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練習
1. 曲線y＝x2在點處切線的傾斜角為
2．已知函數f(x)＝ ，則＝________。
3．曲線y＝lnx和直線y=kx相切，則k＝________。
4．若曲線f(x)＝e－x＋ax存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數a的取值范圍是
5．若曲線f(x)＝acosx與曲線g(x)＝x2＋bx＋1在交點(0，m)處有公切線，則a＋b的值為________。
6．設函數f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0。
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值。
7.曲線上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是________。
參考答案：
1.
提示：傾斜角的正切是斜率。
2．
提示：“f(x)＝”是一個常數，
∴ ∴
3．
提示：曲線切線問題求切點是關鍵。即，求切點橫坐標。
設切點為(x0,ln x0)，則以(x0,ln x0)為切點的切線方程是
即，
已知曲線y＝lnx和直線y=kx相切，所以，和y=kx重合。
∴ ∴
4．
提示：切線與直線2x－y＝0平行，說明切線斜率為2，
設切點橫坐標為x0,依題意得，方程有解，即有解，
∴即，∴ a－2>0，
小心！斜率相等時兩直線可能重合。
因此，當2x-y=0與曲線f(x)＝e－x＋ax相切時，
設切點橫坐標為x0,依題意得，
(②的依據是切點(,)和(,)的縱坐標相等)，
+②得，，∴,∴a=2+e
即，a=2+e時，曲線f(x)＝e－x＋ax不存在與直線2x-y=0平行的切線。
所以，實數a的取值范圍是。
5．1
提示：“在交點(0，m)處有公切線”這個條件包含二個含義：①點(0，m)同時有兩曲線上；②兩曲線在(0，m)點處切線相同。
因此，
(前二個方程是點(0，m)在曲線上，第三個方程是切線斜率相等)
∴b＝0，m＝1，a＝1
6．(1);(2)略
提示：(1)點(2，f(2))在切線上也在曲線上；在點(2，f(2)) 處切線斜率為，
即
(2)設P(x0，y0)為曲線上任一點，求以P為切點的切線方程，再求面積。即可。
7.
提示：本題沒有指向用導數幾何意義的信息。
但是，畫個圖。觀察圖像。
當的切線與直線2x－y＋3＝0平行時，
切點到直線2x－y＋3＝0的距離最小。
(數形結合思想)
設切點為(曲線切線問題求切點是關鍵。即，求切點橫坐標。)
∵ , ∴
∴ ∴
即，切點為
切點到直線2x－y＋3＝0的距離為
(點到直線Ax+By+C=0距離公式： )
附1：
“記住基礎知識”很重要
對目標為及格的學生來說，做到“記住基礎知識”離及格就很近了。
下面以第4題為例進行一下說明．
4．若曲線f(x)＝e－x＋ax存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數a的取值范圍是
基礎知識：當兩條直線都有斜率時，如果兩直線平行，那么斜率相等。
我們知道兩直線重合時斜率也相等。所以，當兩條直線都有斜率時，“兩直線平行”是“斜率相等”的充分不必要條件。
本題正是因為這一點，才容易出現錯誤。
比如，因為直線2x－y＝0的斜率為2，切線與它平行，說明切線斜率是2，所以，存在x0使得。即有解，
∴即，∴ a－2>0，
所以，a的取值范圍是（2，+∞）
這個結果是不正確的！原因是基礎知識記得不準確。誤將前述的充分不必要條件記成了充要條件。原因也可能是基礎知識記住了，但做題時卻按充要條件，也就是沒有用基礎知識做題。
正確的解答應該增加下面這部分：
當2x-y=0與曲線f(x)＝e－x＋ax相切時，
設切點橫坐標為x0,依題意得，
(②的依據是切點(,)和(,)的縱坐標相等)，
①+②得，，∴,∴a=2+e
即，a=2+e時，曲線f(x)＝e－x＋ax不存在與直線2x-y=0平行的切線。
所以，實數a的取值范圍是。
所說的“記住基礎知識”當然是指記憶正確。
當兩條直線都有斜率時，“兩直線平行”是“斜率相等”的充分不必要條件。
這個基礎知識如果記成了：當兩條直線都有斜率時，“兩直線平行”是“斜率相等”的充要條件。就不是“記住基礎知識”。因此做到 “記住基礎知識”并不易。請同學相信：做不到 “記住基礎知識”還想及格更不易！

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