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練習題
1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，
ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，
且PA=AB=2，E為PD中點．
(1)證明：PB∥平面AEC
(2)證明：AE⊥平面PCD
(3)求二面角B-PC-D的大小。
2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，
點E為棱PC的中點。
(1)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；
(2)若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，
求二面角F-AB-P的余弦值。
3.如圖，多面體ABCDEF中，
四邊形ABCD為矩形，
二面角A-CD-F為60°，
DE∥CF,CD⊥DE,AD=2,DE=DC=3,CF=6
(1)求證：BF∥平面ADE；
(2)在線段CF上求一點G，使銳二面角B-EG-D的余弦值為．
4.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，
∠BAC=90°,點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點，
M是線段AD的中點，PA=AC=4,AB=2.
(1)求二面角C-EM-N的正弦值；
(2)已知點H在棱PA上，
且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長．
5．如圖，在五面體ABCDEF中，
FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE,AB⊥AD,
M是EC的中點,AF=AB=BC=FE=AD
(1)求異面直線BF與DE所成的角的大??；
(2)證明：平面AMD⊥平面CDE；
(3)求二面角A-CD-E的余弦值．
參考答案：
1. (1)略；(2)略；120°。提示：建系很方便，前二個的證明可用向量法。
2. (1);(2)
3.(1)略；(2)CG．
(
x
y
z
x
)提示：第(1)問可以通過證明面ADE∥面BCF得,線BF∥面ADE.也可以通過向量法。第(2)問需建系。題中“二面角A-CD-F為60°”這個條件是要求學生掌握二面角的平面角定義。已知AD⊥CD,DE⊥CD,所以∠ADE是二面角A-CD-F的平面角，即60°。可以如圖所示建立坐標系。
4.(1);(2)4 提示：這個看起來比較復雜。建系比較方便。要有信心！
5． (1)60°；(2)略；（3）． 提示：一次性做對不出現(xiàn)低級錯誤，就很棒！
附1：
“記住基礎知識”很重要
對目標為及格的學生來說，做到“記住基礎知識”離及格就很近了。
以下面這個例子進行一下說明。
已知向量，，若向量同時滿足下列三個條件：
；；與垂直．求向量的坐標；
正確解答本題所用高中基礎知識:
設向量則
(1),(2),(3)
這三個公式必須都記住才有可能正確解答這個問題。注意是可能，因為后面還要求計算準確。如果你說記住才是有可能正確解答這個問題，我什么要記住公式呢！我告訴你，如果你不記住，那么你正確解答這個題的可能性都沒有！
解：設，則
能列出三個方程，說明前面三個公式記住了。方程③是公式(2)(3)相結合。
下面要解這個方程。
我們最會解的是一元一次方程和一元二次方程。這個是三元方程。顯然是要把三元方程變?yōu)橐辉匠獭Ｏ茸優(yōu)槎?，再變一元。（這段就是分析、思考、思路）
觀察這三個方程，發(fā)現(xiàn)由方程③可得z=x代入①②，
將④代入⑤解得，x=2或-2
∴x=2,y=-1,z=2或x=-2,y=-1,z=-2
∴或。
看到了，“記住基礎知識”很重要！
我一直希望同學們能把數(shù)學及格這件事牢牢地掌握在自己手里！
“記住基礎知識”才有希望！
附2：
“用基礎知識做題”的含義
細心的學生會發(fā)現(xiàn)文件有頁眉“記住基礎知識，用基礎知識做題，不犯低級錯誤”，前面我們講了“記住基礎知識”很重要，今天結合例子講一下“用基礎知識做題”的含義
題目：已知空間的一個基底，，，若，共線，則 ， ．
題目中條件“若，共線，”可以想到相關基礎知識，“非零向量和向量共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使得”(這是由題目中信息聯(lián)想相關知識)。
所以，存在實數(shù)k,使得,
∴
∴
已知是空間的一個基底， ∴……(I)
關鍵的地方到了！列出(I)的三個方程的依據(jù)是什么。假如你的回答是老師（或教材或教輔或其它）就是這么講的。那么你做題就不是用基礎知識，而是模仿。
基礎知識告訴我們，已知是空間的一個基底，所以向量是不共面向量，空間向量基本定理告訴我們，空間任何向量都可以用向量線性表達，而且表達結果唯一。向量和向量都用向量線性表達，等式，說明這兩個向量是相等的，即同一個向量，于是表達結果是唯一的，所以列出(I)
你感受到了嗎？這是“用基礎知識做題”！
我希望你在解答題目過程中，每一步驟都清楚所用的基礎知識。這樣你就會覺得很明白。你的解答正確與否能夠心中有數(shù)。想做到這樣必須先記住基礎知識。

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