資源簡介

數學必修1-5常用公式及結論
必修1：
一、集合
1、含義與表示：
（1）集合中元素的特征：確定性，互異性，無序性
（2）集合的分類；有限集，無限集
（3）集合的表示法：列舉法，描述法，圖示法
2、集合間的關系：子集：對任意，都有 ，則稱A是B的子集。記作
真子集：若A是B的子集，且在B中至少存在一個元素不屬于A，則A是B的真子集，
記作AB 集合相等：若：,則
3. 元素與集合的關系：屬于 不屬于： 空集：
4、集合的運算：并集：由屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合叫并集，記為
交集：由集合A和集合B中的公共元素組成的集合叫交集，記為
補集：在全集U中，由所有不屬于集合A的元素組成的集合叫補集，
記為
5．集合的子集個數共有 個；真子集有–1個；非空子集有 –1個；
6.常用數集：自然數集：N 正整數集： 整數集：Z 有理數集：Q 實數集：R
二、函數的奇偶性
1、定義： 奇函數 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函數 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定義域）
2、性質：（1）奇函數的圖象關于原點成中心對稱圖形；
（2）偶函數的圖象關于y軸成軸對稱圖形；
（3）如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；
（4）如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數．
二、函數的單調性
1、定義：對于定義域為D的函數f ( x )，若任意的x1, x2∈D，且x1 < x2
① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函數
② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是減函數
2、復合函數的單調性: 同增異減
三、二次函數y = ax2 +bx + c（）的性質
1、頂點坐標公式：， 對稱軸：，最大（小）值：
2.二次函數的解析式的三種形式
(1)一般式; (2)頂點式;
(3)兩根式.
四、指數與指數函數
1、冪的運算法則：
（1）a m a n = a m + n ，（2），（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n b n
（5） （6）a 0 = 1 ( a≠0)（7） （8）（9）
2、根式的性質
（1）.
（2）當為奇數時，； 當為偶數時，.
4、指數函數y = a x (a > 0且a≠1)的性質：
（1）定義域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）圖象過定點（0，1）
5.指數式與對數式的互化： .
五、對數與對數函數
1對數的運算法則：
（1）a b = N <=> b = log a N（2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a log a N = N
（6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a () = log a M -- log a N
（8）log a N b = b log a N （9）換底公式：log a N =
（10）推論 (,且,,且,, ).
（11）log a N =
（12）常用對數：lg N = log 10 N （13）自然對數：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…）
2、對數函數y = log a x (a > 0且a≠1)的性質：
（1）定義域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）圖象過定點（1，0）
六、冪函數y = x a 的圖象:（1） 根據 a 的取值畫出函數在第一象限的簡圖 .
例如： y = x 2
七.圖象平移：若將函數的圖象右移、上移個單位，
得到函數的圖象； 規律：左加右減，上加下減
八. 平均增長率的問題
如果原來產值的基礎數為N，平均增長率為，則對于時間的總產值，有.
九、函數的零點：1.定義：對于，把使的X叫的零點。即
的圖象與X軸相交時交點的橫坐標。
2.函數零點存在性定理：如果函數在區間上的圖象是連續不斷的一條
曲線，并有，那么在區間內有零點，即存在，
使得，這個C就是零點。
3.二分法求函數零點的步驟：（給定精確度）
（1）確定區間，驗證;(2)求的中點
（3）計算①若，則就是零點；②若，則零點
③若，則零點；
（4）判斷是否達到精確度，若，則零點為或或內任一值。否
則重復（2）到（4）
必修2：一、直線與圓 1、斜率的計算公式：k = tanα= （α ≠ 90°，x 1≠x 2）
2、直線的方程（1）斜截式 y = k x + b,k存在 ；（2）點斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ，k存在；
（3）兩點式 （） ；4）截距式 （）
（5）一般式
3、兩條直線的位置關系：
l1：y = k1 x + b1 l2：y = k 2 x + b2 l1： A1 x + B1 y + C1 = 0l2： A2 x + B2 y + C2 = 0
重合 k1= k 2且b1= b2
平行 k1= k 2且b1≠ b2
垂直 k1 k 2 = – 1 A1 A2 + B1 B2 = 0
4、兩點間距離公式：設P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，則 | P1 P2 | =
5、點P ( x 0 , y 0 )到直線l ：A x + B y + C = 0的距離：
7、圓的方程
圓的方程 圓心 半徑
標準方程 x 2+ y 2= r 2 （0，0） r
(x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2 （a，b） r
一般方程 x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0
8.點與圓的位置關系
點與圓的位置關系有三種若，則 點在圓外;點在圓上;點在圓內.
9.直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d)
直線與圓的位置關系有三種:
;;.
10.兩圓位置關系的判定方法
設兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，
;
;
;
;
.
11.圓的切線方程
(1)已知圓．
①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是
.
當圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程．
②過圓外一點的切線方程可設為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．
③斜率為k的切線方程可設為，再利用相切條件求b，必有兩條切線．
(2)已知圓．
①過圓上的點的切線方程為;
②斜率為的圓的切線方程為
立體幾何
、線線平行判定定理：
1、平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
2、垂直于同一平面的兩直線平行。3、如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。
4、如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。
（二）、線面平行判定定理
1、若平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
2、若兩個平面平行，則其中一個平面內的任何一條直線都與另一個平面平行。
（三）、面面平行判定定理：
如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。
（四）、線線垂直判定定理：
若一直線垂直于一平面，則這條直線垂直于這個平面內的所有直線。
（五）、線面垂直判定定理
1、如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。
2、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。
（六）、面面垂直判定定理
如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。
（七）．證明直線與直線的平行的思考途徑
（1）轉化為判定共面二直線無交點；（2）轉化為二直線同與第三條直線平行；
（3）轉化為線面平行；（4）轉化為線面垂直；（5）轉化為面面平行.
（八）．證明直線與平面的平行的思考途徑
（1）轉化為直線與平面無公共點；（2）轉化為線線平行；（3）轉化為面面平行.
（九）．證明平面與平面平行的思考途徑（1）轉化為判定二平面無公共點；
（2）轉化為線面平行；（3）轉化為線面垂直.
（十）．證明直線與直線的垂直的思考途徑
（1）轉化為相交垂直；（2）轉化為線面垂直；（3）利用三垂線定理或逆定理；
（十一）．證明直線與平面垂直的思考途徑
（1）轉化為該直線與面內任一直線垂直；（2）轉化為該直線與平面內相交二直線垂直；
（3）轉化為該直線與平面的一條垂線平行；（4）轉化為該直線垂直于另一個平行平面；
（十二）．證明平面與平面的垂直的思考途徑
（1）轉化為判斷二面角是直二面角；（2）轉化為線面垂直.
三、空間幾何體
（一）、正三棱錐的性質
1、底面是正三角形，若設底面正三角形的邊長為a，則有
圖形 外接圓半徑 內切圓半徑 面積
正三角形
2、正三棱錐的輔助線作法一般是：
作PO⊥底面ABC于O，則O為△ABC的中心，PO為棱錐的高，
取AB的中點D，連結PD、CD，則PD為三棱錐的斜高，CD為△ABC的AB邊上的高，
且點O在CD上。∴△POD和△POC都是直角三角形，且∠POD =∠POC = 90°
（二）、正四棱錐的性質
1、底面是正方形，若設底面正方形的邊長為a，則有
圖形 外接圓半徑 內切圓半徑 面積
正方形 OB = OA = S = a 2
2、正四棱錐的輔助線作法一般是：
作PO⊥底面ABCD于O，則O為正方形ABCD的中心，PO為棱錐的高，取AB的中點E，連結PE、OE、OA，則PE為四棱錐的斜高，點O在AC上。∴△POE和△POA都是直角三角形，且∠POE =∠POA = 90°
（三）、長方體
長方體的一條對角線長的平方等于這個長方體的長、寬、高的平方和。
特殊地，若正方體的棱長為a ，則這個正方體的一條對角線長為a 。
（四）、正方體與球
1、設正方體的棱長為a，它的外接球半徑為R1，它的內切球半徑為R2，則
（五）幾何體的表面積體積計算公式
1、圓柱: 表面積:2π+2πRh 體積:πR h
2、圓錐: 表面積:πR +πRL 體積: πR h/3 (L為母線長)
3、圓臺：表面積: 體積：V＝πh(R ＋Rr＋r )/3
4、球：S球面 = 4πR2 V球 = πR3 （其中R為球的半徑）
5、正方體： a－邊長， S＝6a ，V＝a
6、長方體 a－長 ,b－寬 ,c－高 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc
7、棱柱：全面積=側面積+2X底面積 V＝Sh
8、棱錐：全面積=側面積+底面積 V＝Sh/3
9、棱臺：全面積=側面積+上底面積+下底面積
四、三視圖 1.投影：把光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影。
把在一束平行光線照射下形成的投影，稱為平行投影。平行投影按照投射方向是否正對著投影面，可以分為斜投影和正投影兩種。
2、光線從幾何體的前面向后面正投影,得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的正視圖(也叫主視圖)；光線從幾何體的上面向下面正投影,得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的俯視圖；光線從幾何體的左面向右面正投影,得到投影圖,這種投影圖叫做幾何體的側視圖(或左視圖)
3、“長對正,高平齊,寬相等”是三視圖之間的投影規律,是畫圖和讀圖的重要依據.
畫幾何體的三視圖時,能看見的輪廓線和棱用實線表示，不能看見的輪廓線和棱用虛線表示。
必修3: 第一章 算法初步
1、算法概念：在數學上，現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成.
2、構成程序框的圖形符號及其作用
程序框 名稱 功能
起止框 表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不可少的。
輸入、輸出框 表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。
處理框 賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數據的處理框內。
判斷框 判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。
3、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。(結構圖請看教材)
4、（1）、輾轉相除法：用較大的數除以較小的數所得的余數和較小的數構成新的一對數，繼續做上面的除法，直到大數被小數除盡，這個較小的數就是最大公約數。
（2）、更相減損術。以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。
（3）進位制 ①以k為基數的k進制換算為十進制：
②十進制換算為k進制：除以k取余，倒序排列
統計
1．總體和樣本：在統計學中 , 把研究對象的全體叫做總體．
把每個研究對象叫做個體．把總體中個體的總數叫做總體容量．
為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：， ， ，
研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數稱為樣本容量．
2、簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同。（總體個數較少）
3、簡單隨機抽樣常用的方法：（1）抽簽法；⑵隨機數表法；⑶計算機模擬法；
4、系統抽樣（等距抽樣）：把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。（總體個數較多）
K（抽樣距離）=N（總體規模）/n（樣本規模）
5、分層抽樣：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系統抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。（總體中差異明顯）
6、總體分布的估計：⑴一表二圖：①頻率分布表——數據詳實
②頻率分布直方圖——分布直觀 ③頻率分布折線圖——便于觀察總體分布趨勢
注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。
⑵莖葉圖：①莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于看出數據的分布，以及中位數、眾位數等。 ②個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照從小到大書寫，相同的數重復寫。
7、用樣本的數字特征估計總體的數字特征（s 為標準差）
（1）、平均值：（2）、
8、兩個變量的線性相關（1）、概念:（1）回歸直線方程：
（2）回歸系數：，
（3）．應用直線回歸時注意：回歸分析前,最好先作出散點圖；
第三章 概率
一、概念 1、事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；
（1）必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，叫相對于條件S的必然事件；
（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；
（3）隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；
2、古典概型：⑴基本事件：一次試驗中可能出現的每一個基本結果；
⑵古典概型的特點：基本事件可列舉；每個基本事件都是等可能發生
⑶概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件A包含了其中的m個基本事
件，則事件A發生的概率
3、幾何概型：⑴特點：①所有的基本事件是無限個；②每個基本事件都是等可能發生。
⑵幾何概型概率計算公式： 。
4、若A∩B=ф，即不可能同時發生的兩個事件，那么稱事件A與事件B互斥；
5、若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，即不能同時發生且必有一個發生的兩個事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；
二、概率的基本性質：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；
2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于
是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生，具體包括三種不同的情形：（1）事件A發生且事件B不發生；（2）事件A不發生且事件B發生；（3）事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發生，其包括兩種情形；（1）事件A發生B不發生；（2）事件B發生事件A不發生，對立事件是互斥事件的特殊情形。
必修4 一、三角函數與三角恒等變換
1、三角函數的圖象與性質
函數 正弦函數 余弦函數 正切函數
圖象
定義域 R R {x| x≠+kπ,k∈Z}
值域 [-1,1] [-1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
單調性 增區間[-+2kπ,+2kπ]減區間[+2kπ, +2kπ] 增區間[-π+2kπ, 2kπ]減區間[2kπ,π+2kπ]( k∈Z ) 增區間(-+kπ,+kπ)( k∈Z )
對稱軸 x = + kπ( k∈Z ) x = kπ ( k∈Z ) 無
對稱中心 ( kπ,0 ) ( k∈Z ) (+ kπ,0 )( k∈Z ) ( k,0 ) ( k∈Z )
2、同角三角函數公式 sin 2α+ cos 2α= 1 tanαcotα=1
3、二倍角的三角函數公式
sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos2α-1 = 1-2 sin2α= cos2α- sin2α
4、降冪公式
5、升冪公式 1±sin2α= (sinα±cosα) 2 1 + cos2α=2 cos2α 1- cos2α= 2 sin2α
6、兩角和差的三角函數公式
sin (α±β) = sinαcosβ土cosαsinβ cos (α±β) = cosαcosβ干sinαsinβ
7、兩角和差正切公式的變形：
tanα±tanβ= tan (α±β) (1干tanαtanβ)
== tan (+α) == tan (-α)
8、兩角和差正弦公式的變形（合一變形）
（其中）
9、半角公式：
10、三角函數的誘導公式 “奇變偶不變，符號看象限。”
sin (π－α) = sinα， cos (π－α) = －cosα， tan (π－α) = －tanα；
sin (π+α) = －sinα cos (π+α) = －cosα tan (π+α) = tanα
sin (2π－α) = －sinα cos (2π－α) = cosα tan (2π－α) = －tanα
sin (－α) = －sinα cos (－α) = cosα tan (－α) = －tanα
sin (－α) = cosα cos (－α) = sinα tan (－α) = cotα
sin (+α) = cosα cos (+α) = －sinα tan (+α) = －cotα
11.三角函數的周期公式
函數，x∈R及函數，x∈R(A,ω,為常數，且A≠0，ω＞0)的周期；函數，(A,ω,為常數，且A≠0，ω＞0)的周期.
二、平面向量 （一）、向量的有關概念
1、向量的模計算公式：（1）向量法：|| =；
（2）坐標法：設=（x，y），則|| =
2、單位向量的計算公式：
（1）與向量=（x，y）同向的單位向量是；
（2）與向量=（x，y）反向的單位向量是；
3、平行向量
規定：零向量與任一向量平行。設=（x1，y1），=（x2，y2），λ為實數
向量法：∥（≠）<=> =λ
坐標法：∥（≠）<=> x1 y2 – x2 y1 = 0 <=> （y1 ≠0 ，y 2 ≠0）
4、垂直向量
規定：零向量與任一向量垂直。設=（x1，y1），=（x2，y2）
向量法：⊥<=> ·= 0 坐標法：⊥<=> x1 x 2 + y1 y 2 = 0
5.平面兩點間的距離公式
=(A，B).
（二）、向量的加法
（1）向量法：三角形法則（首尾相接首尾連），平行四邊形法則（起點相同連對角）
（2）坐標法：設=（x1，y1），=（x2，y2），則+=（x1+ x2 ，y1+ y2）
（三）、向量的減法
（1）向量法：三角形法則（首首相接尾尾連，差向量的方向指向被減向量）
（2）坐標法：設=（x1，y1），=（x2，y2），則-=（x1 - x2 ，y1- y2）
（3）、重要結論：| || - || | ≤ |±| ≤ || + ||
（四）、兩個向量的夾角計算公式：（1）向量法：cos =
（2）坐標法：設=（x1，y1），=（x2，y2），則cos =
（五）、平面向量的數量積計算公式：（1）向量法：·= || || cos
（2）坐標法：設=（x1，y1），=（x2，y2），則·= x1 x2 + y1 y2
（3） a·b的幾何意義：
數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
（六）.1、實數與向量的積的運算律：設λ、μ為實數，那么
(1) 結合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的數量積的運算律：(1) a·b= b·a （交換律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
3.平面向量基本定理：如果e1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．
（七）.三角形的重心坐標公式
△ABC三個頂點的坐標分別為、、,則△ABC的重心的坐
標是
必修5 一、解三角形：ΔABC的六個元素A, B, C, a , b, c滿足下列關系：
1、角的關系：A + B + C = π，
特殊地，若ΔABC的三內角A, B, C成等差數列，則∠B = 60 ，∠A +∠C = 120
2、誘導公式的應用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = --cosC ,
sin () = cos , cos () = sin
3、邊的關系：a + b > c , a – b < c（兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。）
4、邊角關系：（1）正弦定理： （R為ΔABC外接圓半徑）
a : b : c = sinA : sinB : sinC 分體型a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,
（2）余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c cosB ,
c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b cosC
, ,
5、面積公式：S = a h = ab sinC = bc sinA = ac sinB
二、數列 （一）、等差數列{ a n }
1、通項公式：a n = a 1 + ( n – 1 ) d ，推廣：a n = a m + ( n – m ) d ( m , n∈N )
2、前n項和公式：S n = n a 1 +n ( n – 1 ) d =
3、等差數列的主要性質
① 若m + n = 2 p，則 a m + a n = 2 a p（等差中項）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，則 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N )
③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 組成等差數列，公差為n d。
（二）、等比數列{ a n }1、通項公式：a n = a 1 q n – 1 ，推廣：a n = a m q n – m ( m , n∈N )
2、等比數列的前n項和公式：
當q≠1時，S n = =， 當q = 1時，S n = n a 1
3、等比數列的主要性質
① 若m + n = 2 p，則a p2 = a m a n（等比中項）( m , n∈N )
② 若m + n = p + q，則 a m a n = a p a q ( m , n , p , q∈N )
③S n , S 2 n -- S n , S 3 n – S 2 n 組成等比數列，公比為q n。
（三）、一般數列{ a n }的通項公式：記S n = a 1 + a 2 + … + a n ，則恒有
三、不等式
（一）、均值定理及其變式（1）a , b ∈ R , a 2 + b 2 ≥ 2 a b
（2）a , b ∈ R + , a + b ≥ 2 （3）a , b ∈ R + , a b ≤
（4） ，以上當且僅當 a = b時取“ = ”號。
（二）.一元二次不等式，如果與同號，則其解集在兩根之外；如果與異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間. 設
；
（三）.含有絕對值的不等式：當a> 0時，有
. 或.
（四）.指數不等式與對數不等式
(1)當時, ;
.
(2)當時, ;
（五）. 或所表示的平面區域： 直線定界，特殊點定域。
Y
0
X
1
a > 1
0
Y
X
1
0 < a < 1
X
0
Y
1
0 < a < 1
0
Y
X
1
a >1
a < 0
0 < a < 1
a > 1
C
B
A
P
D
O
D
O
B
A
P
D
A
C
B
O
E
O
A
B
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
O

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