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齊次化方法
一．基本原理
中的幾何意義為：直線與曲線的交點與原點的連線的斜率，即的斜率，設為，由韋達定理知，，從而能通過最初的二次曲線和直線相交，得出的性質，倒過來，我們也可以通過的性質與二次曲線得出的性質．
若定在不在坐標原點，我們就需要先平移，設平移后的直線為（這樣齊次化更加方便，相當于“1”的妙用），與平移后的圓錐聯立，構造，然后等式可以直接利用韋達定理得出斜率之和或者斜率之積，，，即可得出答案.
二．典例分析
具體操作步驟
第一步：將坐標系平移到（不妨設其在第一象限）后得到新的橢圓方程：
.
第二步，寫出直線方程：令，則令.
第三步：聯立方程：，湊出滿足題干的斜率形式即可.
例1．.（2017年全國1卷）．已知橢圓，不過點的直線與橢圓交于兩點，若直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點．
證明：以點為坐標原點，建立新的直角坐標系，如下圖所示：
，即．所以．
因為，則轉換到新坐標為，即
．設直線的方程為，將原橢圓方程轉化為，
則轉換到新坐標為，展開得，構造齊次式
整理得，兩邊同除以，則
所以，因此．
而，所以對于任意都成立
則，故對應原坐標為，所以直線恒過定點
例2.（2020山東卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點．
（1）求的方程：
（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．
解析：（1）橢圓方程為：.
（2）將原坐標系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標系下橢圓的方程為，設直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯立得，即，化簡得，即．
設，因為則，即．
代入直線方程中得．則在新坐標系下直線過定點，則在原坐標系下直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．
例3.（2022新高考1卷）已知點在雙曲線上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面積．
解析：雙曲線方程為，設，
∵AP,AQ的斜率之和為0，∴，
故將雙曲線方程為變形為：，
且設直線，
由式有：
,（兩邊同除以），
即，而是此方程的兩根.
∴，故直線斜率為 1.
習題演練．拋物線，過原點的兩條相互垂直的直線交拋物線于兩點，求證：直線過軸上一定點．
證明：設 ① 拋物線： ② ①轉化為，代入②（目的是轉化為二次齊次式）得，即，可轉化為，因為，所以．所以直線恒過點

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