資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第6講 豎直平面內的圓周運動
1.理解生活中豎直平面內的運動實例
2.會解決豎直平面內的運動
類型一：豎直平面內的圓周運動
1.向心力來源（最高點和最低點）：汽車做圓周運動，重力和橋面的支持力提供向心力。
2.汽車過橋分析
（1）過凸形橋分析（求汽車過橋時對橋的壓力）
設質量為m的汽車以速度v在圓弧半徑為R的凸形橋上運動，選取汽車為研究對象進行受力分析如圖所示，汽車在最高點做圓周運動，重力mg和橋面對汽車的支持力N的合力提供其做圓周運動的向心力。則：
又 ，那么，，根據牛頓第三定律有：。
可以看出，汽車對橋的壓力小于汽車受到的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越小。
①當時，，即。
②當時，。
③當時，汽車會脫離橋面，發生危險。
（2）過凹形橋分析（求汽車過橋時對橋的壓力）
設質量為m的汽車以速度v在圓弧半徑為R的凹形橋上運動，選取汽車為研究對象進行受力分析如圖所示，汽車在最低點做圓周運動，重力mg和橋面對汽車的支持力N的合力提供其做圓周運動的向心力。則：
又 ，那么，，根據牛頓第三定律有：。
可以看出，汽車對橋的壓力大于汽車受到的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越大。
二.離心運動和近心運動
1.離心運動
（1）物體做離心運動的條件：合外力突然消失，或不足以提供所需的向心力。
（2）離心運動：做勻速圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或者不足以提供所需的向心力情況下，做逐漸遠離圓心的運動，這種運動叫做離心運動。
2.近心運動
（1）物體做離心運動的條件：合外力突然增大，或合外力大于所需的向心力。
（2）近心運動：做勻速圓周運動的物體，在所受合外力突然增大或者大于所需的向心力情況下，做逐漸靠近圓心的運動，這種運動叫做近心運動。
三 豎直平面內的圓周運動的兩類模型
豎直平面內的圓周運動一般是變速圓周運動，運動的速度大小和方向在不斷發生變化，運動過程復雜，合外力不僅要改變運動方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的臨界位置──最高點和最低點。兩類模型——輕繩類和輕桿類。
1.輕繩類
如圖1所示，運動質點在一輕繩的作用下繞中心點作變速圓周運動。由于繩子只能提供拉力而不能提供支持力，質點在最高點所受的合力不能為零，合力的最小值是物體的重力。所以：
（1）質點過最高點的臨界條件：質點達最高點時繩子的拉力剛好為零，質點在最高點的向心力全部由質點的重力來提供，這時有，式中的是質點通過最高點的最小速度，叫臨界速度；
（2）質點過最高點的最小向心加速度；
（3）質點能通過最高點的條件是，當質點的速度小于這一值時，質點將運動不到最高點。
繩模型
最高點： 最低點：
說明：繩子只要存在拉力，則小球一定能通過最高點。當只存在重力作為向心力的時候向心力最小，令，解得臨界速度。因而當時才能通過最高點。
2.輕桿類（環）
如圖2所示，運動質點在一輕桿的作用下，繞中心點作變速圓周運動，由于輕桿能對質點提供支持力和拉力，所以質點過最高點時受的合力可以為零，質點在最高點可以處于平衡狀態。所以質點過最高點的最小速度為零。
（1）當時，輕桿對質點有豎直向上的支持力，其大小等于質點的重力，即；
（2）當時，；
（3）當，質點的重力不足以提供向心力，桿對質點有指向圓心的拉力，且拉力隨速度的增大而增大；
（4）當時，質點的重力大于其所需的向心力，輕桿對質點的豎直向上的支持力，支持力隨的增大而減小。
豎直平面內的圓周運動一般可以劃分為這兩類，如豎直（光滑）圓弧內側的圓周運動，水流星的運動，過山車運動等，可化為豎直平面內輕繩類圓周運動；汽車過凸形拱橋，小球在豎直平面內的（光滑）圓環內運動，小球套在豎直圓環上的運動等，可化為輕豎直平面內輕桿類圓周運動。
桿模型
（支持力）
最高點情況分類討論 （拉力）
（只有重力）
最低點：
1．下列有關洗衣機中脫水筒的脫水原理的說法正確的是 (　　)．
A．水滴受離心力作用而背離圓心方向甩出
B．水滴受到向心力，由于慣性沿切線方向甩出
C．水滴受到的離心力大于它受到的向心力，而沿切線方向甩出
D．水滴與衣服間的附著力小于它所需要的向心力，于是水滴沿切線方向甩出
解析　根據離心運動的特點知，水滴的離心現象是由于水滴與衣服間的附著力小于水滴運動所需要的向心力，即提供的向心力不足，所以水滴沿切線方向甩出，正確選項為D.
答案　D
2．火車以某一速度v通過某彎道時，內、外軌道均不受側壓力作用，下面分析正確的是 (　　)．
A．軌道半徑R＝
B．若火車速度大于v時，外軌將受到側壓力作用，其方向平行于軌道平面向外
C．若火車速度小于v時，外軌將受到側壓力作用，其方向平行于軌道平面向內
D．當火車質量改變時，安全速率也將改變
解析　不擠壓內、外軌時，火車受力如圖所示，由向心力公式知mgtan θ＝m，所以R＝，v＝，可見A、D錯．當速度大于v時，向心力增大，mg和FN的合力提供向心力不足，擠壓外軌，獲得外軌的側壓力，方向平行于軌道平面向內，由牛頓第三定律可知，外軌受到側壓力，方向平行于軌道平面向外，B對；火車速度小于v時，內軌受到側壓力，方向平行于軌道平面向內，D錯．
答案　B
3．在雜技節目“水流星”的表演中，碗的質量m1＝0.1 kg，內部盛水質量m2＝0.4 kg，拉碗的繩子長l＝0.5 m，使碗在豎直平面內做圓周運動，如果碗通過最高點的速度v1＝9 m/s，通過最低點的速度v2＝10 m/s，求：
(1)碗在最高點時繩的拉力及水對碗的壓力；
(2)碗在最低點時繩的拉力及水對碗的壓力．(g＝10 m/s2)
解析　(1)對水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT1＋mg＝，FT1＝－mg＝N＝76 N，以水為研究對象，設最高點碗對水的壓力為F1，F1＋m2g＝，F1＝60.8 N，水對碗的壓力F1′＝F1＝60.8 N，方向豎直向上．
(2)對水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT2－mg＝，FT2＝＋mg＝105 N，以水為研究對象，F2－m2g＝，F2＝84 N，水對碗的壓力F2′＝F1＝84 N，方向豎直向下．
答案　(1)76 N　60.8 N　(2)105 N　84 N
4．殲擊機的“穩定盤旋過載”指的是殲擊機做水平盤旋時的加速度，這個參數越大，表明戰機近距格斗中能更快的搶占有利攻擊陣位，也能更靈活地逃脫敵機或導彈的追擊．國產某新型戰機的穩定盤旋過載為6g(g為重力加速度，取g＝10 m/s2)，在飛行速度為360 m/s時，求它水平盤旋的最小半徑和機翼與水平面間的夾角的正切值．
解析　飛機水平盤旋時加速度為6g，由牛頓第二定律：
m×6g＝m
故R＝＝ m＝2 160 m.
飛機盤旋時，其重力和空氣對飛機的升力的合力作為向心力，受力情況如圖所示，設盤旋時機翼與水平面的夾角為θ，空氣對飛機的升力F垂直于機翼，[]
則Fcos θ＝mg，Fsin θ＝ma
所以tan θ＝＝6
答案　2 160 m　
5．長L＝0.5 m的輕桿，其一端連接著一個零件A，A的質量m＝2 kg.現讓A在豎直平面內繞O點做勻速圓周運動，如圖5－7－13所示．在A通過最高點時，求下列兩種情況下A對桿的作用力：
圖5－7－13
(1)A的速率為1 m/s；
(2)A的速率為4 m/s.(g＝10 m/s2)
解析　以A為研究對象，設其受到桿的拉力為F，則有mg＋F＝m.
(1)代入數據v＝1 m/s，
可得F＝m＝2×N＝－16 N，即A受到桿的支持力為16 N．根據牛頓第三定律可得A對桿的作用力為壓力，大小為16 N.
(2)代入數據v＝4 m/s，
可得F＝m＝2×N＝44 N，即A受到桿的拉力為44 N．根據牛頓第三定律可得A對桿的作用力為拉力，大小為44 N.
答案　(1)16 N　(2)44 N
基礎演練
1．如圖所示，長為L的細線，一端固定在O點，另一端系一個球.把小球拉到與懸點O處于同一水平面的A點，并給小球豎直向下的初速度，使小球繞O點在豎直平面內做圓周運動。要使小球能夠在豎直平面內做圓周運動，在A處小球豎直向下的最小初速度應為（ ）
A． B．
C． D．
2．由上海飛往美國洛杉磯的飛機與洛杉磯返航飛往上
海的飛機，若往返飛行時間相同，且飛經太平洋上空等高勻速飛行，飛行中兩種情
況相比較，飛機上的乘客對座椅的壓力 （ ）
A．相等 B．前者一定稍大于后者
C．前者一定稍小于后者 D．均可能為零
3．用一根細線一端系一小球（可視為質點），另一端固定在一光滑錐頂上，如圖（1）所示，設小球在水平面內作勻速圓周運動的角速度為ω，線的張力為T，則T隨ω2變化的圖象是圖（2）中的 （ ）
4．在質量為M的電動機飛輪上，固定著一個質量為m的重物，重物到軸的距離為R，如圖所示，為了使電動機不從地面上跳起，電動機飛輪轉動的最大角速度不能超過
（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖所示，具有圓錐形狀的回轉器（陀螺），半徑為R，繞它的軸在光滑的桌面上以角速度ω快速旋轉，同時以速度v向左運動，若回轉器的軸一直保持豎直，為使回轉器從左側桌子邊緣滑出時不會與桌子邊緣發生碰撞，v至少應等于（ ）
A．ωR B．ωH
C．R D．R
6．如圖，細桿的一端與一小球相連，可繞過O點的水平軸自由轉
動現給小球一初速度，使它做圓周運動，圖中a、b分別表示小
球軌道的最低點和最高點，則桿對球的作用力可能是（ ）
A．a處為拉力，b處為拉力
B．a處為拉力，b處為推力
C．a處為推力，b處為拉力
D．a處為推力，b處為推力
7．如圖所示在方向豎直向下的勻強電場中，一個帶負電q，質量為
m且重力大于所受電場力的小球，從光滑的斜面軌道的點A由靜
止下滑，若小球恰能通過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點B而
作圓周運動，問點A的高度h至少應為多少？
參考答案：
1．C 2．C 3．C 4．B 5．D 6．AB 7．5R/2
鞏固提高
1．用細繩拴著小球做圓錐擺運動，如圖5－6－8所示，下列說法正確的是
(　　)．
圖5－6－8
A．小球受到重力、繩子的拉力和向心力的作用
B．小球做圓周運動的向心力是重力和繩子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示為Fn＝mrω2，也可以表示為Fn＝mgtan θ
D．以上說法都正確
解析　小球受兩個力的作用：重力和繩子的拉力，兩個力的合力提供向心力，因此有Fn＝mgtan θ＝mrω2.所以正確答案為B、C.
答案　BC
2．在光滑的水平面上，用長為l的細線拴一質量為m的小球，使小球以角速度ω做勻速圓周運動．下列說法中正確的是 (　　)．
A．l、ω不變，m越大線越易被拉斷
B．m、ω不變，l越小線越易被拉斷
C．m、l不變，ω越大線越易被拉斷
D．m不變，l減半且角速度加倍時，線的拉力不變
解析　在光滑的水平面上細線對小球的拉力提供小球做圓周運動的向心力．由Fn＝mω2r知，在角速度ω不變時，Fn與小球的質量m、半徑l都成正比，A正確，B錯誤；質量m不變時，Fn又與l和ω2成正比，C正確，D錯誤．
答案　AC
3．如圖5－6－9所示，在勻速轉動的圓筒內壁上緊靠著一個物體，物體隨筒一起轉動，物體所需的向心力由下面哪個力來提供 (　　)．
圖5－6－9[]
A．重力 B．彈力
C．靜摩擦力 D．滑動摩擦力
解析　本題可用排除法．首先可排除A、D兩項．若向心力由靜摩擦力提供，則靜摩擦力或其分力應指向圓心，這是不可能的，C錯．故選B.
答案　B
4．在水平冰面上，狗拉著雪橇做勻速圓周運動，O點為圓心．能正確地表示雪橇受到的牽引力F及摩擦力Ff的圖是 (　　)．
[][]
解析　由于雪橇在冰面上滑動，故滑動摩擦力方向必與運動方向相反，即方向應為圓的切線方向，因做勻速圓周運動，合外力一定指向圓心，由此可知C正確．
答案　C
5．游客乘坐過山車，在圓弧軌道最低點處獲得的向心加速度達20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置的座椅對游客的作用力相當于游客重力的 (　　)．
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
解析　游客乘坐過山車在圓弧軌道最低點的受力如圖所示．由牛頓第二定律得FN－mg＝ma向＝2mg，
則FN＝mg＋2mg＝3mg，＝3.
答案　C
6．A、B兩球都做勻速圓周運動，A球的質量為B球質量的3倍，A球在半徑為25 cm的圓周上運動，B球在半徑為16 cm 的圓周上運動，且A球的轉速為30 r/min，B球的轉速為75 r/min，求A球所受的向心力與B球所受的向心力之比．
解析　由題意知＝3，＝，＝＝
由F＝mω2r得＝×2×＝.
答案　
7．如圖5－6－10所示，有一個水平大圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉動，小強站在距圓心為r處的P點不動，關于小強的受力下列說法正確的是 (　　)．
圖5－6－10
A．小強在P點不動，因此不受摩擦力作用
B．若使圓盤以較小的轉速轉動時，小強在P點受到的摩擦力為零
C．小強隨圓盤做勻速圓周運動，圓盤對他的摩擦力充當向心力
D．如果小強隨圓盤一起做變速圓周運動，那么其所受摩擦力仍指向圓心
解析　由于小強隨圓盤做勻速圓周運動，一定需要向心力，該力一定指向圓心方向，而重力和支持力在豎直方向上，它們不能充當向心力，因此他會受到摩擦力作用，且充當向心力，A、B錯誤，C正確；當小強隨圓盤一起做變速圓周運動時，合力不再指向圓心，則摩擦力不再指向圓心．D錯．[]
答案　C
8．如圖5－6－11所示，在光滑桿上穿著兩個小球m1、m2，有m1＝2m2，用細線把兩球連起來，當盤架勻速轉動時，兩小球剛好能與桿保持無相對滑動，此時兩小球到轉軸的距離r1與r2之比為 (　　)．
圖5－6－11
A．1∶1 　　　　　　 B．1∶
C．2∶1 　　　　　　 D．1∶2
解析　設兩球受繩子的拉力分別為F1、F2.
對m1：F1＝m1ωr1
對m2：F2＝m2ωr2
因為F1＝F2，ω1＝ω2
解得＝＝.
答案　D
9．如圖5－6－12所示，將完全相同的兩小球A、B，用長L＝0.8 m的細繩懸于以v＝4 m/s向左勻速運動的小車頂部，兩球與小車前后壁接觸．由于某種原因，小車突然停止，此時懸線中張力之比FA∶FB為(g＝10 m/s2) (　　)．
圖5－6－12
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
解析　小車突然停止，B球將做圓周運動，所以FB＝m＋mg＝30m；A球做水平方向減速運動，FA＝mg＝10m，故此時懸線中張力之比為FA∶FB＝1∶3，C選項正確．
答案　C
10．如圖5－6－13所示，質量為m的物體，沿半徑為r的圓軌道自A點滑下，A與圓心O等高，滑至B點(B點在O點正下方)時的速度為v，已知物體與軌道間的動摩擦因數為μ，求物體在B點所受的摩擦力．
圖5－6－13
解析　物體由A滑到B的過程中，受到重力、軌道彈力及摩擦力的作用，做圓周運動，在B點物體的受力情況如圖所示，其中軌道彈力FN與重力mg的合力提供物體做圓周運動的向心力；由牛頓第二定律有FN－mg＝，可求得FN＝mg＋，則滑動摩擦力為Ff＝μFN＝μm.
答案　μm
1．下列關于向心加速度的說法中正確的是 (　　)．
A．向心加速度表示做圓周運動的物體速率改變的快慢
B．向心加速度表示角速度變化的快慢
C．向心加速度描述線速度方向變化的快慢
D．勻速圓周運動的向心加速度不變
解析　勻速圓周運動中速率不變，向心加速度只改變速度的方向，顯然A項是錯誤的；勻速圓周運動的角速度是不變的，所以B項也是錯誤的；勻速圓周運動中速度的變化只表現為速度方向的變化，作為反映速度變化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向變化的快慢，所以C項正確；向心加速度的方向是變化的，所以D項也是錯誤的．
答案　C
2．關于勻速圓周運動，下列說法正確的是 (　　)．
A．由an＝知，勻速圓周運動的向心加速度恒定
B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小
C．勻速圓周運動不屬于勻速運動
D．向心加速度越大，物體速率變化越快
解析　加速度是矢量，且方向始終指向圓心，因此為變量，所以A錯；由向心加速度的意義可知B對、D錯；勻速運動是勻速直線運動的簡稱，勻速圓周運動其實是勻速率圓周運動，屬于曲線運動，C正確．[]
答案　BC
3．如圖5－5－12所示是自行車的輪盤與車軸上的飛輪之間的鏈條傳動裝置，P是輪盤上的一個齒，Q是飛輪上的一個齒．下列說法中正確的是 (　　)．
圖5－5－12
A．P、Q兩點的角速度大小相等
B．P、Q兩點的向心加速度大小相等
C．P點的向心加速度小于Q點的向心加速度
D．P點的向心加速度大于Q點的向心加速度
解析　P、Q兩點的線速度大小相等，由a＝知，選項C正確，其余選項均錯誤．[]
答案　C
4．一質點做勻速圓周運動，其線速度大小為4 m/s，轉動周期為2 s，則下列說法錯誤的是 (　　)．
A．角速度為0.5 rad/s B．轉速為0.5 r/s
C．軌跡半徑為 m D．加速度大小為4π m/s2
解析　角速度為ω＝＝π rad/s，A錯誤；轉速為n＝＝0.5 r/s，B正確；半徑r＝＝ m，C正確；向心加速度大小為an＝＝4π m/s2，D正確．
答案　A
5．如圖5－5－13所示，壓路機大輪的半徑R是小輪半徑r的2倍，壓路機勻速行駛時，大輪邊緣上A點的向心加速度為0.12 m/s2，那么小輪邊緣上B點的向心加速度為多大？大輪上距軸心的距離為的C點的向心加速度為多大？
圖5－5－13
解析　壓路機勻速行駛時，vB＝vA，由a＝，得＝＝2
得aB＝2aA＝0.24 m/s2
又ωA＝ωC，由a＝ω2r，得＝＝
得aC＝aA＝0.04 m/s2.
答案　0.24 m/s2　0.04 m/s2
6．Maloof Money Cup是全球最大的滑板賽事，于2011年9月在南非舉行．如圖5－5－14所示，某滑板運動員恰好從B點進入半徑為2 m的圓弧軌道，該圓弧軌道在C點與水平軌道相接，運動員滑到C點時的速度大小為10 m/s，求他到達C點前、后的瞬時加速度(不計各種阻力)．
圖5－5－14
解析　運動員經圓弧滑到C點前做圓周運動．因為不計各種阻力，故經過C點之前的瞬間運動員只在豎直方向上受力，只有向心加速度．由an＝得運動員到達C點前的瞬時加速度
a1＝m/s2＝50 m/s2，方向豎直向上
運動員滑過C點后，進入水平軌道做勻速直線運動，故加速度a2＝0.
答案　50 m/s2，方向豎直向上　0
7．物體做半徑為R的勻速圓周運動，它的向心加速度、角速度、線速度和周期分別為a、ω、v和T，則下列關系式正確的是 (　　)．
A．ω＝ B．v＝aR C．a＝ωv D．T＝2π
解析　由a＝Rω2，v＝Rω可得ω＝ ，v＝，a＝ωv，即A、B錯誤，C正確；又由T＝與ω＝ 得T＝2π，即D正確．
答案　CD
8．a、b兩輛玩具車在各自的圓軌道上做勻速圓周運動，在相同的時間內，它們通過的路程之比為3∶4，轉過的角度之比為2∶3，則它們的向心加速度大小之比為 (　　)．
A．2∶1 B．1∶2 C．9∶16 D．4∶9
解析　a、b兩玩具車的線速度之比va∶vb＝sa∶sb＝3∶4，角速度之比ωa∶ωb＝θa∶θb＝2∶3，故它們的向心加速度之比aa∶ab＝vaωa∶vbωb＝1∶2，B正確．
答案　B
1．(贛州高一檢測)質量為m的滑塊從半徑為R的半球形碗的邊緣滑向碗底，過碗底時速度為v，若滑塊與碗間的動摩擦因數為μ，則在過碗底時滑塊受到摩擦力的大小為( )
A．μmg B．μm
C．μm(g+) D．μm(-g)
2．半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖所示。頂部有一小物體甲，今給它一個水平初速度v0=，則物體甲將( )
A．沿球面下滑至M點
B．先沿球面下滑至某點N，然后便離開球面做斜下拋運動
C．按半徑大于R的新的圓弧軌道做圓周運動
D．立即離開半圓球做平拋運動
3.長L=0.5 m、質量可忽略的桿，其一端連有質量為m=2 kg的小球，以另一端O為轉軸，它繞O點在豎直平面內做圓周運動，當通過最高點時，如圖所示。求下列情況下桿對球的作用力(計算大小，并說明是拉力還是支持力，g=10 m/s2)
(1)當v1=1 m/s時，大小為多少？是拉力還是支持力？[]
4.(·太原高一檢測)如圖，質量為m1=0.5 kg的小杯里盛有質量為m2=1 kg的水，用繩子系住小杯在豎直平面內做“水流星”表演，轉動半徑為r=1 m，小杯通過最高點的速度為v=4 m/s，g取10 m/s2，求：
(1)在最高點時，繩的拉力大小;
(2)在最高點時,杯底對水的壓力大小;
(3)為使小杯經過最高點時水不流出, 在最高點時的最小速率是多少
1C 2D 3(1)16 N　支持力　　(2)44 N　拉力 4(1)9 N　　(2)6 N　　(3) m/s
5中小學教育資源及組卷應用平臺
第6講 豎直平面內的圓周運動
1.理解生活中豎直平面內的運動實例
2.會解決豎直平面內的運動
類型一：豎直平面內的圓周運動
1.向心力來源（最高點和最低點）：汽車做圓周運動，重力和橋面的支持力提供向心力。
2.汽車過橋分析
（1）過凸形橋分析（求汽車過橋時對橋的壓力）
設質量為m的汽車以速度v在圓弧半徑為R的凸形橋上運動，選取汽車為研究對象進行受力分析如圖所示，汽車在最高點做圓周運動，重力mg和橋面對汽車的支持力N的合力提供其做圓周運動的向心力。則：
又 ，那么，，根據牛頓第三定律有：。
可以看出，汽車對橋的壓力小于汽車受到的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越小。
①當時，，即。
②當時，。
③當時，汽車會脫離橋面，發生危險。
（2）過凹形橋分析（求汽車過橋時對橋的壓力）
設質量為m的汽車以速度v在圓弧半徑為R的凹形橋上運動，選取汽車為研究對象進行受力分析如圖所示，汽車在最低點做圓周運動，重力mg和橋面對汽車的支持力N的合力提供其做圓周運動的向心力。則：
又 ，那么，，根據牛頓第三定律有：。
可以看出，汽車對橋的壓力大于汽車受到的重力，而且汽車速度越大，對橋的壓力越大。
二.離心運動和近心運動
1.離心運動
（1）物體做離心運動的條件：合外力突然消失，或不足以提供所需的向心力。
（2）離心運動：做勻速圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或者不足以提供所需的向心力情況下，做逐漸遠離圓心的運動，這種運動叫做離心運動。
2.近心運動
（1）物體做離心運動的條件：合外力突然增大，或合外力大于所需的向心力。
（2）近心運動：做勻速圓周運動的物體，在所受合外力突然增大或者大于所需的向心力情況下，做逐漸靠近圓心的運動，這種運動叫做近心運動。
三 豎直平面內的圓周運動的兩類模型
豎直平面內的圓周運動一般是變速圓周運動，運動的速度大小和方向在不斷發生變化，運動過程復雜，合外力不僅要改變運動方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的臨界位置──最高點和最低點。兩類模型——輕繩類和輕桿類。
1.輕繩類
如圖1所示，運動質點在一輕繩的作用下繞中心點作變速圓周運動。由于繩子只能提供拉力而不能提供支持力，質點在最高點所受的合力不能為零，合力的最小值是物體的重力。所以：
（1）質點過最高點的臨界條件：質點達最高點時繩子的拉力剛好為零，質點在最高點的向心力全部由質點的重力來提供，這時有，式中的是質點通過最高點的最小速度，叫臨界速度；
（2）質點過最高點的最小向心加速度；
（3）質點能通過最高點的條件是，當質點的速度小于這一值時，質點將運動不到最高點。
繩模型
最高點： 最低點：
說明：繩子只要存在拉力，則小球一定能通過最高點。當只存在重力作為向心力的時候向心力最小，令，解得臨界速度。因而當時才能通過最高點。
2.輕桿類（環）
如圖2所示，運動質點在一輕桿的作用下，繞中心點作變速圓周運動，由于輕桿能對質點提供支持力和拉力，所以質點過最高點時受的合力可以為零，質點在最高點可以處于平衡狀態。所以質點過最高點的最小速度為零。
（1）當時，輕桿對質點有豎直向上的支持力，其大小等于質點的重力，即；
（2）當時，；
（3）當，質點的重力不足以提供向心力，桿對質點有指向圓心的拉力，且拉力隨速度的增大而增大；
（4）當時，質點的重力大于其所需的向心力，輕桿對質點的豎直向上的支持力，支持力隨的增大而減小。
豎直平面內的圓周運動一般可以劃分為這兩類，如豎直（光滑）圓弧內側的圓周運動，水流星的運動，過山車運動等，可化為豎直平面內輕繩類圓周運動；汽車過凸形拱橋，小球在豎直平面內的（光滑）圓環內運動，小球套在豎直圓環上的運動等，可化為輕豎直平面內輕桿類圓周運動。
桿模型
（支持力）
最高點情況分類討論 （拉力）
（只有重力）
最低點：
1．下列有關洗衣機中脫水筒的脫水原理的說法正確的是 (　　)．
A．水滴受離心力作用而背離圓心方向甩出
B．水滴受到向心力，由于慣性沿切線方向甩出
C．水滴受到的離心力大于它受到的向心力，而沿切線方向甩出
D．水滴與衣服間的附著力小于它所需要的向心力，于是水滴沿切線方向甩出
解析　根據離心運動的特點知，水滴的離心現象是由于水滴與衣服間的附著力小于水滴運動所需要的向心力，即提供的向心力不足，所以水滴沿切線方向甩出，正確選項為D.
答案　D
2．火車以某一速度v通過某彎道時，內、外軌道均不受側壓力作用，下面分析正確的是 (　　)．
A．軌道半徑R＝
B．若火車速度大于v時，外軌將受到側壓力作用，其方向平行于軌道平面向外
C．若火車速度小于v時，外軌將受到側壓力作用，其方向平行于軌道平面向內
D．當火車質量改變時，安全速率也將改變
解析　不擠壓內、外軌時，火車受力如圖所示，由向心力公式知mgtan θ＝m，所以R＝，v＝，可見A、D錯．當速度大于v時，向心力增大，mg和FN的合力提供向心力不足，擠壓外軌，獲得外軌的側壓力，方向平行于軌道平面向內，由牛頓第三定律可知，外軌受到側壓力，方向平行于軌道平面向外，B對；火車速度小于v時，內軌受到側壓力，方向平行于軌道平面向內，D錯．
答案　B
3．在雜技節目“水流星”的表演中，碗的質量m1＝0.1 kg，內部盛水質量m2＝0.4 kg，拉碗的繩子長l＝0.5 m，使碗在豎直平面內做圓周運動，如果碗通過最高點的速度v1＝9 m/s，通過最低點的速度v2＝10 m/s，求：
(1)碗在最高點時繩的拉力及水對碗的壓力；
(2)碗在最低點時繩的拉力及水對碗的壓力．(g＝10 m/s2)
解析　(1)對水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT1＋mg＝，FT1＝－mg＝N＝76 N，以水為研究對象，設最高點碗對水的壓力為F1，F1＋m2g＝，F1＝60.8 N，水對碗的壓力F1′＝F1＝60.8 N，方向豎直向上．
(2)對水和碗：m＝m1＋m2＝0.5 kg，FT2－mg＝，FT2＝＋mg＝105 N，以水為研究對象，F2－m2g＝，F2＝84 N，水對碗的壓力F2′＝F1＝84 N，方向豎直向下．
答案　(1)76 N　60.8 N　(2)105 N　84 N
4．殲擊機的“穩定盤旋過載”指的是殲擊機做水平盤旋時的加速度，這個參數越大，表明戰機近距格斗中能更快的搶占有利攻擊陣位，也能更靈活地逃脫敵機或導彈的追擊．國產某新型戰機的穩定盤旋過載為6g(g為重力加速度，取g＝10 m/s2)，在飛行速度為360 m/s時，求它水平盤旋的最小半徑和機翼與水平面間的夾角的正切值．
解析　飛機水平盤旋時加速度為6g，由牛頓第二定律：
m×6g＝m
故R＝＝ m＝2 160 m.
飛機盤旋時，其重力和空氣對飛機的升力的合力作為向心力，受力情況如圖所示，設盤旋時機翼與水平面的夾角為θ，空氣對飛機的升力F垂直于機翼，[]
則Fcos θ＝mg，Fsin θ＝ma
所以tan θ＝＝6
答案　2 160 m　
5．長L＝0.5 m的輕桿，其一端連接著一個零件A，A的質量m＝2 kg.現讓A在豎直平面內繞O點做勻速圓周運動，如圖5－7－13所示．在A通過最高點時，求下列兩種情況下A對桿的作用力：
圖5－7－13
(1)A的速率為1 m/s；
(2)A的速率為4 m/s.(g＝10 m/s2)
解析　以A為研究對象，設其受到桿的拉力為F，則有mg＋F＝m.
(1)代入數據v＝1 m/s，
可得F＝m＝2×N＝－16 N，即A受到桿的支持力為16 N．根據牛頓第三定律可得A對桿的作用力為壓力，大小為16 N.
(2)代入數據v＝4 m/s，
可得F＝m＝2×N＝44 N，即A受到桿的拉力為44 N．根據牛頓第三定律可得A對桿的作用力為拉力，大小為44 N.
答案　(1)16 N　(2)44 N
基礎演練
1．如圖所示，長為L的細線，一端固定在O點，另一端系一個球.把小球拉到與懸點O處于同一水平面的A點，并給小球豎直向下的初速度，使小球繞O點在豎直平面內做圓周運動。要使小球能夠在豎直平面內做圓周運動，在A處小球豎直向下的最小初速度應為（ ）
A． B．
C． D．
2．由上海飛往美國洛杉磯的飛機與洛杉磯返航飛往上
海的飛機，若往返飛行時間相同，且飛經太平洋上空等高勻速飛行，飛行中兩種情
況相比較，飛機上的乘客對座椅的壓力 （ ）
A．相等 B．前者一定稍大于后者
C．前者一定稍小于后者 D．均可能為零
3．用一根細線一端系一小球（可視為質點），另一端固定在一光滑錐頂上，如圖（1）所示，設小球在水平面內作勻速圓周運動的角速度為ω，線的張力為T，則T隨ω2變化的圖象是圖（2）中的 （ ）
4．在質量為M的電動機飛輪上，固定著一個質量為m的重物，重物到軸的距離為R，如圖所示，為了使電動機不從地面上跳起，電動機飛輪轉動的最大角速度不能超過
（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖所示，具有圓錐形狀的回轉器（陀螺），半徑為R，繞它的軸在光滑的桌面上以角速度ω快速旋轉，同時以速度v向左運動，若回轉器的軸一直保持豎直，為使回轉器從左側桌子邊緣滑出時不會與桌子邊緣發生碰撞，v至少應等于（ ）
A．ωR B．ωH
C．R D．R
6．如圖，細桿的一端與一小球相連，可繞過O點的水平軸自由轉
動現給小球一初速度，使它做圓周運動，圖中a、b分別表示小
球軌道的最低點和最高點，則桿對球的作用力可能是（ ）
A．a處為拉力，b處為拉力
B．a處為拉力，b處為推力
C．a處為推力，b處為拉力
D．a處為推力，b處為推力
7．如圖所示在方向豎直向下的勻強電場中，一個帶負電q，質量為
m且重力大于所受電場力的小球，從光滑的斜面軌道的點A由靜
止下滑，若小球恰能通過半徑為R的豎直圓形軌道的最高點B而
作圓周運動，問點A的高度h至少應為多少？
鞏固提高
1．用細繩拴著小球做圓錐擺運動，如圖5－6－8所示，下列說法正確的是
(　　)．
圖5－6－8
A．小球受到重力、繩子的拉力和向心力的作用
B．小球做圓周運動的向心力是重力和繩子的拉力的合力
C．向心力的大小可以表示為Fn＝mrω2，也可以表示為Fn＝mgtan θ
D．以上說法都正確
2．在光滑的水平面上，用長為l的細線拴一質量為m的小球，使小球以角速度ω做勻速圓周運動．下列說法中正確的是 (　　)．
A．l、ω不變，m越大線越易被拉斷
B．m、ω不變，l越小線越易被拉斷
C．m、l不變，ω越大線越易被拉斷
D．m不變，l減半且角速度加倍時，線的拉力不變
3．如圖5－6－9所示，在勻速轉動的圓筒內壁上緊靠著一個物體，物體隨筒一起轉動，物體所需的向心力由下面哪個力來提供 (　　)．
圖5－6－9[]
A．重力 B．彈力
C．靜摩擦力 D．滑動摩擦力
4．在水平冰面上，狗拉著雪橇做勻速圓周運動，O點為圓心．能正確地表示雪橇受到的牽引力F及摩擦力Ff的圖是 (　　)．
5．游客乘坐過山車，在圓弧軌道最低點處獲得的向心加速度達20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置的座椅對游客的作用力相當于游客重力的 (　　)．
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
6．A、B兩球都做勻速圓周運動，A球的質量為B球質量的3倍，A球在半徑為25 cm的圓周上運動，B球在半徑為16 cm 的圓周上運動，且A球的轉速為30 r/min，B球的轉速為75 r/min，求A球所受的向心力與B球所受的向心力之比．
7．如圖5－6－10所示，有一個水平大圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉動，小強站在距圓心為r處的P點不動，關于小強的受力下列說法正確的是 (　　)．
圖5－6－10
A．小強在P點不動，因此不受摩擦力作用
B．若使圓盤以較小的轉速轉動時，小強在P點受到的摩擦力為零
C．小強隨圓盤做勻速圓周運動，圓盤對他的摩擦力充當向心力
D．如果小強隨圓盤一起做變速圓周運動，那么其所受摩擦力仍指向圓心
8．如圖5－6－11所示，在光滑桿上穿著兩個小球m1、m2，有m1＝2m2，用細線把兩球連起來，當盤架勻速轉動時，兩小球剛好能與桿保持無相對滑動，此時兩小球到轉軸的距離r1與r2之比為 (　　)．
圖5－6－11
A．1∶1 　　　　　　 B．1∶
C．2∶1 　　　　　　 D．1∶2
9．如圖5－6－12所示，將完全相同的兩小球A、B，用長L＝0.8 m的細繩懸于以v＝4 m/s向左勻速運動的小車頂部，兩球與小車前后壁接觸．由于某種原因，小車突然停止，此時懸線中張力之比FA∶FB為(g＝10 m/s2) (　　)．
圖5－6－12
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
10．如圖5－6－13所示，質量為m的物體，沿半徑為r的圓軌道自A點滑下，A與圓心O等高，滑至B點(B點在O點正下方)時的速度為v，已知物體與軌道間的動摩擦因數為μ，求物體在B點所受的摩擦力．
圖5－6－13
1．下列關于向心加速度的說法中正確的是 (　　)．
A．向心加速度表示做圓周運動的物體速率改變的快慢
B．向心加速度表示角速度變化的快慢
C．向心加速度描述線速度方向變化的快慢
D．勻速圓周運動的向心加速度不變
2．關于勻速圓周運動，下列說法正確的是 (　　)．
A．由an＝知，勻速圓周運動的向心加速度恒定
B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小
C．勻速圓周運動不屬于勻速運動
D．向心加速度越大，物體速率變化越快
答案　BC
3．如圖5－5－12所示是自行車的輪盤與車軸上的飛輪之間的鏈條傳動裝置，P是輪盤上的一個齒，Q是飛輪上的一個齒．下列說法中正確的是 (　　)．
圖5－5－12
A．P、Q兩點的角速度大小相等
B．P、Q兩點的向心加速度大小相等
C．P點的向心加速度小于Q點的向心加速度
D．P點的向心加速度大于Q點的向心加速度
4．一質點做勻速圓周運動，其線速度大小為4 m/s，轉動周期為2 s，則下列說法錯誤的是 (　　)．
A．角速度為0.5 rad/s B．轉速為0.5 r/s
C．軌跡半徑為 m D．加速度大小為4π m/s2
5．如圖5－5－13所示，壓路機大輪的半徑R是小輪半徑r的2倍，壓路機勻速行駛時，大輪邊緣上A點的向心加速度為0.12 m/s2，那么小輪邊緣上B點的向心加速度為多大？大輪上距軸心的距離為的C點的向心加速度為多大？
圖5－5－13
6．Maloof Money Cup是全球最大的滑板賽事，于2011年9月在南非舉行．如圖5－5－14所示，某滑板運動員恰好從B點進入半徑為2 m的圓弧軌道，該圓弧軌道在C點與水平軌道相接，運動員滑到C點時的速度大小為10 m/s，求他到達C點前、后的瞬時加速度(不計各種阻力)．
圖5－5－14
7．物體做半徑為R的勻速圓周運動，它的向心加速度、角速度、線速度和周期分別為a、ω、v和T，則下列關系式正確的是 (　　)．
A．ω＝ B．v＝aR C．a＝ωv D．T＝2π
8．a、b兩輛玩具車在各自的圓軌道上做勻速圓周運動，在相同的時間內，它們通過的路程之比為3∶4，轉過的角度之比為2∶3，則它們的向心加速度大小之比為 (　　)．
A．2∶1 B．1∶2 C．9∶16 D．4∶9
1．(贛州高一檢測)質量為m的滑塊從半徑為R的半球形碗的邊緣滑向碗底，過碗底時速度為v，若滑塊與碗間的動摩擦因數為μ，則在過碗底時滑塊受到摩擦力的大小為( )
A．μmg B．μm
C．μm(g+) D．μm(-g)
2．半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖所示。頂部有一小物體甲，今給它一個水平初速度v0=，則物體甲將( )
A．沿球面下滑至M點
B．先沿球面下滑至某點N，然后便離開球面做斜下拋運動
C．按半徑大于R的新的圓弧軌道做圓周運動
D．立即離開半圓球做平拋運動
3.長L=0.5 m、質量可忽略的桿，其一端連有質量為m=2 kg的小球，以另一端O為轉軸，它繞O點在豎直平面內做圓周運動，當通過最高點時，如圖所示。求下列情況下桿對球的作用力(計算大小，并說明是拉力還是支持力，g=10 m/s2)
(1)當v1=1 m/s時，大小為多少？是拉力還是支持力？[]
4.(·太原高一檢測)如圖，質量為m1=0.5 kg的小杯里盛有質量為m2=1 kg的水，用繩子系住小杯在豎直平面內做“水流星”表演，轉動半徑為r=1 m，小杯通過最高點的速度為v=4 m/s，g取10 m/s2，求：
(1)在最高點時，繩的拉力大小;
(2)在最高點時,杯底對水的壓力大小;
(3)為使小杯經過最高點時水不流出, 在最高點時的最小速率是多少
13

展開更多......

收起↑