資源簡介

數學知識歸納整理
（一）數與代數
一、數的認識
（一）整數
1、整數的意義、讀法、寫法、改寫、比較。
正整數、0和負整數都是整數。
2、自然數。
我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1，2，3……叫作自然數。一個物體也沒有，用0表示，0也是自然數。
3、計數單位。
一（個)、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數單位，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10，這樣的計數法叫作十進制計數法。
4、數位。
（1）意義：各個計數單位所占的位置叫做數位。
（2）數位順序表
數位順序表
整數部分 小數點 小數部分
億級 萬級 個級 十分位 百分位 千分位 萬分位 ……
數位 …… 千億位 百億位 十億位 億位 千萬位 百萬位 十萬位 萬位 千位 百位 十位 個位 ·
計數單位 …… 千億 百億 十億 億 千萬 百萬 十萬 萬 千 百 十 個 （一） 十分之一 百分之一 千分之一 萬分之一 ……
數位順序表中，以小數點為分界點，往左是整數，位數逐漸變大，往右是小數，位數逐漸變小。小數的數位順序表，首先要找到小數點的位置，然后，以此類推，分別是十分位、百分位、千分位、萬分位···…它們的計數單位分別是0.1、0.01、0.001、0.0001····…
5、數的整除。
（1）倍數與因數。
①整數a除以整數b（b≠0），除得的商是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。
②如果數a能被數b(b≠0)整除，a就叫作b的倍數，b就叫作a的因數（或a的約數）。倍數和因數是相互依存的。
例如：因為35能被7整除，所以35是7的倍數，7是35的因數。
③一個數的因數的個數是有限的，其中最小的因數是1，最大的因數是它本身。例如：10的因數有1、2、5、10，其中最小的因數是1，最大的因數是10。
④一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。
例如：3的倍數有：3、6、9、12··其中最小的倍數是3，沒有最大的倍數。
（2）2、5、3的倍數的特征。
①個位上是0、2、4、6、8的數，都是2的倍數（能被2整除）。
例如：202、480、304，是2的倍數，都能被2整除。
②個位上是0或5的數，都是5的倍數（能被5整除）。
例如：5、30、405 都能被5整除。
③一個數的各個數位上的數字之和是3的倍數，這個數就是3的倍數（能被3整除）。例如：12、108、204都是3的倍數，能被3整除。
④一個數各個數位上的數字之和是9的倍數，這個數就是9的倍數（能被9整除）。
注意：能被3整除的數不一定能被9整除，但是能被9整除的數一定能被3整除。
⑤個位上是0的數，這個數就是2和5的倍數。
⑥個位上是5，且各個數位上的數字之和是3的倍數的數，這個數就是3和5的倍數。
⑦個位上是0、2、4、6、8，且各個數位上的數字之和是3的倍數的數，這個數就是2和3的倍數。
引申：一個數的末兩位數能被4（或25）整除，這個數就能被4（或25）整除。
（3）奇數與偶數。
是2的倍數的數叫偶數：不是2的倍數的數叫奇數。（能被2整除的數叫作偶數。不能被2整除的數叫作奇數。）0也是偶數。自然數按能否被2整除的特征可分為奇數和偶數。
（4）質數、合數、分解質因數。
①一個數只有1和它本身兩個因數，這個數叫作質數（或素數），100以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
②一個數除了1和它本身以外還有別的因數，這個數叫作合數。
例如：4、6、8、9、12都是合數。
③1既不是質數，也不是合數。自然數除了0、1外，不是質數就是合數。如果把非零自然數按其因數個數的不同分類，可分為質數、合數和1。
（把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫作分解質因數。（見課本P40知道嗎）
例如，把28分解質因數：28=2×2×7。）
（5）最大公因數、最小公倍數。
1> 幾個數公有的因數，叫作這幾個數的公因數。其中最大的一個，叫作這幾個數的最大公因數。
①例如：12的因數有1、2、3、4、6、12；（列舉法）
18的因數有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公因數，6是它們的最大公因數。（可以用短除法找）
②公因數只有1的兩個數，叫作互質數。成互質關系的兩個數，有下列幾種情況：
A、1和任何自然數成互質數。
B、相鄰的兩個自然數成互質數。
C、兩個不同的質數成互質數。
D、一個質數和不是它倍數的合數成互質數。
E、兩個合數的公因數只有1時，這兩個合數互質。
③如果幾個數中任意兩個都互質，就說這幾個數兩兩互質。（兩數的特殊關系：互質或成倍數關系）
如果較小數是較大數的因數，那么較小數就是這兩個數的最大公因數。（成倍數關系）
B、如果兩個數是互質數，它們的最大公因數就是1。（成互質關系）
2> 幾個數公有的倍數，叫作這幾個數的公倍數。其中最小的一個，叫作這幾個數的最小公倍數。
①例如：2的倍數有2、4、6、8、10、12、14、16、18……（列舉法）
3的倍數有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數，其中最小的6是它們的最小公倍數。（可以用短除法找）
②如果兩個數中較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。
（成倍數關系）
③如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公倍數。（成互質關系）
3> 幾個數的公因數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。
6、萬以上數的認識、改寫。
（1）讀數：從高位讀起，一級一級往下讀，讀億級或萬級的數按照個級的讀法讀，再在后面加上一個“億”字或“萬”字。數中間有一個0或連續有幾個0，都只讀一個零，每級末尾的零都不讀。
（2）寫數：先寫億級，再寫萬級，最后寫個級，哪一位上一個單位也沒有，就寫0占位。
（3）數的改寫：把一個數改寫成用“萬”或“億”作單位的數：
①整萬的數要省略萬后面的四個零，后面加一個萬字；
②整億的數要省略億后面的八個零，后面加一個億字。
（4）大小比較。
①位數不同，位數多的數就大；
②位數相同，比較最高位，最高位的數大的那個數就大，如果最高位上的數相同，就比較下一位上的數……
7、正數與負數。
（1）定義。
（2）0既不是正數也不是負數。
（3）負數的大小比較。
8、十進制計數法。
（二）分數、小數、百分數的產生及其意義
1、分數、小數、百分數的產生。
當用一個單位長度進行度量時，出現量不盡的情形，這時可以將1個單位再平均分成幾份，由此產生了分數。如果平均分成10份、100份····就產生了小數。表示一個數是另一個數的百分之幾時用百分數。小數、百分數是特殊的分數。小數（有限小數、無限循環小數）實際是十進制分數。
2、分數的意義。
（1）一個物體、一個計量單位、一些物體組成的整體稱為單位“1”。
（2）分數：把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或者幾份的數叫做分數。
（3）把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數是這個分數的分數單位。
（4）分數分為：
①真分數——分子比分母小（小于1）；
②假分數——分子比分母大或等于分母（大于1或等于1）。（帶分數是假分數的另一種表示形式）
③假分數與帶分數的互化。
注意：整數（零除外）表示的是分子是分母的倍數的分數。
3、小數的意義。
（1）意義：把單位“1”平均分成10份、100份、1000份……用來表示十分之幾、百分之幾、千分之幾……的數，叫作小數。
（2）小數是分母是10、100、1000……的分數的另一種表示形式。十分之一、百分之一、千分之一……是小數的計數單位。
（3）小數的分類
①根據小數部分的位數多少可把小數分為有限小數、無限小數。
②小數部分的位數是有限的叫做有限小數，小數部分的位數是無限的叫作無限小數。無限小數又分為無限循環小數和無限不循環小數。
③一個小數，從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字依次不斷重復出現，這樣的小數叫作循環小數。
4、百分數的意義。
（1）表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫作百分數。百分數又叫百分率或百分比。
（2）分數與百分數的異同
分數 百分數
意義 既可以表示具體數量，又可以表示兩個數量的倍比關系 只表示兩個數量的倍比關系，不表示具體數量
分數后面可以有計量單位，可以沒有計量單位。 百分數后面不寫計量單位
寫法 分數的一般寫法 整數、小數+%
一般要求化簡 不化簡
分子不是小數 分子可以是小數
（3）小數、分數和百分數之間可以互化。互化方法為：
（二）數的運算
一、運算的意義
（一）四則運算及其意義
1、整數四則運算的意義：
加法:把兩個數合并成一個數的運算叫作加法。
減法:已知兩個數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算叫作減法。
乘法:求幾個相同加數的和的簡便運算叫作乘法。
除法:已知兩個乘數的積與其中的一個乘數，求另一個乘數的運算叫作除法。
2、整數、小數、分數的加法、減法、除法的意義完全相同，只是小數、分數乘法的意義與整數乘法的意義略有不同。
3、小數乘法的意義：小數乘整數與整數乘法的意義相同，而一個數乘小數就是求這個數的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。
4、分數乘法的意義：分數乘整數與整數乘法的意義相同。而一個數乘分數就是求這個數的幾分之幾是多少。
（二）四則運算的實際應用
1、乘法的運用： (1)求幾個幾是多少； (2)求一個數的幾倍是多少；(3)求長方形面積；
(4)求一個數的幾分之幾或百分之幾是多少。
2、除法的運用： (1)把一個數平均分成若干份，求一份； (2)求一個數里有幾個另一個數；(3)已知一個數的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個數； (4)兩個量的比或乘法逆運算等的模型。
3、加法的運用：(1)合并、移入增加、繼續往前數等的模型；(2)減法逆運算。
4、減法的運用：(1)求剩余；(2)比較；(3)加法逆運算。
（三）加減法、乘除法之間的關系
1、加減法之間的關系:互逆運算；
2、乘除法之間的關系:互逆運算。
（四）四則運算各部分之間的關系:
（1）加數十加數=和 一個加數=和－另一個加數
（2）被減數－減數=差 減數=被減數－差 被減數=差十減數
（3）乘數×乘數=積 一個乘數=積÷另一個乘數
（4）被除數÷除數=商 除數=被除數÷商 被除數=除數×商
（五）乘除法中特殊的規律
1、在乘法算式中，一個因數擴大或縮小幾倍，另一個因數不變，積也隨著擴大或縮小幾倍。
2、在除法算式中:①被除數不變，除數擴大（縮小）幾倍，商就縮小（擴大）幾倍；除數不變，被除數擴大（縮小)幾倍，商就擴大(縮小)幾倍。
二、計算與應用
（一） 四則運算的計算法則
1、加法和減法的計算法則。
2、乘法的計算法則:
⑴整數乘法的計算法則：從第二個乘數的末位算起，用第二個乘數的每一位去乘第一個乘數，用第二個乘數的哪一位去乘，得數的末位就和這位數對齊。
⑵ 小數乘法的計算法則：
①先按整數乘法的計算法則算出積，再看兩個乘數中共有幾位小數，就從積的右邊起向左數出幾位，點上小數點。
②如果小數的位數不夠，就在前面用“0”補足。
⑶分數乘法的計算法則：用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母。
⑷除法的計算法則:
① 整數除法的計算法則：從被除數的高位除起，除到被除數的哪一位，就把商寫在那一位的上面，每次除后所得的余數必須比除數小。
② 小數除法的計算法則：
除數是整數時，按整數除法的運算法則計算，商的小數點要和被除數的小數點對齊。
除數是小數時，先移動除數的小數點，使它變成整數，除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也向右移動幾位(位數不夠，用0補足)，然后按照除數是整數的小數除法法則進行計算。
③分數除法的計算法則：甲數除以乙數(0除外)等于甲數乘乙數的倒數。
注意: 小數的乘、除法要確定好小數點的位置。
（二）四則混合運算的順序
1、在四則混合運算中，加、減法叫作第一級運算，乘、除法叫作第二級運算。
2、沒有括號的：同一級運算，從左往右依次計算；含有兩級運算的，先算第二級，再算第一級。
3、有括號的：先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。
（三） 運算的應用
1、分數、百分數的應用題的基本類型及解題方法：
⑴簡單應用題：
①一個數是另一個數的幾(百)分之幾。一個數是比較量，另一個數是標準量。
一個數÷另一個數=幾(百)分之幾
②求一個數的幾(百)分之幾是多少。這里的一個數是標準量，求比較量。
一個數×幾(百)分之幾=比較量
③已知一個數的幾(百)分之幾是多少，求這個數。已知比較量，求標準量。
標準量=比較量÷幾(百)分之幾
2、復雜應用題：
(1)已知甲、乙兩數，求甲數比乙數多幾(百)分之幾，即求甲數比乙數多的占乙數的幾(百)分之幾。 (甲數一乙數)÷乙數=幾(百)分之幾
(2)已知甲、乙兩數，求乙數比甲數少幾(百)分之幾，即求乙數比甲數少的占甲數的幾(百)分之幾。 (甲數一乙數)÷甲數=幾(百)分之幾
3、比的應用：
⑴已知總量及兩個(幾個)部分量間的比，求各部分量的具體數量。
方法一：先求按一定的比將總量共分成了幾份，然后用總量乘部分量占總量的幾分之幾即可求出部分的具體數量。
方法二：先求按一定的比將總量共分成了幾份，用總量除以份數，求出一份的具體數量，再用具體量所占的份數乘一份的具體量即可求出部分的具體數量。
4、解決應用問題的步驟：
(1)要認真審題，讀懂題目要求。
(2)分析題目中的數量關系。(可以找等量關系、畫線段圖、示意圖、列表等)
(3)選擇正確的解決問題的方法，列式計算。
(4)檢驗。(一要檢驗計算正確與否，二要檢驗結果是否符合題意和實際情況)
三、估算
（一）估算的常用方法
1、湊整的方法：如湊成一個整千、整百、整十的數。
2、取一個中間數；如53、57、51和59這四個數求和，這些數都很接近55，有的比55多一點，有的比55少一點，就取一個中間數55，直接用55×4，就大約地計算出了這幾個數相加的結果。
3、用特殊的數據特點進行估數:如 126×8，就可以想到125×8，125的8倍，就得到1000。
4、尋找區間，也就是說叫尋找它的范圍，也叫作去尾進一：以278為例，去尾就是只看首位，那么只看首位的時候，估得的結果就是它至少是200；進一就是首位加一，這樣就是它最多可能是300，這樣得到一個范圍，就可尋找出它的區間范圍。
5、大小協調：兩個數，一個數往大了估，一個數往小了估，或者一個數估，另一個數不估。
6、先估后調。
7、利用乘法口訣湊數：這種方法一般用于除法的估算，一般用除數乘一個整十數、整百數或整百整十數，如果乘積最接近被除數，則這個數就是除法估算的商。如358÷6，用除數6乘整十數60，其積360最接近被除數358，那么整十數60即是所求的商。
8、去尾法。
“去尾法”解實際問題 :估算時，除了四舍五入法取近似值外，有時要用到“去尾法”，“去尾法”通常適用于做物品(衣服、蝴蝶結、跳繩……)時，料有剩余，但還不夠做成一件完整的物品，就要采用“去尾法”。
9、進一法。
“進一法”解實際問題 :“進一法”通常適用于需要幾個桶裝水(油)，例如需要6桶還剩一點就要用7桶；或者是需要多少鐵皮；運東西需要幾趟……等情況下，剩余的也要進上1。
10、四舍五入法。
（二）估算的計算
1、算式的估算可以分為加法的估算、減法的估算、乘法的估算和除法的估算，一般把算式中的一個或幾個數看成整十整百的數再計算，求出近似數，注意估算時運用“≈”。
2、 舉例說明
(1)加法的估算:486+302≈486+300=786
(2)乘法的估算:956×5≈1000×5=5000
(3)除法的估算:1416÷7≈1400÷7=200
(4)減法的估算:808-95≈800-100=700
注意:估算無定法，必須符合實際，不能機械地采用四舍五入法取近似數。
四、運算律
（一）運算定律
1、加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。
2、加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，再加上第三個數；或者先把后兩個數相加，再和第一個數相加，它們的和不變，即(a+b)+c=a+(b+c)。
3、乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置它們的積不變，即a×b=b×a。
4、乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，再乘第三個數；或者先把后兩個數相乘，再和第一個數相乘，它們的積不變，即(aXb)×c=a×(bXc)。
5、乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，可以把兩個加數分別與這個數相乘，再把兩個積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。
（二）運算性質
6、減法的性質：從一個數里連續減去幾個數，可以從這個數里減去所有減數的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c)。
7、除法的性質:一個數連續除以幾個數，可以用這個數除以幾個除數的乘積，商不變，
即a÷b÷c=a÷(b×c)。
（三）式與方程
一、式與方程
（一）用字母表示數
1、用字母表示數的意義
2、用字母表示運算定律
3、用字母表示周長、面積、體積公式
（二）方程
1、方程的意義:含有未知數的等式叫作方程。
⑴等式與方程的聯系和區別：方程一定是等式，但等式不一定是方程。
⑵方程具備的兩個條件：①含有未知數；②是等式。
2、解方程的理論根據: ⑴等式的性質； ⑵加、減、乘、除各部分之間的關系。
3、解方程與方程的解
⑴求方程的解的過程叫作解方程。
⑵使方程左右兩邊相等的未知數的值叫作方程的解。
4、列方程解決問題
(1)列方程解應用題的一般步驟：
①弄清題意，找出已知數和未知數的關系；
②用字母x表示未知數；
③找出已知數和未知數的等量關系，列出方程；
④解方程，求出x的值；
⑤檢驗，寫出答案。
(2)列方程的主要思路：
①根據幾何形體的計算公式列方程；
②根據比例的意義和正、反比例的意義列方程；
③根據比例尺的意義列方程；
④根據常見的數量關系列方程；
⑤根據分數乘法的意義，即“求一個數的幾分之幾是多少”列方程，解決“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的問題。
（四）正比例與反比例
一、比
1、意義:兩數相除又叫作兩個數的比。
2、比的基本性質:
3、比、分數與除法的聯系與區別
4、求比值和化簡比（見表244）
5、比的應用一般是指按比例分配，其解題方法是：
⑴一般方法：把比轉化為分數，用分數方法解答。即先求總份數，然后求出各部分量占總量的幾分之幾，最后按照求一個數的幾分之幾是多少的解題方法，分別求出各部分的量是多少。
⑵歸一法：把比看作分得的份數，先求出總份數，然后用總量÷總份數=平均每份的量(歸一)，再用1份的量×各部分量所對應的份數求出各部分的量。
⑶用比例知識解答：首先設未知量為x，然后根據題中“已知比等于相對應的量的比”作為等量關系式列出含有x的比例式，再解比例求出x。
二、比例的意義和性質
1、比例的意義
2、比例的基本性質
3、比和比例區別
三、解比例
1、解比例的意義
2、解比例與解方程
3、解比例（根據:比例的基本性質）
四、比例尺
1、比例尺的意義
圖上距離:實際距離＝比例尺 ；圖上距離÷比例尺＝實際距離；
實際距離×比例尺＝圖上距離。
2、舉例說一說比例尺的具體意義，例如:1:300000
⑴表示圖上距離與實際距離的比是1:300000；
⑵表示圖上距離是實際距離的三十萬分之一；
⑶表示實際距離是圖上距離的300000倍；
⑷表示圖上1厘米的距離表示實際3千米的距離。
3、比例尺的分類 ⑴數值比例尺； ⑵線段比例尺； ⑶文字比例尺。
4、數值比例尺與線段比例尺的改寫
五、正比例和反比例
1、意義
⑴正比例的意義：兩種相關聯的量，一種量隨另一種量的變化而變化，如果這兩種量相對應的數的比值一定，那么這兩種量就成正比例。
⑵反比例的意義:兩種相關聯的量，一種量隨另一種量的變化而變化，如果這兩種量相對應的數的乘積一定，那么這兩種量就成反比例。
2、判斷方法
一找：哪兩種相關聯的量。
二想：兩種相關聯的量的變化情況，寫出關系式。
三判斷：聯系關系式，看商一定還是積一定，判斷成什么比例。
正、反比例的區別（列表）
4、表示兩種量之間變化關系的方式
兩種量之間的變化關系可以有三種表示方法：列表、畫圖、用式子表示。
（五）常見的量
一、計量單位的意義
1、用來作為計量標準的量叫做計量單位。
2、名數、單名聲、復名數
①既有數值又有單位名稱的數叫做名數。
②只帶有一個單位名稱的名數叫做單名數。
③帶有兩個或兩個以上單位名稱的名數叫做復名數。
3、高級單位與低級單位是相對的。
二、計量單位和進率
㈠貨幣單位：
1、常用單位 ：元、 角 、 分
2、單位換算 ：1元=10角 1角=10分 1元=100分
㈡質量單位：
1、常用單位 ：噸（t）、 千克（kg）、 克 （g）
2、常用換算： 1噸=1000千克 1千克=1000克
㈢時間單位
1、常用單位：世紀、年 、 月 、 日、 時 、 分、 秒
2、單位換算
⑴1世紀=100年（公元1901年—2000年是第二十世紀） 1年＝12個月
⑵一、三、五、七、八、十、臘（十二月）是大月，大月有31天 ； 四、六、九、冬（十一月）是小月，小月有30天；
⑶ 平年365天，閏年366天。 平年2月有28天，閏年2月有29天 閏年年份是4的倍數， 整百整千年份須是400的倍數
⑷1天= 24小時 1小時=60分 1分=60秒
3、24時計時法與12時計時法的轉化
4、經過時間的計算
㈣長度單位
1、常用單位： 公里(km) 、 米(m) 、分米(dm) 、厘米(cm)、毫米(mm) 、微米(um)
2、單位之間的換算
1毫米 ＝1000微米、 1厘米＝10 毫米 、 1分米＝10 厘米、
1米 ＝1000 毫米、 1千米＝1000 米
㈤面積單位
1、常用單位 平方毫米 、平方厘米 、平方分米 、平方米 、平方千米
2、面積單位的換算
1平方厘米 ＝100 平方毫米 1平方分米=100平方厘米
1平方米 ＝100 平方分米 1公傾 ＝10000 平方米
1平方千米（公里） ＝100 公頃
㈥體積和容積單位
1、概念： ① 體積，就是物體所占空間的大小。 ② 容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。 ③體積＞容積。
2、常用單位
① 體積單位： 立方米 、立方分米 、 立方厘米
② 容積單位： 升 、毫升
3、單位換算
① 體積單位 ：1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米
② 容積單位 ：1升=1000毫升 1升=1立方米 1毫升=1立方厘米
三、單位間的換算
㈠高級單位與低級單位的改寫
㈡單名數與復名數的改寫
1、單名數改寫復名數
2、復名數改寫單名數
㈢歸納概括：把高級單位的名數改寫成低級單位的名數時，要乘進率；把低級單位的名數改寫成高級單位的名數時，要除以進率。
（六）探索規律
一、探索數字規律、 數字排列中的規律的主要類型：
1、一列數中，相鄰的兩項的差是一個固定的數值。例如：1、3、5、7、9…這個數列就是后一項總比前一項多2；或者例如：19、16、13、10、7…這個數列就是前一項總比后一項多3。
2、一列數中，相鄰的兩項，后一項總是前一項的n倍。例如：2，4，8，16，32……這個數列就是相鄰兩項中后一項是前一項的2倍；或者后一項總是前一項的，例如：100，50，25，12.5,6.25……這個數列就是后一項總是前一項的。
3、一列數中，奇數位上的數相鄰的兩項的差是一個固定的數值或者偶數位上的數相鄰的兩項的差是一個固定的數值。例如：1，10，3，13，5，16，7，19……這個數列中，奇數位上的數是后一項總比前一項多2，偶數位上的數是后一項總比前一項多3。
4、一列數中，奇數位上的數是相同的倍數關系或者偶數位上的數也是相同的倍數關系。例如：2，5，6，10，18，20，54，40···…這個數列中，奇數位上的數中后一項總是它前一項的3倍，偶數位上的數后一項總是它前一項的2倍。
5、一列數中，前n項之和等于后一項，例如：0，1，2，3，6，11， 20……這個數列就屬于某項的數等于它前面3項之和的類型。
6、一列數中，每個數位上的數分別是它所在位置序號的平方或立方。例如：1，4，9，16，25……或者是1，8，27，64，125…··
歸納總結: 探索數字之間的規律時，要先觀察給出的數字的特點，從和、差、積、商及倍數關系等方面尋找出數字間的規律。
二、探索圖形規律
三、探索生活中的數字規律（日歷）
2、 圖形與幾何
（一）圖形的認識
一、圖形的認識
㈠圖形的分類
㈡線與角
1、線段、射線、直線
⑴意義
⑵線段、射線、直線的聯系與區別
名稱 圖形 聯系 區別
端點個數 延伸方式 能否度量
線段 是直線的 一部分 2 不能向兩端無限延伸 能度量
射線 是直線的 一部分 1 可以向一端無限延伸 不能度量
直線 沒有 可以向兩端無限延伸 不能度量
⑶過定點的直線:過一點可以畫無數條直線，而過兩點 只能畫一條直線。用插標桿測定直線的方法，就是應用了過兩點只能畫一條直線的道理。
2、垂線和平行線
⑴垂線和平行線的概念
平行線:在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線。
垂直線:兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線。這兩條直線的交點叫垂足。
①點到直線的距離 連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
⑵畫垂線和平行線
★過直線外一點，畫這條直線的平行線的方法是：
(1)用直角三角板的一條直角邊與已知直線重合。
(2)用一把直尺緊緊地靠在三角板的另一條直角邊上。
(3)按緊直尺，按一定的方向平移三角板，使直角邊通過直線外的點。
(4)沿另一條直角邊畫出已知直線的平行線。
★過直線外一點畫這條直線的垂線的方法是：
(1)使直角三角板的一條直角邊與這條直線重合。
(2)平移直角三角板，使另一條直角邊通過已知直線外的點A。
(3)沿過點A的這條直角邊畫出這條直線的垂線。
(4)標畫出垂直符號。
3、角
⑴角的概念:從一點引出的兩條射線，組成的圖形叫作角。
⑵角的大小:與兩條邊叉開的程度有關，與邊的長短無關。
⑶角的單位:度（°）
⑷角的分類:
銳角:小于90°的角叫作銳角；
直角:等于90°的角叫作直角；
鈍角:大于90°而小于180°的角叫作鈍角；
平角:角的兩邊在一條直線上的角叫作平角，1平角=180°；
周角:一條射線繞端點旋轉一周的度數是一周角，1周角=360°。
（銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角）
⑸畫角和量角
二、平面圖形的認識
㈠四邊行的分類
㈡三角形的分類
1、三角形的概念:由三條線段首尾相連圍成的圖形叫作三角形。
2、三角形的分類
⑴按角分:銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形
⑵按邊分:等腰三角形（等邊三角形）；其它三角形
3、三角形的內角和:180°
4、三角形三邊的關系:任意兩邊之和大于第三邊。
㈢圓
1、圓的概念
2、圓的周長
3、圓的面積
三、立體圖形的認識
㈠立體圖形的分類
㈡立體圖形的特點
1、長方體
⑴長方體和正方體的特點
⑵棱長之和=(長+寬+高)×4
⑶表面積
⑷體積
2、正方體
⑴棱長之和=棱長×12
⑵表面積
⑶體積
⑷長方體和正方體的展開圖
3、圓柱體
⑴圓柱的特點：圓柱有三個面，上下兩個平面叫作圓柱的底面，它們是兩個完全相同的圓，有一個曲面叫作圓柱的側面，它的側面展開圖是一個長方形。圓柱兩底面之間的距離叫作圓柱的高，圓柱有無數條高。
⑵表面積
⑶體積
4、圓錐體
⑴圓錐的特點：圓錐有兩個面，它的底面是一個圓，它的側面是一個曲面，側面展開圖是一個扇形。從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高，圓錐只有一條高。
⑵體積
四、觀察物體
（二）圖形與測量
一、圖形與測量
1、長度、面積和體積的認識
2、測量單位及進率
3、單位的大小
4、平面圖形的周長：是圍成平面圖形一周線的長度 。
5、平面圖形的面積：物體的表面或封閉圖形的大小。
6、立體圖形的表面積:物體所有面的面積和。
7、立體圖形的體積:物體所占空間的大小。
二、幾何圖形的周長、面積和體積的計算公式：
1、長方形的周長=(長+寬)×2 → C=(a+b)×2
2、正方形的周長=邊長×4 → C=4a
3、長方形的面積=長×寬 → S=ab
4、正方形的面積=邊長×邊長 → S=a·a=a
5、三角形的面積=底×高÷2 → S=ah÷2 或 S=ah
6、平行四邊形的面積=底×高 → S=ah
7、梯形的面積=(上底十下底)×高÷2 → S=(a+b)h÷2 或 S=(a+b)h
8、直徑=半徑×2 → d=2r
9、半徑=直徑÷2 → r= d÷2 或r= d
10、圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2 → C=πd=2πr
11、圓的面積=圓周率×半徑×半徑 → S=πr
12、長方體的體積=長×寬×高 → V=abh
13、正方體的表面積=棱長×棱長×6 → S=6a
14、長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2 → S=（ab+ac+bc）×2
15、正方體的體積=棱長×棱長×棱長 → V=a·a·a= a
16、圓柱的側面積=底面圓的周長×高 → S=Ch=2πrh
17、圓柱的表面積=上下底面面積+側面積 → S=2πr+2πrh
18、圓柱的體積=底面積×高 → V=Sh=πr h
19、圓錐的體積=×底面積×高 → V=Sh
20、長方體(正方體、圓柱)的體積=底面積×高 → V=Sh
（三）圖形的運動
一、圖形的運動
1、軸對稱
2、平移
3、旋轉
4、圖形的放大與縮小
（四）圖形與位置
一、圖形與位置
1、基本方向：東、南、西、北、 東南、西南、東北、西北
2、用方向、角度、距離確定位置
3、確定位置：豎排叫作列，橫排叫作行
4、數對的寫法：第一個數表示第幾列，第二個數表示第幾行，兩個數用逗號隔開，外面加上小括號。
3、統計與概率
一、統計
㈠統計表
1、概念：把收集到的數據進行整理后制成表格，用來分析情況、反映問題，這種表格叫作統計表。
2、分類：
⑴單式統計表(只有一個統計項目的統計表)
⑵ 復式統計表(有兩個或兩個以上統計項目的統計表)
3. 制作步驟： (1)收集整理數據； (2)設計表格； (3)填寫數據。
㈡統計圖
1、概念：用點、線、面等來表示相關聯的量之間的數量關系的圖形，叫作統計圖。
計圖。
2、分類:常用的統計圖有條形統計圖、折線統計圖和扇形統計圖。
3、三種統計圖的比較
★統計圖中要弄清一個單位長度表示的數量是多少，在根據數據解決問題。
㈢平均數
二、可能性
1、可能性是指事物發生的概率。包含在事物之中并預示著事物發展趨勢的量化指標，其是客觀論證，而非主觀驗證。
2、事件的發生有確定性和不確定性，確定的事件用“一定”或“不可能”來描述，不確定的事件用“可能”來描述。
3、可能性的大小與數量的多少有關，相同條件下，在總數中所占數量越多，可能性越大；所占數量越少，可能性越小。
4、解決問題的策略
一、畫圖法
二、列表法
三、猜想與嘗試
1、雞兔同籠問題
2、圓柱體積的計算
四、從特例開始尋找規律
5、常用的數量關系式
1、每份數×份數＝總數 總數÷每份數＝份數 總數÷份數＝每份數
2、1倍數×倍數＝幾倍數 幾倍數÷1倍數＝倍數 幾倍數÷倍數＝1倍數
3、速度×時間＝路程 路程÷速度＝時間 路程÷時間＝速度
4、單價×數量＝總價 總價÷單價＝數量 總價÷數量＝單價
5、工作效率×工作時間＝工作總量
工作總量÷工作效率＝工作時間
工作總量÷工作時間＝工作效率

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