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解析幾何中雙切線問題的三大應用情境
情境1.圓的雙切線模型及應用
圓的雙切線模型是圓中常見的一類考題，由于其結論豐富，變化多端，頗受命題人的熱愛，2020年的理數全國一卷的選擇題11題就是一個典例應用. 對于圓的雙切線，我的建議就是多推導，遇到最值就往切線長上轉化！
如圖1，從圓外任一點向圓引兩條切線，圓心，兩切點，我們把線段的長度叫做切線長，設圓的半徑為，則四邊形具有如下的性質：
1.；.
2.切線長的計算：,當半徑給定，切線長最小等價于最小.
3.四點共圓，的外接圓以為直徑（托勒密定理）.
4.平分.
5.，當半徑給定，四邊形最小等價于最小.
6. 假設且.由基本的三角恒等關系可知：，故可得：
.對使用均值不等式可得最小值.
圖1
7.假設，圓的方程為（）
則切點弦的方程為：.
例1.（2020全國1卷）已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當最小時，直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
解析：綜合考察性質3，5,7.
圓的方程可化為，點 到直線的距離為，所以直線 與圓相離．
依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而 ，
當直線時，， ，此時最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以為直徑的圓的方程為，即 ，
兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．
例2.（2022深圳二模）P是直線上的一個動點，過點P作圓的兩條切線，A，B為切點，則（ ）
A．弦長的最小值為 B．存在點P，使得
C．直線經過一個定點 D．線段的中點在一個定圓上
解析：依題意，即，設，則為的中點，且，
所以，所以，，又，
所以，，所以，，故A正確，B不正確；
設，則，所以以為直徑的圓的方程為，
則，即，所以直線的方程為，所以直線過定點，故C正確；
又，，所以的中點在以為直徑的圓上，故D正確；
故選：ACD
情境2.圓錐曲線的雙切線
1.知識要點.如何合理的處理雙切線，我總結如下：已知曲線外一點,向二次曲線引兩條切線，設.
第1步：分別寫出切線的方程（注意斜率）；
第2步：聯立與曲線的方程，利用相切條件，得到代數關系①，②式從而以的或坐標為參數，進一步構造點橫或縱坐標滿足的同構方程方程③；
第3步：利用方程③根與系數的關系判斷與曲線的位置關系，或完成其他問題.
常見案例1.彭賽列閉合
例3．已知拋物線C：，點.
（1）設斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若的面積為，求直線l的方程；
（2）是否存在定圓M：，使得過曲線C上任意一點Q作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點A，B時，總有直線AB也與圓M相切？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由.
解析：（1）直線的方程．
（2）假設存在．取，圓，設切線為，由，解得，①，將直線代入拋物線方程，解得，，
直線的方程為，若直線和圓相切，可得②
由①得,由①②解得，．下證時，對任意的動點，直線和圓相切．
理由如下：設，當時,上面假設已經說明成立;當,一條切線與軸平行,不能與拋物線交于另一點,故,以下就且情況下證明.過的直線為， ，由，可得，
，，
又直線與曲線相交于 ，，由，代入拋物線方程可得，可得，，則，是方程的兩根，即有，即，同理．
則有，，
直線，
即為，則圓心到直線的距離為
，由，
代入上式，化簡可得，則有對任意的動點，存在實數，使得直線與圓相切．
常見案例2：蒙日圓
曲線的兩條互相垂直的切線的交點P的軌跡是圓.
證明：當題設中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時，可得點P的坐標是，或.
當題設中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時，可設點P的坐標是且，所以可設曲線的過點P的切線方程是
. 由，得
由其判別式的值為0，得
因為是這個關于的一元二次方程的兩個根，所以
由此，得
例4.（2020成都三診）．已知橢圓：的左焦點，點在橢圓上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）經過圓：上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，，直線，分別與圓相交于異于點的，兩點.
（i）求證：；
（ii）求的面積的取值范圍.
解析：（1）橢圓的標準方程為.
（2）（i）設點.
①當直線，的斜率都存在時，設過點與橢圓相切的直線方程.
由，消去，得.
.令，整理得.設直線，的斜率分別為，.∴.
又，∴.∴，即為圓的直徑，∴.
②當直線或的斜率不存在時，不妨設，則直線的方程為.
∴，，也滿足.綜上，有.
（ii）設點，.當直線的斜率存在時，設直線的方程為.由，消去，得.
.
令，整理得.則
∴直線的方程為.
化簡可得，即.經驗證，當直線的斜率不存在時，
直線的方程為或，也滿足.同理，可得直線的方程為. ∵在直線，上，∴，.
∴直線的方程為.由，消去，得.∴，.
∴
.又點到直線的距離.∴.
令，.則.
又，∴的面積的取值范圍為.
情境3：拋物線阿基米德三角形
1. 知識要點：如圖，假設拋物線方程為， 過拋物線準線上一點向拋物線引兩條切線，切點分別記為，其坐標為. 則以點和兩切點圍成的三角形中，有如下的常見結論:
結論1.直線過拋物線的焦點.
證明：參見下面的例1.
結論2.直線的方程為.進一步，還有
（1）過拋物線上一點的切線方程為：；
（2）過拋物線上一點的切線方程為：；
（3）過拋物線上一點的切線方程為：；
（4）過拋物線上一點的切線方程為：．
結論3.過的直線與拋物線交于兩點，以分別為切點做兩條切線，則這兩條切線的交點的軌跡即為拋物線的準線.
證明：過點的切線方程為，過點的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結論.
結論4..
證明：由結論3，，.那么.
結論5..
證明：,則.由拋物線焦點弦的性質可知，代入上式即可得，故.
結論6.直線的中點為，則平行于拋物線的對稱軸.
證明：由結論3的證明可知，過點的切線的交點在拋物線準線上.且的坐標為，顯然平行于拋物線的對稱軸.
例5．（2021高考全國乙卷理21）已知拋物線的焦點為，且與圓上的點的距離的最小值．
（1）求；
（2）若點在圓上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．
解析：（1）拋物線的焦點為，，
∴與圓上點的距離的最小值為，解得．
（2）拋物線的方程為，即，對該函數求導得，
設點，，，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，
由于點為這兩條直線公共點，則，
∴點的坐標滿足方程，∴直線的方程為，
聯立可得，由韋達定理可得，，
，
點到直線的距離為，
∴，
，
由已知可得，∴當時，的面積取最大值．
注：對于拋物線，設，是的兩條切線，，是切點，則阿基米德三角形的面積為：．
例6.(2006全國卷)已知拋物線的焦點為,是熱線上的兩動點，且
過兩點分別作拋物線的切線，設其交點為．
（1）證明為定值；
（2）設的面積為，寫出的表達式，并求S的最小值．
解：（1）點的坐標為 設點的坐標為 點的坐標為
由可得，因此
過點的切線方程為 (1)
過點的切線方程為 (2)
解（1）（2）構成的方程組可得點M的坐標,從而得到=0 即為定值.
（2）=0可得三角形面積
所以當且僅當時取等號

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