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7.3 萬有引力理論的成就
一、考點梳理
考點一、天體質(zhì)量與天體的密度
1．計算天體質(zhì)量的方法
分析圍繞該天體運動的行星(或衛(wèi)星)，測出行星(或衛(wèi)星)的運行周期和軌道半徑，由萬有引力提供向心力即可求中心天體的質(zhì)量．由＝mr，得M＝.
2．天體密度的計算方法
根據(jù)密度的公式ρ＝，只要先求出天體的質(zhì)量就可以代入此式計算天體的密度．
(1)由天體表面的重力加速度g和半徑R，求此天體的密度．
由mg＝和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
(2)若天體的某個行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑為r，運行周期為T，中心天體的半徑為R，則由G＝mr和M＝ρ·πR3，得ρ＝.
【典例1】(多選)一衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，其軌道半徑為r，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期為T，已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則地球的質(zhì)量可表示為(　　)
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】根據(jù)G＝mr得，M＝，選項A正確，B錯誤；在地球的表面附近有mg＝G，則M＝，選項C正確，D錯誤．
【典例2】2020年7月31日“北斗三號”全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)正式開通．其中一顆衛(wèi)星軌道近似為圓，軌道半徑為r，周期為T，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，下列說法正確的是(　　)
該衛(wèi)星運動的線速度為 B．地球的質(zhì)量為
C．地球的質(zhì)量為 D．地球的密度為
【答案】C
【解析】根據(jù)圓周運動的規(guī)律可知，衛(wèi)星運動的線速度v＝，故A錯誤；在地球表面，質(zhì)量為m的物體受到的重力近似等于萬有引力，即mg＝，解得地球的質(zhì)量M＝，故B錯誤；衛(wèi)星繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得G＝mr，解得地球的質(zhì)量M＝，故C正確；地球的密度為ρ＝＝＝，故D錯誤．
練習1、一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星運行，若認為行星是密度均勻的球體，引力常量已知，那么要確定該行星的密度，只需要測量(　　)
A.飛船的軌道半徑 B.飛船的運行速度
C.飛船的運行周期 D.行星的質(zhì)量
【答案】C
【解析】根據(jù)密度公式得ρ＝＝，這里的R為該行星的半徑，若僅已知飛船的軌道半徑或行星的質(zhì)量，無法求出行星的密度，A、D錯誤；已知飛船的運行速度，根據(jù)萬有引力提供向心力得G＝m，解得M＝，代入密度公式后，無法求出行星的密度，故B錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力得G＝mR，解得M＝，代入密度公式得ρ＝.
練習2、(多選)宇航員在月球表面附近高為h處以初速度v0水平拋出一個小球，測出小球的水平射程為L.已知月球半徑為R，引力常量為G.下列說法中正確的是(　　)
月球表面的重力加速度g月＝
月球的質(zhì)量m月＝
月球的自轉(zhuǎn)周期T＝
月球的平均密度ρ＝
【答案】AB
【解析】根據(jù)平拋運動規(guī)律，L＝v0t，h＝g月t2，聯(lián)立解得g月＝，選項A正確；由mg月＝，解得m月＝，選項B正確；根據(jù)題目條件無法求出月球的自轉(zhuǎn)周期，選項C錯誤；月球的平均密度ρ＝＝，選項D錯誤．
考點二、天體運動的分析與計算
1．基本思路：一般行星或衛(wèi)星的運動可看作勻速圓周運動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供．
2．常用關系：
(1)G＝ma向＝m＝mω2r＝mr
(2)忽略自轉(zhuǎn)時，mg＝G(物體在天體表面時受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得：gR2＝GM，該公式通常被稱為“黃金代換式”．
3．四個重要結(jié)論：設質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動．
(1)由G＝m得v＝ ，r越大，v越小．
(2)由G＝mω2r得ω＝ ，r越大，ω越小．
(3)由G＝m()2r得T＝2π ，r越大，T越大．
(4)由G＝ma向得a向＝，r越大，a向越小．
【典例1】（多選）在星球表面發(fā)射探測器，當發(fā)射速度為v時，探測器可繞星球表面做勻速圓周運動；當發(fā)射速度達到時，可擺脫星球引力束縛脫離該星球。已知地球、火星兩星球的質(zhì)量比約為10:1，半徑比約為2:1，下列說法正確的有（ ）
A.探測器的質(zhì)量越大，脫離星球所需要的發(fā)射速度越大
B.探測器在地球表面受到的引力比火星表面大
C.探測器分別脫離兩星球所需要的發(fā)射速度相等
D.探測器脫離星球的過程中，勢能逐漸增大
【答案】BD
【解析】設星球的質(zhì)量為M，探測器的質(zhì)量為m。則當探測器繞星球表面做圓周運動時有
R是星球半徑，可見,。探測器脫離星球所需要的發(fā)射速度與探測器的質(zhì)量無關：A、C皆錯；由有：故B正確；探測器脫離星球的過程中星球?qū)μ綔y器的萬有引力做負功，故其勢能增大，D正確。
【典例2】（多選）現(xiàn)有兩顆繞地球勻速圓周運動的人造地球衛(wèi)星A和B，它們的軌道半徑分別為和。如果，則 ( )
A.衛(wèi)星A的運動周期比衛(wèi)星B的運動周期大
B.衛(wèi)星A的線速度比衛(wèi)星B的線速度大
C.衛(wèi)星A的角速度比衛(wèi)星B的角速度大
D.衛(wèi)星A的加速度比衛(wèi)星B的加速度大
【答案】BCD
【解析】由得， 軌道半徑 r越大，T越大。A錯。
由得 軌道半徑越大，線速度越小，B對。
由得，所以軌道半徑r越大，越小；C對。
由 得 ， 所以軌道半徑r越大，加速度越小，D對。
練習1、地球同步衛(wèi)星到地心的距離r可由求出。已知式中a的單位是m，b的單位是s，c的單位是m/s2，則 （ ）
A．a(chǎn)是地球半徑，b是地球自轉(zhuǎn)的周期，c是地球表面處的重力加速度
B．a(chǎn)是地球半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運動的周期，c是同步衛(wèi)星的加速度
C．a(chǎn)是赤道周長，b是地球自轉(zhuǎn)周期，c是同步衛(wèi)星的加速度
D．a(chǎn)是地球半徑，b是同步衛(wèi)星繞地心運動的周期，c是地球表面處的重力加速度
【答案】AD
【解析】由 和黃金代換 解得 根據(jù)a、b、c的單位可以分析出BC錯誤，AD正確。
練習2、在軌衛(wèi)星碰撞產(chǎn)生的大量碎片會影響太空環(huán)境.假定有甲、乙兩塊碎片繞地球運動的軌道都是圓，甲的運行速率比乙的大，則下列說法中正確的是(　　)
A.甲的運行周期一定比乙的長
B.甲距地面的高度一定比乙的高
C.甲的向心力一定比乙的小
D.甲的向心加速度一定比乙的大
【答案】D
【解析】由G＝m，得v＝，甲的運行速率大，甲碎片的軌道半徑小，故B錯；由G＝mr，得T＝，可知甲的周期短，故A錯；由于兩碎片的質(zhì)量未知，無法判斷向心力的大小，故C錯；由＝man得an＝，可知甲的向心加速度比乙的大.
練習3、如圖所示，a、b是兩顆繞地球做勻速圓周運動的人造地球衛(wèi)星，它們距地面的高度分別是R和2R(R為地球半徑).下列說法中正確的是(　　)
A.a、b的線速度大小之比是∶1
B.a、b的周期之比是1∶2
C.a、b的角速度大小之比是3∶4
D.a、b的向心加速度大小之比是9∶2
【答案】C
【解析】兩衛(wèi)星均做勻速圓周運動，則有F萬＝F向.
由＝m得＝＝＝，故A錯誤；
由＝mr2得＝＝，故B錯誤；
由＝mrω2得＝＝，故C正確；
由＝man得＝＝，故D錯誤.
考點三、衛(wèi)星相距“最近”“最遠”問題
兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)同向繞地球做勻速圓周運動，a衛(wèi)星的角速度為ωa，b衛(wèi)星的角速度為ωb.
若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點正上方，相距最近，如圖甲所示．
當它們轉(zhuǎn)過的角度之差Δθ＝π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝π時，兩衛(wèi)星第一次相距最遠，如圖乙所示．
當它們轉(zhuǎn)過的角度之差Δθ＝2π，即滿足ωaΔt－ωbΔt＝2π時，兩衛(wèi)星再次相距最近．
【典例1】某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓．每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如圖4所示．該行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑之比為多少？
【答案】
【解析】地球公轉(zhuǎn)周期T1＝1年，經(jīng)過N年地球比行星多轉(zhuǎn)一圈，即多轉(zhuǎn)2π，角速度之差為－，所以(－)N＝2π，即T2＝，由開普勒第三定律可得＝，化簡得＝＝.
練習1、a、b兩顆衛(wèi)星均在赤道正上方繞地球做勻速圓周運動，a為近地衛(wèi)星，b衛(wèi)星離地面高度為3R，已知地球半徑為R，表面的重力加速度為g，試求：(忽略地球的自轉(zhuǎn)影響)
(1)a、b兩顆衛(wèi)星的周期；
(2)a、b兩顆衛(wèi)星的線速度大小之比；
(3)若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過赤道同一點的正上方，則至少經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星相距最遠．
【答案】(1)2π　16π　(2)2∶1　(3)或
【解析】(1)衛(wèi)星做勻速圓周運動，萬有引力提供所需向心力，則有F引＝Fn
對地球表面上質(zhì)量為m的物體，有G＝mg
對a衛(wèi)星，有＝maR 解得Ta＝2π
對b衛(wèi)星，有＝mb·4R 解得Tb＝16π
(2)衛(wèi)星做勻速圓周運動，則有F引＝Fn
對a衛(wèi)星，有＝ 解得va＝
對b衛(wèi)星有G＝mb 解得vb＝ 所以va∶vb＝2∶1
(3)設經(jīng)過時間t，二者第一次相距最遠，若兩衛(wèi)星同向運轉(zhuǎn)，此時a比b多轉(zhuǎn)半圈，則－＝π
解得t＝
若兩衛(wèi)星反向運轉(zhuǎn)，則(＋)t＝π 解得t＝.
考點四、陰影及盲區(qū)問題
1.注意輔助圖的應用；2注意盲區(qū)的理解；3.注意角速度的關系
【典例1】2021年2月10日，天問一號探測器成功實現(xiàn)近火制動開始繞火星運行，2月15日，天問一號探測器實現(xiàn)了完美的“側(cè)手翻”，將軌道調(diào)整為經(jīng)過火星兩極的環(huán)火星軌道。天問一號在繞火星運動過程中由于火星遮擋太陽光，也會出現(xiàn)類似于地球上觀察到的日全食現(xiàn)象，如圖所示。已知天問一號繞火星運動的軌道半徑為r，火星質(zhì)量為M，引力常量為G，天問一號相對于火星的張角為(用弧度制表示)，將天問一號環(huán)火星看作勻速圓周運動，天問一號、火星和太陽的球心在同一平面內(nèi)，太陽光可看作平行光，則(　　)
A．火星表面的重力加速度為 B．火星的第一宇宙速度為
C．天問一號每次日全食持續(xù)的時間為 D．天問一號運行的角速度為
【答案】C
【解析】A．天問一號相對于火星的張角為，根據(jù)幾何關系可得火星半徑為，質(zhì)量為的物體在火星表面，有，兩式聯(lián)立解得火星表面的重力加速度為，選項A錯誤；
B．根據(jù)質(zhì)量為的物體在火星表面運動時萬有引力提供向心力，有
與，聯(lián)立解得火星的第一宇宙速度，選項B錯誤；
C．作出天問一號發(fā)生日全食的示意圖，日全食持續(xù)的時間為運行在之間的時間，如圖所示，根據(jù)幾何關系可得三角形與三角形全等，則，平行于OA，則
同理可得，則發(fā)生日全食時天問一號轉(zhuǎn)過的角度為
設天間一號的周期為T，根據(jù)萬有引力提供向心力，有，解得周期
發(fā)生日全食的時間為，選項C正確；
D．設天問一號的角速度為，根據(jù)萬有引力提供向心力，有，解得角速度為
【典例2】某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星。試問：春分那天（太陽光直射赤道）在日落后12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射。
【答案】
【解析】設所求的時間為t，用m、M分別表示衛(wèi)星和地球的
質(zhì)量，r表示衛(wèi)星到地心的距離。有
春分時，太陽光直射地球赤道，如圖所示，圖中圓E表示
赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，O表示地心。 由圖可
看出當衛(wèi)星S繞地心O轉(zhuǎn)到圖示位置以后（設地球自轉(zhuǎn)是沿圖中逆時針方向），其正下方的觀察者將看不見它. 據(jù)此再考慮到對稱性，有
利用黃金代換
由以上各式可解得
練習1、(多選)我國的“天鏈一號”地球同步軌道衛(wèi)星，可為載人航天器及中、低軌道衛(wèi)星提供數(shù)據(jù)通訊服務。如圖為“天鏈一號”a、赤道平面內(nèi)的低軌道衛(wèi)星b、地球三者的位置關系示意圖，為地心，地球相對衛(wèi)星a、b的張角分別為和(圖中未標出)，衛(wèi)星a的軌道半徑是b的4倍，已知衛(wèi)星a、b繞地球同向運行，衛(wèi)星a周期為，在運行過程中由于地球的遮擋，衛(wèi)星b會進入與衛(wèi)星a通訊的盲區(qū)。衛(wèi)星間的通訊信號視為沿直線傳播，忽略信號傳輸時間，下列分析正確的是( )
A．張角和滿足 B．衛(wèi)星b的周期為T/4
C．衛(wèi)星b每次在盲區(qū)運行的時間 D．衛(wèi)星b每次在盲區(qū)運行的時間為
【答案】B
【解析】A．設地球半徑為，由題意可知，，，解得
故選項A錯誤；
B．由開普勒第三定律得，又，，可得，故選項B錯誤；
CD．由題意可知，圖中A、B兩點為盲區(qū)的兩臨界點，由數(shù)學知識可得，因而，解得。
練習2、晴天的晚上，人能看到人造衛(wèi)星的條件是：衛(wèi)星直接被太陽照亮，且在人所在地理位置的視野內(nèi)。現(xiàn)有一個可看成漫反射體的人造衛(wèi)星，其圓形軌道與地球的赤道共面。衛(wèi)星自西向東運行，在春分期間，太陽光垂直射向赤道，位于赤道上的某位觀察者，在當?shù)厝章渲?小時時刻，在該位置西邊的地平線附近恰好能看到這顆衛(wèi)星，之后又極快地變暗消失了。已知地球半徑為R = 6.4106m，地球表面的重力加速度取g = 10m/s2，試估算：
（1）衛(wèi)星軌道離地面的高度h
（2）衛(wèi)星的線速度的大小v(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)
【答案】（1）h=R；（2）
【解析】 從北極沿地軸往下看的地球俯視圖如圖所示，
設衛(wèi)星離地高h，Q點日落后8h時能看到它反射的陽光，
日落8h，Q點轉(zhuǎn)過的角度設為θ。
軌道高度
（2）因為衛(wèi)星軌道半徑根據(jù)萬有引力定律，引力與距離的平方成反比，衛(wèi)星軌道處的重力加速度
（2）或者：軌道半徑 根據(jù)萬有引力定律，黃金代換
解得
知識點五、雙星系統(tǒng)
1.雙星系統(tǒng)：如圖，繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，稱之為雙星系統(tǒng)．
2.模型特點：
(1)兩星的運行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點。
(2)各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2
(3)兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(4)兩顆星的半徑與它們之間的距離關系為：r1＋r2＝L
3.處理方法
雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即 ＝m1ω2r1＝m2ω2r2。
4.兩個結(jié)論
(1)運動半徑：m1r1＝m2r2，即某恒星的運動半徑與其質(zhì)量成反比。
(2)質(zhì)量之和：由于ω＝，r1＋r2＝L，所以兩恒星的質(zhì)量之和m1＋m2＝。
【典例1】（多選）宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用互相繞轉(zhuǎn)稱之為雙星系統(tǒng)，設某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的某固定點O點做勻速圓周運動，如圖所示，現(xiàn)測得兩星球球心之間的距離為L，運動周期為T，已知萬有引力常量G，若AO＞OB，則（　　）
A．星球A的線速度一定等于星球B的線速度
B．星球A所受向心力大于星球B所受向心力
C．雙星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離減小，其轉(zhuǎn)動周期減小
D．兩星球的總質(zhì)量等于
【答案】CD
【解析】A．雙星的角速度相等，根據(jù)v=ωR，由于AO＞OB，可知星球A的線速度一定大于星球B的線速度，故A錯誤；
B．雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第三定律知向心力大小相等，故B錯誤；
CD．雙星A、B之間萬有引力提供向心力，有
其中，，聯(lián)立解得
可知雙星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離減小，其轉(zhuǎn)動周期減小，故CD正確。
【典例2】2020年3月天文學家通過中國“天眼”——500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）在武仙座球狀星團（M13）中發(fā)現(xiàn)一個脈沖雙星系統(tǒng)，并通過觀測認證，該雙星系統(tǒng)由一顆脈沖星和一顆白矮星組成。若該脈沖星質(zhì)量為m1，白矮星質(zhì)量為m2，兩星間距為l，已知萬有引力常量為G。求：
(1)該雙星系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動周期；
(2)該脈沖星與白矮星線速度大小之和。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)對質(zhì)量為m1的脈沖星有
對質(zhì)量為m2的白矮星有
解得
(2)速度大小之和v=v1+v2
解得
練習1、所謂“雙星系統(tǒng)”，是指在相互間引力的作用下，繞連線上某點O做勻速圓周運動的兩個星球A和B，如圖所示，星球A、B繞O點做勻速圓周運動的周期為T，其中A星球表面重力加速度為g，半徑為R，A星球的自轉(zhuǎn)忽略不計，B星球的質(zhì)量為m，引力常量為G，則A、B兩星球間的距離L可表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由萬有引力提供向心力得
且
A星球的自轉(zhuǎn)忽略不計，則有
聯(lián)立解得。
練習2、（多選）2016年2月11日，美國科學家宣布探測到了引力波，證實了愛因斯坦的預測，彌補了愛因斯坦廣義相對論中缺失的最后一塊“拼圖”。雙星的運動是引力波的來源之一，假設宇宙中有一雙星系統(tǒng)由a、b兩顆星體組成，這兩顆星體繞它們連線中的某一點在萬有引力作用做勻速圓周運動，測得a的周期為T，a、b兩顆星體的距離為l，a、b兩顆星體的軌道半徑之差為△r（a星的軌道半徑大于b星的），則（　　）
A．b星的周期為
B．a(chǎn)星的線速度大小為
C．a(chǎn)、b兩顆星體的軌道半徑之比為
D．a(chǎn)、b兩顆星體的質(zhì)量之比為
【答案】BD
【解析】A．a(chǎn)、b兩顆星體是圍繞同一點運動的，故周期相同，選項A錯誤；
BC．由
得，
所以
星的線速度
選項B正確，選項C錯誤；
D．由，得。
練習3、2020年3月天文學家通過中國“天眼”——500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）在武仙座球狀星團（M13）中發(fā)現(xiàn)一個脈沖雙星系統(tǒng)，并通過觀測認證，該雙星系統(tǒng)由一顆脈沖星和一顆白矮星組成。若該脈沖星質(zhì)量為m1，白矮星質(zhì)量為m2，兩星間距為l，已知萬有引力常量為G。求：
(1)該雙星系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動周期；
(2)該脈沖星與白矮星線速度大小之和。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)對質(zhì)量為m1的脈沖星有
對質(zhì)量為m2的白矮星有
解得
(2)速度大小之和v=v1+v2
解得.
練習4、如圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常量為G。求：
(1)A星球做圓周運動的半徑R和B星球做圓周運動的半徑r；
(2)兩星球做圓周運動的周期；
(3)如果把星球A質(zhì)量的搬運到B星球上，并保持A和B兩者中心之間距離仍為L。則組成新的穩(wěn)定雙星后那么星球A半徑和周期如何變化？
【答案】(1)； (2) (3) 半徑變大；周期不變
【解析】(1)令A星的軌道半徑為R，B星的軌道半徑為r，則由題意有
兩星做圓周運動時的向心力由萬有引力提供，則有
可得
又因為
所以可以解得
(2)根據(jù)(1)可以得到
兩式聯(lián)立解得
(3)根據(jù)
知 M變大 R變大
根據(jù)
知周期不變。
考點六、三星系統(tǒng)
1.概念：
是指有三顆恒星組成的恒星系統(tǒng)，一般是由一對雙星和另一顆距離較遠的星組成的一個雙星系統(tǒng)，也就是兩層雙星系統(tǒng)的疊套。這三顆恒星的距離相對于其他恒星很遠，因此三星系統(tǒng)受其他星體引力影響通常忽略不計。
所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同．
2.三星模型：
（1）三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示)．
（2）三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示)．
【典例1】（多選）太空中在一些離其他恒星很遠的、由三顆星體組成的三星系統(tǒng)，可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是直線三星系統(tǒng)A（三顆星體始終在一條直線上)；另一種是三角形三星系統(tǒng)(三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上)，已知某直線三星系統(tǒng)A每顆星體的質(zhì)量均為m，相鄰兩顆星體中心間的距離都為R；某三角形三星系統(tǒng)B的每顆星體的質(zhì)量恰好也均為m，且三星系統(tǒng)A外側(cè)的兩顆星體做勻速圓周運動的周期和三星系統(tǒng)B每顆星體做勻速圓周運動的周期相等，引力常量為G，則( )
A．三星系統(tǒng)B的運動周期為
B．三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運動的角速度大小為
C．三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運動的線速度大小為
D．三星系統(tǒng)B任意兩顆星體中心間的距離為
【答案】BC
【解析】BC、對三星系統(tǒng)A:三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；其中邊上的一顆星受中央星和另一顆邊上星的萬有引力提供向心力：
解之得：，v=
故周期為，
故B正確，C正確；
A. 三星系統(tǒng)A外側(cè)的兩顆星作勻速圓周運動的周期和三星系統(tǒng)B每顆星作勻速圓周運動的周期相等，故：
T′=，故A錯誤；
D. 三星系統(tǒng)B是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，
由萬有引力定律和牛頓第二定律得：
由于兩種系統(tǒng)的運動周期相同,即
故解得：L=，故D錯誤；
【典例2】由三顆星體構成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的影響，存在著一種運動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做角速度相同的圓周運動（圖示為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時的一般情況）若A星體的質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，萬有引力常量G已知，求：
（1）A星體所受合力的大小FA；
（2）B星體所受合力的大小FB；
（3）C星體的軌道半徑RC；
（4）三星體做圓周運動的周期T。
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）由萬有引力定律，A星體所受B、C星體引力大小為
,
則合力大小為
（2）同上，B星體所受A、C星體引力大小分別為
則合力大小為
．
可得
（3）通過分析可知，圓心O在中垂線AD的中點，
（4）三星體運動周期相同，對C星體，由
可得
考點七、四星系統(tǒng)
模型一：
如圖，四顆質(zhì)量相等的行星位于正方形的四個頂點上，沿外接于正方形的圓軌道做勻速圓周運動，
×2×cos 45°＋＝ma，其中r＝ L。
四顆行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等。
模型二：
如圖，三顆質(zhì)量相等的行星位于正三角形的三個頂點，另一顆恒星位于正三角形的中心O點，三顆行星以O點為圓心。繞正三角形的外接圓做勻速圓周運動。
×2×cos 30°＋＝ma。其中L＝2rcos 30°。
外圍三顆行星轉(zhuǎn)動的方向相同，周期、角速度、線速度的大小均相等。
【典例1】（多選）宇宙中存在一些離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)。若某個四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，忽略其他星體對它們的引力作用和忽略星體自轉(zhuǎn)效應，則可能存在如下運動形式：四顆星分別位于邊長為L的正方形的四個頂點上(L遠大于R)，在相互之間的萬有引力作用下，繞某一共同的圓心做角速度相同的圓周運動。已知萬有引力常量為G，則關于此四星系統(tǒng)，下列說法正確的是（ ）
A．四顆星做圓周運動的軌道半徑均為
B．四顆星表面的重力加速度均為
C．四顆星做圓周運動的向心力大小為
D．四顆星做圓周運動的角速度均為
【答案】BD
【解析】任一顆星體在其他三個星體的萬有引力作用下，合力方向指向?qū)蔷€的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，任一星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，軌道半徑均：r=L，故A錯誤．星球表面的物體受到的萬有引力等于它受到的重力，即：G=m′g，解得：g=，故B正確；星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由萬有引力定律可得四顆星做圓周運動的向心力大小為： ，選項C錯誤； 由牛頓第二定律得： ，解得： ，故D正確；故選BD．
練習1、假設宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，設其它星體對它們的引力作用可忽略．已知穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式，一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，第四顆位于其中心，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行；另一種形式是四顆星位于正方形的四個頂點上，圍繞正方形的中心做圓軌道運行．設每顆星體的質(zhì)量均為m，它們做圓周運動的半徑為R，試分別求出這兩種情況下四星系統(tǒng)的運動周期T1和T2.(已知萬有引力常量為G)
【答案】； ；
【解析】第一種情況，O對A的作用力為：
設A、C距離為r，則：r＝2Rcos 30°
C對A的作用力為：
B、C對A的合力為：F2＝2F′cos 30°＝
故對A有：F1＋F2＝
聯(lián)立解得：T1＝
第二種情況，D對A的作用力為：F1＝
C對A的作用力為： ；B、C對A的合力為
故對A有：F1＋F2＝
聯(lián)立解得：T2＝4πR
二、夯實小練
1、a、b、c、d是在地球大氣層外的圓形軌道上運行的四顆人造衛(wèi)星.其中a、c的軌道相交于P，b、d在同一個圓軌道上，b、c軌道在同一平面上.某時刻四顆衛(wèi)星的運行方向及位置如圖所示，下列說法中正確的是(　　)
A.a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B.b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C.a、c的線速度大小相等，且小于d的線速度
D.a、c存在在P點相撞的危險
【答案】A
【解析】由G＝m＝mω2r＝mr＝man可知，選項B、C錯誤，A正確；因a、c軌道半徑相同，周期相同，由題圖可知當c運動到P點時與a不會相撞，以后也不可能相撞，選項D錯誤.
2、(多選)如圖所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運動的三顆衛(wèi)星，a和b質(zhì)量相等，且小于c的質(zhì)量，則(　　)
A.b所需向心力最小
B.b、c的周期相同且大于a的周期
C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D.b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度
【答案】ABD
【解析】因衛(wèi)星運動的向心力是由它們所受的萬有引力提供的，即Fn＝，則b所需向心力最小，A對；由＝mr()2得T＝2π，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B對；由＝man，得an＝，即an∝，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C錯；由＝，得v＝，即v∝，所以b、c的線速度大小相等且小于a的線速度，D對.
3、2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，準確進入預定軌道，任務取得成功。若天和核心艙運行在距地球表面高度為h的圓形軌道上，其運行周期為T，已知引力常量為G。地球的半徑為R，則地球的質(zhì)量為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】天和核心艙繞地球運動時，有
地球的質(zhì)量為
。
4、有一宇宙飛船到了某行星上（該行星沒有自轉(zhuǎn)運動），以速度v接近行星赤道表面勻速飛行，測出運動的周期為T，已知引力常量為G，則可得（　　）
A．該行星的半徑為 B．該行星的平均密度為
C．該行星的質(zhì)量為 D．該行星表面的重力加速度為
【答案】B
【解析】A．根據(jù)
可得該行星的半徑為
A錯誤；
BC．根據(jù)
可得該行星的質(zhì)量
平均密度為
B正確，C錯誤；
D．根據(jù)
該行星表面的重力加速度為
D錯誤。
5、中國首次火星探測任務“天問一號”已于2021年6月11日成功著陸火星。火星的半徑為地球半徑的，火星的質(zhì)量為地球質(zhì)量的，火星探測器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運動（探測器可視為火星的近地衛(wèi)星），探測器繞火星運行周期為T。已知火星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道都可近似為圓軌道，地球和火星可看作均勻球體，地球半徑為R，則（　　）
A．地球的質(zhì)量為
B．火星表面的重力加速度為
C．地球的密度為
D．探測器環(huán)繞火星表面運行速度與環(huán)繞地球表面運行速度之比為
【答案】B
【解析】
A．探測器繞火星表面附近運行時，有
整理得火星質(zhì)量為
火星的質(zhì)量為地球質(zhì)量的，則地球質(zhì)量為
A錯誤；
B．探測器繞火星表面附近運行時，有
又因為
整理得火星表面的重力加速度為
B正確；
C．因為地球的質(zhì)量為，根據(jù)公式
解得，地球的密度為
C錯誤；
D．設火星、地球的半徑分別為R1、R2，探測器質(zhì)量為m，運行速度分別為v1、v2，則
解得
D錯誤。
6、“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接及“蛟龍”號下潛突破7000米入選2012年中國十大科技進展新聞。若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體（質(zhì)量分布均勻的球殼對球內(nèi)任一質(zhì)點的萬有引力為零）。“蛟龍”號下潛深度為d，“天宮一號”軌道距離地面高度為h，“天宮一號”所在處與“蛟龍”號所在處的重力加速度之比為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】“天宮一號”繞地球運行，所以
“蛟龍”號在地表以下，所以
“天宮一號”所在處與“蛟龍”號所在處的重力加速度之比為
故ACD錯誤，B正確。
7、2021年5月15日，我國首個火星探測任務天問一號探測器成功著陸火星。如圖所示為天問一號在某階段的運動示意圖，天問一號在P點由橢圓軌道II變軌到近火圓形軌道I（可認為運行半徑等于火星半徑）。已知火星半徑為R，引力常量為G，天問一號在橢圓軌道II上的遠火點Q離火星表面高度為6R，火星表面重力加速度為g0，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響。求∶
（1）火星的平均密度；
（2）天問一號在橢圓軌道II由P點運動到Q點所用時間。
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)在火星表面，物體所受重力等于萬有引力
解得
火星的平均密度為
(2)在軌道I運行時，由重力作為向心力可得
在軌道I和軌道II運行時，由開普勒第三定律可得
聯(lián)立解得
故天問一號在橢圓軌道II由P點運動到Q點所用時間為
8、如圖所示，返回式月球軟著陸器在完成了對月球表面的考察任務后，由月球表面回到繞月球做圓周運動的軌道艙.已知月球表面的重力加速度為g，月球的半徑為R，軌道艙到月球中心的距離為r，引力常量為G，不考慮月球的自轉(zhuǎn).求：
(1)月球的質(zhì)量M；
(2)軌道艙繞月球飛行的周期T.
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)設月球表面上質(zhì)量為m1的物體，其在月球表面有：G＝m1g
月球質(zhì)量：M＝
(2)軌道艙繞月球做圓周運動，設軌道艙的質(zhì)量為m
由牛頓第二定律得：G＝m()2r解得：T＝.
9、若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地.若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時間t落到月球表面.已知引力常量為G，月球的半徑為R.求：(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)
(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；
(2)月球的質(zhì)量M；
(3)月球的平均密度ρ.
【答案】(1)　(2)　(3)
【解析】(1)月球表面附近的物體做自由落體運動，
則h＝g月t2，
解得g月＝.
(2)因不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則有G＝mg月，
月球的質(zhì)量M＝.
(3)月球的平均密度ρ＝＝＝.
10、我國首個月球探測計劃“嫦娥工程”分三個階段實施，大約用十年左右時間完成，這極大地提高了同學們對月球的關注程度.以下是某同學就有關月球的知識設計的兩個問題，請你解答：
(1)已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，月球繞地球運動的周期為T，且把月球繞地球的運動近似看作勻速圓周運動，忽略地球的自轉(zhuǎn).試求出月球繞地球運動的軌道半徑r.
(2)若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v0豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t小球落回拋出點.已知月球半徑R月，引力常量G，忽略月球的自轉(zhuǎn).試求出月球的質(zhì)量m月.
【答案】(1)　(2)
【解析】(1)設地球的質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力定律和向心力公式：
G＝m月()2r
在地球表面有：g＝G
聯(lián)立解得：r＝
(2)設月球表面處的重力加速度為g月，根據(jù)題意知t＝
在月球表面有：g月＝G
聯(lián)立解得：m月＝
三、培優(yōu)練習
1、假設地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d（礦井寬度很小）。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面高h處的重力加速度大小之比為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】地球的質(zhì)量
根據(jù)萬有引力定律，在地面高h處
可得
根據(jù)題意，在礦井底部，地球的有效質(zhì)量為
則
可得
可得
2、月球，地球唯一的一顆天然衛(wèi)星，是太陽系中第五大的衛(wèi)星。航天員登月后，觀測羽毛的自由落體運動，得到羽毛的速度隨時間變化的圖像如圖所示。已知月球半徑為，引力常量為，則（　　）
A．月球表面的重力加速度大小為
B．月球表面的重力加速度大小為
C．月球的平均密度為
D．月球的平均密度為
【答案】D
【解析】AB．由圖像斜率表示加速度，得月球表面的重力加速度大小為
故AB錯誤；
CD．根據(jù)月球表面上的物體受到的萬有引力等于重力，即
月球密度
聯(lián)立以上各式得月球的平均密度為
故C錯誤，D正確。
3、2021年2月10日19時52分，我國首次火星探測任務“天問一號”探測器實施近火捕獲制動，成功實現(xiàn)環(huán)繞火星運動，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。我國航天局發(fā)布了由“天問一號”拍攝的首張火星圖像（如圖）。在“天問一號”環(huán)繞火星做勻速圓周運動時，周期為，軌道半徑為，已知火星的半徑為，引力常量為，不考慮火星的自轉(zhuǎn)。下列說法正確的是（　　）
A．火星的質(zhì)量
B．火星的質(zhì)量
C．火星表面的重力加速度的大小
D．火星表面的重力加速度的大小
【答案】A
【解析】AB．設“天問一號”的質(zhì)量為，萬有引力提供向心力，有
得
故A正確，B錯誤；
CD．不考慮火星自轉(zhuǎn)，則萬有引力提供重力，有
將代入可得
故CD錯誤。
4、某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，質(zhì)量為M。科研人員研究同一物體在該行星上的重力時，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.2倍。已知引力常量為G，則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設赤道處的重力加速度為g，物體在兩極時萬有引力等于重力，有
在赤道時萬有引力可分解為重力和自轉(zhuǎn)所需的向心力，則有
聯(lián)立解得該行星自轉(zhuǎn)的角速度為
5、(多選)地球半徑為R0，地面重力加速度為g(忽略地球自轉(zhuǎn)的影響)，若衛(wèi)星在距地面R0處做勻速圓周運動，則(　　)
A.衛(wèi)星的線速度為
B.衛(wèi)星的角速度為
C.衛(wèi)星的周期為4π
D.衛(wèi)星的加速度為
【答案】ABC
【解析】萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力，即＝man＝m＝mω2(2R0)，由地球表面重力等于萬有引力可得GM＝gR02，則衛(wèi)星的向心加速度an＝，線速度v＝，角速度ω＝，T＝＝4π，所以A、B、C正確，D錯誤.
6、如圖所示是美國的“卡西尼”號探測器經(jīng)過長達7年的“艱苦”旅行，進入繞土星飛行的軌道.若“卡西尼”號探測器在半徑為R的土星上空離土星表面高h的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，已知引力常量為G，則下列關于土星質(zhì)量M和平均密度ρ的表達式正確的是(　　)
A.M＝，ρ＝
B.M＝，ρ＝
C.M＝，ρ＝
D.M＝，ρ＝
【答案】D
【解析】設“卡西尼”號的質(zhì)量為m，它圍繞土星的中心做勻速圓周運動，其向心力由萬有引力提供，G＝m(R＋h)()2，其中T＝，解得M＝；又土星體積V＝πR3，所以ρ＝＝，故D正確.
8、2021年5月15日7時18分，由祝融號火星車及進入艙組成的天問一號著陸巡視器成功著陸于火星烏托邦平原南部預選著陸區(qū)，由此又掀起了一股研究太空熱。某天文愛好者做出如下假設：未來人類宇航員登陸火星，在火星表面將小球豎直上拋，取拋出位置O點處的位移，從小球拋出開始計時，以豎直向上為正方向，小球運動的圖像如圖所示（其中a、b均為已知量）。忽略火星的自轉(zhuǎn)，且將其視為半徑為R的勻質(zhì)球體，引力常量為G。則下列分析正確的是（　　）
A．小球豎直上拋的初速度為 B．小球從O點上升的最大高度為
C．火星的質(zhì)量為 D．火星的密度為
【答案】D
【解析】AB．設小球豎直上拋的初速度為，火星表面重力加速度為，則有
可得
可知圖像的縱軸截距等于初速度，則有
圖像的斜率絕對值為
可知星表面重力加速度為
小球從O點上升的最大高度為
AB錯誤；
C．根據(jù)物體在火星表面受到的重力等于萬有引力，則有
解得
火星的質(zhì)量為
C錯誤；
D．根據(jù)
可得火星的密度為
。
9、（多選）我國“天問一號”攜帶的“祝融號”火星車成功著陸火星。如圖所示，“天問一號”首先在I軌道上繞火星做勻速圓周運動，選定好著陸地點后在B點實施變軌進入軌道II，隨后在近火點A時實施降軌進入軌道III（軌道半徑可看成火星半徑R），隨后軟著陸在火星表面。已知“天問一號”在II軌道上的周期為T，II軌道半長軸為a，則（ ）
A．“天問一號”在III軌道上的周期
B．“天問一號”在III軌道上的線速度
C．火星的質(zhì)量
D．火星表面重力加速度
【答案】CD
【解析】A．由開普勒第三定律可知
“天問一號”在III軌道上的周期
A錯誤；
B．由圓周運動公式可知，“天問一號”在III軌道上的線速度
B錯誤；
C．由
解得火星的質(zhì)量
C正確；
D．由
解得火星表面重力加速度
10、2018年5月21日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心將“鵲橋”號中繼星發(fā)射升空并成功進入預定軌道.設“鵲橋”號中繼星在軌道上繞地球做勻速圓周運動的周期為T，已知地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R.求：
(1)“鵲橋”號中繼星離地面的高度h；
(2)“鵲橋”號中繼星運行的線速度大小v；
(3)“鵲橋”號中繼星在軌道上繞地球運行的向心加速度的大小.
【答案】(1)－R　(2)　(3)
【解析】(1)設地球質(zhì)量為M，“鵲橋”號中繼星的質(zhì)量為m，萬有引力提供向心力：G＝m(R＋h)
對地面上質(zhì)量為m′的物體有：G＝m′g
聯(lián)立解得：h＝－R
(2)“鵲橋”號中繼星線速度大小為：v＝
聯(lián)立解得：v＝
(3)“鵲橋”號中繼星的向心加速度大小為：a＝
聯(lián)立解得：a＝.
11、a、b兩顆衛(wèi)星均在赤道正上方繞地球做勻速圓周運動，a為近地衛(wèi)星，b衛(wèi)星離地面高度為3R，已知地球半徑為R，表面的重力加速度為g，試求：(忽略地球的自轉(zhuǎn))
(1)a、b兩顆衛(wèi)星的周期；
(2)a、b兩顆衛(wèi)星的線速度之比；
(3)若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過赤道同一點的正上方，則至少經(jīng)過多長時間兩衛(wèi)星相距最遠？
【答案】(1)2π　16π　(2)2∶1 (3)或
【解析】(1)衛(wèi)星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，則有F引＝Fn
對地球表面上質(zhì)量為m的物體，有G＝mg
對a衛(wèi)星，有＝maR
解得Ta＝2π
對b衛(wèi)星，有＝mb·4R
解得Tb＝16π
(2)衛(wèi)星做勻速圓周運動則有F引＝Fn
對a衛(wèi)星，有＝
解得va＝
對b衛(wèi)星有G＝mb
解得vb＝
所以va∶vb＝2∶1
(3)設經(jīng)過t時間，二者第一次相距最遠，若兩衛(wèi)星同向運轉(zhuǎn)，此時a比b多轉(zhuǎn)半圈，則－＝π
解得t＝
若兩衛(wèi)星反向運轉(zhuǎn)，則(＋)t＝π
解得t＝.
12、已知某衛(wèi)星在赤道上空的圓形軌道運行，軌道半徑為r1，運行周期為T，衛(wèi)星運動方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，不計空氣阻力，萬有引力常量為G。求：
（1）地球質(zhì)量M的大小；
（2）如圖所示，假設某時刻，該衛(wèi)星在A點變軌進入橢圓軌道，近地點B到地心距離為r2，求衛(wèi)星在橢圓軌道上的周期T1；
（3）衛(wèi)星在赤道上空軌道半徑為r1的圓形軌道上運行，小明住在赤道上某城市，某時刻，該衛(wèi)星正處于小明的正上方，在后面的一段時間里，小明觀察到每兩天恰好三次看到衛(wèi)星掠過其正上方，求地球自轉(zhuǎn)周期T0。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
、（1）衛(wèi)星做勻速圓周運動
得
（2）根據(jù)開普勒第三定律
得
（3）每2T0時間小明與衛(wèi)星相遇3次，即每時間相遇一次，得
得
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