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練習(xí)
1. 若兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，
求向量a＋b與a－b的夾角為 .
2．在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P在AM上，且滿足，
求＝ .
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)。若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，
求向量c.
4．在平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，求向量和的夾角。
5．(2020全國卷Ⅱ)已知單位向量a,b夾角是60°，
則下列向量中與b垂直的是( )
A. a+2b B. 2a+b C. a-2b D. 2a-b
6．(2020全國卷Ⅲ) 已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=6, a·b=-6,
則cos=( )
A. B. C. D.
參考答案：
1.
提示：法1.從已知條件“|a＋b|＝|a－b|＝|a|”入手，得到以向量a，b為鄰邊的平行四邊形ABCD是矩形，不失一般性，令|a|＝，則|a＋b|＝2，畫出圖形，
AB=,BD=2,∴AD=1
因此，a=, b=,
a＋b=, a-b=
∵⊿ABC是有一個(gè)銳角為30°的直角三角形，
∴<,>=60°
法2.從問題“向量a＋b與a－b的夾角”入手，需要求(a＋b)·(a－b)及|a＋b|，|a－b|。
結(jié)合已知條件：“|a＋b|＝|a－b|＝|a|”。
由|a＋b|＝|a－b|得，a2＋2a·b＋b2＝a2-2a·b＋b2， ∴a·b =0
由|a＋b|＝|a|得，a2＋2a·b＋b2＝ a2，∴|a|＝|b|,|a＋b|＝2|b|
(a＋b)·(a－b)= a2-b2= 2b2
∴cos = = =
2．
提示：作個(gè)圖，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴,
∴，
已知AM＝1，且，∴
3．
提示：這個(gè)是求向量c的坐標(biāo)表示。
設(shè)c＝(x，y)，然后根據(jù)向量平行與垂直的公式列方程。
(設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，當(dāng)a∥b時(shí)，x1y2-x2y1=0, 當(dāng)a⊥b時(shí)，x1x2+ y1y2=0)
4．120°
提示：求向量夾角。通常先求它們數(shù)量積，再求兩個(gè)向量的模，最后代入公式。
這里向量和大小已知，它們夾角也已知。
因此，應(yīng)選{，}為基底。
,
主要數(shù)據(jù)：；||=||=
另，這個(gè)題的數(shù)據(jù)較特殊，用幾何法也能做。
5．D
提示：驗(yàn)算選項(xiàng)中向量與b的數(shù)量積。單位向量的模是1。
6．D
提示：先求a·(a+b),再求|a+b|,最后代入公式
附1：
“基礎(chǔ)知識”是解題思路的源泉
“記住基礎(chǔ)知識”對學(xué)好數(shù)學(xué)很重要，很多題目的解題思路就來源“基礎(chǔ)知識”。
下面以第3題“已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)。若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，求向量c.”為例進(jìn)行一下說明．
求向量c通常有兩種，一種用基底向量表示，另一種是用坐標(biāo)表示。這里因?yàn)轭}中向量都是坐標(biāo)表示。因此，應(yīng)該是求向量c的坐標(biāo)。
設(shè)c＝(x，y)，題中條件“(c＋a)∥b”，當(dāng)然會想到相關(guān)的基礎(chǔ)知識，即，
①“設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b=(x1+x2，y1+y2)。”
②“設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則x1y2-x2y1=0。”
題中條件“c⊥(a＋b)”，當(dāng)然會想到相關(guān)的基礎(chǔ)知識，即，
“設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，則x1x2+y1y2=0。”
依據(jù)這些基礎(chǔ)知識可以得到二個(gè)關(guān)于向量c的坐標(biāo)x,y的方程。解方程即可。
在我的教學(xué)實(shí)踐中，總會有些同學(xué)的答案不正確。這時(shí)，第一步要確認(rèn)思路是否有誤；第二步確認(rèn)基礎(chǔ)知識是否有誤；第三步檢查運(yùn)算是否有誤。
從重要性上看，思路>基礎(chǔ)知識>運(yùn)算。我們也知道。只要這三個(gè)方程都正確結(jié)論一定正確。如果頭腦中沒有相關(guān)的基礎(chǔ)知識當(dāng)然也就想不到。所以說“基礎(chǔ)知識”是解題思路的源泉。
將基礎(chǔ)知識的內(nèi)容與題目中的信息進(jìn)行聯(lián)系就會產(chǎn)生解題思路。所以“記住基礎(chǔ)知識”是產(chǎn)生解題思路的前提。請同學(xué)一定要重視基礎(chǔ)知識，記住基礎(chǔ)知識！

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