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練習題
1. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，則二面角B1-A1C-C1的大小為________。
2.如圖，已知平面α內有一個以AB為直徑的圓，PA⊥α，點C在圓周上(異于點A,B)，AD垂直PC于D，AE垂直PB于E，則(　　)
A．∠ADE為二面角A-PC-B的平面角
B．∠AED為二面角A-PB-C的平面角
C．∠DAE為二面角B-PA-C的平面角
D．∠ACP為二面角A-BC-P的平面角
3.如圖⊿BCD與⊿MCD都是邊長為的正三角形，
平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB．
求平面與平面所成二面角的正弦值．
4.如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD,PC=CD=2，E為AB中點，底面四邊形ABCD是直角梯形，CD⊥AD,CD⊥CB,AD=1,BC=3．
(1)求證：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求二面角的正弦值．
5. 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，
∠BAC=90°,F為棱AA1上的動點，A1A=4,AB=AC=2
（1）F為AA1的中點，
求直線BC與平面BFC1所成角的正弦值；
（2）當?shù)闹禐槎嗌贂r，
二面角B-FC1-C的大小是．
參考答案：
1.
2.BD
提示：這個題很典型。可以證明AD垂直平面PBC,PB垂直平面ADE。所以B正確，PC與ED不垂直。所以A不正確，另二個選項略。
3.平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值為．
提示：這個題建系的方法較多。條件平面MCD平面BCD可以想到取CD中點N，連結MN，可以證明MN垂直平面BCD.面面垂直性質定理是必修四的內容。
4.(1)略；
(2)直線與平面所成角的正弦值為．
(3)二面角的正弦值為．
這個題要做到一次做對，不出現(xiàn)低級錯誤！
5．(1)與平面所成角的正弦值為；
(2)時，二面角的大小是
提示：第（2）問可設AF=a，再由二面角B-FC1-C的大小是這個條件求出a.
今天這組題希望能較全面地復習鞏固用向量法求直線與平面所成角及二面角。建系，求向量，代公式。三大步！
附1：
“記住基礎知識”很重要
對目標為及格的學生來說，做到“記住基礎知識”離及格就很近了。
以下面這個例子進行一下說明。
已知向量，，若向量同時滿足下列三個條件：
；；與垂直．求向量的坐標；
正確解答本題所用高中基礎知識:
設向量則
(1),(2),(3)
這三個公式必須都記住才有可能正確解答這個問題。注意是可能，因為后面還要求計算準確。如果你說記住才是有可能正確解答這個問題，我什么要記住公式呢！我告訴你，如果你不記住，那么你正確解答這個題的可能性都沒有！
解：設，則
能列出三個方程，說明前面三個公式記住了。方程③是公式(2)(3)相結合。
下面要解這個方程。
我們最會解的是一元一次方程和一元二次方程。這個是三元方程。顯然是要把三元方程變?yōu)橐辉匠獭Ｏ茸優(yōu)槎僮円辉＃ㄟ@段就是分析、思考、思路）
觀察這三個方程，發(fā)現(xiàn)由方程③可得z=x代入①②，
將④代入⑤解得，x=2或-2
∴x=2,y=-1,z=2或x=-2,y=-1,z=-2
∴或。
看到了，“記住基礎知識”很重要！
我一直希望同學們能把數(shù)學及格這件事牢牢地掌握在自己手里！
“記住基礎知識”才有希望！
附2：
“用基礎知識做題”的含義
細心的學生會發(fā)現(xiàn)文件有頁眉“記住基礎知識，用基礎知識做題，不犯低級錯誤”，前面我們講了“記住基礎知識”很重要，今天結合例子講一下“用基礎知識做題”的含義
題目：已知空間的一個基底，，，若，共線，則 ， ．
題目中條件“若，共線，”可以想到相關基礎知識，“非零向量和向量共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使得”(這是由題目中信息聯(lián)想相關知識)。
所以，存在實數(shù)k,使得,
∴
∴
已知是空間的一個基底， ∴……(I)
關鍵的地方到了！列出(I)的三個方程的依據(jù)是什么。假如你的回答是老師（或教材或教輔或其它）就是這么講的。那么你做題就不是用基礎知識，而是模仿。
基礎知識告訴我們，已知是空間的一個基底，所以向量是不共面向量，空間向量基本定理告訴我們，空間任何向量都可以用向量線性表達，而且表達結果唯一。向量和向量都用向量線性表達，等式，說明這兩個向量是相等的，即同一個向量，于是表達結果是唯一的，所以列出(I)
你感受到了嗎？這是“用基礎知識做題”！
我希望你在解答題目過程中，每一步驟都清楚所用的基礎知識。這樣你就會覺得很明白。你的解答正確與否能夠心中有數(shù)。想做到這樣必須先記住基礎知識。

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