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1.3 動(dòng)量守恒
一、考點(diǎn)梳理
考點(diǎn)一、對(duì)動(dòng)量守恒定律的理解
1．對(duì)動(dòng)量守恒定律條件的理解：
(1)系統(tǒng)不受外力作用，這是一種理想化的情形．
(2)系統(tǒng)受外力作用，但所受合外力為零．像光滑水平面上兩物體的碰撞就是這種情形．
(3)系統(tǒng)受外力作用，但當(dāng)系統(tǒng)所受的外力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)內(nèi)各物體間的內(nèi)力時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量近似守恒．例如，拋出去的手榴彈在空中爆炸的瞬間，彈片所受火藥爆炸時(shí)的內(nèi)力遠(yuǎn)大于其重力，重力完全可以忽略不計(jì)，系統(tǒng)的動(dòng)量近似守恒．
(4)系統(tǒng)受外力作用，所受的合外力不為零，但在某一方向上合外力為零，則系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量守恒．
2．對(duì)動(dòng)量守恒定律的理解：
(1)系統(tǒng)性：動(dòng)量守恒定律的研究對(duì)象不是單一物體而是幾個(gè)相互作用的物體組成的系統(tǒng)，動(dòng)量保持不變并不是每個(gè)物體動(dòng)量保持不變，而是系統(tǒng)總動(dòng)量保持不變．
(2)矢量性：表達(dá)式p1＋p2＝p1′＋p2′是一個(gè)矢量式，其矢量性表現(xiàn)在：系統(tǒng)的總動(dòng)量在相互作用前后不僅大小相等，而且方向也相同．求初、末狀態(tài)系統(tǒng)的總動(dòng)量時(shí)，如果各物體動(dòng)量的方向在同一直線上，要選取正方向，將矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．
(3)相對(duì)性：動(dòng)量守恒定律中，系統(tǒng)中各物體在相互作用前后的動(dòng)量必須相對(duì)于同一慣性系，各物體的速度通常均為相對(duì)于地面的速度．
(4)同時(shí)性：動(dòng)量守恒定律中p1、p2……必須是系統(tǒng)中各物體在相互作用前同一時(shí)刻的動(dòng)量，p1′、p2′……必須是系統(tǒng)中各物體在相互作用后同一時(shí)刻的動(dòng)量，不同時(shí)刻的動(dòng)量不能相加．
(5)普適性：動(dòng)量守恒定律不僅適用于兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)，也適用于多個(gè)物體組成的系統(tǒng)；不僅適用于宏觀物體組成的系統(tǒng)，也適用于微觀粒子組成的系統(tǒng)．
(6)動(dòng)量守恒定律的研究對(duì)象是相互作用的物體組成的系統(tǒng)．判斷系統(tǒng)的動(dòng)量是否守恒，與選擇哪幾個(gè)物體作為系統(tǒng)和分析哪一段運(yùn)動(dòng)過程有直接關(guān)系．
(7)判斷系統(tǒng)的動(dòng)量是否守恒，要注意守恒的條件是不受外力或所受合外力為零，因此要分清哪些力是內(nèi)力，哪些力是外力．
(8)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，并不是系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)量都不變．一般來說，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)量是變化的，但系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)量的矢量和是不變的．
【典例1】(多選)如圖所示，A、B兩木塊緊靠在一起且靜止于光滑水平面上，物塊C以一定的初速度v0從A的左端開始向右滑行，最后停在B木塊的右端，對(duì)此過程，下列敘述正確的是(　　)
A．當(dāng)C在A上滑行時(shí)，A、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
B．當(dāng)C在B上滑行時(shí)，B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
C．無論C是在A上滑行還是在B上滑行，A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量都守恒
D．當(dāng)C在B上滑行時(shí)，A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒
【答案】BC
【解析】當(dāng)C在A上滑行時(shí)，對(duì)A、C組成的系統(tǒng)，B對(duì)A的作用力為外力，不等于0，故系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)C在B上滑行時(shí)，A、B已分離，對(duì)B、C組成的系統(tǒng)，沿水平方向不受外力作用，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒，選項(xiàng)B正確；若將A、B、C視為一個(gè)系統(tǒng)，則沿水平方向無外力作用，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
【典例2】(多選)如圖所示，A、B兩物體質(zhì)量之比mA∶mB＝3∶2，原來靜止在平板小車C上，A、B間有一根被壓縮的彈簧，地面光滑，當(dāng)彈簧突然釋放后，則下列說法正確的是(　　)
A．若A、B與平板車上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
B．若A、B與平板車上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
D．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
【答案】BCD
【解析】如果A、B與平板車上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，彈簧釋放后，A、B分別相對(duì)于小車向左、向右滑動(dòng)，它們所受的滑動(dòng)摩擦力FfA向右，F(xiàn)fB向左．由于mA∶mB＝3∶2，所以FfA∶FfB＝3∶2，則A、B組成的系統(tǒng)所受的外力之和不為零，故其動(dòng)量不守恒，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)A、B、C組成的系統(tǒng)，A、B與C間的摩擦力為內(nèi)力，該系統(tǒng)所受的外力為豎直方向上的重力和支持力，它們的合力為零，故該系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，B、D選項(xiàng)正確；若A、B所受摩擦力大小相等，則A、B組成的系統(tǒng)所受的外力之和為零，故其動(dòng)量守恒，C選項(xiàng)正確．
練習(xí)1、如圖所示，輕彈簧的一端固定在豎直擋板上，一質(zhì)量為m的光滑弧形槽靜止放在光滑水平面上，弧形槽底端與水平面相切，一質(zhì)量也為m的小物塊從槽上高h(yuǎn)處開始下滑，下列說法正確的是(　　)
A．在下滑過程中，物塊和槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
B．在下滑過程中，物塊和槽組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
C．在壓縮彈簧的過程中，物塊和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
D．被彈簧反彈后，物塊能回到槽上高h(yuǎn)處
【答案】A
【解析】對(duì)物塊和槽組成的系統(tǒng)，在下滑過程中沒有機(jī)械能損失，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，A正確；在下滑的過程中，物塊在豎直方向有加速度，物塊和槽組成的系統(tǒng)所受合外力不為零，不符合動(dòng)量守恒的條件，故系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒，但系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，B錯(cuò)誤；在壓縮彈簧的過程中，對(duì)于物塊和彈簧組成的系統(tǒng)，由于擋板對(duì)彈簧有向左的彈力，所以系統(tǒng)受到的合外力不為零，則系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，C錯(cuò)誤；因?yàn)槲飰K與槽在水平方向上動(dòng)量守恒，且兩者質(zhì)量相等，根據(jù)動(dòng)量守恒定律知物塊離開槽時(shí)物塊與槽的速度大小相等、方向相反，物塊被彈簧反彈后，與槽的速度相同，即兩者做速度相同的勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以物塊不會(huì)再滑上弧形槽，D錯(cuò)誤．
練習(xí)2、(多選)下列四幅圖所反映的物理過程中，動(dòng)量守恒的是(　　)
【答案】AC
【解析】A圖中子彈和木塊組成的系統(tǒng)在水平方向上不受外力，豎直方向所受合力為零，該系統(tǒng)動(dòng)量守恒；B圖中在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)的過程中，系統(tǒng)在水平方向上始終受墻的作用力，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒；C圖中木球與鐵球組成的系統(tǒng)所受合力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒；D圖中木塊下滑過程中，斜面體始終受到擋板的作用力，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒．
練習(xí)3、如圖所示，小車與木箱緊挨著靜放在光滑的水平冰面上，現(xiàn)有一男孩站在小車上用力向右迅速推出木箱，關(guān)于上述過程，下列說法正確的是(　　)
A．男孩和木箱組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
B．小車與木箱組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
C．男孩、小車與木箱三者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
D．木箱的動(dòng)量增量與男孩、小車的總動(dòng)量增量相同
【答案】C
【解析】由動(dòng)量守恒定律成立的條件可知男孩、小車與木箱三者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，A、B錯(cuò)誤，C正確；木箱的動(dòng)量增量與男孩、小車的總動(dòng)量增量大小相等，方向相反，D錯(cuò)誤．
考點(diǎn)二、動(dòng)量守恒定律的簡(jiǎn)單應(yīng)用
1．動(dòng)量守恒定律不同表現(xiàn)形式的表達(dá)式的含義：
(1)p＝p′：系統(tǒng)相互作用前的總動(dòng)量p等于相互作用后的總動(dòng)量p′.
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′：相互作用的兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)，作用前的動(dòng)量的矢量和等于作用后的動(dòng)量矢量和．
(3)Δp1＝－Δp2：相互作用的兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)，一個(gè)物體的動(dòng)量變化量與另一個(gè)物體的動(dòng)量變化量大小相等、方向相反．
(4)Δp＝0：系統(tǒng)總動(dòng)量增量為零．
2．應(yīng)用動(dòng)量守恒定律的解題步驟：
【典例1】如圖所示，在光滑水平面上，有一質(zhì)量M＝3 kg的薄板，板上有質(zhì)量m＝1 kg的物塊，兩者以大小為v0＝4 m/s的初速度朝相反方向運(yùn)動(dòng)，薄板與物塊之間存在摩擦且薄板足夠長(zhǎng)，取水平向右為正方向，求：
（1）物塊最后的速度；
（2）當(dāng)物塊的速度大小為3 m/s時(shí)，薄板的速度。
【答案】（1）2 m/s，方向水平向右 （2） m/s，方向水平向右
【解析】（1）由于水平面光滑，物塊與薄板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，
設(shè)共同運(yùn)動(dòng)速度大小為v，由動(dòng)量守恒定律得Mv0－mv0＝（m＋M）v
代入數(shù)據(jù)解得v＝2 m/s，方向水平向右．
（2）由（1）知，物塊速度大小為3 m/s時(shí)，方向向左，由動(dòng)量守恒定律得Mv0－mv0＝－mv1＋Mv′
代入數(shù)據(jù)解得v′＝ m/s，方向水平向右。
【典例2】如圖所示，質(zhì)量為m＝0.5 kg的小球在距離車底部一定高度處以初速度v0＝15 m/s向左平拋，落在以v＝7.5 m/s的速度沿光滑水平面向右勻速行駛的小車中，小車足夠長(zhǎng)，質(zhì)量為M＝4 kg，g取10 m/s2，則當(dāng)小球與小車相對(duì)靜止時(shí)，小車的速度大小是(　　)
A．4 m/s B．5 m/s
C．8.5 m/s D．9.5 m/s
【答案】B
【解析】小球和小車在水平方向上動(dòng)量守恒，取向右為正方向，有Mv－mv0＝(M＋m)v′，解得v′＝5 m/s.
練習(xí)1、一炮艇總質(zhì)量為M，以速度v0勻速行駛，從艇上以相對(duì)海岸的水平速度v沿前進(jìn)方向射出一質(zhì)量為m的炮彈，發(fā)射炮彈后艇的速度為v′，若不計(jì)水的阻力，則下列各關(guān)系式中正確的是(　　)
A．Mv0＝(M－m)v′＋mv B．Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v0)
C．Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v′) D．Mv0＝Mv′＋mv
【答案】A
【解析】炮艇與炮彈組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可得Mv0＝(M－m)v′＋mv，A項(xiàng)正確．
練習(xí)2、如圖所示，傳送帶以v0＝2 m/s的水平速度把質(zhì)量m＝20 kg的行李包運(yùn)送到原來靜止在光滑軌道上的質(zhì)量M＝30 kg的小車上，若行李包與車上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4，g＝10 m/s2，求：(小車足夠長(zhǎng))
(1)小車的最大速度的大小；
(2)行李包從滑上小車至在小車上滑到最遠(yuǎn)處所經(jīng)歷的時(shí)間是多少？
【答案】(1)0.8 m/s(2)0.3 s
【解析】(1)以行李包與小車組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，行李包與小車最后達(dá)到速度相同，此時(shí)小車速度最大，設(shè)為v.
由動(dòng)量守恒定律得mv0＝(M＋m)v
解得v＝0.8 m/s.
(2)對(duì)行李包，由動(dòng)量定理得－μmgt＝mv－mv0
解得t＝0.3 s.
練習(xí)3、如圖所示，豎直平面內(nèi)的四分之一圓弧軌道下端與水平桌面相切，小滑塊A和B(均可視為質(zhì)點(diǎn))分別靜止在圓弧軌道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)．現(xiàn)將A無初速度釋放，A與B碰撞后結(jié)合為一個(gè)整體，并沿桌面滑動(dòng)．已知圓弧軌道光滑，半徑R＝0.2 m，A和B的質(zhì)量相等，A和B整體與桌面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2.取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)碰撞后瞬間A和B整體的速率v′；
(2)A和B整體在桌面上滑動(dòng)的距離L.
【答案】(1)1 m/s (2)0.25 m
【解析】(1)滑塊A從圓弧軌道最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒，由mAv＝mAgR，可得vA＝2 m/s.在底部和B相撞，滿足動(dòng)量守恒，由mAvA＝(mA＋mB)v′，可得v′＝1 m/s.
(2)根據(jù)動(dòng)能定理，對(duì)A、B一起滑動(dòng)過程由－μ(mA＋mB)gL＝0－(mA＋mB)v′2，可得L＝0.25 m.
考點(diǎn)三、某一方向上動(dòng)量守恒問題
動(dòng)量守恒定律在圓弧軌道、長(zhǎng)木板以及斜面等相關(guān)軌道上的應(yīng)用，求解時(shí)要分析受力方向，根據(jù)受力情況列動(dòng)量守恒定律方程，要根據(jù)能量分析情況結(jié)合能量規(guī)律列方程，聯(lián)立求解。下面結(jié)合各種相關(guān)的軌道逐個(gè)進(jìn)行分析講解。
【典例1】(多選)如圖所示，質(zhì)量為M的楔形物體靜止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足夠長(zhǎng)，與水平方向的夾角為θ.一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊從斜面底端沿斜面向上以初速度v0開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小物塊沿斜面向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，速度大小為v，距地面的高度為h，則下列關(guān)系式中正確的是(　　)
A．mv0＝(m＋M)v
B．mv0cos θ＝(m＋M)v
C．mgh＝m(v0sin θ)2
D．mgh＋(m＋M)v2＝mv
【答案】BD
【解析】小物塊上升到最高點(diǎn)時(shí)，速度與楔形物體的速度相同，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，全過程機(jī)械能守恒．以向右為正方向，在小物塊上升過程中，由水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒得mv0·cos θ＝(m＋M)v，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；由機(jī)械能守恒定律得mgh＋(m＋M)v2＝mv，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
【典例2】如圖所示，在光滑的水平桿上套有一個(gè)質(zhì)量為m的滑環(huán)，滑環(huán)通過一根不可伸縮的輕繩懸掛著一個(gè)質(zhì)量為M的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，繩長(zhǎng)為L(zhǎng).將滑環(huán)固定時(shí)，給物塊一個(gè)水平?jīng)_量，物塊擺起后剛好碰到水平桿；若滑環(huán)不固定，仍給物塊以同樣的水平?jīng)_量，求物塊擺起的最大高度．
【答案】h＝L.
【解析】滑環(huán)固定時(shí)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有
MgL＝Mv，解得v0＝
滑環(huán)不固定時(shí)，物塊的初速度仍為v0，在物塊擺起至最大高度h時(shí)，它們的速度都為v，在此過程中物塊和滑環(huán)組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，水平方向動(dòng)量守恒，則：
Mv0＝(m＋M)v
Mv＝(m＋M)v2＋Mgh
由以上各式，可得h＝L.
練習(xí)1、(多選)如圖所示，小車放在光滑的水平面上，將系著繩的小球拉開到一定的角度，然后同時(shí)放開小球和小車，那么在以后的過程中(　　)
A．小球向左擺動(dòng)時(shí)，小車也向左運(yùn)動(dòng)，且系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒
B．小球向左擺動(dòng)時(shí)，小車向右運(yùn)動(dòng)，且系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒
C．小球向左擺到最高點(diǎn)，小球的速度為零而小車的速度不為零
D．在任意時(shí)刻，小球和小車在水平方向上的動(dòng)量一定大小相等、方向相反
【解析】BD　以小球和小車組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在水平方向上不受力的作用，所以系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，由于初始狀態(tài)小車與小球均靜止，所以小球與小車在水平方向上的動(dòng)量要么都為零，要么大小相等、方向相反．
考點(diǎn)四、彈簧模型
1．注意彈簧彈力特點(diǎn)及運(yùn)動(dòng)過程，彈簧彈力不能瞬間變化。
2．彈簧連接兩種形式：連接或不連接。
連接：可以表現(xiàn)為拉力和壓力，從被壓縮狀態(tài)到恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)物體和彈簧不分離，彈簧的彈力從壓力變?yōu)槔Α?br/>不連接：只表現(xiàn)為壓力，彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)后物體和彈簧分離，物體不再受彈簧的彈力作用。
3．動(dòng)量和能量問題：動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，動(dòng)能和彈性勢(shì)能之間轉(zhuǎn)化，等效于彈性碰撞。彈簧被壓縮到最短或被拉伸到最長(zhǎng)時(shí)，與彈簧相連的物體共速，此時(shí)彈簧具有最大的彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的總動(dòng)能最小；彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為零，系統(tǒng)具有最大動(dòng)能。
【典例1】如圖所示，一輕質(zhì)彈簧兩端連著物體A和B，放在光滑的水平面上，物體A被水平速度為 的子彈擊中并嵌在其中，已知物體A的質(zhì)量是m，物體B的質(zhì)量 ，子彈的質(zhì)量是 ，求彈簧壓縮到最短時(shí)B的速度和彈簧的最大彈性勢(shì)能。
【答案】
【解析】取向右為正方向，子彈擊中物體A的過程，由動(dòng)量守恒定律，得
則子彈和A獲得的共同速度為
當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，子彈、A和B的速度相同，由動(dòng)量守恒定律，得
解得
由能量守恒定律得，彈簧的最大彈性勢(shì)能為
代入數(shù)據(jù)得
【典例2】(多選)質(zhì)量為m的物塊甲以3 m/s的速度在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)，有一輕彈簧固定于其左端，另一質(zhì)量也為m的物塊乙以4 m/s的速度與甲相向運(yùn)動(dòng)，如圖所示．則(　　)
A．甲、乙兩物塊在彈簧壓縮過程中，由于彈力屬于內(nèi)力作用，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒
B．當(dāng)兩物塊相距最近時(shí)，甲物塊的速率為零
C．甲物塊的速率可能達(dá)到5 m/s
D．當(dāng)甲物塊的速率為1 m/s時(shí)，乙物塊的速率可能為2 m/s，也可能為0
【答案】AD
【解析】甲、乙兩物塊(包括彈簧)組成的系統(tǒng)在彈簧壓縮過程中，系統(tǒng)所受的合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，故A正確．當(dāng)兩物塊相距最近時(shí)速度相同，取碰撞前乙的速度方向?yàn)檎较颍O(shè)共同速度為v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得mv乙－mv甲＝2mv，解得v＝0.5 m/s，故B錯(cuò)誤．若物塊甲的速率達(dá)到5 m/s，方向與原來相同，則mv乙－mv甲＝－mv甲′＋mv乙′，代入數(shù)據(jù)解得v乙′＝6 m/s，兩個(gè)物體的速率都增大，動(dòng)能都增大，違反了能量守恒定律；若物塊甲的速率達(dá)到5 m/s，方向與原來相反，則mv乙－mv甲＝mv甲′＋mv乙′，代入數(shù)據(jù)解得v乙′＝－4 m/s，可得，碰撞后乙的動(dòng)能不變，甲的動(dòng)能增加，系統(tǒng)總動(dòng)能增加，違反了能量守恒定律，所以物塊甲的速率不可能達(dá)到5 m/s，故C錯(cuò)誤．甲、乙組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，若物塊甲的速率為1 m/s，方向與原來相同，由動(dòng)量守恒定律得mv乙－mv甲＝－mv甲′＋mv乙′，代入數(shù)據(jù)解得v乙′＝2 m/s；若物塊甲的速率為1 m/s，方向與原來相反，由動(dòng)量守恒定律得：mv乙－mv甲＝mv甲′＋mv乙′，代入數(shù)據(jù)解得v乙′＝0，故D正確．
練習(xí)1、如圖所示，在光滑的水平地面上并排放著物塊A、B，它們的質(zhì)量之比為3∶2，且在它們之間有一處于壓縮狀態(tài)的彈簧(與物塊A、B并不拴接)．某一時(shí)刻同時(shí)釋放物塊A、B，彈簧為原長(zhǎng)時(shí)物塊A的動(dòng)能為8 J，則釋放物塊A、B前，彈簧具有的彈性勢(shì)能為(　　)
A．12 J　　　　 B．16 J
C．18 J　　　　 D．20 J
【答案】D
【解析】取向左為正方向，由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒得mAvA－mBvB＝0，得vA∶vB＝mB∶mA＝2∶3，物塊A與B的動(dòng)能之比為EkA∶EkB＝mAv∶mBv＝2∶3.所以EkB＝EkA＝×8 J＝12 J，根據(jù)功能關(guān)系可知，A與B的動(dòng)能的和等于開始時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能，所以彈簧的彈性勢(shì)能Ep＝EkA＋EkB＝(8＋12) J＝20 J．故A、B、C錯(cuò)誤，D正確．
練習(xí)2、如圖所示，輕彈簧的一端固定在豎直墻上，質(zhì)量為2m的光滑弧形槽靜止放在光滑水平面上．弧形槽底端與水平面相切，一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊從槽高h(yuǎn)處開始自由下滑，下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A．在下滑過程中，物塊和弧形槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
B．在下滑過程中，物塊和槽的水平方向動(dòng)量守恒
C．物塊壓縮彈簧的過程中，彈簧的最大彈性勢(shì)能Ep＝mgh
D．物塊被彈簧反彈后，離開彈簧時(shí)的速度大小為
【答案】D
【解析】在下滑過程中，只有重力做功，物塊和弧形槽組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故A正確；在下滑過程，物塊與弧形槽組成的系統(tǒng)在水平方向所受合外力為零，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，故B正確；設(shè)物塊到達(dá)水平面時(shí)速度大小為v1，槽的速度大小為v2，且可判斷物塊速度方向向右，槽的速度方向向左，以向右為正方向，在物塊下滑過程中，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律得mv1－2mv2＝0，由機(jī)械能守恒定律得mgh＝mv＋·2mv，由以上兩式解得v1＝2，v2＝，物塊與彈簧相互作用過程系統(tǒng)機(jī)械能守恒，物塊速度為零時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，由機(jī)械能守恒定律可知，最大彈性勢(shì)能Ep＝mv＝mgh。
考點(diǎn)五、“子彈打木塊”類問題的綜合分析
子彈以水平速度射向原來靜止的木塊,并留在木塊中跟木塊共同運(yùn)動(dòng).下面從動(dòng)量、能量和牛頓運(yùn)動(dòng)定律等多個(gè)角度來分析這一類問題.
1.動(dòng)量分析
子彈和木塊最后共同運(yùn)動(dòng),相當(dāng)于完全非彈性碰撞,子彈射入木塊過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒mv0=(M+m)v.
2.能量分析
該過程系統(tǒng)損失的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能.設(shè)平均阻力大小為Ff,子彈、木塊的位移大小分別為s1,s2,子彈鉆入深度為d,如圖所示,有s1-s2=d;對(duì)子彈應(yīng)用動(dòng)能定理有-Ffs1=mv2-m;對(duì)木塊應(yīng)用動(dòng)能定理有Ffs2=mv2,聯(lián)立解得Ffd=m-(M+m)v2=.式中Ffd恰好等于系統(tǒng)動(dòng)能的損失量,根據(jù)能量守恒定律,系統(tǒng)動(dòng)能的損失量應(yīng)該等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加量,則有ΔEk=Ffd=Q=,由此可得結(jié)論:兩物體由于摩擦產(chǎn)生的熱量(機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能),數(shù)值上等于摩擦力大小與兩物體相對(duì)滑動(dòng)路程的乘積.由上面各式聯(lián)立可得Ff=,s2=d.
3.動(dòng)力學(xué)分析
從牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式出發(fā),也可以得出同樣的結(jié)論.由于子彈和木塊都在恒力作用下做勻變速運(yùn)動(dòng),位移與平均速度成正比,有==,所以有==,解得s2=d.
【典例1】一顆子彈水平射入置于光滑水平面上的木塊A并留在其中，A、B用一根彈性良好的輕質(zhì)彈簧連在一起，如圖所示．則在子彈打擊木塊A及彈簧被壓縮的過程中，對(duì)子彈、兩木塊和彈簧組成的系統(tǒng)(　　)
A．動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒
B．動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒
C．動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒
D．無法判定動(dòng)量、機(jī)械能是否守恒
【答案】C
【解析】子彈、木塊、彈簧組成的系統(tǒng)，合外力為零，動(dòng)量守恒；子彈穿入木塊瞬間有部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能(發(fā)熱)，系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒，C正確．
【典例2】如圖所示，質(zhì)量為mB的平板車B上表面水平，開始時(shí)靜止在光滑水平面上，在平板車左端靜止著一質(zhì)量為mA的物體A，一顆質(zhì)量為m0的子彈以v0的水平初速度射入物體A，射穿A后速度變?yōu)関，子彈穿過物體A的時(shí)間極短．已知A、B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)不為零，且A與B最終達(dá)到相對(duì)靜止．求：
(1)子彈射穿物體A的瞬間物體A的速度vA；
(2)平板車B和物體A的最終速度v共．(設(shè)車身足夠長(zhǎng))
【答案】(1) (2)
【解析】(1)子彈穿過物體A的過程中，子彈和物體A組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得m0v0＝m0v＋mAvA
解得vA＝.
(2)對(duì)物體A和平板車B，以A的速度方向?yàn)檎较颍?br/>由動(dòng)量守恒定律得mAvA＝(mA＋mB)v共
解得v共＝.
練習(xí)1、（多選）如圖所示，一輕質(zhì)彈簧兩端各連著滑塊A和B，滑塊A的質(zhì)量為m，滑塊 B的質(zhì)量2m，兩滑塊都置于光滑的水平面上，今有質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射入A中不再穿出，下列說法正確的是（　　）
A．子彈打入滑塊A過程中，子彈對(duì)滑塊A的沖量大小為
B．滑塊B的最大速度為
C．彈簧的最大彈性勢(shì)能為
D．子彈、滑塊A、滑塊B及彈簧組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為
【答案】BC
【解析】A．子彈打入滑塊A過程中，對(duì)子彈和滑塊A系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律
解得
子彈對(duì)滑塊A的沖量大小為
選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B．當(dāng)彈簧再次回復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，滑塊B的速度最大，則因滑塊A（包括子彈）的質(zhì)量等于滑塊B的質(zhì)量，根據(jù)
可得
v2=0
即此時(shí)滑塊A（包括子彈）與滑塊B交換速度，則B的最大速度為，選項(xiàng)B正確；
C．當(dāng)滑塊A（包括子彈）與滑塊B共速時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，則
解得最大彈性勢(shì)能
選項(xiàng)C正確；
D．只有子彈穿木塊A時(shí)有機(jī)械能損失，則子彈、滑塊A、滑塊B及彈簧組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為
選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
考點(diǎn)六、“滑塊—滑板”類問題的綜合分析
“滑塊—滑板”模型作為力學(xué)的基本模型經(jīng)常出現(xiàn),是對(duì)直線運(yùn)動(dòng)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律及動(dòng)量守恒定律有關(guān)知識(shí)的鞏固和應(yīng)用.這類問題可分為兩類:
(1)沒有外力參與,滑板放在光滑水平面上,滑塊以一定速度在滑板上運(yùn)動(dòng),滑塊與滑板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒,注意滑塊若不滑離滑板,最后二者具有共同速度.摩擦力與相對(duì)路程的乘積等于系統(tǒng)動(dòng)能的損失,即Ff·s相對(duì)=ΔEk;
(2)系統(tǒng)受到外力,這時(shí)對(duì)滑塊和滑板一般隔離分析,畫出它們運(yùn)動(dòng)的示意圖,應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式及動(dòng)量守恒定律求解.
【典例1】如圖甲所示，質(zhì)量為M的薄長(zhǎng)木板靜止在光滑的水平面上，t＝0時(shí)一質(zhì)量為m的滑塊以水平初速度v0從長(zhǎng)木板的左端沖上木板并最終從右端滑下．已知滑塊和長(zhǎng)木板在運(yùn)動(dòng)過程中的v t圖像如圖乙所示，則木板與滑塊的質(zhì)量之比M∶m為(　　)
甲　　　　　　　乙
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶3 D．3∶1
【答案】B
【解析】取滑塊的初速度方向?yàn)檎较颍瑢?duì)滑塊和木板組成的系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有mv0＝mv1＋Mv2，由題圖乙知v0＝40 m/s，v1＝20 m/s，v2＝10 m/s，代入數(shù)據(jù)解得M∶m＝2∶1．
【典例2】(多選)如(a)圖所示的光滑平臺(tái)上，物體A以初速度v0滑到上表面粗糙的水平小車上，車與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)不計(jì)，(b)圖為物體A與小車的v－t圖象(v0、v1及t1均為已知，重力加速度為g)，由此可算出(　　)
A．小車上表面長(zhǎng)度
B．物體A與小車B的質(zhì)量之比
C．物體A與小車B上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)
D．小車B獲得的動(dòng)能
【答案】BC
【解析】圖中速度線與坐標(biāo)軸包圍的面積表示A相對(duì)于小車的位移，不一定為小車長(zhǎng)度，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；設(shè)m、M分別表示物體A與小車B的質(zhì)量，根據(jù)動(dòng)量守恒定律：mv0＝Mv1＋mv1，求出：＝， 選項(xiàng)B正確；物體A的v－t圖象中速度線斜率大小為：a＝μg＝，可以求出μ，選項(xiàng)C正確；因B車質(zhì)量大小未知，故無法計(jì)算B車的動(dòng)能．
練習(xí)1、如圖所示，光滑水平桌面上放置質(zhì)量為M=2kg的長(zhǎng)方體形木板B，質(zhì)量為m=1kg的小物塊A停在B右端。t=0時(shí)刻，木板B在水平恒力F作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)，此后A、B運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間圖像如圖乙所示，在t=1s時(shí)，A物塊剛好從B的左端滑落。規(guī)定水平向右為正方向，則以下判斷正確的是（ ）
A.A對(duì)B的壓力與地面對(duì)B的支持力沖量和為零
B.水平恒力F與A對(duì)B的摩擦力的沖量和為零
C.在0～1s內(nèi)，水平恒力F的沖量大小為10N·s
D.D.在0～1s內(nèi)，A對(duì)B的沖量為8N·s
【答案】C
【解析】A．因?yàn)锳對(duì)B的壓力小于地面對(duì)B的支持力，所以這兩個(gè)力的沖量和不等于零，A不符合題意；
B．因?yàn)樗胶懔大于A對(duì)B的摩擦力，所以這兩個(gè)力的沖量和不為零，B不符合題意；
CD．在0～1s內(nèi)，對(duì)A根據(jù)動(dòng)量定理
對(duì)B根據(jù)動(dòng)量定理得
解得 ，水平恒力F的沖量大小為10N·s，C符合題意；
D．在0～1s內(nèi)，A對(duì)B的沖量大小為 ，D不符合題意。
練習(xí)2、(多選)如圖所示，光滑水平面上，質(zhì)量為m1的足夠長(zhǎng)的木板向左勻速運(yùn)動(dòng)．t＝0時(shí)刻，質(zhì)量為m2的木塊從木板的左端向右以與木板相同大小的速度滑上木板．t1時(shí)刻，木塊和木板相對(duì)靜止，共同向左勻速運(yùn)動(dòng)，以v1和a1表示木板的速度和加速度，以v2和a2表示木塊的速度和加速度，以向左為正方向．則下列圖中正確的是(　　)
【答案】BD
【解析】木塊和木板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，因?yàn)樽罱K共同的速度方向向左，根據(jù)m1v－m2v＝(m1＋m2)v′，知m1＞m2；木塊的加速度a2＝，方向向左，木板的加速度a1＝，方向向右，因?yàn)閙1＞m2，則a1＜a2，故A錯(cuò)誤，B正確．木塊滑上木板后，木塊先做勻減速運(yùn)動(dòng)，減到零后，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，與木板速度相同后一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)；木板一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，最終的速度向左，為正值，故D正確，C錯(cuò)誤．
考點(diǎn)七、人船模型
人船模型是兩個(gè)物體均處于靜止，當(dāng)兩個(gè)物體存在相互作用而不受外力作用時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒。將速度與質(zhì)量的關(guān)系推廣到位移與質(zhì)量，做這類題目，首先要畫好示意圖，要注意兩個(gè)物體相對(duì)于地面的移動(dòng)方向和兩個(gè)物體位移大小之間的關(guān)系；
人船問題的適用條件是：兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)（當(dāng)有多個(gè)物體組成系統(tǒng)時(shí)，可以先轉(zhuǎn)化為兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)）動(dòng)量守恒，系統(tǒng)的總動(dòng)量為零，利用平均動(dòng)量守恒表達(dá)式解答。
【典例1】如圖所示，質(zhì)量為M的小船在靜止水面上以速率v0向右勻速行駛，一質(zhì)量為m的救生員站在船尾，相對(duì)小船靜止．若救生員以相對(duì)水面速率v水平向左躍入水中，則救生員躍出后小船的速率為(　　)
A．v0＋v B．v0－v
C．v0＋(v0＋v) D．v0＋(v0－v)
【答案】C
【解析】小船和救生員組成的系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒(M＋m)v0＝m·(－v)＋Mv′，解得v′＝v0＋(v0＋v)
【典例2】如圖所示，小船的兩端站著甲、乙兩人，初始小船靜止于湖面上。現(xiàn)甲和乙相向而行，從船的一端走到另一端，最后靜止于船上，不計(jì)水的阻力，下列說法正確的是（　　）
A．若甲先行，乙后行，小船最終向左運(yùn)動(dòng)
B．若甲先行，乙后行，小船最終向右運(yùn)動(dòng)
C．無論誰(shuí)先行，小船最終都向右運(yùn)動(dòng)
D．無論誰(shuí)先行，小船最終都靜止
【答案】D
【解析】以甲、乙和船組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒知，初始系統(tǒng)總動(dòng)量為0，所以無論誰(shuí)先行，最終系統(tǒng)總動(dòng)量為0，小船最終都靜止,故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。
練習(xí)1、如圖所示，質(zhì)量的小船靜止在平靜水面上，船兩端分別載著質(zhì)量為和的甲、乙兩位游泳者。在同一水平線上，甲向左、乙向右相對(duì)于河岸同時(shí)以速度大小、躍入水中。若甲、乙躍入水中后，小船仍然靜止，則等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】整個(gè)系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒代入數(shù)據(jù)解得。
練習(xí)2、如圖所示，光滑水平地面上靜止一個(gè)質(zhì)量為M且上表面光滑的斜面體．現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)量為m的小滑塊放置在斜面體頂端，使其由靜止沿斜面滑下．已知斜面體底邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，則以下判斷正確是（　　）
A．下滑過程中小滑塊的機(jī)械能守恒
B．小滑塊下滑過程中，兩物體組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
C．小滑塊到達(dá)斜面底端時(shí)，斜面體水平向右運(yùn)動(dòng)的距離為
D．小滑塊到達(dá)斜面底端時(shí)，小滑塊水平向左運(yùn)動(dòng)的距離為
【答案】D
【解析】A．下滑過程中小滑塊和斜面體組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，滑塊的機(jī)械能不守恒，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
B．小滑塊下滑過程中，兩物體組成的系統(tǒng)水平方向受合外力為零，則水平方向動(dòng)量守恒，豎直方向動(dòng)量不守恒，則系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
CD．設(shè)小滑塊到達(dá)斜面底端時(shí)，斜面體水平向右運(yùn)動(dòng)的距離為x，則由水平動(dòng)量守恒可知
解得
小滑塊水平向左運(yùn)動(dòng)的距離為
。
考點(diǎn)八、動(dòng)量守恒中的臨界模型
1．臨界點(diǎn)的確定
(1)若題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點(diǎn)．
(2)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范圍”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這些極值點(diǎn)也往往是臨界點(diǎn)．
2．動(dòng)量守恒中臨界問題的要點(diǎn)分析
在動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用中，常常出現(xiàn)相互作用的兩物體相距最近、避免相碰和物體開始反向等臨界狀態(tài)，其臨界條件常常表現(xiàn)為兩物體的相對(duì)速度關(guān)系與相對(duì)位移關(guān)系，這些特定關(guān)系的判斷是求解這類問題的關(guān)鍵．
【典例1】在光滑的冰面上靜止放置一截面為四分之一圓弧的半徑足夠大的光滑的自由曲面，一個(gè)坐在冰車上的小孩手扶一小球靜止在冰面上．某時(shí)刻小孩將小球以v0＝2 m/s的速度向曲面推出(如圖所示)．已知小孩和冰車的總質(zhì)量為m1＝40 kg，小球質(zhì)量為m2＝2 kg，曲面質(zhì)量為m3＝10 kg.求小孩將球推出后還能否再接到球，若能，則求出再接到球后人的速度，若不能，則求出球再滑回水平面上的速度．
【答案】能再接到小球　 m/s
【解析】人推球過程，水平方向上動(dòng)量守恒：0＝m2v0－m1v1，
代入數(shù)據(jù)得：v1＝0.1 m/s
球和曲面相互作用時(shí)，水平方向動(dòng)量守恒：m2v0＝－m2v2＋m3v3，
機(jī)械能守恒：m2v02＝m2v22＋m3v32，得v2＝ m/s
∵v2＞v1，所以人能再接住球．
人接球過程(以向右為正)，由動(dòng)量守恒有：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共，
∴v共＝ m/s.
【典例2】如圖所示，光滑水平面上A、B兩小車質(zhì)量都是M，A車前站立一質(zhì)量為m的人，兩車在同一直線上相向運(yùn)動(dòng)。為避免兩車相撞，人從A車跳到B車上，最終A車停止運(yùn)動(dòng)，B車獲得反向速度v0，試求：
（1）兩小車和人組成的系統(tǒng)的初動(dòng)量大小；
（2）為避免兩車相撞，若要求人跳躍速度盡量小，則人跳上B車后，A車的速度多大。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）光滑水平面上，兩小車與人系統(tǒng)動(dòng)量守恒，所以兩小車和人組成的系統(tǒng)的初動(dòng)量就等于最終A車停止運(yùn)動(dòng)，B車獲得反向速度時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量所以由系統(tǒng)動(dòng)量守恒
（2）為避免兩車恰好不會(huì)發(fā)生碰撞，最終兩車和人具有相同速度，設(shè)共速的速度為v1，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒
解得
練習(xí)1、甲、乙兩個(gè)小孩各乘一輛冰車在水平冰面上游戲，甲和他的冰車總質(zhì)量為M＝30 kg，乙和他的冰車總質(zhì)量也是30 kg，游戲時(shí)甲推著一個(gè)質(zhì)量為m＝15 kg的箱子和他一起以大小為v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同樣大小的速度迎面滑來，為了避免相撞，甲把箱子推給乙，箱子滑來時(shí)乙迅速把它抓住，若不計(jì)摩擦，則：
(1)若甲將箱子相對(duì)地面以速度v推出，甲的速度變?yōu)槎嗌伲?用字母表示)
(2)設(shè)乙抓住迎面滑來的相對(duì)地面的速度為v的箱子后反向運(yùn)動(dòng)．乙抓箱子后的速度變?yōu)槎嗌伲?用字母表示)
(3)若甲、乙最后不相撞，則箱子推出時(shí)的速度至少多大？
【答案】(1)v1＝ (2)v2＝ (3) 5.2 m/s.
【解析】(1)甲將箱子推出的過程，甲和他的冰車與箱子組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以甲的初速度方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律得(M＋m)v0＝mv＋Mv1
解得v1＝
(2)箱子和乙作用過程動(dòng)量守恒，以箱子的速度方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律得mv－Mv0＝(M＋m)v2
解得v2＝
(3)甲、乙不相撞的條件是v1≤v2
代入數(shù)據(jù)得v≥5.2 m/s
即箱子推出時(shí)的速度至少為5.2 m/s.
考點(diǎn)九、動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒的綜合應(yīng)用
【典例1】將一個(gè)光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，如圖所示，槽左側(cè)有一個(gè)固定在水平面上的物塊．現(xiàn)讓一個(gè)小球自左側(cè)槽口A點(diǎn)正上方由靜止開始落下，從A點(diǎn)落入槽內(nèi)，則下列說法正確的是(　　)
A．小球在半圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中，機(jī)械能守恒
B．小球在半圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過程中，小球與半圓槽組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
C．小球在半圓槽內(nèi)由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，小球與半圓槽組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
D．小球從C點(diǎn)離開半圓槽后，一定還會(huì)從C點(diǎn)落回半圓槽
【答案】D
【解析】小球在半圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，由B到C的過程中，除重力做功外，槽的支持力也對(duì)小球做功，小球機(jī)械能不守恒，由此可知，小球在半圓槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)的全過程中，小球的機(jī)械能不守恒，A錯(cuò)誤；小球在槽內(nèi)由A到B的過程中，左側(cè)物塊對(duì)槽有作用力，小球與槽組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，由B到C的過程中，小球有向心加速度，豎直方向的合力不為零，系統(tǒng)的動(dòng)量也不守恒，B、C錯(cuò)誤；小球離開C點(diǎn)以后，既有豎直向上的分速度，又有水平分速度，小球做斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平分速度與半圓槽的速度相同，所以小球一定還會(huì)從C點(diǎn)落回半圓槽，D正確．
【典例2】光滑圓弧槽(半徑為R的四分之一圓)質(zhì)量為M，靜止于光滑水平地面上，質(zhì)量為m的小球(可以視為質(zhì)點(diǎn))，靜止在光滑圓弧槽的最高點(diǎn)由靜止釋放沿光滑圓弧槽下滑，當(dāng)小球剛滑到水平地面時(shí)，求：
(1)小球的速度大小；
(2)光滑圓弧槽后退的距離．(R與重力加速度g為已知)
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒、系統(tǒng)機(jī)械能守恒，
以向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv－MV＝0，
由機(jī)械能守恒定律得：mgR＝mv2＋MV2，
解得v＝.
(2)小球與槽組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，以向左為正方向，
由動(dòng)量守恒定律得：mv－MV＝0，m－M＝0，
解得x＝.
練習(xí)1、(多選)如圖所示，帶有斜面的小車A靜止于光滑水平面上，現(xiàn)B以某一初速度沖上斜面，在沖到斜面最高點(diǎn)的過程中(　　)
A．若斜面光滑，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒
B．若斜面光滑，系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，系統(tǒng)機(jī)械能守恒
C．若斜面不光滑，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒
D．若斜面不光滑，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量不守恒，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒
【答案】BC
【解析】若斜面光滑，因只有重力對(duì)系統(tǒng)做功和系統(tǒng)內(nèi)的彈力對(duì)系統(tǒng)內(nèi)物體做功，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒，而無論斜面是否光滑，系統(tǒng)豎直方向動(dòng)量均不守恒，但水平方向動(dòng)量均守恒．
二、夯實(shí)小練
1、下列情況中系統(tǒng)動(dòng)量守恒的是（　　）
A．小車固定在光滑水平面上，人在車上走動(dòng)時(shí)，人與車組成的系統(tǒng)
B．子彈水平射入緊靠墻角的木塊中，子彈與木塊組成的系統(tǒng)
C．子彈水平射入放在光滑水平面上的木塊中，子彈與木塊組成的系統(tǒng)
D．光滑斜面放在光滑水平面上，物塊沿斜面自由下滑時(shí)，物塊和斜面組成的系統(tǒng)
【答案】C
【解析】A．由于小車固定在光滑水平面上，人在車上走動(dòng)時(shí)，對(duì)人與車組成的系統(tǒng)，所受的外力之和不為零，則系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，故A錯(cuò)誤；B．子彈射入緊靠墻角的木塊中，對(duì)子彈與木塊組成的系統(tǒng)，由于受到墻的作用力，所受的外力之和不為零，則系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，故B錯(cuò)誤；C．子彈水平射入放在光滑水平面上的木塊中，對(duì)子彈與木塊組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)所受的外力之和為零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，故C正確；D．光滑斜面放在光滑水平面上，物塊沿斜面自由下滑時(shí)，由于物塊與斜面組成的系統(tǒng)受到的外力矢量和不為零，所以系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，故D錯(cuò)誤。
2、如圖所示，小車靜止在光滑水平面上，AB是小車內(nèi)半圓弧軌道的水平直徑，現(xiàn)將一小球從距A點(diǎn)正上方高R處由靜止釋放，小球由A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入半圓軌道后又從B點(diǎn)沖出。不計(jì)一切摩擦。在小球與小車相互作用過程中（　　）
A．小車的動(dòng)量守恒 B．小球和小車的總動(dòng)量守恒
C．小球和小車在豎直方向上動(dòng)量守恒 D．小球和小車在水平方向上動(dòng)量守恒
【答案】D
【解析】在小球與小車相互作用過程中，小車受到的合外力不為零，小車動(dòng)量不守恒；把小球及小車看作一個(gè)系統(tǒng)，因?yàn)樾∏蚴艿街亓Φ淖饔茫沟迷撓到y(tǒng)在豎直方向上受到的合力不為零，而水平方向上滿足只受內(nèi)力，不受外力的作用，所以，系統(tǒng)豎直方向上動(dòng)量不守恒，水平方向上動(dòng)量守恒。
3、如圖所示，滑塊P套在固定的光滑橫桿上，小球Q通過輕質(zhì)細(xì)繩與滑塊相連，將小球從圖示位置釋放，空氣阻力忽略不計(jì)，下列說法正確的是（　　）
A．滑塊和小球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒
B．滑塊和小球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒
C．滑塊和小球組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒
D．滑塊和小球組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，機(jī)械能不守恒
【答案】C
【解析】滑塊和小球組成的系統(tǒng)水平方向受合外力為零，則水平方向動(dòng)量守恒；由于只有重力做功，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。
4、如圖所示，兩木塊A、B用輕質(zhì)彈簧連在一起，置于光滑的水平面上、一顆子彈水平射入木塊A，并留在其中、在子彈打中木塊A及彈簧被壓縮的整個(gè)過程中，對(duì)子彈、兩木塊和彈簧組成的系統(tǒng)，下列說法中正確的是（　　）
A．動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒 B．動(dòng)量不守恒、機(jī)械能守恒
C．動(dòng)量守恒、機(jī)械能不守恒 D．動(dòng)量、機(jī)械能都不守恒
【答案】C
【解析】①設(shè)子彈質(zhì)量為m，A木塊的質(zhì)量為m1，子彈初速為v0，則子彈在打進(jìn)木塊A的過程中，有
前后動(dòng)能減小量為
根據(jù)實(shí)際情況，減小的這部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為了內(nèi)能，即機(jī)械能不守恒；②對(duì)子彈、兩木塊和彈簧組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)合外力至始至終都為零，滿足動(dòng)量守恒的條件，系統(tǒng)動(dòng)量守恒；綜上所述，則系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒，故ABD錯(cuò)誤，C正確。
5、如圖所示，A、B兩木塊緊靠在一起且靜止于光滑水平面上，木塊C以一定的初速度v0從A的左端開始向右滑行，最后停在B木塊的右端，對(duì)此過程，下列敘述不正確的是 （　　）
A．當(dāng)C在A上滑行時(shí)，A、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
B．當(dāng)C在B上滑行時(shí)，B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
C．無論C是在A上滑行還是在B上滑行，A、B、C三物塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量都守恒
D．當(dāng)C在B上滑行時(shí)，A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
【答案】．A
【解析】A．當(dāng)C在A上滑行時(shí)，對(duì)A、C組成的系統(tǒng)，B對(duì)A的作用力為外力，不等于0，故系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，故A錯(cuò)誤；
B．當(dāng)C在B上滑行時(shí)，A、B已分離，對(duì)B、C組成的系統(tǒng)，沿水平方向不受外力作用，故系統(tǒng)動(dòng)量守恒，故B正確；
CD．若將A、B、C三木塊視為一系統(tǒng)，則沿水平方向無外力作用，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，故CD正確。
6、如圖甲所示，一塊長(zhǎng)度為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的木塊靜止在光滑水平面上．一顆質(zhì)量也為m的子彈以水平速度v0射入木塊．當(dāng)子彈剛射穿木塊時(shí)，木塊向前移動(dòng)的距離為s(圖乙)．設(shè)子彈穿過木塊的過程中受到的阻力恒定不變，子彈可視為質(zhì)點(diǎn)．則子彈穿過木塊的時(shí)間為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】子彈穿過木塊過程，對(duì)子彈和木塊的系統(tǒng)，外力之和為零動(dòng)量守恒，有：，
設(shè)子彈穿過木塊的過程所受阻力為f，對(duì)子彈由動(dòng)能定理：，由動(dòng)量定理：，
對(duì)木塊由動(dòng)能定理：，由動(dòng)量定理：，
聯(lián)立解得：。
7、如圖，用長(zhǎng)為的輕繩懸掛一質(zhì)量為M的沙箱，沙箱靜止．一質(zhì)量為m的彈丸以速度水平射入沙箱并留在其中，隨后與沙箱共同擺動(dòng)一小角度．不計(jì)空氣阻力．對(duì)子彈射向沙箱到與其共同擺過一小角度的過程( )
A．若保持m、v、不變，M變大，則系統(tǒng)損失的機(jī)械能變小
B．若保持M、v、不變，m變大，則系統(tǒng)損失的機(jī)械能變小
C．若保持M、m、不變，v變大，則系統(tǒng)損失的機(jī)械能變大
D．若保持M、m、v不變，變大，則系統(tǒng)損失的機(jī)械能變大
【答案】C
【解析】分析易得只有子彈射入沙箱并停留在沙箱中這個(gè)過程中系統(tǒng)的機(jī)械能才會(huì)損失，由動(dòng)量守恒得，，則系統(tǒng)損失的機(jī)械能
對(duì)于A選項(xiàng)，由可知若保持m、v、不變，M越大則系統(tǒng)損失的機(jī)械能變大，故A錯(cuò)誤
對(duì)于B選項(xiàng)，由可知若保持M、v、不變，m變大則系統(tǒng)損失的機(jī)械能變大，故B錯(cuò)誤
對(duì)于C選項(xiàng)，由可知若保持M、m、不變，v變大則系統(tǒng)損失的機(jī)械能變大。
8、（多選）如圖所示，質(zhì)量為M1的小車和質(zhì)量為M2的滑塊均靜止在光滑水平面上，小車緊靠滑塊（不粘連），在小車上固定的輕桿頂端系細(xì)繩，繩的末端拴一質(zhì)量為m的小球，將小球向右拉至細(xì)繩水平且繃直后釋放，在小球從釋放至第一次達(dá)到左側(cè)最高點(diǎn)的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．小球與小車組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
B．小球、小車和滑塊組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒
C．小球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，小車和滑塊分離
D．小球一定能向左擺到釋放時(shí)的高度
【答案】BC
【解析】A．對(duì)小球、小車和滑塊組成的系統(tǒng)，只有重力做功，機(jī)械能守恒，因?yàn)樵谡麄€(gè)過程中滑塊獲得了動(dòng)能，則小球和小車組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；
B．對(duì)小球、小車和滑塊組成的系統(tǒng)，在水平方向上不受外力，則在水平方向上動(dòng)量守恒，故B正確；
C．小球向左擺到最低點(diǎn)的過程中，速度增大，水平方向上的動(dòng)量增大，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，小車和滑塊向右的動(dòng)量增大，可知向右的速度增大，小球從最低點(diǎn)向左擺時(shí)，速度減小，水平方向上的動(dòng)量減小，則小車向右的動(dòng)量減小，速度減小，與滑塊發(fā)生分離，故C正確；
D．小球、小車和滑塊組成的系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，最終滑塊的速度不為零，則當(dāng)小球向左擺到最高點(diǎn)時(shí)，水平速度不為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律知，小球不能擺到釋放時(shí)的高度，故D錯(cuò)誤。
9、一輛總質(zhì)量M（含沙包）的車在水平光滑路面上以速度v勻速行駛．車上的人每次以相同的速度4v（對(duì)地速度）向行駛的正前方拋出一個(gè)質(zhì)量為m的沙包．拋出第一個(gè)沙包后，車速減為原來的。求：
（1）車的總質(zhì)量M與沙包的質(zhì)量m大小關(guān)系；
（2）拋出第四個(gè)沙包后車的速度大小。
【答案】（1）M=13m；（2）
【解析】規(guī)定車的初速度方向?yàn)檎较?br/>（1）對(duì)拋出第一個(gè)沙包前后列方程有

得

（2）拋出第四個(gè)沙包后車速為，由全過程動(dòng)量守恒得

將代入 得
負(fù)號(hào)表示后退．
10、一人站在靜止于冰面的小車上，人與車的總質(zhì)量M=70 kg，當(dāng)它接到一個(gè)質(zhì)量m=20 kg、以速度v0=5 m/s 迎面滑來的木箱后，立即以相對(duì)于自己v′=5 m/s的速度逆著木箱原來滑行的方向推出，不計(jì)冰面阻力。則小車獲得的速度是多大？方向如何？
【答案】2.2 m/s，方向與木箱的初速度v0相同
【解析】設(shè)推出木箱后小車的速度為v，此時(shí)木箱相對(duì)地面的速度為（v′-v），由動(dòng)量守恒定律得
代入數(shù)據(jù)，即可得
與木箱的初速度v0方向相同。
11、如圖甲所示，質(zhì)量的長(zhǎng)木板靜止在光滑的水平面上，距長(zhǎng)木板右端s處有一與長(zhǎng)木板上表面等高的固定擋板，質(zhì)量的小物塊靜置在長(zhǎng)木板的左端，質(zhì)量的玻璃球以某一速度在極短時(shí)間內(nèi)從左端水平射向小物塊，與小物塊發(fā)生彈性碰撞（碰撞時(shí)間極短）。從小物塊開始運(yùn)動(dòng)計(jì)時(shí)的最初一段時(shí)間內(nèi)，速度平方與位移的關(guān)系如圖乙所示，經(jīng)過一段時(shí)間，長(zhǎng)木板與擋板碰撞后粘在一起不再反彈，重力加速度，則：
（1）玻璃球開始射向小物塊時(shí)的速度多大？
（2）若，為保證小物塊不離開長(zhǎng)木板，長(zhǎng)木板至少多長(zhǎng)？
【答案】（1）33m/s；（2）2.4m
【解析】（1）設(shè)碰撞后玻璃球的速度為，小物塊的速度為，由于玻璃球與小物塊是彈性碰撞，動(dòng)量和機(jī)械能都守恒，則有
由小物塊碰撞后的速度平方與位移的關(guān)系圖象可得
可知，小物塊的碰后的速度為，代入數(shù)據(jù)，解得玻璃球開始射向小物塊時(shí)的速度為
（2）由小物塊碰撞后的速度平方與位移的關(guān)系圖象可得
代入數(shù)據(jù)，可得小物塊在長(zhǎng)木板上的加速度為
則可知，長(zhǎng)木板的加速度為
小物塊在長(zhǎng)木板上運(yùn)動(dòng)的過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，當(dāng)小物塊與長(zhǎng)木板達(dá)到共速時(shí)，則有
代入數(shù)據(jù)，解得
達(dá)到共速的過程中，長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的距離為
解得
小物塊運(yùn)動(dòng)的距離為
解得
為保證小物塊不離開長(zhǎng)木板，長(zhǎng)木板的長(zhǎng)至少為
12、質(zhì)量為M=20kg的長(zhǎng)木板靜止在光滑水平面上，輕質(zhì)彈簧處于原長(zhǎng)且與長(zhǎng)木板不栓接。質(zhì)量為m=9.95kg的木塊靜止在長(zhǎng)木板M上表面，M上表面水平，二者間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，如圖所示，一顆質(zhì)量為m0=0.05kg的子彈以v0=1000m/s的水平速度瞬間射入木塊且未穿出。當(dāng)彈簧被壓縮x0=1m時(shí)木塊和長(zhǎng)木板剛好共速，此后一直相對(duì)靜止，木塊從開始運(yùn)動(dòng)到與長(zhǎng)木板共速所用時(shí)間為t0=0.8s，g取10m/s2，求∶
（1）木塊和長(zhǎng)木板剛好共速時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能；
（2）木塊和長(zhǎng)木板能獲得的最大速度（可帶根號(hào)）。
【答案】（1）10m/s；（2）26m
【解析】（1）質(zhì)量kg的彈片自由落下落時(shí)，由機(jī)械能守恒定律得
解得手榴彈上升的最大高度
m
手榴彈從地面拋出到爆炸前瞬間，由機(jī)械能守恒定律得
解得手榴彈爆炸前瞬間的速度大小
m/s
（2）質(zhì)量為kg的一塊彈片在爆炸后做自由落體運(yùn)動(dòng)，該彈片在爆炸后瞬間的速率為零，另一塊彈片的質(zhì)量為
kg
設(shè)其爆炸后瞬間的速率為，由動(dòng)量守恒定律得
解得
m/s
所以手榴彈爆炸后瞬間兩塊彈片的速率之和為26m/s，質(zhì)量為的彈片做平拋運(yùn)動(dòng)，兩塊彈片落地點(diǎn)間的距離為
m
三、培優(yōu)練習(xí)
1、如圖甲所示，一個(gè)輕彈簧的兩端與質(zhì)量分別為和的兩物塊A、B相連接并靜止在光滑的水平地面上，現(xiàn)使A以3m/s的速度向B運(yùn)動(dòng)壓縮彈簧，速度-時(shí)間圖象如圖乙，則有（　　）
A．在、時(shí)刻兩物塊達(dá)到共同速度1m/s，且彈簧都處于壓縮狀態(tài)
B．從到時(shí)刻彈簧由壓縮狀態(tài)恢復(fù)原長(zhǎng)
C．兩物塊的質(zhì)量之比為
D．在時(shí)刻A與B的動(dòng)能之比
【答案】D
【解析】A．由圖可知t1時(shí)刻之后一小段時(shí)間，A速度減小，B速度增大，則t1時(shí)刻彈簧處于壓縮狀態(tài)，t3時(shí)刻之后一小段時(shí)間，A速度增大，B速度減小，則t3時(shí)刻處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，故A錯(cuò)誤；
B．在t3時(shí)刻處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，二物塊速度相等，彈簧最長(zhǎng)，時(shí)刻兩物塊速度恢復(fù)到初始狀態(tài)即彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)，因此從t3到t4過程中彈簧由伸長(zhǎng)狀態(tài)恢復(fù)原長(zhǎng)，故B錯(cuò)誤；
C．根據(jù)動(dòng)量守恒定律，t=0時(shí)刻和t=t1時(shí)刻系統(tǒng)總動(dòng)量相等，有
其中
解得
故C錯(cuò)誤；
D．在t2時(shí)刻A的速度為
B的速度為
根據(jù)
求出
。
2、（多選）如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為3m的長(zhǎng)木板B放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的鐵塊A放在長(zhǎng)木板右端。一質(zhì)量為m的子彈以速度v0射入木板并留在其中，鐵塊恰好不滑離木板。子彈射入木板中的時(shí)間極短，子彈、鐵塊均視為質(zhì)點(diǎn)，鐵塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)恒定，重力加速度為g。下列說法正確的是（ ）
A．木板獲得的最大速度為
B．鐵塊獲得的最大速度為
C．鐵塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為
D．子彈、木塊、鐵塊組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為
【答案】BCD
【解析】A．對(duì)子彈和木板B系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律
mv0 = 4mv1
解得
v1 =
B．對(duì)木板B和鐵塊A（包括子彈）系統(tǒng)
mv0 = 5mv2
解得
v2 =
C．子彈打入木板后，對(duì)木板B和鐵塊A（包括子彈）系統(tǒng)，由能量守恒定律
μmgL = 4mv125mv22
解得
μ =
D．全過程，由能量守恒定律可知，子彈、木板、鐵塊組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為
E = mv025mv22。
3、（多選）質(zhì)量為M、內(nèi)壁間距為L(zhǎng)的箱子靜止于光滑的水平面上，箱子中間有一質(zhì)量為m的小物塊，小物塊與箱子底板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．初始時(shí)小物塊停在箱子正中間，如圖所示．現(xiàn)給小物塊一水平向右的初速度v，小物塊與箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中間，井與箱子保持相對(duì)靜止．設(shè)碰撞都是彈性的，則整個(gè)過程中，系統(tǒng)損失的動(dòng)能為( )
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】設(shè)物塊與箱子相對(duì)靜止時(shí)共同速度為V，則由動(dòng)量守恒定律得，得，系統(tǒng)損失的動(dòng)能為，B正確，AC錯(cuò)誤．根據(jù)能量守恒定律得知，系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能等于系統(tǒng)損失的動(dòng)能，根據(jù)功能關(guān)系得知，系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能等于系統(tǒng)克服摩擦力做的功，則有．
4、如圖所示，水平光滑地面上停放著一輛質(zhì)量為M的小車，其左側(cè)有半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道AB，軌道最低點(diǎn)B與水平軌道BC相切，整個(gè)軌道處于同一豎直平面內(nèi)。將質(zhì)量為m的物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)無初速釋放，物塊沿軌道滑行至軌道末端C處恰好沒有滑出（小車的BC部分粗糙）。設(shè)重力加速度為g，空氣阻力可忽略不計(jì)。關(guān)于物塊從A位置運(yùn)動(dòng)至C位置的過程中，下列說法正確的是（　　）
A．物塊與小車組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒
B．物塊與小車組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒
C．物塊運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度為
D．僅僅改變小車的質(zhì)量，不改變其他參數(shù)，物塊也恰好運(yùn)動(dòng)到軌道末端C處不滑出
【答案】D
【解析】A.由于物塊與小車組成的系統(tǒng)中摩擦力做功產(chǎn)生內(nèi)能，所以系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤；
B.物塊與小車組成的系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒，故B錯(cuò)誤；
C.當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)是物塊速度最大
且水平方向上動(dòng)量守恒
解得：
故C錯(cuò)誤；
D.根據(jù)動(dòng)量守恒可知最后兩者速度都為零，由能量守恒可知
所以僅僅改變小車的質(zhì)量，不改變其他參數(shù)，物塊也恰好運(yùn)動(dòng)到軌道末端C處不滑出。
5、（多選）A、B兩物體在光滑水平面上沿同一直線運(yùn)動(dòng)，發(fā)生碰撞前后的v-t圖線如圖所示，由圖線可以判斷（ ）
A．A、B的動(dòng)量變化量一定相同
B．A、B的質(zhì)量之比為5：3
C．A的動(dòng)能增加量一定等于B的動(dòng)能減少量
D．A對(duì)B做多少負(fù)功，B對(duì)A就做多少正功
【答案】CD
【解析】A．兩物體碰撞過程動(dòng)量變化量大小相等，方向相反，A錯(cuò)誤；
B．由圖可知，在碰撞前
碰撞后
取碰撞前A的速度方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律的
解得
B錯(cuò)誤；
C．設(shè)A的質(zhì)量為3m，B的質(zhì)量為5m，碰撞過程中A的動(dòng)能增加量為
碰撞過程中B的動(dòng)能減少量為
C正確；
D．在碰撞過程中，A、B間的作用力為作用力與反作用力，大小相等、方向相反、位移大小相等，所以A對(duì)B做多少負(fù)功，B對(duì)A就做多少正功，D正確。
6、如圖所示，質(zhì)量為2m的圓弧曲面B靜置在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的小球A以v0沖向曲面，恰好運(yùn)動(dòng)到圓弧曲面的最高點(diǎn)不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g，小球可視為質(zhì)點(diǎn)。則圓弧曲面的半徑為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】恰好運(yùn)動(dòng)到圓弧曲面的最高點(diǎn)時(shí)小球和曲面共速，由動(dòng)量守恒及能量守恒可得
解得
7、（多選）如圖所示，有A、B、C三個(gè)物體質(zhì)量均為m，B和C（不粘連）靜止于光滑水平面上，讓一小球A自光滑圓弧槽B左側(cè)槽口正上方高處，從靜止開始下落，與圓弧槽B左側(cè)槽口相切進(jìn)入槽內(nèi)，已知圓弧槽的圓心與兩端槽口等高、半徑為R，在之后的運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法正確的是（　　）
A．物塊C獲得的最大速度為
B．小球A越過圓弧槽最低點(diǎn)之后的運(yùn)動(dòng)過程中，小球A滿足機(jī)械能守恒
C．小球A經(jīng)過圓弧最低點(diǎn)以后能上升到距圓弧底的最大高度為
D．在此后的運(yùn)動(dòng)過程中，圓弧槽的最大速度為
【答案】ACD
【解析】A．小球A經(jīng)過圓弧最低點(diǎn)時(shí)，物塊C獲得最大速度，以水平向右為正方向，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒有
根據(jù)能量守恒有
解得物塊C獲得的最大速度
故A正確；
B．小球A越過圓弧槽最低點(diǎn)之后的運(yùn)動(dòng)過程中，小球A與圓弧槽B組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒，該運(yùn)動(dòng)過程，圓弧槽B減速，機(jī)械能減小，則小球A機(jī)械能增大，故B錯(cuò)誤；
C．小球A經(jīng)過圓弧最低點(diǎn)以后，對(duì)小球A與圓弧槽B組成的系統(tǒng)，根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒有
根據(jù)機(jī)械能守恒有
解得小球A經(jīng)過圓弧最低點(diǎn)以后能上升到距圓弧底的最大高度為
故C正確；
D．從小球第一次通過最低點(diǎn)到第二次通過最低點(diǎn)，相當(dāng)于小球與圓弧槽發(fā)生了一次完全彈性碰撞，因兩物體質(zhì)量相等，則速度互換，則此時(shí)圓弧槽有最大速度，圓弧槽的最大速度為
8、（多選）一長(zhǎng)木板放在光滑的水平面上，在長(zhǎng)木板的最左端放一可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊，另一質(zhì)量與滑塊質(zhì)量相等的小球用長(zhǎng)為的輕繩拴接在天花板上，如圖所示．現(xiàn)將小球拉至輕繩與豎直方向成的位置無初速度釋放，小球擺至最低點(diǎn)時(shí)剛好和滑塊發(fā)生無能量損失的碰撞，經(jīng)一段時(shí)間滑塊從長(zhǎng)木板的最右端離開，滑塊離開長(zhǎng)木板時(shí)的速度為長(zhǎng)木板速度的2倍，已知長(zhǎng)木板的上表面與水平面之間的距離為，滑塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，長(zhǎng)木板的質(zhì)量為滑塊的4倍，重力加速度為。則下列說法正確的是（　　）
A．滑塊離開長(zhǎng)木板時(shí)長(zhǎng)木板的速度大小為
B．滑塊離開長(zhǎng)木板時(shí)滑塊的速度大小為
C．長(zhǎng)木板的總長(zhǎng)度為
D．滑塊落在水平面上的位置距離長(zhǎng)木板右端的水平距離為
【答案】CD
【解析】AB．設(shè)小球與滑塊碰前的速度大小為，長(zhǎng)木板的質(zhì)量為M，滑塊的質(zhì)量為m，小球下擺過程機(jī)械能守恒，則有
解得
小球與滑塊發(fā)生無能量損失的碰撞，又二者質(zhì)量相等，則二者交換速度，滑塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)的過程中，滑塊與長(zhǎng)木板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)滑塊離開長(zhǎng)木板時(shí)滑塊、長(zhǎng)木板的速度大小分別為、，則有
其中有
又
解得
AB錯(cuò)誤；
C．對(duì)系統(tǒng)由能量守恒有
代入數(shù)據(jù)，解得長(zhǎng)木板的總長(zhǎng)度為
C正確。
D．滑塊離開長(zhǎng)木板后做平拋運(yùn)動(dòng)，由
解得
則滑塊落在水平面上的位置距離長(zhǎng)木板右端的水平距離為
。
9、如圖所示，在光滑水平面上有一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的木板B，上表面粗糙，在其左端有一個(gè)光滑的圓弧槽C與長(zhǎng)木板接觸但不連接，圓弧槽的下端與木板的上表面相平，B、C靜止在水平面上，現(xiàn)有滑塊A以初速度v0從右端滑上B并以滑離B，恰好能到達(dá)C的最高點(diǎn)，A、B、C的質(zhì)量均為m，試求：
（1）滑塊與木板B上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；
（2）圓弧槽C的半徑R。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由于水平面光滑，A與B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒和能量守恒，有
mv0=m（v0）＋2mv1①
μmgL=mv02－m（v0）2－×2mv12②
聯(lián)立①②解得
μ=.
（2）當(dāng)A滑上C，B與C分離，A、C間發(fā)生相互作用，A到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)兩者的速度相等，A、C組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和系統(tǒng)機(jī)械能守恒
m（v0）＋mv1=（m＋m）v2③
m（v0）2＋mv12=（2m）v22＋mgR④
聯(lián)立①③④解得
R=
10、如圖所示，質(zhì)量為mc=4kg、長(zhǎng)度為l=8m且兩端帶有彈性擋板的長(zhǎng)木板C靜止在水平地面上，D、E為長(zhǎng)木板左右端點(diǎn)，P為中點(diǎn)，質(zhì)量為mB=3.8kg的物塊B靜止在P點(diǎn)，一質(zhì)量為mA=0.2kg的子彈A以v0=160m/s的速度水平飛來與B發(fā)生正碰并留在其中，重力加速度大小為g=10m/s2，求：
（1）當(dāng)A、B與長(zhǎng)木板C之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.5時(shí)，B與C均向左運(yùn)動(dòng)，若B剛好與擋板沒有發(fā)生碰撞，則C與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2為多少
（2）如果地面光滑，A、B與長(zhǎng)木板C之間的動(dòng)摩擦因數(shù)，且A、B整體與擋板發(fā)生彈性碰撞時(shí)剛好速度交換，則：
I．B最終停在長(zhǎng)木板上何處
Ⅱ．從B開始運(yùn)動(dòng)到與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止，B物塊運(yùn)動(dòng)的總路程為多少
【答案】（1）2m/s，水平向右；（2）0.60或0.36；（3）0.17m
【解析】
(1)設(shè)M、m共同速度為v，定水平向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mvB-MvA=（M+m）v…①
…②
(2) 本題有兩種可能
①如果小滑塊尚未越過Q點(diǎn)就與平板車達(dá)到相對(duì)靜止，對(duì)A、B組成的系統(tǒng)，由能量守恒有：
…③
代入數(shù)據(jù)得：μ=0.6
②如果小滑塊越過Q點(diǎn)與彈簧相互作用后，再返回與平板車達(dá)到相對(duì)靜止，有：
解得：μ′=0.36
(3) 木板A與障礙物發(fā)生碰撞后以原速率反彈，假設(shè)B向右滑行并與彈簧發(fā)生相互作用，
當(dāng)A、B再次處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，兩者的共同速度為u，在此過程中，A、B和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒、能量守恒．由能量守恒定律得：
mv-Mv=（M+m）u…④
代入數(shù)據(jù)可得：u=0
設(shè)B相對(duì)A的路程為S，由能量守恒得：
…⑤
代入數(shù)據(jù)得：
由于
所以B滑過Q點(diǎn)并與彈簧相互作用，然后相對(duì)A向左滑動(dòng)到Q點(diǎn)左邊，
設(shè)離Q點(diǎn)距離為s1有：
11、如圖所示，一對(duì)雜技演員蕩秋千（均視為質(zhì)點(diǎn)），女演員由與懸點(diǎn)O1等高的A位置靜止擺下，男演員從平臺(tái)上D點(diǎn)靜止擺下，某時(shí)刻女演員擺到最低點(diǎn)B時(shí)離開秋千，到達(dá)C點(diǎn)（男演員下擺的最低點(diǎn)）剛好被男演員接住，最后二者恰好擺回到平臺(tái)D點(diǎn)．已知男、女演員均在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量分別為2m和m，其余質(zhì)量忽略不計(jì)，秋千的繩長(zhǎng)分別為l和2l，O1與O2等高，空氣阻力不計(jì)，重力加速度為g．求：
（l）女演員擺到最低點(diǎn)B的速度；
（2）秋千繩O2D與豎直方向的夾角；
（3）若男演員接住女演員用時(shí)t，此過程女演員對(duì)男演員的平均作用力．
【答案】（1）（3）mg+，方向豎直向下
【解析】（1）對(duì)于女演員，從A運(yùn)動(dòng)到B，設(shè)其速度大小為v，由機(jī)械能守恒定律得：
代入數(shù)據(jù)得：；
（2）設(shè)秋千繩O2D和豎直方向的夾角為θ，男演員從平臺(tái)上D點(diǎn)靜止擺下至C點(diǎn)時(shí)，速度大小為vc，
由機(jī)械能守恒定律有：
當(dāng)女演員到達(dá)C點(diǎn)時(shí)剛好被男演員接住，最后二者恰好擺回到平臺(tái)D點(diǎn)，
可見男女演員的共同速度大小也應(yīng)該為vc．
男演員接住女演員的過程水平方向動(dòng)量守恒，以水平向右為正方向，有：
代入數(shù)據(jù)得：
若男演員接住女演員時(shí)兩者速度方向相反，有：
代入數(shù)值得：（不符合實(shí)際，舍去）
（3）女演員從從B點(diǎn)離開秋千做平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)的豎直速度大小為vy
設(shè)男演員對(duì)女演員的平均作用力大小為F，取豎直向上方向?yàn)檎较颍瑢?duì)女演員，由動(dòng)量定理：
解得：
根據(jù)牛頓第三定律，女演員對(duì)男演員的平均作用力大小為，方向豎直向下．
12、如圖所示，左端為四分之一光滑圓弧的長(zhǎng)木板靜止放置在光滑的水平面上，圓弧與長(zhǎng)木板水平部分相切于B點(diǎn)，圓弧的半徑為R，長(zhǎng)木板的質(zhì)量為m。在長(zhǎng)木板右端固定輕彈簧，輕彈簧的自由端位于長(zhǎng)木板D點(diǎn)的上方。其中，且BC段光滑，CD段均勻粗糙。質(zhì)量為m的小物塊Q靜止在B點(diǎn)，質(zhì)量為m的小物塊P由A點(diǎn)上方R處?kù)o止下落，沿切線下落進(jìn)入圓弧。小物塊P與Q碰后粘在一起，當(dāng)兩者第二次到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩者相對(duì)長(zhǎng)木板靜止。重力加速度為g。求
（1）小物塊P與Q即將發(fā)生碰撞時(shí)，長(zhǎng)木板的位移為多大？
（2）小物塊P與Q碰撞前后損失的機(jī)械能為多大？
（3）輕彈簧的彈性勢(shì)能的最大值為多大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】(1)小物塊P進(jìn)入圓弧軌道時(shí)，長(zhǎng)木板將向左運(yùn)動(dòng)，此時(shí)小物塊Q將處于靜止?fàn)顟B(tài)。因而小物塊P、Q即將發(fā)生碰撞時(shí)，小物塊P的位移為
小物塊P和長(zhǎng)木板組成的系統(tǒng)，在小物塊P和Q發(fā)生碰前，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，根據(jù)人船模型可知
解得長(zhǎng)木板的位移為
(2)小物塊P由靜止運(yùn)動(dòng)到與Q即將碰撞的過程，根據(jù)能量守恒定律有
小物塊P和Q發(fā)生即將發(fā)生碰撞時(shí)，取向右為正方向，
對(duì)長(zhǎng)木板和小物塊P，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
小物塊P和Q發(fā)生碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
碰撞過程損失的機(jī)械能為
解得
(3)當(dāng)輕彈簧被壓縮到最短時(shí)，物塊P、Q整體與長(zhǎng)木板速度相同，由系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒可知此時(shí)物塊P、Q及長(zhǎng)木板的速度均為零，根據(jù)能量守恒定律可知
當(dāng)物塊P、Q被反彈至C點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒可知此時(shí)物塊P、Q及長(zhǎng)木板的速度均為零，根據(jù)能量守恒定律可知
聯(lián)立解得輕彈簧的彈性勢(shì)能的最大值
13、題圖是某“極限挑戰(zhàn)”項(xiàng)目的示意圖，挑戰(zhàn)者抱著裝備從滑道上O點(diǎn)由靜止滑下，經(jīng)過滑道上P點(diǎn)時(shí)做斜拋運(yùn)動(dòng)沖出，到達(dá)最高點(diǎn)D時(shí)，將手中裝備在極短時(shí)間內(nèi)沿水平方向拋出，之后挑戰(zhàn)者落到下方的緩沖保護(hù)區(qū)，并要求裝備落到寬度為4h的平臺(tái)AB上，已知D點(diǎn)到平臺(tái)AB左端A點(diǎn)的水平距離為h，距離平臺(tái)AB的高度也為h；O點(diǎn)距離平臺(tái)AB的高度；挑戰(zhàn)者的質(zhì)量為m，裝備的質(zhì)量為km。挑戰(zhàn)者抱著裝備在滑道上運(yùn)動(dòng)過程中克服滑道阻力做功為。挑戰(zhàn)者及裝備均可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）到達(dá)最高點(diǎn)D時(shí)的速度大小v；
（2）若挑戰(zhàn)者拋出裝備后恰好豎直落下，且裝備剛好落到平臺(tái)AB右端B點(diǎn)，求k應(yīng)滿足的條件；
（3）若k=0.2，要求裝備落到平臺(tái)AB上，且挑戰(zhàn)者落入緩沖區(qū)，試確定裝備被拋出時(shí)的速度大小應(yīng)滿足的條件。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由動(dòng)能定理有
即
解得
（2）拋出裝備的過程中，水平方向上系統(tǒng)動(dòng)量守恒，即
挑戰(zhàn)者豎直落下，則
v1=0
裝備落到B點(diǎn)，則
解得
（3）要使裝備到達(dá)A點(diǎn)及其右側(cè)，裝備拋出時(shí)的速度大小v2至少為
當(dāng)時(shí)，由水平方向上系統(tǒng)動(dòng)量守恒有
解得
而要使挑戰(zhàn)者落入緩沖區(qū)，其速度需滿足
綜上，要滿足要求
解得
由（2）可知裝備不超出B點(diǎn)時(shí)
當(dāng)時(shí)
可以落入緩沖區(qū)。所以要達(dá)到題目要求，裝備被拋出時(shí)的速度大小需滿足
14、某電視臺(tái)一檔闖關(guān)節(jié)目中，沙袋通過輕質(zhì)細(xì)繩懸掛于A點(diǎn)正上方的O點(diǎn)，闖關(guān)者水平向左速度為，在A點(diǎn)抱住沙袋一起向左擺動(dòng)，細(xì)繩擺到與豎直方向成角度時(shí)松手，闖關(guān)者恰好落到另一側(cè)平臺(tái)的B點(diǎn)，A、B在同一水平面上，如圖所示，沙袋到懸點(diǎn)O的距離為，闖關(guān)者的質(zhì)量為，沙袋質(zhì)量為，當(dāng)?shù)刂亓铀俣龋炒完J關(guān)者視為質(zhì)點(diǎn)。求：
(1)闖關(guān)者剛抱住沙袋時(shí)的共同速度大小；
(2)闖關(guān)者抱住沙袋向左擺動(dòng)過程中，細(xì)繩的最大拉力大小；
(3)兩點(diǎn)間的距離。
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】(1)設(shè)闖關(guān)者剛抱住沙袋的共同速度為v1，闖關(guān)者抱住沙袋過程系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，以水平向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律可得
代入數(shù)據(jù)解得
(2)在A點(diǎn)剛抱住沙袋時(shí)，繩子拉力最大，設(shè)最大拉力為F細(xì)繩的拉力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得
代入數(shù)據(jù)解得
(3)細(xì)繩與豎直方向偏角為θ時(shí)，闖關(guān)者與沙袋的速度大小為v2，闖關(guān)者與沙袋擺動(dòng)過程只有重力做功，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得
闖關(guān)者松手后做斜拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t落到另一側(cè)平臺(tái)的B點(diǎn)，設(shè)松手后闖關(guān)者的水平位移為x，AB間距離為s，以向上為正方向，豎直方向
水平方向
AB之間距離為
代入數(shù)據(jù)解得
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