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面積計(jì)算能否成為新高考解析幾何的“新寵兒”
一.基本原理
直線與圓錐曲線相交，弦和某個(gè)定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積，處理方法：
1.一般方法：（其中為弦長(zhǎng)，為頂點(diǎn)到直線AB的距離），設(shè)直線為斜截式.
進(jìn)一步，==
2.特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著軸或者軸拆分成兩個(gè)三角形，不過(guò)在拆分的時(shí)候給定的頂點(diǎn)一般在軸或者軸上，此時(shí)，便于找到兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng).
3.坐標(biāo)法.設(shè)，則.
4.面積比的轉(zhuǎn)化.
三角形的面積比及其轉(zhuǎn)化有一定的技巧性，一般的思路就是將面積比轉(zhuǎn)化為可以利用設(shè)線法完成的線段之比或者設(shè)點(diǎn)法解決的坐標(biāo)形式，通常有以下類型：
① 兩個(gè)三角形同底，則面積之比轉(zhuǎn)化為高之比，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離之比
② 兩個(gè)三角形等高，則面積之比轉(zhuǎn)化為底之比，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)之比）
③利用三角形面積計(jì)算的正弦形式，若等角轉(zhuǎn)化為腰長(zhǎng)之比
④ 面積的割補(bǔ)和轉(zhuǎn)化
5.四邊形的面積計(jì)算
在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見(jiàn)的情況是四邊形的兩對(duì)角線相互垂直，此時(shí)我們借助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半；當(dāng)然也有一些其他的情況，此時(shí)可以拆分成兩個(gè)三角形，借助三角形面積公式求解.
6.注意某條邊過(guò)定點(diǎn)的三角形和四邊形
當(dāng)三角形或者四邊形某條邊過(guò)定點(diǎn)時(shí)，我們就可以把三角形，四邊形某個(gè)定頂點(diǎn)和該定點(diǎn)為邊，這樣就轉(zhuǎn)化成定底邊的情形，最終可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.當(dāng)然，你需要把握住一些常見(jiàn)的定點(diǎn)結(jié)論，才能察覺(jué)出問(wèn)題的關(guān)鍵.
二．典例分析
【題型1】.三角形面積公式及應(yīng)用
例1．已知過(guò)點(diǎn)（0，1）的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，三角形面積的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
解析：顯然直線斜率存在，設(shè)過(guò)的直線方程為：，聯(lián)立方程組
消去，并整理得，設(shè)，，則恒成立,
，，
，O到直線的距離為，
，
令，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選:.
例2.（2022新高考1卷）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面積．
解析：（1）故雙曲線方程為．．
（2）由，得，不妨設(shè)直線的傾斜角為銳角且為，
當(dāng)均在雙曲線的左支時(shí)，，得到，
此時(shí)與漸近線平行，與雙曲線左支無(wú)交點(diǎn)。
當(dāng)均在雙曲線的右支時(shí)，由，得，即，
聯(lián)立及得，進(jìn)而解出：，
，代入直線得，故，，
而，，由，
故.
【題型2】.四邊形面積計(jì)算
例3．已知拋物線，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且到的準(zhǔn)線的距離等于其到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.
（1）求的方程；
（2）設(shè)為圓的一條不垂直于軸的直徑，分別延長(zhǎng)交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值.
解析：（1）故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，直線斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為：，設(shè)點(diǎn)
，，聯(lián)立得：，由，得
，聯(lián)立得：，由，得
因?yàn)椋么妫?
故四邊形面積.
令.
設(shè)函數(shù)，故單調(diào)遞增.
故當(dāng)，即時(shí)，取到最小值16，所以四邊形面積的最小值是16.
【題型3】.等高求底型面積問(wèn)題
例4．已知橢圓：，以橢圓的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線、，其中、為切點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，.
（1）求拋物線的方程及的值；
（2）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若直線交橢圓于、兩點(diǎn)，分別是、的面積，求的最小值.
解析：（1）依題意橢圓：的右焦點(diǎn)為，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以拋物線的方程為..
（2）直線恒過(guò)定點(diǎn).
（3）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，
因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，且斜率不為零，故設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立,得，，則，
則；
聯(lián)立，得， ，
設(shè)，，則 ，
則，
，故當(dāng)時(shí)，有最小值.
【題型4】.等底求高型面積問(wèn)題
例5．如圖，已知橢圓E：的離心率為，A，B是橢圓的左右頂點(diǎn)，P是橢圓E上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，直線AP與交于點(diǎn)Q，圓C以BQ為直徑.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，圓C的面積為.
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)圓C與PB的另一交點(diǎn)為點(diǎn)R，記△AQR的面積為，△BQR的面積為，試
判斷是否為定值，若是定值，求出這個(gè)定值，若不是定值，求的取值范圍.
解析：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）設(shè)，則①.
A，B的坐標(biāo)分別為(-2，0)，(2，0)，直線AP；，
令，則，又，點(diǎn)R在圓上，所以QR⊥BR，因此，
所以直線RQ的方程為：，即，
由①式得到，代入直線RQ的方程，化簡(jiǎn)為：，
設(shè)A，B兩點(diǎn)到直線RQ的距離分別為，則，為定值.
【題型5】.等角轉(zhuǎn)化為腰長(zhǎng)
例6．已知圓心在x軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0），且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B（x，0），C（0，y）兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)D（x，y）的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線l與曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ與圓的另一交點(diǎn)分別為M，N（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△OMN與△OPQ的面積之比的最大值.
解析：（1）的方程為 ；
（2）設(shè)過(guò)F點(diǎn)的直線方程為 ，顯然m是存在的，聯(lián)立方程：
，得 ， ①， ②
設(shè) ，代入①②得 …③
則直線OP的方程為 ，直線OQ的方程為 ，聯(lián)立方程：
，解得 ，同理 ，
， ，
，
④，
由③得 ，代入④得：，
顯然當(dāng)m=0時(shí)最大，最大值為 ；
綜上， 的方程為， 與 的面積之比的最大值為.
【題型6】.某邊過(guò)定點(diǎn)的三角形面積計(jì)算
例7.已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其右頂點(diǎn)為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P，Q在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為.求面積的最大值.
解析：（1）橢圓C的方程為．
(2)結(jié)合，可找到的關(guān)系，從而可知直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，于是△APQ面積等于，即可求出其最大值．
易知直線AP與AQ的斜率同號(hào)，所以直線不垂直于軸，
故可設(shè)，，，
由可得，，
所以，，，
而，即，化簡(jiǎn)可得，①，
因?yàn)椋?br/>所以，令可得，②，
令可得：
把②③代入①得，，化簡(jiǎn)得，
所以，或，所以直線或，
因?yàn)橹本€不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．設(shè)定點(diǎn)，
所以，
，因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即△APQ面積的最大值為．
【題型7】.某邊過(guò)定點(diǎn)的四邊形面積計(jì)算
例8. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足.
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若軌跡C的左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為軌跡C上異于，的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，分別與直線相交于S，T兩點(diǎn)，以ST為直徑的圓與x軸交于M，N兩點(diǎn)，求四邊形SMTN面積的最小值.
解析：（1）由動(dòng)點(diǎn)P滿足，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，所以，所以，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C方程為：；
（2）由（2）知，，
所以直線的方程為，即，
與直線的交點(diǎn)S的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，與直線的交點(diǎn)T的坐標(biāo)為，設(shè)以ST為直徑的圓的方程為，令，則，所以，，令，則，設(shè)，則，
所以，
又點(diǎn)在雙曲線上，所以，故，又，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以四邊形面積的最小值為6.
【題型8】面積的割補(bǔ)：2019年浙江卷

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