資源簡介

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1.4 實驗：驗證動量守恒定律
一、考點梳理
考點一、利用氣墊導軌結合光電門的實驗探究
(1)質量的測量：用天平測量．
(2)速度的測量：v＝，式中的Δx為滑塊上擋光板的寬度，Δt為數字計時顯示器顯示的滑塊上的擋光板經過光電門的時間．
(3)碰撞情景的實現：如圖所示，利用彈簧片、細繩、彈性碰撞架、膠布、撞針、橡皮泥設計各種類型的碰撞，利用在滑塊上加重物的方法改變碰撞物體的質量．
(4)器材：氣墊導軌、光電計時器、滑塊(帶擋光板)兩個、彈簧片、細繩、彈性碰撞架、膠布、撞針、橡皮泥、天平．
(5)注意事項：
①本實驗碰撞前、后速度大小的測量采用極限法，v＝＝，其中d為遮光條的寬度．
②實驗誤差存在的主要原因是摩擦力的存在．利用氣墊導軌進行實驗，調節時注意利用水平儀，確保導軌水平．
【典例1】氣墊導軌是常用的一種實驗儀器，它是利用氣泵使帶孔的導軌與滑塊之間形成氣墊，使滑塊懸浮在導軌上，滑塊在導軌上的運動可視為沒有摩擦，我們可以用帶豎直擋板C和D的氣墊導軌和滑塊A和B驗證動量守恒定律，實驗裝置如圖所示，采用的實驗步驟如下：
a．松開手的同時，記錄滑塊A、B運動時間的計時器開始工作，當A、B滑塊分別碰到C、D擋板時計時器結束計時，分別記下A、B到達C、D的運動時間t1和t2。
b．在A、B間水平放入一個輕彈簧，用手壓住A、B使彈簧壓縮，放置在氣墊導軌上，并讓它靜止在某個位置。
c．給導軌送氣，調整氣墊導軌，使導軌處于水平。
d．用刻度尺測出A的左端至C板的距離l1，B的右端至D板的距離l2。
(1)實驗步驟的正確順序是____________。
(2)實驗中還需要的測量儀器是____________，還需要測量的物理量是____________。
(3)利用上述測量的實驗數據，驗證動量守恒定律的表達式是____________。
【答案】(1)cbda　(2)天平　A、B兩滑塊的質量m1、m2(3)m1＝m2
【解析】(2)還需用天平測滑塊的質量。
(3)兩滑塊脫離彈簧的速度為v1＝，v2＝，
由動量守恒得m1v1＝m2v2，即m1＝m2。
【典例2】如圖甲所示為驗證動量守恒的實驗裝置，氣墊導軌置于水平桌面上，G1和G2為兩個光電門，A、B均為彈性滑塊，質量分別為mA、mB，且選擇mA大于mB，兩遮光片沿運動方向的寬度均為d，實驗過程如下：
①調節氣墊導軌成水平狀態；
②輕推滑塊A，測得A通過光電門G1的遮光時間為t1；
③A與B相碰后，B和A先后經過光電門G2的遮光時間分別為t2和t3。
回答下列問題：
(1)用螺旋測微器測得遮光片寬度如圖乙所示，讀數為____________ mm；
(2)實驗中選擇mA大于mB的目的是：____________；
(3)碰前A的速度為________________。
(4)利用所測物理量的符號表示動量守恒成立的式子為：________________。
【答案】1.195（1.193~1.197均可） 保證碰撞后滑塊A不反彈
【解析】(1)[1]螺旋測微器的精確度為0.01 mm，轉動刻度的格數估讀一位，則遮光片寬度為
d=1mm＋19.5×0.01mm=1.195mm
(2) [2]A和B發生彈性碰撞，若用質量大的A碰質量小的B，則不會發生反彈。
(3) [3]滑塊經過光電門時擋住光的時間極短，則平均速度可近似替代滑塊的瞬時速度，則碰前A的速度
(4) [4]碰后A的速度碰后B的速度由系統動量守恒有mAvA＝mAvA′＋mBvB′
化簡可得表達式
練習1、氣墊導軌工作時，可忽略滑塊與導軌表面間的阻力影響，現借助其驗證動量守恒定律，如左圖所示，在水平氣墊導軌上放置質量均為m的A、B(圖中未標出)兩滑塊，左側滑塊的左端、右側滑塊的右端分別與一條穿過打點計時器的紙帶相連，打點計時器電源的頻率為f.氣墊導軌正常工作后，接通兩個打點計時器的電源，待打點穩定后讓兩滑塊以大小不同的速度相向運動，兩滑塊相碰后粘在一起繼續運動．如右圖所示的甲和乙為某次實驗打出的、分別與兩個滑塊相連的兩條紙帶，在紙帶上以同間距的6個連續打點為一段劃分紙帶，用刻度尺分別測出其長度為s1、s2和s3.
(1)若碰前滑塊A的速度大于滑塊B的速度，則滑塊________(選填“A”或“B”)是與紙帶甲的________(選填“左”或“右”)端相連．
(2)碰撞前A、B兩滑塊的動量大小分別為________、____________，實驗需要驗證是否成立的表達式為__________(用題目所給的已知量表示)．
【答案】(1)A　左(2)0.2mfs1　0.2mfs3　0.2mf(s1－s3)＝0.4mfs2
【解析】(1)因碰前A的速度大于B的速度，A、B的速度相反，且碰后速度相同，故根據動量守恒定律可知，甲中s1和s3是兩滑塊相碰前打出的紙帶，s2是相碰后打出的紙帶，所以滑塊A應與甲紙帶的左側相連．
(2)碰撞前兩滑塊的速度分別為：
v1＝＝＝0.2s1f
v2＝＝0.2s3f
碰撞后兩滑塊的共同速度：
v＝＝0.2s2f
所以碰前兩滑塊動量分別為：
p1＝mv1＝0.2mfs1，p2＝mv2＝0.2mfs3，
總動量為：p＝p1－p2＝0.2mf(s1－s3)；
碰后總動量為：p′＝2mv＝0.4mfs2.
要驗證動量守恒定律，則一定有：
0．2mf(s1－s3)＝0.4mfs2.
考點二、利用擺球結合機械能守恒定律的實驗探究
(1)所需測量量：懸點至球心的距離l，擺球被拉起(碰后)的角度θ，擺球質量m(兩擺球質量可相等，也可不相等)．
(2)速度的計算：v＝.
(3)碰撞情景的實現：如圖所示，用貼膠布的方法增大兩球碰撞時的能量損失．
(4)器材：帶細線的擺球(兩套)、鐵架臺、量角器、坐標紙、膠布、天平．
(5)注意事項：
①碰撞前后擺球速度的大小可從擺線的擺角反映出來，所以方便準確地測出碰撞前后擺線的擺角大小是實驗的關鍵．
②根據機械能守恒定律計算碰撞前后擺球的速度與擺的角度的關系．
【典例1】如圖所示是用來驗證動量守恒定律的實驗裝置，彈性球1用細線懸掛于O點，O點下方桌子的邊緣有一豎直立柱．實驗時，調節懸點，使彈性球1靜止時恰與立柱上的球2右端接觸且兩球等高．將球1拉到A點，并使之靜止，同時把球2放在立柱上．釋放球1，當它擺到懸點正下方時與球2發生對心碰撞，碰后球1向左最遠可擺到B點，球2落到水平地面上的C點．測出有關數據即可驗證1、2兩球碰撞時動量守恒．現已測出A點離水平桌面的距離為a、B點離水平桌面的距離為b、C點與桌子邊沿間的水平距離為c，彈性球1、2的質量m1、m2.
(1)還需要測量的量是______________________和________________________．
(2)根據測量的數據，該實驗中動量守恒的表達式為__________________________．(忽略小球的大小)
【答案】(1)立柱高h　桌面離水平地面的高度H　(2)2m1＝2m1＋m2
【解析】(1)要驗證動量守恒必須知道兩球碰撞前后的動量變化，根據彈性球1碰撞前后的高度a和b，由機械能守恒可以求出碰撞前后的速度，故只要測量彈性球1的質量m1，就能求出彈性球1的動量變化；根據平拋運動的規律只要測出立柱高h和桌面離水平地面的高度H就可以求出彈性球2碰撞前后的速度變化，故只要測量彈性球2的質量m2、立柱高h、桌面離水平地面的高度H就能求出彈性球2的動量變化．
(2)根據(1)的解析可以寫出驗證動量守恒的方程為：
2m1＝2m1＋m2.
練習1、利用如圖所示的裝置做“探究碰撞中的不變量”的實驗，質量為mA的鋼球A用細線懸掛于O點，質量為mB的鋼球B放在離地面高度為H的小支柱N上．O點到A球球心的距離為L.使懸線在A球釋放前伸直，且線與豎直方向的夾角為α，A球釋放后擺動到最低點時恰與B球正碰，碰撞后，A球把輕質指示針OC推移到與豎直方向夾角為β處，B球落到地面上，地面上鋪一張蓋有復寫紙的白紙D.保持α角度不變，多次重復上述實驗，白紙上記錄到多個B球的落點，重力加速度為g.
(1)圖中x應是B球初始位置到________的水平距離．
(2)為了探究碰撞中的守恒量，應測得的物理量有________________．
(3)用測得的物理量表示(vA為A球與B球剛要相碰前A球的速度，vA′為A球與B球剛相碰后A球的速度，vB′為A球與B球剛相碰后B球的速度)：
mAvA＝________________；
mAvA′＝________________；
mBvB′＝________________.
【答案】(1)B球平均落點 (2)mA、mB、α、β、L、H、x (3)mA mA mBx
【解析】小球A在碰撞前、后擺動，滿足機械能守恒定律．小球B在碰撞后做平拋運動，則x應為B球的平均落點到其初始位置的水平距離．碰撞前對A，由機械能守恒定律得mAgL(1－cos α)＝mAv A2，則：
mAvA＝mA.
碰撞后對A，由機械能守恒定律得
mAgL(1－cos β)＝mAvA′2，則：
mAvA′＝mA.
碰后B做平拋運動，
有x＝vB′t，H＝gt2.
所以mBvB′＝mBx.
故要得到碰撞前后的mv，要測量mA、mB、α、β、L、H、x等物理量．
考點三、利用“光滑”水平面結合打點計時器的實驗探究
(1)所需測量量：紙帶上兩計數點間的距離Δx，小車經過Δx所用的時間Δt，小車質量m.
(2)速度的計算：v＝.
(3)碰撞情景的實現：如圖所示，A運動，B靜止，在兩小車的碰撞端分別裝上撞針和橡皮泥，碰撞時撞針插入橡皮泥中，把兩個小車連接成一體．
(4)器材：長木板、小木塊、打點計時器、紙帶、刻度尺、小車(兩個)、撞針、橡皮泥、天平．
(5)注意事項：
①這種碰撞的特征是：碰前一個物體有速度，另一物體靜止；碰后二者速度相同．
②碰前和碰后的速度是反映在同一條紙帶上的．
③保證碰撞前后物體所受的合力為零是實驗成功的重要條件，為此需要物體碰撞前后均做勻速直線運動，紙帶上點跡應均勻．“光滑”水平面可通過將長木板一端墊高平衡摩擦力得到．
【典例1】現利用如圖所示的裝置驗證動量守恒定律。在圖中，氣墊導軌上有A、B兩個滑塊，滑塊A右側帶有一彈簧片，左側與打點計時器(圖中未畫出)的紙帶相連；滑塊B左側也帶有一彈簧片，上面固定一遮光片，光電計時器(未完全畫出)可以記錄遮光片通過光電門的時間。
實驗測得滑塊A的質量m1＝0.310 kg，滑塊B的質量m2＝0.108 kg，遮光片的寬度d＝1.00 cm；打點計時器所用交流電的頻率f＝50.0 Hz。
將光電門固定在滑塊B的右側，啟動打點計時器，給滑塊A一向右的初速度，使它與B相碰。碰后光電計時器顯示的時間為ΔtB＝3.500 ms，碰撞前后打出的紙帶如圖所示。
若實驗允許的相對誤差絕對值最大為5%，本實驗是否在誤差范圍內驗證了動量守恒定律？寫出運算過程。
【答案】見解析
【解析]】按定義，滑塊運動的瞬時速度大小
v＝ ①
式中Δs為滑塊在很短時間Δt內走過的路程。
設紙帶上打出相鄰兩點的時間間隔為ΔtA，則
ΔtA＝＝0.02 s ②
ΔtA可視為很短。
設滑塊A在碰撞前、后瞬時速度大小分別為v0、v1。將②式和圖給實驗數據代入①式得
v0＝2.00 m/s ③
v1＝0.970 m/s ④
設滑塊B在碰撞后的速度大小為v2，由①式有
v2＝ ⑤
代入題給實驗數據得
v2＝2.86 m/s ⑥
設兩滑塊在碰撞前、后的總動量分別為p和p′，則
p＝m1v0 ⑦
p′＝m1v1＋m2v2 ⑧
兩滑塊在碰撞前后總動量相對誤差的絕對值為
δp＝×100% ⑨
聯立③④⑥⑦⑧⑨式并代入有關數據，得
δp＝1.7%<5% ⑩
因此，本實驗在允許的誤差范圍內驗證了動量守恒定律。
【典例2】某實驗小組采用如圖所示的實驗裝置“驗證動量守恒定律”：在長木板上放置甲、乙兩輛小車，長木板下墊有小木塊用以平衡兩小車受到的摩擦力，甲車的前端粘有橡皮泥，后端連著紙帶，紙帶穿過位于甲車后方的打點計時器的限位孔．某時刻接通打點計時器的電源，推動甲車使之做勻速直線運動，與原來靜止在前方的乙車相碰并粘在一起，然后兩車繼續做勻速直線運動．已知打點計時器的打點頻率為50 Hz.
(1)現得到如圖所示的打點紙帶，A為打點計時器打下的第一個點，測得各計數點間的距離AB＝8.40 cm，BC＝10.50 cm，CD＝9.08 cm，DE＝6.95 cm.則應選________段計算甲車碰前的速度，應選________段計算甲車和乙車碰后的共同速度(選填“AB”“BC”“CD”或“DE”)．
(2)用天平測得甲車及橡皮泥的質量為m1＝0.40 kg，乙車的質量為m2＝0.20 kg，取甲、乙兩車及橡皮泥為一個系統，由以上測量結果可求得碰前系統的總動量為________ kg·m/s，碰后系統的總動量為________ kg·m/s.
【答案】(1)BC　DE　(2)0.420　0.417
【解析】(1)推動小車由靜止開始運動，故小車有個加速過程，在碰撞前做勻速直線運動，即在相同的時間內通過的位移相同，故BC段為勻速運動的階段，故選BC段計算甲車碰前的速度；
碰撞過程是一個變速運動的過程，而甲車和乙車碰后共同運動時做勻速直線運動，故在相同的時間內通過相同的位移，故應選DE段來計算碰后甲車和乙車共同的速度．
(2)由題圖可知， BC＝10.50 cm＝0.105 0 m，DE＝6.95 cm＝0.069 5 m，
碰前甲車的速度為：v1＝＝ m/s＝1.05 m/s；
碰前系統的總動量為：p＝m1v1＝0.40×1.05 kg· m/s＝0.420 kg·m/s；
碰后甲車和乙車的共同速度為：v＝＝ m/s＝0.695 m/s；
碰后系統的總動量為：p′＝(m1＋m2)v＝(0.40＋0.20)×0.695 kg·m/s＝0.417 kg·m/s.
練習1、某同學設計了一個用打點計時器探究碰撞過程中不變量的實驗：在小車甲的前端黏有橡皮泥，推動小車甲使之做勻速直線運動，然后與原來靜止在前方的小車乙相碰并黏合成一體，而后兩車繼續做勻速直線運動，他設計的具體裝置如圖所示．在小車甲后連著紙帶，打點計時器打點頻率為50 Hz，長木板一端下面墊著小木片用以平衡摩擦力．
(1)若已得到打點紙帶如圖所示，并將測得的各計數點間距離標在圖上，A點是運動起始的第一點，則應選____段來計算甲的碰前速度，應選______段來計算甲和乙碰后的共同速度(以上兩格選填“AB”“BC”“CD”或“DE”)．
(2)已測得小車甲的質量m甲＝0.40 kg，小車乙的質量m乙＝0.20 kg，由以上測量結果可得：碰前m甲v甲＋m乙v乙＝____ kg·m/s；碰后m甲v甲′＋m乙v乙′＝____ kg·m/s(結果保留3位有效數字)．
(3)由(2)可得出的結論是__________．
【答案】(1)BC　DE　(2)0.420　0.417 (3)在誤差允許范圍內，碰撞前后兩個小車的mv之和是相等的
【解析】(1)觀察打點計時器打出的紙帶，點跡均勻的階段BC應為小車甲與乙碰前的階段，CD段點跡不均勻，故CD應為碰撞階段，甲、乙碰撞后一起做勻速直線運動，打出間距均勻的點，故應選DE段計算碰后共同的速度．
(2)碰前v甲＝＝1.05 m/s，v乙＝0；m甲v甲＋m乙v乙＝0.420 kg·m/s.碰后兩者速度相同，v甲′＝v乙′＝＝0.695 m/s；m甲v甲′＋m乙v乙′＝0.417 kg·m/s.
(3)在誤差允許范圍內，碰撞前后兩個小車的mv之和是相等的．
練習2、利用氣墊導軌做實驗來驗證動量守恒定律。開始時兩個滑塊靜止，它們之間有一根被壓縮的輕彈簧，滑塊用繩子連接，繩子燒斷后，兩個滑塊向相反方向運動。得到如圖所示的兩個滑塊A、B相互作用后運動過程的頻閃照片，頻閃的頻率為10 Hz。已知滑塊A、B的質量分別為200 g、300 g，根據照片記錄的信息，A、B離開彈簧后，A滑塊做勻速直線運動，其速度大小為________m/s，本次實驗中得出的結論是______________。
【答案】0.09　兩滑塊組成的系統在相互作用過程中動量守恒
【解析】由題圖可知，繩子燒斷后，A、B均做勻速直線運動。開始時有：vA＝0，vB＝0，A、B被彈開后有：vA′＝ m/s＝0.09 m/s，vB′＝ m/s＝0.06 m/s，mAvA′＝0.2×0.09 kg·m/s＝0.018 kg·m/s，mBvB′＝0.3×0.06 kg·m/s＝0.018 kg·m/s，由此可得mAvA′＝mBvB′，即0＝mBvB′－mAvA′。結論是：兩滑塊組成的系統在相互作用過程中動量守恒。
考點四、利用斜槽上滾下的小球結合平拋運動進行的實驗探究
如圖甲所示，讓一個質量較大的小球從斜槽上滾下來，與放在斜槽水平末端的另一質量較小的小球發生碰撞，之后兩小球都做平拋運動．
(1)質量的測量：用天平測量質量．
(2)速度的測量：由于兩小球下落的高度相同，所以它們的飛行時間相等．如果用小球的飛行時間為單位時間，那么小球飛出的水平距離在數值上就等于它的水平速度．只要測出不放被碰小球時入射小球在空中飛出的水平距離s1，以及碰撞后入射小球與被碰小球在空中飛出的水平距離s1′和s2′.就可以表示出碰撞前后小球的速度．
(3)碰撞情景的實現：①不放被碰球，讓入射球m1從斜槽上某一位置由靜止滾下，記錄平拋的水平位移s1.
②在斜槽水平末端放上被碰球m2，讓m1從斜槽同一位置由靜止滾下，記下兩小球離開斜槽做平拋運動的水平位移s1′、s2′.
③探究m1s1與m1s1′＋m2s2′在誤差范圍內是否相等．
(4)器材：斜槽、兩個大小相等而質量不等的小球、重垂線、白紙、復寫紙、刻度尺、天平、圓規．
(5)注意事項：
①入射小球的質量m1大于被碰小球的質量m2(m1>m2)．
②入射小球半徑等于被碰小球半徑．
③入射小球每次必須從斜槽上同一高度處由靜止滑下．
④斜槽末端的切線方向水平．
⑤為了減小誤差，需要求不放被碰小球及放被碰小球時小球落點的平均位置．為此，需要讓入射小球從同一高度多次滾下，進行多次實驗．
【典例1】如圖甲，某實驗小組采用常規方案驗證動量守恒定律．實驗完成后，該小組又把水平木板改為豎直木板再次實驗，如圖乙所示．圖中小球半徑均相同、質量均已知，且mA>mB，B、B′ 兩點在同一水平線上．
(1)若采用圖甲所示的裝置，實驗中還必須測量的物理量是_____________________________．
(2)若采用圖乙所示的裝置，下列說法正確的是________．
A．必需測量BN、BP和BM的距離
B．必需測量B′N、B′P和B′M的距離
C．若＝＋，則表明此碰撞動量守恒
D．若＝＋，則表明此碰撞動量守恒
【答案】(1)OM、OP和ON的距離　(2)BC
【解析】(1)如果采用題圖甲所示裝置，由于小球平拋運動的時間相等，故可以用水平位移代替速度進行驗證，故需要測量OM、OP和ON的距離；
(2)采用題圖乙所示裝置時，利用水平距離相等，根據下落的高度可確定飛行時間，從而根據高度表示出對應的水平速度，故需測量B′N、B′P和B′M的距離，小球碰后做平拋運動，速度越快，下落高度越小，單獨一個小球下落時，落點為P，兩球相碰后，落點分別為M和N，根據動量守恒定律有：mAv＝mAv1＋mBv2，而速度v＝，根據h＝gt2可得t＝，解得：v＝，v1＝，v2＝，代入動量守恒表達式，消去公共項后，有：＝＋，故選C.
【典例2】如圖為驗證動量守恒定律的實驗裝置，實驗中選取兩個半徑相同、質量不等的小球，按下面步驟進行實驗：
①用天平測出兩個小球的質量分別為m1和m2；
②安裝實驗裝置，將斜槽AB固定在桌邊，使槽的末端切線水平，再將一斜面BC連接在斜槽末端；
③先不放小球m2，讓小球m1從斜槽頂端A處由靜止釋放，標記小球在斜面上的落點位置P；
④將小球m2放在斜槽末端B處，仍讓小球m1從斜槽頂端A處由靜止釋放，兩球發生碰撞，分別標記小球m1、m2在斜面上的落點位置；
⑤用毫米刻度尺測出各落點位置到斜槽末端B的距離．圖中M、P、N點是實驗過程中記下的小球在斜面上的三個落點位置，從M、P、N到B點的距離分別為sM、sP、sN.依據上述實驗步驟，請回答下面問題：
(1)兩小球的質量m1、m2應滿足m1________m2(填寫“>”“＝”或“<”)；
(2)小球m1與m2發生碰撞后，m1的落點是圖中________點，m2的落點是圖中________點；
(3)用實驗中測得的數據來表示，只要滿足關系式________________，就能說明兩球碰撞前后動量是守恒的。
【答案】(1)>　(2)M　N　(3)m1＝m1＋m2　
【解析】(1)為了防止入射球碰撞后反彈，一定要保證入射球的質量大于被碰球的質量，故m1>m2；
(2)碰撞前，小球m1落在圖中的P點，由于m1>m2，當小球m1與m2發生碰撞后，m1的落點是圖中M點，m2的落點是圖中N點；
(3)設碰前小球m1的水平初速度為v1，當小球m1與m2發生碰撞后，小球m1落到M點，設其水平速度為v1′，m2的落點是N點，設其水平速度為v2′，斜面BC與水平面的傾角為α，由平拋運動規律得sMsin α＝gt2，sMcos α＝v1′t，解得v1′＝，同理可得v2′＝，v1＝，因此，只要滿足m1v1＝m1v1′＋m2v2′，即m1＝m1＋m2.
練習1、某同學用圖甲所示裝置通過半徑相同的A、B兩球的碰撞來尋找不變量，圖中CQ是斜槽，QR為水平槽，二者平滑相接，實驗時先使A球從斜槽上某一固定位置G由靜止開始滾下，落到位于水平地面上的記錄紙上，留下痕跡．重復上述操作10次，得到10個落點痕跡．然后把B球放在水平槽上靠近槽末端的地方，讓A球仍從位置G由靜止開始滾下，和B球碰撞后，A、B球分別在記錄紙上留下各自的落點痕跡．重復這種操作10次．
圖中O是水平槽末端口在記錄紙上的垂直投影點，P為未放被碰球B時A球的平均落點，M為與B球碰后A球的平均落點，N為被碰球B的平均落點．若B球落點痕跡如圖乙所示，其中米尺水平放置，且平行于OP.米尺的零點與O點對齊．
(1)入射球A的質量mA和被碰球B的質量mB的關系是mA________mB(選填“>”“<”或“＝”)．
(2)碰撞后B球的水平射程約為________cm.
(3)下列選項中，屬于本次實驗必須測量的是________(填選項前的字母)．
A．水平槽上未放B球時，測量A球平均落點位置到O點的距離
B．A球與B球碰撞后，測量A球平均落點位置到O點的距離
C．測量A球或B球的直徑
D．測量A球和B球的質量
E．測量G點相對于水平槽面的高度
(4)若mv為不變量，則需驗證的關系式為____________________________________________．
【答案】(1)>　(2)64.7(64.2～65.2均可)　(3)ABD　(4)mA·OP＝mA·OM＋mB·ON
【解析】(1)要使兩球碰后都向右運動，應有A球質量大于B球質量，即mA>mB.
(2)將10個點圈在圓內的最小圓的圓心作為平均落點，可由米尺測得碰撞后B球的水平射程約為64.7 cm.
(3)從同一高度做平拋運動，飛行的時間t相同，而水平方向為勻速直線運動，故水平位移x＝vt，所以只要測出小球飛行的水平位移，就可以用水平位移的測量值代替平拋初速度．故需測出未放B球時A球飛行的水平距離OP和碰后A、B球飛行的水平距離OM和ON，及A、B兩球的質量，故A、B、D正確．
(4)若mv為不變量，需驗證的關系式為mAvA＝mAvA′＋mBvB′，
將vA＝，vA′＝，vB′＝代入上式得mA·OP＝mA·OM＋mB·ON.
練習2、在實驗室里為了驗證動量守恒定律，一般采用如圖甲、乙所示的兩種裝置：
(1)若入射小球質量為m1，半徑為r1；被碰小球質量為m2，半徑為r2，則(　　)
A．m1>m2，r1>r2 B．m1>m2，r1C．m1>m2，r1＝r2 D．m1(2)若采用圖乙所示裝置進行實驗，以下所提供的測量工具中必需的是________．
A．直尺 B．游標卡尺
C．天平 D．彈簧測力計
E．秒表
(3)設入射小球的質量為m1，被碰小球的質量為m2，則在用圖甲所示裝置進行實驗時(P為碰前入射小球落點的平均位置)，所得“驗證動量守恒定律”的結論為____________．
(用裝置圖中的字母表示)
【答案】(1)C　(2)AC　(3)m1OP＝m1OM＋m2O′N
【解析】(1)為防止反彈造成入射球返回斜槽，要求入射球質量大于被碰球質量，即m1>m2，為使入射球與被碰球發生對心碰撞，要求兩小球半徑相同．故選項C正確．
(2)設入射小球碰前的速度為v1，入射小球、被碰小球相碰后的速度分別為v1′、v2′.由于兩球都從同一高度做平拋運動，當以運動時間為一個計時單位時，可以用它們平拋的水平位移表示碰撞前后的速度．因此，驗證的動量守恒關系m1v1＝m1v1′＋m2v2′可表示為m1x1＝m1x1′＋m2x2′.所以需要直尺、天平，而無需彈簧測力計、秒表．由于題中兩個小球都可認為是從槽口開始做平拋運動的，兩球的半徑不必測量，故無需游標卡尺．
(3)得出驗證動量守恒定律的結論應為m1OP＝m1OM＋m2O′N
練習3、實驗小組利用圖示的裝置進行“驗證動量守恒定律”的實驗，操作步驟如下：
①在水平桌面上的適當位置固定好彈簧發射器，使其出口處切線與水平桌面相平；
②在一塊長平木板表面先后釘上白紙和復寫紙，將該木板豎直并貼緊桌面右側邊緣。將小球a向左壓縮彈簧并使其由靜止釋放，a球碰到木板，在白紙上留下壓痕P；
③將木板向右水平平移適當距離，再將小球a向左壓縮彈簧到某一固定位置并由靜止釋放，撞到木板上，在白紙上留下壓痕P2；
④將半徑相同的小球b放在桌面的右邊緣，仍讓小球a從步驟③中的釋放點由靜止釋放，與b球相碰后，兩球均撞在木板上，在白紙上留下壓痕P1、P3。
（1）下列說法正確的是___________。
A．小球a的質量一定要大于小球b的質量
B．彈簧發射器的內接觸面及桌面一定要光滑
C．步驟②③中入射小球a的釋放點位置一定相同
D．把小球輕放在桌面右邊緣，觀察小球是否滾動來檢測桌面右邊緣末端是否水平
（2）本實驗必須測量的物理量___________。
A．小球的半徑r
B．小球a、b的質量m1、m2
C．彈簧的壓縮量x1，木板距離桌子邊緣的距離x2
D．小球在木板上的壓痕P1、P2、P3分別與P之間的豎直距離h1、h2、h3
（3）用（2）中所測的物理量來驗證兩球碰撞過程中動量是否守恒，當滿足關系式則證明a、b兩球碰撞過程中動量守恒。（________）
（4）若a、b兩球上涂有粘性很強的膠體（膠體質量不計），讓小球a從步驟③中的釋放點由靜止釋放與b球相碰后，兩球粘連在一起并撞到木板上在白紙上留下壓痕P4，則壓痕P4的位置應在________
A．P1上方 B．P1與P2之間 C．P2與P3之間 D．P3下方
【答案】AD BD C
【解析】(1)[1] A．為防止碰撞后入射球反彈，入射小球a的質量應大于被碰小球b的質量，故A正確；
B．彈簧發射器的內接觸面及桌面不一定要光滑，入射小球a的釋放點位置相同即可保證每次實驗入射球的速度相等，故B錯誤；
C．步驟②中只是為了確定水平位置，而步驟③中入射小球a的釋放點位置對應平拋初速度，不一定相同，故C錯誤；
D．為保證小球離開斜槽后做平拋運動，斜槽末端的切線必須水平，把小球輕放在桌面右邊緣，觀察小球是否滾動來檢測桌面右邊緣末端是否水平，故D正確。
故選AD。
(2)[2] 小球離開軌道后做平拋運動，設木板與拋出點之間的距離為x，由平拋運動規律得，水平方向x=vt 豎直方向 解得
設碰撞前a的速度為v0，碰撞后a的速度是v1，碰撞后b的速度為v2，則
兩球碰撞過程系統動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得m1v0=m1v1+m2v2
整理得故需要小球a、b的質量m1、m2，小球在木板上的壓痕P1、P2、P3分別與P之間的豎直距離 h1、h2、h3。
故選BD。
(3)[3]根據以上分析可知，要驗證
(4)[4] 由靜止釋放與b球相碰后，兩球粘連在一起完全非彈性碰撞，機械能損失最大，故
彈性碰撞所以則軌跡在P2與P3之間。
故選C。
考點五、注意事項與誤差分析
1．注意事項
(1)前提條件：碰撞的兩物體應保證“水平”和“正碰”．
(2)方案提醒：①若利用氣墊導軌進行實驗，調整氣墊導軌時，注意利用水平儀確保導軌水平．
②若利用擺球進行實驗，兩小球靜放時球心應在同一水平線上，且剛好接觸，擺線豎直．將小球拉起后，兩條擺線應在同一豎直面內．
③若利用長木板進行實驗，可在長木板下墊一小木片用以平衡摩擦力．
(3)探究結論：尋找的不變量必須在各種碰撞情況下都不改變．
2．實驗中的誤差分析
(1)系統誤差：主要來源于裝置本身是否符合要求，即：
①碰撞是否為一維碰撞；
②實驗是否滿足動量守恒的條件，如氣墊導軌是否水平，兩球是否等大，長木板實驗是否平衡了摩擦力．
(2)偶然誤差：主要來源于質量m和速度v的測量．
改進措施：①設計方案時應保證碰撞為一維碰撞，且盡量滿足動量守恒的條件．
②采取多次測量求平均值的方法減小偶然誤差．
【典例1】某同學用圖甲所示的裝置通過半徑相同的A、B兩球(mA＞mB)的碰撞來驗證動量守恒定律．圖中PQ是斜槽，QR為水平槽．實驗時先使A球從斜槽上某一固定位置G由靜止開始滾下，落到位于水平地面的記錄紙上，留下痕跡．重復上述操作10次，得到10個落點痕跡．再把B球放在水平槽上靠近槽末端的地方，讓A球仍從位置G由靜止開始滾下，和B球碰撞后，A、B球分別在記錄紙上留下各自的落點痕跡．重復這種操作10次．圖甲中O點是水平槽末端R在記錄紙上的垂直投影點．B球落點痕跡如圖乙所示，其中米尺水平放置，且平行于G、R、O所在的平面，米尺的零點與O點對齊．
(1)碰撞后B球的水平射程應取為________cm；
(2)在以下選項中，哪些是本次實驗必須進行的測量？答：________.(填選項字母)
A．水平槽上未放B球時，測量A球落點位置到O點的距離
B．A球與B球碰撞后，測量A球落點位置到O點的距離
C．測量A球或B球的直徑
D．測量A球和B球的質量(或兩球質量之比)
E．測量O點相對于水平槽面的高度
(3)實驗中，對入射小球在斜槽上釋放點的高低對實驗影響的說法中正確的是( )
A．釋放點越低，小球受阻力越小，入射小球速度越小，誤差越小
B．釋放點越低，兩球碰后水平位移越小，水平位移測量的相對誤差越小，兩球速度的測量越準確
C．釋放點越高，兩球相碰時，相互作用的內力越大，碰撞前后動量之差越小，誤差
越小
D．釋放點越高，入射小球對被碰小球的作用力越大，軌道對被碰小球的阻力越小
【答案】(1)64.7(64.5～64.9均可) (2)A、B、D (3)C
【解析】(1)[1]用一盡可能小的圓把小球落點圈在里面，由此可見圓心的位置是64.7 cm，這就是小球落點的平均位置．
(2)[2]本實驗中要測量的數據有：兩個小球的質量m1、m2，三個落點的距離x1、x2、x3，所以應選A、B、D.
(3)[3]入射小球的釋放點越高，入射小球碰前速度越大，相碰時內力越大，阻力的影響相對減小，可以較好地滿足動量守恒的條件，也有利于減少測量水平位移時的相對誤差，從而使實驗的誤差減小，選項C正確．
練習1、光滑水平桌面上有A、B兩個小車，質量都是0.6 kg。A車的車尾連著一個穿過打點計時器(所用交流電源的頻率為50 Hz)的紙帶，A車以某一速度與靜止的B車碰撞，碰后兩車連在一起向前運動。碰撞前后打點計時器打下的紙帶如圖所示。根據這些數據，如果兩個小車合在一起考慮，回答下列問題:(結果保留三位有效數字)
(1)碰撞前后可能相等的物理量是　　　　；
(2)碰前其大小為　　　　，碰后其大小為　　　　；
(3)結論:　。
【答案】(1)動量　(2)0.555 kg·m/s　0.540 kg·m/s　(3)在誤差允許的范圍內，碰撞前后動量守恒
【解析】(1)碰撞過程內力遠大于外力，所以碰撞前后可能相等的物理量是動量。
(2)A車碰撞前的速度為v= m/s=0.925 m/s，A、B碰后一起運動的速度為v'= m/s=0.450 m/s，所以碰前的動量p=mv=0.6×0.925 kg·m/s=0.555 kg·m/s，碰后的動量p'=2mv'=1.2×0.450 kg·m/s=0.540 kg·m/s。
(3)在誤差允許的范圍內p=p'，所以碰撞前后動量守恒。
練習2、利用如圖甲所示裝置驗證動量守恒定律。實驗過程如下:
甲
請將實驗過程補充完整。
(1)將打點計時器固定在長木板的一端；
(2)把長木板有打點計時器的一端墊高，微調木板的傾斜程度，直到　　　　　　　　，這樣做的目的是　　　　　　　　　　　　　　　　　；
(3)后面貼有雙面膠的小車A靜止在木板上，靠近打點計時器的小車B連著穿過限位孔的紙帶；
(4)接通打點計時器的電源，輕推一下小車B，使小車B運動一段距離后與小車A發生正碰，碰后粘在一起繼續運動；
(5)小車運動到木板下端后，關閉電源，取下紙帶如圖乙，圖中已標出各計數點之間的距離，小車碰撞發生在　　　　(填“ab段”“bc段”“cd段”或“de段”)；
乙
(6)若打點計時器電源頻率為50 Hz，小車A的質量為0.2 kg，小車B的質量為0.6 kg，則碰前兩小車的總動量是　　　　kg·m/s，碰后兩小車的總動量是　　　　kg·m/s。(結果保留三位有效數字)
【答案】(2)輕推小車，使小車能夠沿木板勻速下滑　平衡摩擦力，使系統的合外力為零，滿足動量守恒的條件　(5)cd段　(6)1.13　1.08
【解析】(2)把長木板有打點計時器的一端墊高，輕推小車，使小車能夠沿木板勻速下滑，這樣做的目的是平衡摩擦力，使系統的合外力為零，滿足動量守恒的條件。(5)小車B與A發生碰撞后速度要減小，知小車碰撞發生在cd段。(6)在bc段小車B的速度v1== m/s=1.883 m/s，在de段小車A、B共同的速度v2== m/s=1.352 m/s，碰前兩小車的總動量是p=mBv1=0.6×1.883 kg·m/s=1.13 kg·m/s，碰后兩小車的總動量是p'=(mA+mB)v2=(0.2+0.6)×1.352 kg·m/s=1.08 kg·m/s，故有p≈p'，因此，在實驗誤差允許的范圍內，碰撞前后兩小車的總動量守恒。
二、夯實小練
1、(多選)在利用斜槽實現兩小球的一維碰撞“驗證動量守恒定律”實驗中，必須測量的物理量是 (　　)
A.入射小球和被碰小球的質量
B.入射小球和被碰小球的半徑
C.入射小球從靜止釋放時的起始高度
D.斜槽軌道的末端到地面的高度
E.不放被碰小球時，入射小球的水平射程
F.入射小球和被碰小球碰撞后的水平射程
【答案】AEF
【解析】入射小球和被碰小球從同一高度做平拋運動，飛行時間t相同，所以需要測出的量有:不放被碰小球時入射小球的水平射程、碰后入射小球的水平射程、碰后被碰小球的水平射程，還需要測量兩球的質量。
2、在“研究斜槽末端小球碰撞時的動量守恒”實驗中，安裝斜槽軌道時，應讓斜槽末端保持水平，這樣做的目的是使 (　　)
A.入射小球得到較大的速度
B.入射小球與被碰小球對心碰撞后速度沿水平方向
C.入射小球與被碰小球對碰時無動能損失
D.入射小球與被碰小球碰后均能從同一高度飛出
【答案】B
【解析】安裝斜槽軌道時，應讓斜槽末端保持水平，這樣做的目的是使入射小球與被碰小球對心碰撞后速度沿水平方向，以保證在水平方向能驗證動量守恒定律。
3、某實驗小組采用如圖所示實驗裝置驗證動量守恒實驗，氣墊導軌置于水平桌面上，導軌上安裝G1和G2兩個光電計時器，A、B均為帶有遮光片的彈性滑塊，兩遮光片沿運動方向的寬度相同，實驗過程如下：
①調節氣墊導軌成水平狀態；
②輕推滑塊A，測得A的遮光片通過光電計時器G1的遮光時間為；
③A與B相碰后，滑塊B和A的遮光片先后經過光電計時器G2的遮光時間分別為和。
回答下列問題：
（1）在調節導軌水平時，只放上滑塊A，并利用彈射裝置使其向右運動，若滑塊A經過光電計時器G1的擋光時間___________經過光由計時器G2的擋光時間（選填“大于”、“等于”或“小于”），則說明導軌水平；
（2）為驗證滑塊A、B碰撞過程中動量守恒，除了上述已知條件外，還必須要測量的物理量有___________；
A．兩個光電門之間的距離L
B．A、B兩滑塊（包含擋光片）的質量、
C．遮光片的寬度d
（3）利用所測物理量的符號表示動量守恒成立的式子為：___________；如果還滿足表達式___________時，即說明兩滑塊碰撞時無機械能損失。
【答案】等于 B （式中有d不給分）
【解析】[1]若導軌水平，則滑塊在導軌上做勻速直線運動，通過兩個光電門的速度相等，所以滑塊A經過光電計時器G1的擋光時間等于經過光由計時器G2的擋光時間；
[2]碰撞前A的速度為
碰撞后A的速度為
碰撞后B的速度為
設A、B兩滑塊（包含擋光片）的質量分別是、，實驗目的是驗證滑塊A、B碰撞過程中動量守恒，則
化簡可得
所以需要測量A、B兩滑塊（包含擋光片）的質量、，不需要測量兩個光電門之間的距離L和遮光片的寬度d，故選B；
[3]根據以上分析可知，動量守恒成立的表達式為
[4]若機械能守恒，則碰撞前系統的總動能等于碰撞后系統的總動能
化簡可得
4、（1）下圖所示游標卡尺的讀數是d=______cm。
（2）如下圖所示，用“碰撞實驗器”可以驗證動量守恒定律，即研究兩個小球在軌道水平部分碰撞前后的動量關系：實驗中使用半徑相同的彈性小球1和2，已知兩小球的質量分別是m1、m2。先安裝好實驗裝置，在地上鋪一張白紙，白紙上鋪放復寫紙，記下重垂線所指的位置O。接下來的實驗步驟如下：
步驟1：不放小球2，讓小球1從斜槽上A點由靜止滾下，并落在地面上。重復上述操作10次，得到10個落點痕跡；
步驟2：把小球2放在斜槽前端邊緣位置B，讓小球1從A點由靜止滾下，使它們碰撞。重復10次，分別在白紙上留下各自的落點痕跡；
步驟3：用刻度尺分別測量三個落地點的平均位置M、P、N離O點的距離，即線段OM、OP、ON的長度LOM，LOP，LON。
①本實驗中，要想更準確的確定小球平均落點位置，需要借助哪種實驗儀器______（填儀器名稱即可），在這個實驗中，為了減小實驗誤差，兩球的質量應滿足m1______m2；（填“>”、“<”或“=”）
②當所測物理量滿足表達式_______ （用所測物理量的字母表示）時，即說明兩球碰撞遵守動量守恒定律。
③完成上述實驗后，某實驗小組對上述裝置進行了改造，如下圖所示。在水平槽末端與水平地面間放置了一個斜面，斜面的底端與O點重合。使小球1仍從斜槽上A點由靜止滾下，重復實驗步驟1和2的操作，得到兩球在斜面上的平均落點M′、P′、N′。用刻度尺測得斜面底端到M′、P′、N′三點的距離分別為L′OM 、L′OP、L′ON，測量出斜面的傾角為θ。則僅利用以上數據能不能驗證兩球碰撞過程中總動量守恒。若能，請用所測物理量寫出驗證表達式；若不能，請說明理由_______。
【答案】2.050 圓規 > m1·LOP=m1·LOM+m2·LON 不能，因為根據所測得的物理量不能求出小球做平拋運動的時間，不能求出小球碰撞前后的速度
【解析】
（1）[1]游標卡尺的讀數是d=2cm+0.05mm×10=2.050cm
（2）①[2]本實驗中，要想更準確的確定小球平均落點位置，要用盡量小的圓把這些落點圈起來，圓心即為平均落地點，則需要借助圓規；
[3]在小球碰撞過程中，水平方向動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
在碰撞過程中機械能守恒
解得
要碰后入射小球的速度，即
所以兩球質量關系為
②[4]要驗證的關系是
m1 v0=m1 v1+m2 v2
因為平拋運動的時間相等，則水平位移可以代表速度，OP是A球不與B球碰撞平拋運動的位移，該位移可以代表A球碰撞前的速度，OM是A球碰撞后平拋運動的位移，該位移可以代表碰撞后A球的速度，ON是碰撞后B球的水平位移，該位移可以代表碰撞后B球的速度，當所測物理量滿足表達式
m1·=m1·+m2·
說明兩球碰撞遵守動量守恒定律；
③[5]設水平槽末端離水平地面的高度為H，O點到落點的距離為L，根據平拋運動規律有
解得
由于H沒有測定，則根據所測得的物理量不能求出小球做平拋運動的時間，故不能求出小球碰撞前后的速度，因此不能驗證兩球碰撞過程中總動量是否守恒。
5、如圖，用“碰撞實驗器”可以驗證動量守恒定律，即研究兩個小球在軌道水平部分碰撞前后的動量關系。
（1）實驗中，直接測定小球碰撞前后的速度是不容易的。但是，可以通過僅測量_____（填選項前的符號），間接地解決這個問題。
A．小球開始釋放高度
B．小球拋出點距地面的高度
C．小球做平拋運動的射程
（2）圖2中點是小球拋出點在地面上的垂直投影。實驗時，先讓入射球多次從斜軌上S位置靜止釋放，找到其平均落地點的位置，測量平拋射程。然后，把被碰小球靜置于軌道的水平部分，再將入射球從斜軌上S位置靜止釋放，與小球相碰，并多次重復。接下來要完成的必要步驟是______。（填選項前的符號）
A．用天平測量兩個小球的質量、
B．測量小球開始釋放高度
C．測量拋出點距地面的高度
D．分別找到、相碰后平均落地點的位置、
E．測量平拋射程，
（3）經測定，，，小球落地點的平均位置距點的距離如圖2所示．實驗結果表明，碰撞前、后總動量的比值為_____。（結果保留三位有效數字）
【答案】C ADE 1.01
【解析】(1)[1]根據平拋運動規律
聯立可得小球平拋運動的初速度為
因拋出點到地面的高度相同，故測定小球碰撞前后的速度可以通過測量小球做平拋運動的水平射程x間接地解決這個問題。
故選C。
(2)[2]由(1)的結論可得，碰撞前后的速度分別為
由動量守恒定律可得
聯立可得，要驗證的表達式為
故接下來要完成的必要步驟是：用天平測量兩個小球的質量、，分別找到、相碰后平均落地點的位置、，測量平拋射程，。
故選ADE。
(3)[3]碰撞前、后總動量的比值為
6、某同學利用打點計時器和氣墊導軌做驗證動量守恒定律的實驗，氣墊導軌裝置如圖甲所示
下面是實驗的主要步驟：
①安裝好氣墊導軌，調節氣墊導軌的調節旋鈕，使導軌水平；
②向氣墊導軌通入壓縮空氣；
③把打點計時器固定在緊靠氣墊導軌左端彈射架的外側，將紙帶穿過打點計時器和彈射架并固定在滑塊1的左端，調節打點計時器的高度，直至滑塊拖著紙帶移動時，紙帶始終在水平方向；
④使滑塊1擠壓導軌左端彈射架上的橡皮繩；
⑤把滑塊2放在氣墊導軌的中間；已知碰后兩滑塊一起運動；
⑥先___________，然后___________，讓滑塊帶動紙帶一起運動；
⑦取下紙帶，重復步驟④⑤⑥，選出較理想的紙帶如圖乙所示；
⑧測得滑塊1（包括撞針）的質量為310 g，滑塊2（包括橡皮泥）的質量為205 g。
（1）試著完善實驗步驟⑥的內容。
（2）已知打點計時器每隔0.02 s打一個點，計算可知兩滑塊相互作用前動量之和為___________ kg·m/s；兩滑塊相互作用以后質量與速度的乘積之和為___________ kg·m/s。（結果保留三位有效數字）
（3）試說明（2）中兩結果不完全相等的主要原因：___________。
【答案】接通打點計時器的電源 放開滑塊1 0.620 0.618 紙帶與打點計時器的限位孔有摩擦
【解析】(1)[1][2]應先接通打點計時器的電源，然后放開滑塊1。
(2)[3][4]相互作用前滑塊1的速度為
其動量為
p1=0.310×2kg·m/s=0.620kg·m/s
相互作用后滑塊1和滑塊2具有相同的速度
其質量與速度的乘積之和為
p2=(0.310+0.205)×1.2kg·m/s=0.618kg·m/s
(3)[5](2)中兩結果不完全相等的主要原因是：紙帶與打點計時器的限位孔有摩擦。
三、培優練習
1、如圖甲所示的裝置叫作“阿特伍德機”，是英國數學家和物理學家阿特伍德創制的一種著名力學實驗裝置，用來研究勻變速直線運動的規律。某同學對該裝置加以改進后用來驗證機械能守恒定律和動量守恒定律，如圖乙所示。已知當地重力加速度為g。
丙
(1)實驗時，該同學用游標卡尺測量擋光片的寬度d，如圖丙所示，則d=　　　　cm。然后將質量均為M(A的含擋光片)的重物A、B用繩連接后，跨放在定滑輪上，處于靜止狀態，測量出　　　　　　(選填“A的上表面”“A的下表面”或“擋光片中心”)到光電門中心的豎直距離h。
(2)為了驗證動量守恒定律，該同學讓A在水平桌面上處于靜止狀態，將B從原靜止位置豎直抬高H后由靜止釋放，直到光電門記錄下擋光片擋光的時間為t2(重物B未接觸桌面)，則驗證繩繃緊過程中系統沿繩方向動量守恒的表達式為　　　　　　　　。
【答案】(1)0.420　擋光片中心　(2)=
【解析】(1)游標卡尺主尺的讀數為0.4 cm，游標尺讀數為10×0.02 mm=0.20 mm，則d=0.4 cm+0.20 mm=0.420 cm；需測量出擋光片中心到光電門中心的豎直距離h。(2)重物A經過光電門時的速度v'=，繩繃緊前，對B由機械能守恒定律可得MgH=Mv2，解得v=，則可知A、B作用前系統的總動量為p=Mv=M；繩繃緊后A、B做勻速運動的速度大小相等，為v'=，故A、B作用后的總動量p'=2Mv'=，故只要驗證=即可證明系統沿繩方向動量守恒。
2、在一次實驗中，某同學選用了兩個外形相同的硬質小球A和B，小球A質量較大，小球B質量較小。該同學實驗發現:若在水平面上用A球去撞擊原來靜止的B球，碰后A和B都向前運動；若用B球去撞擊原來靜止的A球，碰后A球向前運動，B球向后運動。為了驗證碰撞過程中動量守恒，該同學計劃用如圖所示的圓弧槽進行實驗。實驗時，分別將小球M、N放在豎直平面內的半圓形玻璃軌道內側(軌道半徑遠大于小球半徑)。現將小球M從與圓心O等高處由靜止釋放，在底部與靜止的小球N發生正碰。
(1)實驗中，若實驗室里有如下所述的四個小球:
①半徑為r的玻璃球；
②半徑為2r的玻璃球；
③半徑為1.5r的鋼球；
④半徑為2r的鋼球。
為了便于測量，M球應選用　　　　　　，N球應選用　　　　(填編號)。
(2)實驗中不用測量的物理量為　　　　　　。
①小球M的質量m1和小球N的質量m2；
②圓弧軌道的半徑R；
③小球M碰后上升的最高處與O點連線偏離豎直方向的夾角θ1；
④小球N碰后上升的最高處與O點連線偏離豎直方向的夾角θ2。
(3)用上述測量的物理量驗證碰撞過程中動量守恒的表達式為　　　　　　　　　。
【答案】(1)②　④　(2)②　(3)m1=-m1+m2
【解析】(1)在本實驗中應選擇直徑相同的小球，為了讓M球碰后反彈，要用質量小的小球去碰撞質量大的小球，由給出的小球可知，只能選用②④兩球，且應用②球去碰撞④球。
(2)小球與軌道間的摩擦可忽略，小球運動過程中機械能守恒，由機械能守恒定律得
m1gR=m1
m1gR(1-cos θ1)=m1v'
m2gR(1-cos θ2)=m2v'
以M球碰撞前瞬間的速度方向為正方向，如果兩球碰撞過程中動量守恒，則有m1v1=m1(-v'1)+m2v'2
由以上各式解得
m1=-m1+m2
由上式可知，需要測出兩球的質量與碰撞后兩球上升的最高位置與O點連線偏離豎直方向的夾角，故需要測量的量為①③④，不需要測量的量為②。
由(2)可知，驗證碰撞過程中動量守恒的表達式為m1=-m1+m2。
3、小華用如圖所示的裝置“驗證動量守恒定律”，AB為斜槽，BC為斜面、已知入射小球的質量為，被碰小球的質量為，兩小球半徑相等。
（1）下列實驗操作步驟，正確順序是______。
①測量出落點M、P、N到B點的距離、、
②將BC連接在斜槽末端
③將AB固定在桌邊，使槽的末端切線水平
④讓入射小球從斜槽頂端A處由靜止釋放，多次實驗后，標記小球在斜面上的平均落點位置P
⑤將被碰小球放在斜槽末端B處，仍讓入射小球從斜槽頂端A處由靜止釋放，兩球發生碰撞，多次實驗后，分別標記兩球在斜面上的平均落點位置M、N
（2）入射小球與被碰小球的質量關系為______（選填“>”“=”或“<”）。
（3）調整斜槽末端切線水平的做法是______。
（4）若實驗滿足關系式______（用題中物理量表示），則說明兩球碰撞前后動量守恒。
（5）小華在操作步驟⑤時，發現在步驟④的操作中，槽的末端是不水平的，有些向上傾斜，于是把它調為水平，調整后的斜槽末端離地面高度跟原來相同，然后繼續操作步驟⑤，且其他實驗操作都正確。若調節斜槽引起小球在空中運動時間的變化可忽略不計，則該實驗可能會得到怎樣的結果，并說明理由。（______）
【答案】③②④⑤① > 將小球無初速輕放在斜槽末端槽口處軌道上，小球不滾動 見詳解
【解析】(1)[1]正確順序是：③②④⑤①
(2)[2]為了保證碰撞前后使入射小球的速度方向不變，故必須使入射小球的質量大于被碰小球的質量，所以
(3)[3]調整斜槽末端切線水平的做法是：將小球無初速輕放在斜槽末端槽口處軌道上，小球不滾動，則說明斜槽末端水平。
(4)[4]若碰撞前后動量守恒，則有
設斜面傾角為，則
， ，
解得
(5)[5]如果槽的末端是不水平的，有些向上傾斜，那么小球拋出后是斜拋運動，水平速度變小，相等時間內的水平位移變小。則
該實驗會得到的結果：碰撞前的總動量小于碰撞后的總動量。
4、某校同學們分組進行碰撞的實驗研究．
(1)第一組利用氣墊導軌通過頻閃照相進行探究碰撞中的不變量這一實驗．若要求碰撞動能損失最小則應選下圖中的________(填“甲”或“乙”)(甲圖兩滑塊分別裝有彈性圈，乙圖兩滑塊分別裝有撞針和橡皮泥)；
(2)第二組利用頻閃照相法去研究．某次實驗時碰撞前B滑塊靜止，A滑塊勻速向B滑塊運動并發生碰撞，利用頻閃照相的方法連續4次拍攝得到的照片如圖丙所示．已知相鄰兩次閃光的時間間隔為T，在這4次閃光的過程中，A、B兩滑塊均在0～80 cm范圍內，且第1次閃光時，滑塊A恰好位于x＝10 cm處．若A、B兩滑塊的碰撞時間及閃光持續的時間極短，均可忽略不計，則可知碰撞發生在第1次閃光后的________時刻，A、B兩滑塊質量比mA：mB＝________；
(3)第三組同學用如圖丁所示的實驗裝置研究兩個小球的碰撞，他們用兩個大小相同質量不等的A和B兩個鋼球(mA＞mB)進行實驗．
首先使球A自斜槽上某一高度由靜止釋放，從斜槽的末端水平飛出，測出球A落在水平地面上的P(圖中未畫出)與球飛出點在地面上垂直投影O的距離為LOP.然后使球A自同一高度由靜止釋放，在斜槽的末端與靜止的球B發生斜碰，如俯視圖戊所示，碰后兩球向不同方向運動，測出A、B兩球落地點M、N(圖中未畫出)與O點間的距離分別為LOM、LON.多次重復實驗，并將測量值取平均值，已知碰撞過程中沒有機械能損失．下列關系式正確的是________．
A．mALOP＝mALOM＋mBLON
B．mALOP2＝mALOM2＋mBLON2
C．mALOPD．mALOP>mALOM＋mBLON
【答案】(1)甲　(2)2.5T　2∶3　(3)BC
【解析】(1)題圖乙中由于裝有撞針和橡皮泥，則兩物體相碰時成為一體，機械能的損失最大；而題圖甲中采用彈性圈，二者碰后即分離，此種情況下，機械能的損失最小，機械能幾乎不變；故選甲．
(2)由題圖丙可知，前兩次閃光中A的位移相同，A、B不可能相碰；而由題意可知，B開始時靜止，而碰后B一定向右運動，故只能靜止在60 cm處，故可知，A在第1次閃光后的2.5T時發生碰撞；設碰前A的速度為v，則碰后A的速度為，碰后B的速度為v，取向右為正方向，根據動量守恒定律得mAv＝－mA·＋mBv，解得＝
(3)碰撞前瞬間球A的速度大小為vA，碰撞后瞬間球A、B的速度大小分別為vA′、vB′，兩球在碰撞過程中動量守恒，碰撞后兩球動量的矢量和與碰撞前A球動量的矢量相等，則可知，一定滿足平行四邊形定則，如圖(a)所示，碰撞過程中沒有機械能損失，碰撞過程機械能守恒，由機械能守恒定律得：mAvA2＝mAvA′2＋mBvB′2
小球離開斜槽后做平拋運動，由于拋出點的高度相同，則做平拋運動的時間相等，設時間為t，則有：vA＝，vA′＝，vB′＝，解得：mALOP2＝mALOM2＋mBLON2
碰撞過程兩球動量守恒，由動量守恒定律得：mA＝mA＋mB，mA＝mA＋mB
如圖(b)所示，由幾何知識可知：mALOP5、為了驗證動量守恒定律(探究碰撞中的不變量)，某同學選取了兩個材質相同、體積不等的立方體滑塊A和B，按下述步驟進行實驗：
步驟1：在A、B的相撞面分別裝上橡皮泥，以便二者相撞以后能夠立刻結為整體；
步驟2：安裝好實驗裝置如圖，鋁質軌道槽的左端是傾斜槽，右端是長直水平槽．傾斜槽和水平槽由一小段圓弧連接，軌道槽被固定在水平桌面上，在軌道槽的側面與軌道等高且適當遠處裝一臺數碼頻閃照相機；
步驟3：讓滑塊B靜置于水平槽的某處，滑塊A從斜槽某處由靜止釋放，同時開始頻閃拍攝，直到A、B停止運動，得到一幅多次曝光的數碼照片；
步驟4：多次重復步驟3，得到多幅照片，挑出其中最理想的一幅，打印出來，將刻度尺緊靠照片放置，如圖所示．
(1)由圖分析可知，滑塊A與滑塊B碰撞發生的位置________．
①在P5、P6之間
②在P6處
③在P6、P7之間
(2)為了探究碰撞中動量是否守恒，需要直接測量或讀取的物理量是________．
①A、B兩個滑塊的質量m1和m2
②滑塊A釋放時距桌面的高度
③頻閃照相的周期
④照片尺寸和實際尺寸的比例
⑤照片上測得的s45、s56和s67、s78
⑥照片上測得的s34、s45、s56和s67、s78、s89
⑦滑塊與桌面間的動摩擦因數
寫出驗證動量守恒的表達式_________________________________________．
【答案】　(1)②　(2)①⑥　m1(s45＋2s56－s34)＝(m1＋m2)(2s67＋s78－s89)
【解析】(1)由圖可知s12＝3.00 cm，s23＝2.80 cm，s34＝2.60 cm，s45＝2.40 cm，s56＝2.20 cm，s67＝1.60 cm，s78＝1.40 cm，s89＝1.20 cm.根據勻變速直線運動的特點可知A、B相撞的位置在P6處．
(2)為了探究A、B相撞前、后動量是否守恒，就要得到碰撞前后的動量，所以要測量A、B兩個滑塊的質量m1、m2和碰撞前后的速度．設照相機拍攝時間間隔為T，則P4處的速度為v4＝，P5處的速度為v5＝，因為v5＝，所以A、B碰撞前A在P6處的速度為v6＝；同理可得碰撞后AB在P6處的速度為v6′＝.若動量守恒則有m1v6＝(m1＋m2)v6′，整理得m1(s45＋2s56－s34)＝(m1＋m2)(2s67＋s78－s89)．因此需要測量或讀取的物理量是①⑥.
6、(1)利用氣墊導軌通過閃光照相進行“探究碰撞中的不變量”這一實驗，實驗要求研究兩滑塊碰撞時動能損失很小和很大等各種情況，若要求碰撞時動能損失最大應選圖中的圖______(填“甲”或“乙”)，若要求碰撞時動能損失最小則應選圖________(填“甲”或“乙”)．(甲圖兩滑塊分別裝有彈性圈，乙圖兩滑塊分別裝有撞針和橡皮泥)
(2)某次實驗時碰撞前B滑塊靜止，A滑塊勻速向B滑塊運動并發生碰撞，利用閃光照相的方法連續4次拍攝得到的閃光照片如圖所示．已知相鄰兩次閃光的時間間隔為T，在這4次閃光的過程中，A、B兩滑塊均在0～80 cm范圍內，且第1次閃光時，滑塊A恰好位于x＝10 cm處．若A、B兩滑塊的碰撞時間及閃光持續的時間極短，均可忽略不計，則可知碰撞發生在第1次閃光后的________時刻．
【答案】(1)乙 甲 (2)2.5T
【解析】(1)若要求碰撞時動能損失最大，則需兩滑塊碰撞后結合在一起，故應選圖乙；若要求碰撞時動能損失最小，則應該使兩滑塊發生彈性碰撞，即選圖甲．
(2)由圖可知，第1次閃光時，滑塊A恰好位于x＝10 cm處，第2次A在x＝30 cm處，第3次A在x＝50 cm處，碰撞在x＝60 cm處，從第3次閃光到碰撞的時間為，則可知碰撞發生在第1次閃光后的2.5T時刻
7、某同學利用氣墊導軌做“探究碰撞中的不變量”的實驗，氣墊導軌裝置如圖所示，所用的氣墊導軌裝置由導軌、滑塊、彈射架、光電門等組成．
(1)下面是實驗的主要步驟：
①安裝好氣墊導軌，調節氣墊導軌的調節旋鈕，使導軌水平；
②向氣墊導軌通入壓縮空氣；
③接通數字計時器；
④把滑塊2靜止放在氣墊導軌的中間；
⑤滑塊1擠壓導軌左端彈射架上的橡皮繩；
⑥釋放滑塊1，滑塊1通過光電門1后與左側有固定彈簧的滑塊2碰撞，碰后滑塊1和滑塊2依次通過光電門2，兩滑塊通過光電門后依次被制動；
⑦讀出滑塊通過兩個光電門的擋光時間分別為：滑塊1通過光電門1的擋光時間Δt1＝10.01 ms，通過光電門2的擋光時間Δt2＝49.99 ms，滑塊2通過光電門2的擋光時間Δt3＝8.35 ms；
⑧測出擋光片的寬度d＝5 mm，測得滑塊1(包括撞針)的質量為m1＝300 g，滑塊2(包括彈簧)質量為m2＝200 g.
(2)數據處理與實驗結論：
①實驗中氣墊導軌的作用是：A.__________ __________________________，
B．______________________________________________________________.
②碰撞前滑塊1的速度v1為________m/s；碰撞后滑塊1的速度v2為________m/s；滑塊2的速度v3為________m/s.(結果保留兩位有效數字)
③在誤差允許的范圍內，通過本實驗，同學們可以探究出哪些物理量是不變的？通過對實驗數據的分析說明理由．(至少回答2個不變量)
a．______________________________________________________________；
________________________________________________________________.
b．______________________________________________________________；
________________________________________________________________.
【答案】(2)①A.大大減小了因滑塊和導軌之間的摩擦而引起的誤差
B．保證兩個滑塊的碰撞是一維的
②0.50　0.10　0.60 ③見解析
【解析】(2)①A.大大減小了因滑塊和導軌之間的摩擦而引起的誤差，
B．保證兩個滑塊的碰撞是一維的．
②滑塊1碰撞前的速度v1＝＝ m/s≈0.50 m/s；
滑塊1碰撞后的速度v2＝＝ m/s ≈0.10 m/s；
滑塊2碰撞后的速度v3＝＝ m/s ≈0.60 m/s.
③a.系統碰撞前后質量與速度的乘積之和不變．
原因：系統碰撞前的質量與速度的乘積m1v1＝0.15 kg·m/s，系統碰撞后的質量與速度的乘積之和m1v2＋m2v3＝0.15 kg·m/s.
b．碰撞前后總動能不變．
原因：碰撞前的總動能Ek1＝m1v＝0.037 5 J
碰撞后的總動能Ek2＝m1v＋m2v＝0.037 5 J
所以碰撞前后總動能相等
8、如圖1所示，在“驗證動量守恒定律”實驗中，A、B兩球半徑相同。先讓質量為m1的A球從斜槽上某一固定位置C由靜止開始滾下，從軌道末端拋出，落到位于水平地面的復寫紙上，在下面的白紙上留下痕跡。重復上述操作10次，得到10個落點痕跡。再把質量為m2的B球放在水平軌道末端，讓A球仍從位置C由靜止滾下，A球和B球碰撞后，分別在白紙上留下各自的落點痕跡，重復操作10次。M、P、N為三個落點的平均位置，未放B球時，A球的落點是P點，O點是軌道末端在記錄紙上的豎直投影點，如圖2所示。
（1）為了盡量減小實驗誤差，A球碰后要沿原方向運動，兩個小球的質量應滿足m1___________m2（選填“>”或“<”）。
（2）關于本實驗的條件和操作要求，下列說法正確的是___________。
A．斜槽軌道必須光滑
B．斜槽軌道末端必須水平
C．B球每次的落點一定是重合的
D．實驗過程中，復寫紙和白紙都可以移動
（3）已知A、B兩個小球的質量m1、m2，三個落點位置與O點距離分別為OM、OP、ON。在實驗誤差允許范圍內，若滿足關系式___________，則可以認為兩球碰撞前后的總動量守恒。
【答案】> B
【解析】（1）[1]由碰撞原理可知，由于要保證碰撞后A球沿原方向運動，則A球的質量應大于B球，即m1>m2。
（2）[2]研究平拋運動的實驗很關鍵的地方是要保證小球能夠水平飛出，只有水平飛出時小球才做平拋運動，軌道是否光滑無影響，落點不一定重合，復寫紙和白紙可移動，故B正確，ACD錯誤。
故選B。
（3）[3]小球下落高度相同，則運動時間相同，由動量守恒定律可知，若兩球碰撞前后的總動量守恒，則
化簡可得
9、某興趣小組利用圖示裝置研究彈性碰撞。該裝置由傾斜軌道AB、平直軌道CD與斜面EF連接而成，其中B、C之間通過光滑小圓弧（圖中未畫出）連接，小球通過B、C前后速率不變。實驗時，先把CD段調成水平再把質量為m2的小球2放在平直軌道CD上，然后把質量為m1的小球1從傾斜軌道AB上的P點由靜止釋放，球1與球2發生正碰后，球2向前運動，經D點平拋后落到斜面上的Q點（圖中未畫出），球1反彈，最高上升到傾斜軌道AB上的P′點（圖中未畫出）該小組測出P點到CD的高度為h，P′點到CD的高度為，EQ=，θ=30°，球1與球2大小相等。
（1）本實驗中，m1___________m2（選填“>”“<”或“=”）；軌道AB、CD___________光滑（選填“需要”或“不需要”）。
（2）若重力加速度為g，取向右為正方向，碰撞后瞬間小球1的速度為_____（用g、h、表示）
（3）碰撞前后，若滿足表達式______，則可驗證碰撞中兩球組成系統的動量守恒。（用m1、m2、h、表示）
（4）碰撞前后，若滿足=_________h，則可驗證該碰撞為彈性碰撞。
【答案】< 需要
【解析】（1）[1][2]碰撞后球1反彈，應滿足m1＜m2；為了計算碰撞前后球1的速度，軌道AB、CD需要光滑；
（2）[3]碰撞后，對球1有
球2有
解得
（3）[4]在碰撞前，對球1有
對兩球組成的系統，由動量守恒定律得
解得
（4）[5]若是彈性碰撞，則對兩球系統有
解得
10、某學習小組用如圖所示的實驗裝置驗證動量守恒定律。
（1）實驗中必須要求的條件是______。
A．斜槽軌道盡量光滑以減少誤差
B．斜槽軌道末端的切線必須水平
C．入射球和被碰球的質量必須相等，且大小相同
D．入射球每次必須從軌道的同位置由靜止釋放
（2）圖中O點是小球拋出點在地面上的垂直投影。實驗時，先讓入射球m1多次從斜軌上S位置靜止釋放，找到其平均落地點的位置P。測量平拋射程OP，然后把被碰小球m2靜置于水平軌道的末端，再將入射球m1從斜軌上S位置靜止釋放，與小球m2相碰。并重復多次。則以下說法正確的是_______。
A．為了完成該實驗還需要用天平測量兩個小球的質量m1、m2
B．若兩球發生彈性碰撞，則OM、ON、OP之間定滿足的關系OP+OM=ON
C．為了驗證碰撞前后動量守恒，該同學只需驗證表達式=+
D．為了完成該實驗還需要分別找到相碰后平均落地點的位置M、N并測量平拋射程OM、ON
（3）該學習小組又用氣墊導軌做驗證動量守恒定律的實驗，將A、B兩滑塊在一水平長直氣墊導軌上相碰，用頻閃照相機分別在=0，=Δt，=2Δt，=3Δt時刻閃光拍照，攝得如圖所示照片，其中B像有重疊，已知x軸上單位長度為L，=m，=m，向右為正方向。若碰前B靜止，則碰撞發生t=______時刻，碰后B的動量為________（用m、L、Δt表示）；
【答案】BD ABCD 2.5Δt
【解析】（1）[1]A．由于每次小球在軌道上運動情況完全相同，斜面是否光滑對實驗結果沒有影響，A錯誤；
B．由于研究平拋運動，因此斜槽軌道末端的切線必須水平，B正確；
C．為了保證碰后兩個小球都向前運動不反彈，應使入射小球質量大于被碰小球的質量，C錯誤；
D．為了保證每次平拋的軌跡相同，入射球每次必須從軌道的同一位置由靜止釋放，D正確。
故選BD。
（2）[2]C．動量守恒關系式應為
而所有小球都做平拋運動，落地時間相同，設為t，則有
由于
，，
代入可得
=+
因此只要驗證了上式，就驗證了動量守恒，C正確；
AD．由動量守恒的等效關系式可知，為了完成該實驗還需要用天平測量兩個小球的質量m1、m2；還要分別找到相碰后平均落地點的位置M、N并測量平拋射程OM、ON
AD正確；
B．若兩球發生彈性碰撞，可知
兩式聯立可得
因此等效關系式為
OP+OM=ON
B正確。
故選ABCD。
（3）[3][4]由于碰前B靜止，碰撞發生在的位置，因此碰前A運動的時間為2.5Δt，
相碰的時刻就是2.5Δt相碰；碰后B向前運動了距離為L，所用時間為0.5Δt，因此碰后B的速度
碰后B的動量
11、某同學利用如圖所示的裝置進行“驗證動量守恒定律”的實驗，操作步驟如下：
①在水平桌面上的適當位置固定好彈簧發射器，使其出口處切線與水平桌面相平；
②在一塊長平木板表面先后釘上白紙和復寫紙，將該木板豎直并貼緊桌面右側邊緣．將小球a向左壓縮彈簧并使其由靜止釋放，a球碰到木板，在白紙上留下壓痕P；
③將木板向右水平平移適當距離，再將小球a向左壓縮彈簧到某一固定位置并由靜止釋放，撞到木板上，在白紙上留下壓痕P2；
④將半徑相同的小球b放在桌面的右邊緣，仍讓小球a從步驟③中的釋放點由靜止釋放，與b球相碰后，兩球均撞在木板上，在白紙上留下壓痕P1、P3.
(1)下列說法正確的是________．
A．小球a的質量一定要大于小球b的質量
B．彈簧發射器的內接觸面及桌面一定要光滑
C．步驟②③中入射小球a的釋放點位置一定相同
D．把小球輕放在桌面右邊緣，觀察小球是否滾動來檢測桌面右邊緣末端是否水平
(2)本實驗必須測量的物理量有________．
A．小球的半徑r
B．小球a、b的質量m1、m2
C．彈簧的壓縮量x1，木板距離桌子邊緣的距離x2
D．小球在木板上的壓痕P1、P2、P3分別與P之間的豎直距離h1、h2、h3
(3)用(2)中所測的物理量來驗證兩球碰撞過程中動量是否守恒，當滿足關系式________時，則證明a、b兩球碰撞過程中動量守恒．
【答案】(1)AD　(2)BD　(3) ＝＋
【解析】(1)小球a的質量一定要大于小球b的質量，以防止入射球碰后反彈，選項A正確；彈簧發射器的內接觸面及桌面不一定要光滑，只要a球到達桌邊時速度相同即可，選項B錯誤；步驟②③中入射小球a的釋放點位置不一定相同，但是步驟③④中入射小球a的釋放點位置一定要相同，選項C錯誤；把小球輕放在桌面右邊緣，觀察小球是否滾動來檢測桌面右邊緣末端是否水平，選項D正確．
(2)小球離開桌面右邊緣后做平拋運動，設其水平位移為L，則小球做平拋運動的時間t＝
小球的豎直位移h＝gt2
解得v0＝L
碰撞前入射球a的水平速度v1＝L
碰撞后入射球a的水平速度v2＝L
碰撞后被碰球b的水平速度v3＝L
如果碰撞過程系統動量守恒，則m1v1＝m1v2＋m2v3
即m1·L＝m1·L＋m2·L整理得＝＋
則要測量的物理量是：小球a、b的質量m1、m2和小球在木板上的壓痕P1、P2、P3分別與P之間的豎直距離h1、h2、h3，故選B、D.
(3)由以上分析可知當滿足關系式＝＋時，則證明a、b兩球碰撞過程中動量守恒．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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