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利用直線參數方程t的幾何性質解題
過定點、傾斜角為的直線的參數方程為（t為參數），其中t表示直線上以定點為起點，任意一點M（x，y）為終點的有向線段的數量，由此，易得參數t具有如下 的性質：若直線上兩點A、B所對應的參數分別為
，則
性質一：A、B兩點之間的距離為，特別地，A、B兩點到的距離分別為
性質二：A、B兩點的中點所對應的參數為，若是線段AB的中點，則
，反之亦然。
在解題時若能運用參數t的上述性質，則可起到事半功倍的效果。
應用一：求距離
例1、 已知直線L:x+y-1=0與拋物線y=交于A,B兩點,求線段AB的長和點M(-1,2)到A,B兩點的距離之積.
解:因為直線L過定點M,且L的傾斜角為,所以它的參數方程是 (t為參數)
即 (t為參數)
把它代入拋物線的方程,得
解得
由參數t的幾何意義得


點評:本題的解答中,為了將普通方程化為參數方程,先判定點M(-1,2)在直線上,并求出直線的傾斜角,這樣才能用參數t的幾何意義求相應的距離.這樣的求法比用普通方程求出交點坐標,再用距離公式求交點距離簡便一些.
例2、直線l過點P(1，2)，其參數方程為(t是參數)，直線l與直線 2x +y ?2 =0 交于點Q，求PQ。
解：將直線l的方程化為標準形式，代入 2x +y ?2 =0得 t' = ，
∴ PQ = | t'| = 。
點評：題目給出的直線的參數并不是位移，直接求解容易出錯，一般要將方程改成以位移為參數的標準形式。
例3、經過點P(?1，2)，傾斜角為  的直線 l與圓 x2 +y2 = 9相交于A，B兩點，求PA +PB和PA · PB的值。
解：直線l的方程可寫成，代入圓的方程整理得：t2 +t?4=0，設點A，B對應的參數分別是t1 ，t2，則t1 +t2 = ?，t1 ·t2 = ?4，由t1 與t2的符號相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 ?t2| =  = 3，PA · PB =| t1 · t2 | = 4。
點評：解決本題的關鍵一是正確寫出直線的參數，二是注意兩個點對應的參數的符號的異同。
例4、設直線經過點(1,5),傾斜角為,
1)求直線和直線的交點到點的距離;
2)求直線和圓的兩個交點到點的距離的和與積.
解:直線的參數方程為( t為參數)
1)將直線的參數方程中的x,y代入,得t=.所以,直線和直線的交點到點的距離為
2)將直線的方程中的x,y代入,得設此方程的兩根為,則==10.可知均為負值,所以=
點評：解決本題的關鍵一是正確寫出直線的參數，二是注意兩個點對應的參數的符號的異同。
應用二：求直線與曲線相交的弦長
例1、已知拋物線y2 = 2px，過焦點F作傾斜角為θ的直線交拋物線于A，B兩點，求證：。
分析：弦長AB = |t1 ?t2|。
解：由條件可設AB的方程為(t是參數)，代入拋物線方程，
得 t2 sin2 θ ?2pt cos θ ?p2 = 0，由韋達定理：，
∴ AB = |t1 ?t2| =  =  = 。
例2、 過拋物線的焦點作斜角為的直線與拋物線交于A、B兩點，求|AB|.
解? 因直線的傾角為，則斜率為－1，又拋物線的焦點為F(1，0)，則可設AB的方程為
?? (為參數)
代入整理得
由韋達定理得t1＋t2=，t1t2=－16。
∴===.
例3、直線過點，傾斜角為，且與圓相交于A、B兩點。
（1）求弦長AB.
（2）求和的長。
解：因為直線過點，傾斜角為，所以直線的參數方程為
，即，（t為參數），代入圓方程，得
，整理得
（1）設A、B所對應的參數分別為，所以，，
所以
（2）解方程得，，
所以，
應用三：求點的坐標
例1、一個小蟲從P（1，2）出發，已知它在 x軸方向的分速度是?3，在y軸方向的分速度是4，問小蟲3s后的位置Q。
分析：考慮t的實際意義，可用直線的參數方程(t是參數)。
解：由題意知則直線PQ的方程是，其中時間t 是參數，將t=3s代入得Q（?8，12）。
例2、求點A（?1，?2）關于直線l：2x ?3y +1 =0的對稱點A' 的坐標。
解：由條件，設直線AA' 的參數方程為 (t是參數)，
∵A到直線l的距離d = ， ∴ t = AA' = ，
代入直線的參數方程得A' (? ，)。
點評：求點關于直線的對稱點的基本方法是先作垂線，求出交點，再用中點公式，而此處則是充分利用了參數 t 的幾何意義。
例3、直線過點，傾斜角為，求出直線上與點相距為4的點的坐標。
解：因為直線過點，傾斜角為，所以直線的參數方程為
，即，（t為參數）， （1）
設直線上與已知點相距為4的點為M點，且M點對應的參數為t，則
，所以，將t的值代入（1）式，
當t＝4時，M點的坐標為；
當t＝－4時，M點的坐標為，
綜上，所求M點的坐標為或.
點評：若使用直線的普通方程，利用兩點間的距離公式求M點的坐標較麻煩，而使用直線的參數方程，充分利用參數t的幾何意義求M點的坐標較容易。
應用四：解決有關弦的中點問題
例1、已知經過點P(2,0),斜率為的直線和拋物線相交于A,B兩點,設線段AB的中點為M,求點M的坐標.
解:設過點P(2,0)的直線AB的傾斜角為,由已知可得:
cos,
所以,直線的參數方程為(t為參數)
代入,整理得
中點M的相應的參數是=
所以點M的坐標為
點評:在直線的參數方程中,當t>0,則的方向向上;當t<0,則的方向向下,所以A,B中點的M所對應的t的值等于,這與二點之點的中點坐標有點相同.
例2、過點，傾斜角為的直線和拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的中點M點的坐標。
解：直線過點，傾斜角為，所以直線的參數方程為
，（t為參數），因為直線和拋物線相交，將直線的參數方程代入拋物線方程
中，得：，整理得，
，設這個二次方程的兩個根為，
由韋達定理得，由M為線段AB的中點，根據t的幾何意義，得
，易知中點M所對應的參數為，將此值代入直線的參數方程得，M點的坐標為（2，1）
點評：對于上述直線的參數方程，A、B兩點對應的參數為，則它們的中點所對應的參數為
應用五：求點的軌跡問題
例1、已知雙曲線 ，過點P（2，1）的直線交雙曲線于P1，P2，求線段P1P2的中點M的軌跡方程。
分析：中點問題與弦長有關，考慮用直線的參數方程，并注意有t1 +t2=0。
解：設M(x0，y0)為軌跡上任一點，則直線P1P2的方程是(t是參數)，代入雙曲線方程得：(2cos2θ ?sin2θ) t2 +2(2x0cosθ ?y0sinθ)t + (2x02 ?y02 ?2) = 0，
由題意t1 +t2=0，即2x0cosθ ?y0sinθ =0，得。
又直線P1P2的斜率 ，點P（2，1）在直線P1P2上，
∴，即2x2 ?y2 ?4x +y = 0為所求的軌跡的方程。
應用六：求與離心率有關的問題
例1、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，過橢圓左焦點F且傾斜角為60°的直線交橢圓于A，B兩點，若FA =2FB，求則橢圓的離心率。
分析：FA =2FB轉化成直線參數方程中的 t1= ?2t2或|t1| =2|t2|。
解：設橢圓方程為 ，左焦點F1（c，0），直線AB的方程為，代入橢圓整理可得：(b2 +a2)t2 ? b2ct ?b4 = 0，由于t1= ?2t2，則
，①2×2+②得：，將b2 =a2 ?c2代入，
8 c2 = 3 a2 + a2 ?c2，得 ，故e = 。
在研究線段的長度或線段與線段之間的關系時，往往要正確寫出直線的參數方程，利用 t 的幾何意義，結合一些定理和公式來解決問題，這是直線參數的主要用途；通過直線參數方程將直線上動點坐標用同一參變量 t 來表示，可以將二元問題轉化為一元問題來求解，體現了等價轉化和數形結合的數學思想。
?例2、? 橢圓與x軸的正向相交于點A，O為坐標原點，若這個橢圓上存在點P，使得OP⊥AP。求該橢圓的離心率e的取值范圍。
分析：如果按常規設p(x,y),OP2+AP2=OA2,展開，與離心率沒有明顯的聯系，但用參數方程就非常容易。
?解：設橢圓上的點P的坐標是（）（α≠0且α≠π），A（a，0）。
?則。而OP⊥AP，
?于是，整理得
?解得（舍去），或。
因為，所以?？赊D化為，解得，于是。故離心率e的取值范圍是。
?點評：有關離心率入手比較困難的問題時我們可以考慮應用參數方程求解。

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