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高考數學命題永恒的方向
————轉化與化歸思想方法的應用
轉化與化歸的思想，就是在研究和解決數學問題時采用某種方式，借助某種函數性質、圖象、公式或已知條件將問題通過變換加以轉化，進而達到解決問題的思想。等價轉化總是將抽象轉化為具體，復雜轉化為簡單、未知轉化為已知，通過變換迅速而合理的尋找和選擇問題解決的途徑和方法。www.21-cn-jy.com
轉化有等價轉化與不等價轉化。等價轉化后的新問題與原問題實質是一樣的。等價轉化要求轉化過程中的前因和后果既是充分的，又是必要的，以保證轉化后所得結果為原題的結果；不等價轉化則部分地改變了原對象的實質，需對所得結論進行必要的修正。非等價轉化不要求轉化過程具有充要性。應用轉化、化歸思想解題的原則應是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡可能是等價轉化。常見的轉化形式有：繁與簡的轉化、一般與特殊的轉化、數與形的轉化、主與次的轉化、正與反的轉化、相等與不等的轉化、整體與局部的轉化、空間與平面的轉化、函數與方程的轉化、三角與圓錐曲線的轉化、常量與變量的轉化、數學語言的轉化等。本文就轉化的方式及轉化中應注意的問題舉例分析如下。
一、轉化的方式
1、繁與簡的轉化
有些問題的條件、結論比較復雜，或者一般解題方法過于笨拙，此時，可對條件、結論進行變形，化歸為簡單形式，對常規解法進行反思，尋找簡捷解法。
例1、化簡 。
[解析] 原式=
=
=
===1.
[評析] 本題中出現的角的形式多，故應先變角。化簡三角函數的基本方法：統一角、統一名， 通過觀察“角”，“名”，“次冪”，找出突破口，利用切化弦、降冪、 逆用公式等手段將其化簡。
2、一般與特殊的轉化
當某問題一時無法找到解決的突破口時，可將問題特殊化，再回到一般情形進行研究。
例2、若一條直線與一個正四棱柱各個面所成的角都為，則=______。
[解析]不妨認為一個正四棱柱為正方體，與正方體的所有面成角相等時，則與相交于同一頂點的三個相互垂直的平面所成角相等，即為體對角線與該正方體側面所成角，故。21cnjy.com
3、數與形的轉化
數與形的轉化是一種極其重要的轉化。數與形是數學研究的兩類基本對象，
由于坐標系的建立，使形與數互相聯系，互相滲透，互相轉化。根據題設
條件和探求目標進行聯想，構造出一個適當的數學圖形來解決問題，這種
方法稱數形結合法。
例3、已知實數滿足方程，試求的取值范圍。
[解析] 由已知條件知表示已知圓上一點P（x,y）到原點的斜率（如圖），不妨設其斜率為k.要使直線OP與圓有公共點當且僅當圓心O1（3，0）到直線的距離不大于圓的半徑，即，故的取值范圍為。
[評析] 數形結合，聯想斜率或兩點的距離公式利用解析幾何方法求解，方法新穎，妙趣橫生，富有創造性。
4、主與次的轉化
在解與方程、不等式有關問題時，為了使代數式簡單、明朗化，可采用反客為主的解題策略，將主元與參數的地位相互交換。變更主元實現主與次的轉換，能夠起到化高次為低次、化繁為簡、化生為熟、簡捷求解之作用。21世紀教育網版權所有
例4、已知方程中的a為負整數，求使方程至少有一個整數解時a的值。

解得 。因此，x整數值為2、3、4、5、6、7逐個代入得x=2時，；x=3 時，。故當為或時，方程至少有一個整數解。21·世紀*教育網
[評析]本例通過變更主元，起到了化繁為簡的作用，所以合情合理的轉化是數學問題能否“明朗化”的關鍵所在．　　21*cnjy*com
5、正與反的轉化
解題一般是從正面入手，習慣正向思維，當正面處理感到困難時，不妨從其反面入手思考，此法稱為逆向思維方法?！景鏅嗨校?1教育】
例5、 10張獎卷中只有3張有件有獎，5個人購買，每人一張，至少有1人中獎的概率為 （ ）
A . B. C . D .
分析；記事件A為“至少有1人中獎”，則其對立事件為“無人中獎”，先求的概率。
[解析], 則, 選 D.
[評析]；本題采用了逆向思維方法，采用這種方法可使問題解答變的簡便。
6、空間與平面的轉化
例6、如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直 角三角形，
(ACB＝90(，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一動點，則
CP＋PA1的最小值是____。
解析 連A1B，沿BC1將△CBC1展開與A1BC1在同一個平面內，如圖2所示，連A1C，則A1C的長度就是所求的最小值.通過計算可得(A1C1C＝90(又(BC1C＝45(，((A1C1C＝135( ，由余弦定理可求得
A1C＝。
7、函數、方程與不等式的轉化
例7、 已知二次函數f（x）=ax2+2x－2a－1，其中x=2sinθ（0<θ≤）。
若二次方程f（x）=0恰有兩個不相等的實根x1和x2，求實數a的取值范圍．?
分析 注意0<θ≤，則－1≤2sinθ≤2，即－1≤x≤2，問題轉化為二次
方程根的分布問題，根據圖象得出等價的不等式組。?
[解析] 由以上分析，問題轉化為二次方程ax2+2x－2a－1=0．在區間［－1,2］上恰有兩個不相等的實根，由y=f（x）的圖象（如圖所示），得等價不等式組：
Δ=4+4a（2a+1）>0，?
－1<<2，?
af（－1）=a（－a－3）≥0，?
af（2）=a（2a+3）≥0．?
解得實數a的取值范圍為?［-3，］．? 例7圖
[評析] 本題體現了函數與方程的轉化、數與形的轉化，直觀明了．?
8、向量與其他知識的轉化
平面向量溝通數學各分支之間的聯系，主要涉及：平面向量的基本知識、平面向量與三角函數、平面向量與解析幾何、平面向量與數列等知識。向量形式的多樣性與運算的靈活性為學生提供了多角度、多層次、多方位的思維空間。21教育名師原創作品
例8、已知，動點P滿足, (1)求動點P的軌跡方程；
(2) 設A,B是軌跡P上兩點，O為原點，,其中是實數，且，又, 求Q點的軌跡方程。
[解析] (1) 設動點P坐標為 (x,y)，由橢圓定義，得軌跡方程；
(2)因為，為實數，且。所以
，故三點共線.由 得Q為AB中點。易得Q點軌跡方程。
　評析：解析幾何與平面向量相結合是近幾年高考命題的一個趨勢。
9、數學語言的轉化
例9、 對任意函數f(x), x∈D，可按圖示構造一個數列發生器，其工作原理如下
①輸入數據x0∈D，經數列發生器輸出x1=f(x0)；
②若x1D，則數列發生器結束工作；若x1∈D，則將x1反饋回輸入端，再輸出x2=f(x1)，并依此規律繼續下去現定義。（1）若輸入x0=，則由數列發生器產生數列{xn}，請寫出{xn}的所有項；（2）若要數列發生器產生一個無窮的常數列，試求輸入的初始數據x0的值；（3）若輸入x0時，產生的無窮數列{xn}，滿足對任意正整數n均有xn＜xn+1；求x0的取值范圍。
分析 本題主要考查學生的閱讀審題，綜合理解及邏輯推理的能力以及函數求值的簡單運算、方程思想的應用，解不等式及化歸轉化思想的應用。解題的關鍵就是應用轉化思想將題意條件轉化為數學語言。
解析： （1）∵f(x)的定義域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)，∴數列{xn}只有三項，；
（2）∵,即x2–3x+2=0，∴x=1或x=2，即x0=1或2時，
故當x0=1時，xn=1，當x0=2時，xn=2（n∈N*）。
（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2，要使x1＜x2，則x2＜–1或1＜x1＜2，
對于函數，若x1＜–1，則x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2，
若1＜x1＜2時，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2，依次類推可得數列{xn}的所有項均滿足xn+1＞xn（n∈N*)。2-1-c-n-j-y
綜上所述，x1∈(1,2)，由x1=f(x0),得x0∈(1,2)。
[評析]此題屬于富有新意，綜合性、抽象性較強的題目。 由于陌生不易理解并將文意轉化為數學語言， 這就要求我們慎讀題意，把握主脈，體會數學轉換。
【誤點警示】 考生易出現以下幾種錯因：（1）審題后不能理解題意；（2）題意轉化不出數學關系式，如第2問；（3）第3問不能進行從一般到特殊的轉化。
10、整體與局部的轉化
從局部入手，按部就班地分析問題，是常用思維方法，但對較復雜的數學問題卻需要從總體上去把握事物，不糾纏細節，從系統中去分析問題，不單打獨斗。
例10、 一個四面體所有棱長都是，四個頂點在同一球面上，則此球表面積為（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：若利用正四面體外接球的性質，構造直角三角形去求解，過程冗長，容易出錯，但把正四面體補形成正方體，那么正四面體、正方體的中心與其外接球的球心共一點，因為正四面體棱長為，所以正方體棱長為1，從而外接球半徑為，應選 B。
二、轉化中的注意問題
1、轉化的有效性
轉化作為一種思想方法，能否如期完成，與轉化方法的選擇有關，同時還要考慮到轉化目標設計性與轉化方法的可行性、有效性。
例11、 當時，函數的最小值為（　 ）
A　2 　B　 　C　4 　D　

[解析] 由
，當且僅當，即時，取“”。 ∵，∴存在使，這時．選C。
【方法總結】求由三角函數構成的函數的最值問題，常見的有與，，等類型。本題變換目標，應從分子開始。
2、轉化的等價性
保持等價轉化，除能夠準確表述各知識點所包含的定義、概念、定理、公式外，還應對其有較深刻的理解。
例12、 求函數的最大值。

[評析]（1）本題也可如下轉化：令Y=，X=2+x，則(X+2)2+Y2=1（Y≥0），求的最大值，即求半圓(X-1)2+Y2=1（Y≥0）上的點與原點連線斜率的最大值，易知。
（2）本題由于定義域的限制，轉化后表示的圖形是半圓x2+y2=1（y∈[0，1]，不能誤認為是圓x2+y2=1，以確保轉化的等價性。2·1·c·n·j·y
【方法總結】有些代數式經變形后具備特定的幾何意義，此時可考慮運用數形結合求解，如：比值——可考慮與斜率聯系；根式——可考慮與距離聯系；二元一次式——可考慮與直線的截距相聯系。
3、轉化的多樣性
由于轉化過程中，同一轉化目標的達到，往往可能有多種轉化方向和途徑，因此設計合理、簡捷的轉化方案，也顯得十分重要。
例13、 展開式的項數為_________。
[解析]法1、展開式中的項的形式為 , 且 , ， 此時，項數問題轉化為方程的非負整數解個數問題，方程非負整數解個數有，故展開式項數為 【出處：21教育名師】
法2、展開式中的項的形式有三種類型 ；； ；其中 ， 則項數為.
[評析]本題應用組合思想以及方程思想解決有關多項展開式中的項數問題。
例14、 已知,求a+b的最小值。
分析：此題雖簡單，但有多種證法。
[解1] “1”的轉化為，利用基本不等式。
由 a+b=(a+b)( )=1+9+
當且僅當, 即。,, 即a=4,b=12, a+b的最小值16。
[解2] “1”的轉化為，利用柯西不等式。
, a+b=(a+b)( )=
，當且僅當, 即a=3b時, a+b的最小值16。
[解3] 由轉化為三角函數。
設,則 a+b==
當時
a+b的最小值16。
4、轉化的等價性與非等價性的不同要求
在中學數學里，等價轉化的問題是比較多的，但也有非等價轉化轉化問題，應予以區分。如，某些恒等證明或不等式證明中的轉化問題，求某些充分或必要條件的問題等都有非等價轉化。
例15、 若a>0,b>0. 且a+b=1，證明 。
分析：利用分析法轉化變形不要求等價。
證明： 欲證，只需證，
即證。而成立，所以也成立，故原式成立。
小結；轉化與化歸應遵循的基本原則：
　　⑴熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決。
　?、坪唵位瓌t：將復雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據。
　　⑶和諧化原則：化歸問題的條件或結論，使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧的形式，或者轉化命題，使其推演有利于運用某種數學方法或其方法符合人們的思維規律。
　　⑷直觀化原則：將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決。
⑸正難則反原則：當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解。
熱身練習
一、選擇題：
1.，，(其中e為自然常數)的大小關系是(　　)
A.<<　 B.<< C.<< D.<<
2．在△ABC中，已知tan＝sinC，給出以下四個論斷：①tanA·＝1；②0其中正確的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③21世紀教育網
3．已知點F1、F2分別是雙曲線－＝1的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABF2為銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　)21*cnjy*com
A．(1，＋∞) B．(1，)
C．(－1，＋1) D．(1,1＋)21世紀教育網
4．已知k<－4，則函數y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是(　　)
A．1 B．－1 C．2k＋1 D．－2k＋1
5．設a，b∈R，a2＋2b2＝6，則a＋b的最小值是(　　)
A．－2 B．－ C．－3 D．－
6．已知非零向量a，b，若a＋2b與a－2b互相垂直，則等于(　　)
A. B．4 C. D．2
二、填空題：
7．已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠?，則實數a的取值范圍為________．
8．將組成籃球隊的12名隊員名額分配給7個學校，每校至少1名，不同的分配方法種類有________種．【來源：21·世紀·教育·網】
9．如果函數f(x)＝x2＋bx＋c對任意實數t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么f(2)，f(1)，f(4)的大小關系是________．
10．對a，b∈R，記max{a，b}＝，函數f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
三、解答題：
11．(12分)設函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R，a>0)，其中f(0)＝3，f′(x)是f(x)的導函數．
(1)若f′(－1)＝f′(3)＝－36，f′(5)＝0，求函數f(x)的解析式；
(2)若c＝－6，函數f(x)的兩個極值點為x1，x2滿足－112．(13分)已知函數f(x)＝x3＋x2－2.
(1)設{an}是正數組成的數列，前n項和為Sn，其中a1＝3.若點(an，a－2an＋1)(n∈N*)在函數y＝f′(x)的圖象上，求證：點(n，Sn)也在y＝f′(x)的圖象上；
(2)求函數f(x)在區間(a－1，a)內的極值．
參考答案
1.解析：由于＝，＝，＝，故可構造函數f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.
而f′(x)＝′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函數f(x)在(2，＋∞)上單調遞增，因此有f(4)答案：A
因為0°即sin＝，解得C＝90°，則有0°①tanA·＝tanA·＝tan2A.
當A≠45°時，tan2A≠1.所以結論①錯．②因為0°0.又sinA＋sinB＝sinA＋cosA，而(sinA＋cosA)′＝cosA－sinA＝0，解得A＝45°.當0°0；當45°因此當0°對于相當數量的數學問題，解答的過程都是由繁到簡的轉化過程．本題是一道三角判斷題，由所給的已知條件直接判斷四個結論是困難的，因此對所給已知條件進行適當的化簡變形是必不可少的．通過使用誘導公式、同角公式、倍角公式以及方程的思想，最終解得C＝90°.于是原問題等價于“在Rt△ABC中，C＝90°，給出以下四個論斷：①tanA·cotB＝1；②0本題是由繁到簡進行等價轉化的典型試題．
答案：B
3．解析：易求A，△ABF2為銳角三角形，則∠AF2F1<45°即<2c，e2－2e－1<0,1－1，故1答案：D
4．解析：利用換元的方法，轉化為二次函數在閉區間上的最值．
答案：A
5．解析：令a＝sinα，b＝cosα轉化為三角函數問題．
答案：C
6．解析：(a＋2b)·(a－2b)＝0?|a|＝2|b|，＝2.
答案：D
7．解析：由題意得A＝{y|y>a2＋1或y由得，
∴a≤－或≤a≤2.
點評：一般地，我們在解題時，若正面情形較為復雜，就可以先考慮其反面，再利用其補集求得其解，這就是“補集思想”．
8．解析：轉化為分組問題．用隔板法共有C＝462.
答案：462
9．解析：數形結合．
答案：f(2)10．解析：轉化為函數問題．21世紀教育網[來源:21世紀教育網]答案：
11．解：∵f(0)＝3，∴d＝3.
(1)據題意，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(－1)＝f′(3)＝－36知x＝1是二次函數f′(x)圖象的對稱軸，又f′(5)＝f′(－3)＝0，【來源：21cnj*y.co*m】
故x1＝－3，x2＝5是方程f′(x)的兩根．
設f′(x)＝m(x＋3)(x－5)，
將f′(－1)＝－36代入得m＝3，
∴f′(x)＝3(x＋3)(x－5)＝3x2－6x－45，
比較系數得：a＝1，b＝－3，c＝－45.
故f(x)＝x3－3x2－45x＋3為所求．
(2)據題意，f(x)＝ax3＋bx2－6x＋3，
則f′(x)＝3ax2＋2bx－6，
又x1，x2是方程f′(x)＝0的兩根，
且－10，
則，即.
則點(a，b)的可行區域如圖．
∵λ＝(a－3)2＋(b＋1)2，
∴λ的幾何意義為點P(a，b)與點A(3，－1)的距離的平方，觀察圖形易知點A到直線3a＋2b－6＝0的距離的平方d2為λ的最小值d2＝＝，21教育網
故λ的取值范圍是.
故點(n，Sn)也在函數y＝f′(x)的圖象上．
(2)f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
極大值
?
極小值
?
注意到|(a－1)－a|＝1<2，從而
①當a－1<－2②當a－1<0③當a≤－2或－1≤a≤0或a≥1時，f(x)既無極大值又無極小值．

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