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拋物線(xiàn)阿基米德三角形
1.知識(shí)要點(diǎn)：如圖，假設(shè)拋物線(xiàn)方程為， 過(guò)拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)向拋物線(xiàn)引兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為. 則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見(jiàn)結(jié)論:
結(jié)論1.直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).
證明：參見(jiàn)下面的例1.
結(jié)論2.直線(xiàn)的方程為.
證明：參見(jiàn)下面的例1.也可由極點(diǎn)與極線(xiàn)得到.
進(jìn)一步，設(shè)：，則.
則，顯然由于過(guò)焦點(diǎn)，代入可得.我們得到了拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)之間的基本關(guān)系.
上述結(jié)論的逆向也成立，即：
結(jié)論3.過(guò)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線(xiàn)，則這兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).
證明：過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結(jié)論.
結(jié)論4..
證明：由結(jié)論3，，.那么.
結(jié)論5..
證明：,則.由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，代入上式即可得，故.
結(jié)論6.直線(xiàn)的中點(diǎn)為，則平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.
證明：由結(jié)論3的證明可知，過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的交點(diǎn)在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上.且的坐標(biāo)為，顯然平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.
（2019年全國(guó)三卷）已知曲線(xiàn)C：y=，D為直線(xiàn)y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B.
（1）證明：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)：
（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線(xiàn)AB相切，且切點(diǎn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.
(1)證明：設(shè),,則．又因?yàn)椋?
故，整理得.
設(shè)，同理得.
,都滿(mǎn)足直線(xiàn)方程.
于是直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，所以直線(xiàn)方程為.即，
當(dāng)時(shí)等式恒成立．所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
（2）由（1）得直線(xiàn)的方程為.
由，可得，
于是
.
設(shè)分別為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，則.
因此，四邊形ADBE的面積.
設(shè)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則，
由于，而，與向量平行，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)
因此，四邊形的面積為或.

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