高考數學的無窮魅力2-1-c-n-j-y
讀讀高考評分細則
（2013重慶22）. 對正整數n，記In＝{1，2，…，n}，Pn＝.
(1)求集合P7中元素的個數；
(2)若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數的平方，則稱A為“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并．21·世紀*教育網
閱卷現場
規范解答
22．解：(1)當k＝4時，中有3個數與I7中的3個數重復，因此P7中元素的個數為7×7－3＝46.
(2)先證：當n≥15時，Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并．若不然，設A，B為不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn?In.不妨設1∈A，則因1＋3＝22，故3?A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，這與A為稀疏集矛盾．
再證P14符合要求，當k＝1時，
可分成兩個稀疏集之并，事實上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，則A1，B1為稀疏集，且A1∪B1＝I14.
當k＝4時，集中除整數外剩下的數組成集，可分解為下面兩稀疏集的并：A2＝，B2＝.
當k＝9時，集中除正整數外剩下的數組成集，可分解為下面兩稀疏集的并：A3＝，
B3＝.最后，
集C＝
中的數的分母均為無理數，它與P14中的任何其他數之和都不是整數，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，則A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.
綜上，所求n的最大值為14.
注：對P14的分拆方法不是唯一的．
失分原因與防范措施
失分原因：1、弄不懂題意，無從下手；2、不會用特殊值代入。
防范措施：1、認真深刻理解題意，練習一些新定義的題型；2、加強數學素養，提高分析問題解決問題的能力。
答案
1、錯誤　[解析] 方法一，特殊值法：不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，則(y，z，w)＝(3，4，1)∈S，(x，y，w)＝(2，3，1)∈S .21教育網
方法二，直接法：因為(x，y，z)∈S，(z，w，x)∈S，所以x2、正確 [解析] 根據條件知A，B1，P，B2構成一個矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直線為坐標軸建立直角坐標系，如圖．設|AB1|＝a，|AB2|＝b，點O的坐標為(x，y)，則點P的坐標為(a，b)， 由||＝||＝1得則 又由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，則1－x2＋1－y2＜，即x2＋y2＞①. 21cnjy.com
又(x－a)2＋y2＝1，得x2＋y2＋a2＝1＋2ax≤1＋a2＋x2，則y2≤1；
同理由x2＋(y－b)2＝1，得x2≤1，即有x2＋y2≤2②.
由①②知＜x2＋y2≤2，所以＜≤. 而||＝，所以＜||≤.
4、正確　[解析] 對于①，如果中位點不在直線AB上，由三角形兩邊之和大于第三邊可知與題意矛盾．而當中位點在直線AB上時，如果不與C重合，則|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合題意，故C為唯一的中位點，①正確；www.21-cn-jy.com
對于②，我們取斜邊長為4的等腰直角三角形，此時，斜邊中點到三個頂點的距離均為2，和為6；而我們取斜邊上中線的中點，該點到直角頂點的距離為1，到兩底角頂點的距離均為，顯然2 ＋1＜6，故該直角三角形的斜邊中點不是中位點，②錯誤；
對于③，當A，B，C，D四點共線時，不妨設他們的順序就是A，B，C，D，則當點P在B，C之間運動時，點P到A，B，C，D四點的距離之和相等且最小，即這個時候的中位點有無窮多個，③錯誤；2·1·c·n·j·y
對于④，同樣根據三角形兩邊之和大于第三邊的性質，如果中位點不在對角線的交點上，則距離之和肯定不是最小的，④正確．　　21*cnjy*com
6、正確　[解析] (1)因a＝b，所以函數f(x)＝2ax－cx，又因a，b，c不能構成一個三角形，且c>a>0，c>b>0，故a＋b＝2a(2)因f(x)＝ax＋bx－cx＝cx，因c>a>0，c>b>0，則0<<1，0<<1，當x∈(－∞，1)時，有>，>，所以＋>＋，又a，b，c為三角形三邊，則定有a＋b>c，故對?x∈(－∞，1)，＋－1>0，即f(x)＝ax＋bx－cx＝cx>0，故①正確；取x＝2，則＋<＋，取x＝3，則＋<＋，由此遞推，必然存在x＝n時，有＋<1，即an＋bn0，f(2)＝a2＋b2－c2<0(C為鈍角)，根據零點存在性定理可知，?x∈(1，2)，使f(x)＝0，故③正確．

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