資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
7.2 萬有引力定律
一、考點(diǎn)梳理
考點(diǎn)一、萬有引力定律
1．萬有引力定律的表達(dá)式：F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量，由英國物理學(xué)家卡文迪什在實(shí)驗(yàn)中測(cè)出．
2．萬有引力定律公式的適用條件
(1)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用．
(2)一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，r為球心到質(zhì)點(diǎn)的距離．
(3)兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互作用，r為兩球心間的距離．
【典例1】設(shè)想把質(zhì)量為m的物體放置地球的中心，地球質(zhì)量為M，半徑為R，則物體與地球間的萬有引力是（　　）
A. 零 B. 無窮大 C. D. 無法確定
【答案】A
【解析】
將地球分成無數(shù)塊，每一塊都對(duì)物體有引力作用，根據(jù)力的對(duì)稱性，知最終引力的合力為0，所以物體與地球間的萬有引力等于0，故A正確，BCD錯(cuò)誤。
練習(xí)1、關(guān)于太陽與行星間引力的公式，下列說法正確的是（ ）
A．公式中的是引力常量，是人為規(guī)定的
B．太陽與行星間的引力是一對(duì)平衡力
C．公式中的是比例系數(shù)，與太陽、行星都沒有關(guān)系
D．公式中的是比例系數(shù)，與太陽的質(zhì)量有關(guān)
【答案】C
【解析】ACD．太陽與行星間引力的公式，公式中的是引力常量，不是人為規(guī)定的，與太陽、行星都沒有關(guān)系，故AD錯(cuò)誤，C正確；
B．太陽與行星間的引力是一對(duì)相互作用力，故B錯(cuò)誤。
練習(xí)2、如圖所示，兩質(zhì)量均勻分布的小球半徑分別為R1、R2，相距R，質(zhì)量為m1、m2，則兩球間的萬有引力大小為(引力常量為G)(　　)
A．G B．G
C．G D．G
【答案】B
【解析】兩質(zhì)量均勻分布的小球均可看作質(zhì)點(diǎn)，兩球間的萬有引力大小F＝G.
考點(diǎn)二、萬有引力定律的應(yīng)用
1.對(duì)萬有引力定律的理解
1）．萬有引力公式的適用條件
(1)F＝只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，但當(dāng)兩物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的線度時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)，公式也近似成立。
(2)當(dāng)兩物體是質(zhì)量分布均勻的球體時(shí)，它們間的引力也可直接用公式計(jì)算，但式中的r是指兩球心間的距離。
2）．萬有引力的特性
特點(diǎn) 內(nèi)容
普遍性 宇宙間任何兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間都存在著這種相互吸引的力
相互性 兩個(gè)有質(zhì)量的物體之間的萬有引力是一對(duì)作用力和反作用力。
宏觀性 地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計(jì)，但在質(zhì)量巨大的天體之間，或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用
【典例1】1、如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)P(圖中未畫出)的萬有引力為F.如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝，則原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力變?yōu)?　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】原來物體間的萬有引力為F，根據(jù)球體的體積公式，及密度均勻，挖去的半徑為的球體的質(zhì)量為原來球體質(zhì)量的，其他條件不變，故剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為F－＝F
【典例2】一宇航員為了估測(cè)一星球的質(zhì)量，他在該星球的表面做自由落體實(shí)驗(yàn)：讓小球在離地面h高處自由下落，他測(cè)出經(jīng)時(shí)間t小球落地，又已知該星球的半徑為R，試估算該星球的質(zhì)量
【答案】
【解析】由自由落體規(guī)律：
可得：
在星球表面物體所受萬有引力等于物體所受重力，即
解得：
【典例3】一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其線速度大小為假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為，已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)星球半徑為R，星球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為，衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)向心力由萬有引力提供即，而星球表面物體所受的重力等于萬有引力即：;結(jié)合兩式可解的星球質(zhì)量為。
練習(xí)1、如圖所示為一質(zhì)量為M的球形物體，質(zhì)量分布均勻，半徑為R，在距球心2R處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。若將球體挖去一個(gè)半徑為R/2的小球，兩球心和質(zhì)點(diǎn)在同一直線上，且挖去的球的球心在原來球心和質(zhì)點(diǎn)連線外，兩球表面相切。已知引力常量為G，則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力的大小為（　　）
B． C． D．
【答案】C
【解析】
根據(jù)
由于挖去的球體半徑是原球體半徑的，則挖去的球體質(zhì)量是原球體質(zhì)量的，所以挖去的球體質(zhì)量，未挖時(shí)，原球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力
挖去部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力
則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小
故ABD錯(cuò)誤， C正確。
練習(xí)2、（多選）如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M、半徑為R。下列說法正確的是（　　）
A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為
B．一顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小為
C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為
D．三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力大小為
【答案】AC
【解析】AB．根據(jù)萬有引力定律可知衛(wèi)星與地球之間的引力大小為
r應(yīng)為衛(wèi)星到地球球心間的距離也就是衛(wèi)星運(yùn)行軌道半徑r，故A正確，B錯(cuò)誤；
C．做出衛(wèi)星之間的關(guān)系圖如圖
根據(jù)幾何關(guān)系可知，兩同步衛(wèi)星間的距離
故兩衛(wèi)星間的引力大小為
練習(xí)3、一個(gè)質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為2r，在其內(nèi)部挖去一個(gè)半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如圖所示。已知挖去小球的質(zhì)量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d＝6r處有一質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)，求：
(1) 被挖去的小球挖去前對(duì)m2的萬有引力為多大？
(2) 剩余部分對(duì)m2的萬有引力為多大？
【答案】(1)G；(2)G
【解析】(1)被挖去的小球挖去前對(duì)m2的萬有引力為
F2＝G＝G
(2)將挖去的小球填入空穴中，由V＝πR3，m＝ρV可知，大球的質(zhì)量為8m，則挖去小球前大球?qū)2的萬有引力為
F1＝G＝G
m2所受剩余部分的萬有引力為
F＝F1－F2＝G
練習(xí)4、地球質(zhì)量約為月球質(zhì)量的81倍，地球半徑約為月球半徑的4倍,一飛行器在近地圓軌道1上,經(jīng)一系列變軌后在近月圓軌道2上運(yùn)行,已知地球中心到月球中心的距離為r求：
(1)飛行器在近地圓軌道1上受到地球的引力F1與在近月圓軌道2上受到月球的引力F2的比值；
(2)O為地月連線上一點(diǎn),飛行器在該點(diǎn)受到地球和月球的引力的合力為零，求O點(diǎn)到地心的距離r1.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）由萬有引力定律得飛行器在近地圓軌道1上受到地球的引力
在近月圓軌道2上受到月球的引力
所以
（2）由題意可得
聯(lián)立解得
考點(diǎn)三、萬有引力與重力的關(guān)系
1．重力是由于地球的吸引而產(chǎn)生的．如圖所示，設(shè)地球的質(zhì)量為M，半徑為R，A處物體的質(zhì)量為m，物體受到地球的吸引力為F，方向指向地心O，由萬有引力公式得F＝G.
由于地球自轉(zhuǎn)，地球上的物體隨之做圓周運(yùn)動(dòng)，所受的向心力F1＝mω2r＝mω2Rcos θ，F(xiàn)1是引力F提供的，它是F的一個(gè)分力，F(xiàn)的另一個(gè)分力F2就是物體所受的重力，即F2＝mg.
由此可見，地球?qū)ξ矬w的萬有引力是物體受到重力的原因．由于物體隨地球自轉(zhuǎn)，需要有一部分萬有引力來提供向心力，因此地球自轉(zhuǎn)是產(chǎn)生重力和萬有引力差異的原因．
2．重力和萬有引力間的大小關(guān)系
(1)重力與緯度的關(guān)系
在赤道上滿足mg＝F－F向(物體受萬有引力和地面對(duì)物體的支持力FN的作用，其合力充當(dāng)向心力，F(xiàn)N的大小等于物體的重力的大小)．
在地球兩極處，由于F向＝0，即mg＝F，在其他位置，mg、F與F向間符合平行四邊形定則．同一物體在赤道處重力最小，并隨緯度的增加而增大．
(2)重力、重力加速度與高度的關(guān)系
在距地面高為h處，若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響時(shí)，則mg′＝F＝G；而在地面處mg＝G.
距地面高為h處，其重力加速度g′＝，在地面處g＝.
說明：雖然重力和萬有引力不同，但數(shù)值差異很小，在一般計(jì)算中，可認(rèn)為地球表面及附近的物體所受重力大小等于萬有引力．即mg＝G，g＝為地球表面的重力加速度．
【典例1】宇航員王亞平在“天宮1號(hào)”飛船內(nèi)進(jìn)行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象。若飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為(　B　)
A．0 B．
C． D．
【答案】B
【解析】飛船在距地面高度為h處，由萬有引力定律得：＝mg′
解得：g′＝。
【典例2】英國《新科學(xué)家(New Scientist)》雜志評(píng)選出了2008年度世界8項(xiàng)科學(xué)之最，在XTEJ1650－500雙星系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半徑R約45km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足＝(其中c為光速，G為引力常量)，則該黑洞表面重力加速度的數(shù)量級(jí)為(　C　)
A．108m/s2 B．1010m/s2
C．1012m/s2 D．1014m/s2
【答案】C
【解析】黑洞實(shí)際為一天體，天體表面的物體受到的重力近似等于物體與該天體之間的萬有引力，對(duì)黑洞表面某一質(zhì)量為m的物體有：
G＝mg，又有＝，
聯(lián)立解得g＝，帶入數(shù)據(jù)得重力加速度的數(shù)量級(jí)為1012m/s2。
練習(xí)1、如圖所示，火箭內(nèi)平臺(tái)上放有測(cè)試儀器，火箭從地面啟動(dòng)后，以加速度豎直向上勻加速運(yùn)動(dòng)，升到某一高度時(shí)，測(cè)試儀對(duì)平臺(tái)的壓力為啟動(dòng)前壓力的。已知地球半徑為R，求火箭此時(shí)離地面的高度。(g為地面附近重力加速度)
【答案】R
【解析】在地面附近的物體，所受重力近似等于物體所受到的萬有引力。
取測(cè)試儀為研究對(duì)象，其先后受力如圖(甲)(乙)所示，據(jù)物體的平衡條件有FN1＝mg1，g1＝g，
當(dāng)升到某一高度時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有FN2－mg2＝m，
∴FN2＝＋mg2＝mg，
∴g2＝g。設(shè)火箭距地面高度為H，
∴mg2＝G·，∴g＝，∴H＝R。
練習(xí)2、已知月球質(zhì)量是地球質(zhì)量的1/81，月球半徑是地球半徑的1/3.8
(1)在月球和地球表面附近，以同樣的初速度分別豎直上拋一個(gè)物體時(shí)，上升的最大高度之比是多少？
(2)在距月球和地球表面相同高度處(此高度較小)，以同樣的初速度分別水平拋出一個(gè)物體時(shí)，物體的水平射程之比為多少？
【答案】(1)5.6　(2)2.37
【解析】(1)在月球和地球表面附近豎直上拋的物體都做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，其上升的最大高度分別為：h月＝v/2g月，h地＝v/2g地。式中，g月和g地是月球表面和地球表面附近的重力加速度，根據(jù)萬有引力定律得：
g月＝，g地＝
于是得上升的最大高度之比為：
＝＝＝81×()2＝5.6。
(2)設(shè)拋出點(diǎn)的高度為H，初速度為v0，在月球和地球表面附近做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，從拋出到落地所用時(shí)間分別為：
t月＝，t地＝
在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，其水平射程之比為
＝＝＝＝＝2.37。
練習(xí)3、設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期為T，質(zhì)量為M。引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R。同一物體在南極和赤道水平面上靜止時(shí)所受到的支持力之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】假設(shè)物體質(zhì)量為m，物體在南極受到的支持力為N1，則；假設(shè)物體在赤道受到的支持力為N2，則；聯(lián)立可得。
二、夯實(shí)小練
1、(多選)關(guān)于引力常量G，下列說法中正確的是(　　)
A.在國際單位制中，引力常量G的單位是N·m2/kg2
B.引力常量G的大小與兩物體質(zhì)量的乘積成反比，與兩物體間距離的平方成正比
C.引力常量G在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1 kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的物體相距1 m時(shí)的相互吸引力
D.引力常量G是不變的，其數(shù)值大小由卡文迪什測(cè)出，與單位制的選擇無關(guān)
【答案】AC
【解析】由F＝G得G＝，所以在國際單位制中，G的單位為N·m2/kg2，選項(xiàng)A正確；引力常量是一個(gè)常數(shù)，其大小與兩物體質(zhì)量以及兩物體間的距離無關(guān)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力定律可知，引力常量G在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1 kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的物體相距1 m時(shí)的相互吸引力，選項(xiàng)C正確；引力常量是定值，其數(shù)值大小由卡文迪什測(cè)出，但其數(shù)值大小與單位制的選擇有關(guān)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
2、兩個(gè)完全相同的實(shí)心均質(zhì)小鐵球緊靠在一起，它們之間的萬有引力為F.若將兩個(gè)用同種材料制成的半徑是小鐵球2倍的實(shí)心大鐵球緊靠在一起，則兩個(gè)大鐵球之間的萬有引力為(　　)
A.2F B.4F
C.8F D.16F
【答案】D
【解析】兩個(gè)小鐵球之間的萬有引力為F＝G＝G.實(shí)心小鐵球的質(zhì)量為m＝ρV＝ρ·πr3，大鐵球的半徑是小鐵球的2倍，則大鐵球的質(zhì)量為m′，則＝＝8，故兩個(gè)大鐵球間的萬有引力為F′＝G＝16F，
3、如圖所示，兩球間的距離為r，兩球的質(zhì)量分布均勻，質(zhì)量大小分別為m1、m2，半徑大小分別為r1、r2，則兩球間的萬有引力大小為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】兩球質(zhì)量分布均勻，可認(rèn)為質(zhì)量集中于球心，由萬有引力定律可知兩球間的萬有引力應(yīng)為
4、要使兩物體間的萬有引力減小到原來的，下列辦法不正確的是(　　)
A.使兩物體的質(zhì)量各減小一半，距離不變
B.使其中一個(gè)物體的質(zhì)量減小到原來的，距離不變
C.使兩物體間的距離增大到原來的2倍，質(zhì)量不變
D.使兩物體的質(zhì)量和兩物體間的距離都減小到原來的
【答案】D
【解析】根據(jù)萬有引力定律可知F＝G.使兩物體的質(zhì)量各減小一半，距離不變，則萬有引力變?yōu)樵瓉淼模珹正確；使其中一個(gè)物體的質(zhì)量減小到原來的，距離不變，則萬有引力變?yōu)樵瓉淼模珺正確；使兩物體間的距離增大到原來的2倍，質(zhì)量不變，則萬有引力變?yōu)樵瓉淼模珻正確；使兩物體的質(zhì)量和兩物體間的距離都減小到原來的，則萬有引力大小不變，D錯(cuò)誤.
5、地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若高空中某處的重力加速度為，則該處距地球表面的高度為(　　)
A.(－1)R B.R C.R D.2R
【答案】A
【解析】設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m，物體距地面的高度為h，根據(jù)萬有引力近似等于重力，則有＝mg，＝m，聯(lián)立可得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(－1)R.
7、2020年12月1日嫦娥五號(hào)探測(cè)器實(shí)施月面“挖土”成功，“挖土”采用了鉆取和表取兩種模式。假設(shè)月球可看作質(zhì)量分布均勻的球體，其質(zhì)量為M，半徑為R。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬有引力為零，萬有引力常量為G。某次鉆取中質(zhì)量為m的鉆尖進(jìn)入月球表面以下h深處，則此時(shí)月球?qū)︺@尖的萬有引力為（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】月球質(zhì)量與剩余質(zhì)量關(guān)系為
設(shè)月球密度為，月球?qū)︺@尖的萬有引力為
8、最近幾十年，人們對(duì)探測(cè)火星十分感興趣，先后曾發(fā)射過許多探測(cè)器。稱為“火星探路者”的火星探測(cè)器曾于1997年登上火星。2004年，又有“勇氣”號(hào)和“機(jī)遇”號(hào)探測(cè)器登上火星。已知地球質(zhì)量約是火星質(zhì)量的9.3倍，地球直徑約是火星直徑的1.9倍。探測(cè)器在地球表面和火星表面所受引力大小的比值是多少？
【答案】2.6
【解析】
設(shè)探測(cè)器的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力定律，它在地面和火星表面分別受到地球和火星的引力大小為
和
所以
即探測(cè)器在地球表面受到的引力大小是在火星表面所受到的2.6倍
9、如圖所示，等邊三角形ABC邊長為L，在三角形的三頂點(diǎn)A、B、C各固定質(zhì)量均為m的三個(gè)小球，已知引力常量為G，則C點(diǎn)小球受A、B兩點(diǎn)小球的萬有引力的合力為多少？
【答案】
【解析】C點(diǎn)小球受引力如圖所示，則
F1=F2=G
據(jù)平行四邊形定則
F合=2F1cos30°=
10、已知太陽的質(zhì)量為M，地球的質(zhì)量為m1，月球的質(zhì)量為m2，當(dāng)發(fā)生日全食時(shí)，太陽、月球、地球幾乎在同一直線上，且月球位于太陽與地球之間，如圖所示.設(shè)月球到太陽的距離為a，地球到月球的距離為b，則太陽對(duì)地球的引力F1和太陽對(duì)月球的引力F2的大小之比為多少？
【答案】
【解析】由公式F＝G得
太陽對(duì)地球的引力F1＝G
太陽對(duì)月球的引力F2＝G
聯(lián)立可得＝.
培優(yōu)練習(xí)
1、2022 年 6 月，我國神舟十四號(hào)載人飛船成功發(fā)射，在飛船發(fā)射過程中，用 h 表示飛船與地球表面的距離，F(xiàn) 表示它受到的地球引力，下圖能夠正確描述 F 隨 h 變化關(guān)系的圖像是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)地球半徑為，根據(jù)萬有引力定律可得月球?qū)μ綔y(cè)器的引力為
可知隨的增大而減小，但不是線性關(guān)系。
2、如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)P(圖中未畫出)的萬有引力為F.如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝，則原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力變?yōu)?　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】原來物體間的萬有引力為F，挖去的半徑為的球體的質(zhì)量為原來球體質(zhì)量的，其他條件不變，故剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬有引力為F－＝F.
3、某地區(qū)的地下發(fā)現(xiàn)了天然氣資源，如圖所示，在水平地面P點(diǎn)的正下方有一球形空腔區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有天然氣.假設(shè)該地區(qū)巖石均勻分布且密度為ρ，天然氣的密度遠(yuǎn)小于ρ，可忽略不計(jì).如果沒有該空腔，地球表面正常的重力加速度大小為g；由于空腔的存在，現(xiàn)測(cè)得P點(diǎn)處的重力加速度大小為kg(k<1).已知引力常量為G，球形空腔的球心深度為d，則此球形空腔的體積是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值，因此，如果將空腔填滿密度為ρ的巖石，地面質(zhì)量為m的物體的重力為mg，沒有填滿時(shí)重力是kmg，故空腔填滿的巖石對(duì)物體m的引力為(1－k)mg，根據(jù)萬有引力定律有(1－k)mg＝G，解得V＝.
4、（多選）已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。假設(shè)沿地軸的方向鑿?fù)ㄒ粭l貫穿地球兩極的隧道PQ，隧道極窄，地球仍可看作一個(gè)球心為O、半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。以球心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸正方向。從隧道口P點(diǎn)由靜止釋放一小球，小球能夠在隧道PQ內(nèi)運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)到某位置時(shí)受到的引力大小為F，速度大小為v。小球在運(yùn)動(dòng)過程中，下列圖象可能正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】AC．設(shè)小球距離O點(diǎn)的距離為x，地球的質(zhì)量為M，以O(shè)點(diǎn)為球心，半徑為x的球體質(zhì)量為，則
小球受到的萬有引力大小為
故A正確，C錯(cuò)誤；
BD．根據(jù)牛頓第二定律
解得
小球的加速度大小與x成正比，先減少后增大，故B錯(cuò)誤，D正確。
5、（多選）2021 年 5 月 15 日，天問一號(hào)火星探測(cè)器所攜帶的祝融號(hào)火星車及其著陸組合體成功著陸于火星，這標(biāo)志著我國首次火星探測(cè)任務(wù)火星車著陸火星取得圓滿成功。假設(shè)火星為質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的 a 倍，火星半徑是地球半徑的 b倍，地球表面的重力加速度為 g，質(zhì)量均勻的球殼對(duì)其內(nèi)部物體的引力為零， 則（　　）
A．火星表面重力加速度為
B．火星表面重力加速度為
C．火星表面正下方距表面距離為火星半徑處的重力加速度為
D．火星表面正下方距表面距離為火星半徑處的重力加速度為
【答案】AC
【解析】AB．在地球表面有
在火星表面有
聯(lián)立解得火星表面重力加速度為
則A正確；B錯(cuò)誤；
CD．設(shè)火星的密度為，火星的半徑為 ，由于質(zhì)量均勻的球殼對(duì)其內(nèi)部物體的引力為零，則在火星表面正下方距表面距離為火星半徑處的重力加速度相當(dāng)火星內(nèi)部那部分產(chǎn)生的引力產(chǎn)生的，則火星內(nèi)部那部分質(zhì)量為
火星表面正下方距表面距離為火星半徑處的重力加速度為，則有
聯(lián)立解得
所以C正確；D錯(cuò)誤；
(多選)宇宙中存在著由四顆星組成的孤立星系.如圖所示，一顆母星處在正三角形的中心，三角形的頂點(diǎn)各有一顆質(zhì)量相等的小星圍繞母星做圓周運(yùn)動(dòng).如果兩顆小星間的萬有引力為F，母星與任意一顆小星間的萬有引力為9F.則(　　)
A.每顆小星受到的萬有引力為(＋9)F
B.每顆小星受到的萬有引力為(＋9)F
C.母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的3倍
D.母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的3倍
【答案】BC
【解析】假設(shè)每顆小星的質(zhì)量為m，母星的質(zhì)量為M，正三角形的邊長為a，則小星繞母星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r＝a.
根據(jù)萬有引力定律：F＝G，9F＝G
聯(lián)立解得M＝3m，故C正確，D錯(cuò)誤；
任意一顆小星受到的萬有引力F總＝9F＋2F·cos 30°＝(＋9)F，故A錯(cuò)誤，B正確.
7、若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體.“蛟龍”號(hào)下潛深度為d，“天宮一號(hào)”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號(hào)所在處與“天宮一號(hào)”所在處的重力加速度之比為[已知：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于質(zhì)點(diǎn)(m)在球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)表面受到的萬有引力](　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)題意有，在深度為d的地球內(nèi)部，“蛟龍?zhí)枴笔艿降厍虻娜f有引力即為其在半徑等于(R－d)的球體表面受到的萬有引力，故“蛟龍”號(hào)的重力加速度g′＝＝πGρ(R－d)；根據(jù)萬有引力提供向心力，G＝mg0，“天宮一號(hào)”所在處的重力加速度為g0＝＝，所以＝，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤.
8、（多選）2021年5月29日，天舟二號(hào)貨運(yùn)飛船太陽能帆板兩翼順利展開工作，發(fā)射取得圓滿成功。前期多顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星和空間站“天和”核心艙發(fā)射升空取得成功，如圖所示，a為“天和"核心艙、b為第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星（地球同步衛(wèi)星，周期為24小時(shí)），若a、b在同一平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，地球的質(zhì)量為M，半徑為R。下列說法正確的是（　　）
A．地球赤道上的重力加速度大小小于
B．核心艙a所受地球引力大于衛(wèi)星b所受地球引力
C．核心艙a運(yùn)行的周期小于24小時(shí)
D．在相同時(shí)間內(nèi)，核心艙a、衛(wèi)星b與地心連線掃過的面積相等
【答案】AC
【解析】A．赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)需要向心力
所以
選項(xiàng)A正確；
B．由于a和b的質(zhì)量未知，無法比較其受地球引力的大小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
C．由開普勒第三定律可知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，運(yùn)行的周期越長，因b運(yùn)行的周期為24小時(shí)，故a運(yùn)行的周期小于24小時(shí)，選項(xiàng)C正確；
D．根據(jù)開普勒第二定律可知，對(duì)同一行星而言，它與中心天體的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。
9、某物體在地面上受到的重力為160 N，將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以a＝g的加速度隨火箭向上加速升空的過程中，當(dāng)物體與衛(wèi)星中支持物相互擠壓的力為90 N時(shí)，衛(wèi)星距地球表面有多遠(yuǎn)？(地球半徑R地＝6.4×103 km，g表示地面處重力加速度，g取10 m/s2)
【答案】1.92×104 km
【解析】衛(wèi)星的升空過程可以認(rèn)為是豎直向上的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)衛(wèi)星離地面的距離為h，此時(shí)受到地球的引力為F＝G
在地球表面G＝mg
在上升至離地面h時(shí)，F(xiàn)N－F＝ma
物體在地面上受到的重力為160 N，則m＝16 kg
聯(lián)立解得＝
則h＝(－1)R地
代入數(shù)值解得h＝1.92×104 km.
10、如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M分布均勻半徑為R的球體，挖去直徑為R的兩個(gè)球，把挖去的其中一個(gè)球放在大球球心正右邊，左右球心間的距離為。已知引力常量為G，質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體引力為零，球的體積，求它們之間的萬有引力。（結(jié)果可以用分式和根號(hào)表示）
【答案】
【解析】根據(jù)題意，由公式可得，球體的密度為
挖去小球的體積為
挖去小球的質(zhì)量為
將挖去的小球再填入空穴中，根據(jù)萬有引力公式可得，大球和小球間的萬有引力為
根據(jù)幾何關(guān)系可知，每個(gè)挖去的小球與右側(cè)小球球心間的距離為
每個(gè)挖去的小球與右側(cè)小球間的引力為
設(shè)小球間圓心連線與水平方向的夾角為，由幾何關(guān)系可得
則右側(cè)小球與挖去小球后的大球的萬有引力為
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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