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第16章分式 知識考點復習指導
一.分式的定義：
［知識點解析］注:A÷B=A×1/B =A×B-1= A?B-1。有時把 寫成負指數即A?B-1,只是在形式上有所不同,而本質里沒有區別.
［方法指導］：是不是分式的關鍵在，分母是不是有表示未知數的字母。
［例題解析］在代數式、、、、、、中，分式有（ ）.
（A）4個 （B）3個 （C）2個 （D）1個
［詳解］：分式的定義中分母一定要有未知字母，和是分式，故選擇C。
［注意］：是常數，不是未知字母。
［精典練習］：
二. 分式的意義：對于任意一個分式，分母都不能為0，否則分式無意義。
［知識點解析］：分母為0，分式無意義；分式有意義，分母不為0
［方法指導］：分母的含義是分數線下邊的整個式子。
［例題解析］例 當取何值時，下列分式有意義？
　　（1）； （2）；
［詳解］：（1）要使有意義， （2）要使有意義，
［注意］：分式有意義只須分母不為0，與分子無關。
［精典練習］：1.使式子有意義的x的取值范圍為（ D ）.
A、x＞0 B、x≠1 C、x≠－1 D、x≠±1
2、同時使分式有意義，又使分式無意義的x的取值范圍是（ D ）

3. 1. 分式，當時有意義； 參考答案：
4.下列分式，當x=－3時，無意義的是（ D ）
A B C D
三.分式值為0的條件
［知識點解析］：在分母不等于0的前提下，分子等于0,則分數值為0。
［方法指導］：分母的含義是分數線下邊的整個式子。
［例題解析］例 當取何值時，下列分式的值為零？
　　（1）； （2）；
［詳解］：(1) (2)
［注意］：(2)中的使分母為0，應該舍去。
［精典練習］：1.當時，分式的值為零 參考答案：
2.當時，分式的值為零 參考答案：
3.當時，分式的值為零 參考答案：不存在
4.當式子的值為零時，x的值是（ B ）
A、6 B、-5 C、-1或5 D、-5或5
四. 分式的基本性質和約分
1.分式的基本性質:分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變。2.約分:把一個分式的分子和分母的公因式約去,這種變形稱為分式的約分．
［知識點解析］：約分前必須保證分子分母都完全分解因式，就是分子分母全是因式的乘積。約分就是分子分母同時除以相同的因式。
約分步驟:(1)如果分式的分子和分母都是單項式或者是幾個因式乘積的形式,將它們的公因式約去.(2)分式的分子和分母都是多項式,將分子和分母分別分解因式,再將公因式約去.
［方法指導］：1. 公因式的提取方法:系數取分子和分母系數的最大公約數,字母取分子和分母共有的字母,指數取公共字母的最小指數,即為它們的公因式.
2.若分子和分母都是多項式，則往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘積的形式），然后才能進行約分。約分后，分子與分母不再有公因式
［例題解析］例：約分
［詳解］：＝＝.　　
［注意］：在進行分式約分時，若分子和分母都是多項式，則往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘積的形式），然后才能進行約分。約分后，分子與分母不再有公因式，我們把這樣的分式稱為最簡分式.
［精典練習］：1.下列約分，結果正確的是（　D　）
A. B. C. D.
2. 計算的結果是-----------------------------------------------（ A ）
A B C D
五.最簡分式和最簡公分母:
［知識點解析］：一個分式的分子和分母沒有公因式時,這個分式稱為最簡分式.約分時,一般將一個分式化為最簡分式.
［方法指導］：1.最簡分式的分子分母不能再同時整除一個式子或字母、數字。
2.最簡公分母的確定方法:系數取各因式系數的最小公倍數,相同字母的最高次冪及單獨字母的冪的乘積.
［例題解析］：例1.求分式的（最簡）公分母。
［詳解］：對于三個分式的分母中的系數2，4，6，取其最小公倍數12；對于三個分式的分母的字母，字母x為底的冪的因式，取其最高次冪x3，字母y為底的冪的因式，取其最高次冪y4，再取字母z。所以三個分式的公分母為12x3y4z。
例2. 求分式與的最簡公分母。
［詳解］：先把這兩個分式的分母中的多項式分解因式，即
4x—2x2= —2x（x-2），x2—4=（x+2）（x—2），
把這兩個分式的分母中所有的因式都取到，其中，系數取正數，取它們的積，即
2x（x+2）（x-2）就是這兩個分式的最簡公分母。
［注意］：找最簡公分母的步驟：
1．取各分式的分母中系數最小公倍數；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的冪取指數最大的；
4．所得的系數的最小公倍數與各字母（或因式）的最高次冪的積（其中系數都取正數）即為最簡公分母
［精典練習］分式、、的最簡公分母為（ D ）.
（A） （B） （C） （D）
六..通分
［知識點解析］：把幾個異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.
［方法指導］：先求出所有分式分母的最簡公分母,再將所有分式的分母變為最簡公分母.同時各分式按照分母所擴大的倍數,相應擴大各自的分子.
［例題解析］：若分式中的x、y的值都變為原來的3倍，則此分式的值（　　）
　　A、不變　　　B、是原來的3倍　　　C、是原來的　　D、是原來的
七 分式的四則運算
［知識點解析］：1.同分母分式加減法則:分母不變,將分子相加減.2.異分母分式加減法則:通分后,再按照同分母分式的加減法法則計算.3.分式的乘法法則:用分子的積作分子,分母的積作分母.4.分式的除法法則:把除式變為其倒數再與被除式相乘.
［方法指導］：注意一定要按運算順序運算。
［例題解析］：例1.計算：.
［詳解］：解法1：原式=.
解法2：原式=.
［注意］：異分母分式的加減法可用通分后再加減；若能先約分的，則先化簡，一般可起到簡便運算的效果．
例2.化簡：
［詳解］：解法1：原式
　　
　　解法2：原式
［注意］：本題可按運算順序先算括號再乘除后加減；或利用乘法分配率起到簡便運算功效．
例3.先化簡代數式，然后選取一個使原式有意義的a值代入求值.
［詳解］：原式．
　　且，若則原式.
［注意］：若原題改為先化簡代數式，然后選取一個你喜歡的a的值代入求值．則化簡得原式，但仍然要考慮使原式有意義，即且．
例4.先化簡,再求值:,其中,.
［詳解］：原式
　　當，時，原式.
［注意］：分式的除法沒有分配律，避免出現原式的錯誤
例5.已知實數滿足，求的值．
［詳解］：化簡得原式由知，；
［注意］：整體代入，起到降次化簡的顯著效果．
［精典練習］
1. 計算：
參考答案：（1） ＝
＝ ＝ （2）－
＝ ＝ ＝ ＝4
2.計算：＋；
參考答案：＋ ＝ ＝
3.計算
參考答案：原式=
4.計算：
分析：應先算括號里的
5.
本題應采用逐步通分的方法依次進行。
6.
7.
分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再約分
8.
9. 先化簡，然后選擇一個合適的你最喜歡的的值，代入求值．
解：原式．
依題意，只要就行，如，原式．
10. 若實數a、b滿足：，則的值為_________ ．
11. 先化簡，再求值：已知的值．
八 分式方程
［知識點解析］：分式方程的意義:分母中含有未知數的方程叫做分式方程.
［方法指導］：.分式方程的解法:①去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程);②按解整式方程的步驟求出未知數的值;③驗根(求出未知數的值后必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數的取值范圍,可能產生增根)
［例題解析］：例1解方程.
［詳解］：去分母，得x―3－(4－x)＝－1．去括號、整理，得2 x＝6
　　解得x＝3，
　　檢驗：當x＝3時，.
　　所以，x＝3是原方程的解．
　　例2、（揚州市）若方程有增根，則它的增根是（　　）
　　A．0　　　B．1　　　C．－1　　　D．1和－1
［詳解］：B.
［注意］：分式方程有增根，求未知字母的值的一般步驟：1、先把分式方程化為整式方程；2、找出使分母值為零的未知數的值；3、把找出的未知數的值代入整式方程，求出未知字母的值．
　　例3、（梅州市）解方程：.
［詳解］：解法1：原方程可化為：， ∴
　　解得：，經檢驗可知，的原方程的解．
　　解法2：設，則原方程化為：,∴(y+2)(y－1)=0.
　　∴y=－2或y=1.
　　當y=－2時，，解得: ；當y=1時，，方程無解.
　　經檢驗可知，是原方程的解．
［注意］：換元法也是解分式方程的常用方法．
　　例4、（青島市）為響應承辦“綠色奧運”的號召，某中學初三、2班計劃組織部分同學義務植樹180棵，由于同學們參與的積極性很高，實際參加植樹活動的人數比原計劃增加了50%，結果每人比原計劃少栽了2棵樹，問實際有多少人參加了這次植樹活動？
［詳解］：設原計劃有x人參加植樹活動，則實際有1.5x人參加植樹活動．
　　由題意得：
　　去分母，整理得：3x＝90
　　x＝30.
　　經檢驗；x＝30是原方程的解
　　
　　答：實際有45人參加了植樹活動．
［注意］：列分式方程解應用題應相應地增加檢驗的過程．
例5. 解方程
［詳解］：解法一：方程的兩邊都乘以，約去分母，得.
解這個整式方程，得.
檢驗：當時，，所以2是增根，原方程無解.
解法二：∵，
∴，
∴，
∴-1＝-3.
∴原方程無解.
解法三：∵，
∴，
∴，
∴，
∴0＝-2.
∴原方程無解.
［精典練習］
1. 某煤廠原計劃天生產120噸煤，由于采用新的技術，每天增加生產3噸，因此提前2天完成任務，列出方程為------------------------------------------------------------------------（ D ）
A B C D
2 A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A開往B，大汽車比小汽車早出發5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘，已知小汽車與大汽車的速度之比為5：2，求兩車的速度。
參考答案：設大車的速度為2x千米/時，小車的速度為5x千米/時，根據題意得
解之得x=9
經檢驗x=9是原方程的解
當x=9時，2x=18，5x=45
答：大車的速度為18千米/時，小車的速度為45千米/時
3. 購一年期債券，到期后本利只獲2700元，如果債券年利率12.5%，&127;那么利息是多少元?
參考答案：(1)設利息為x元，則本金為(2700-x)元，依題意列分式方程為：
??????????????????? ?
??????? 解此方程得 x=300?
??????? 經檢驗x=300為原方程的根?
答：利息為300元。 合作交流解法，學以致用。
4.一組學生乘汽車去春游，預計共需車費120元，后來人數增加了，費用仍不變，這樣每人少攤3元，原來這組學生的人數是多少個？
本題是策略問題，應讓學生合作交流解法。注意分類討論思想。合作交流解法
5.某一工程，在工程招標時，接到甲、乙兩個工程隊的投標書。施工一天，需付甲工程隊工程款1.5萬元, 乙工程隊工程款1.1萬元。工程領導小組根據甲、乙兩隊的投標書測算：
（1）甲隊單獨完成這項工程剛好如期完成；
（2）乙隊單獨完成這項工程要比規定日期多用5天；
（3）若甲、乙兩隊合做4天，余下的工程由乙隊單獨做也正好如期完成。
在不耽誤工期的前提下，你覺得哪一種施工方案最節省工程款？
6.一個批發兼零售的文具店規定：凡一次購買鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發價付款，購買300枝以下，（包括300枝）只能按零售價付款。小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學生每人購買1枝，那么只能按零售價付款，需用120元，如果多購買60枝，那么可以按批發價付款，同樣需要120元，
這個八年級的學生總數在什么范圍內？
（2）若按批發價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同，那么這個學校八年級學生有多少人？
7. 輪船順流航行66千米所需時間和逆流航行48千米所需時間相同，已知水流速度是每小時3千米，求輪船在靜水中的速度。
8. 某一一項工程預計在規定的日期內完成，如果甲獨做剛好能完成，如果乙獨做就要超過日期3天，現在甲、乙兩人合做2天，剩下的工程由乙獨做，剛剛好在規定的日期完成，問規定日期是幾天？
九．零指數冪與負指數冪
［知識點解析］：掌握兩個法則以及會用科學計數法表示絕對值較小的數
［方法指導］：科學計數法就是把一個數表示成的形式，其中當時，的相反數等于小數點向右移的位數，或的左邊第1個有效數字前所有零的個數（包括小數點前面的那個零）．
［例題解析］　例1、（青島市）下列運算正確的是　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
　　A.　B.　C.　　D.
［詳解］：D.
　　例2、（浙江省湖州市）.
［詳解］：原式=3.
　　例3、（浙江省紹興市2005年）實驗表明，人體內某種細胞的形狀可近似地看作球，它的直徑約為0.00000156m，則這個數用科學記數法表示是　　　　　　　　　　　（　　）
　　（A）　　　　（B）　　　（C）　　　（D）
［詳解］：C
［注意］：任何不等于零的數的零次冪都等于1.
［精典練習］：
1計算：
（1）810÷810；　　（2）10-2；　　（3）
參考答案：（1）1 （2） 0.01 （3） 0.1
2.計算：
（1）（-0.1）0；（2）；（3）2-2；（4）.
參考答案：（1） 1 （2） 1 （3）0.25 （4） 4
3.計算：
；
參考答案： 200 －0.5
4.計算
（1）
（2）
（3）計算：16÷（—2）3—（）-1+（-1）0
參考答案：（1） （2）1 （3）－4
5.用小數表示下列各數：
（1）10-1；　　　　（2）2.1×10-5.
參考答案：（1） 0.1 （2） 0.000021
6.用小數表示下列各數：
（1）-10-1×（-2） （2）（8×10）÷（-2×10）
參考答案：（1）0.2 （2）-0.04

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