資源簡介

2023年滁州市五校聯考
高三數學試卷
第I卷（選擇題）
一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 已知全集，集合，，則( )
A. 或 B. 或
C. D.
2. 設復數，則復數在復平面內對應的點的坐標為( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若，則( )
A. B. C. D.
4. 如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為( )
A.
B.
C.
D.
5. 為慶祝中國共產黨第二十次全國代表大會勝利閉幕，某高中舉行“獻禮二十大”活動，高三年級派出甲、乙、丙、丁、戊名學生代表參加，活動結束后名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則不同的排法共有種．( )
A. B. C. D.
6. 已知是第四象限角，且，則( )
A. B. C. D.
7. 在三棱錐中，底面，，，則三棱錐外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
8. 已知定義在上的可導函數的導函數為，滿足且為偶函數，，則不等式的解集為( )
A. B. C. D.
二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項符合題目要求）
9. 已知是定義域為的奇函數，滿足，若，則( )
A. 關于軸對稱
B. 有一條對稱軸
C. 是周期函數
D.
10. 已知正方體的棱長為，為的中點，，，平面，下面說法正確的有( )
A. 若，，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形
B. 若，平面截正方體所得的截面面積的最大值為
C. 若的和最小，則
D. 直線與平面所成角的最大值為
11. 若直線與拋物線：有且僅有一個公共點，且與的對稱軸不平行，則稱直線與拋物線相切，公共點稱為切點，且拋物線在點處的切線方程為已知拋物線：上有兩點，過點，分別作拋物線的兩條切線，，直線，交于點，過拋物線上異于，的一點的切線分別與，交于點，，則( )
A. 直線的方程為 B. 點，，的橫坐標成等差數列
C. D.
12. 已知函數和及其導函數和的定義域均為，若，，且為偶函數，則( )
A. B. 函數的圖象關于直線對稱
C. 函數的圖象關于直線對稱 D.
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 在的展開式中，含項的系數為 ．
14. 已知圓：，直線：是參數，則直線被圓截得的弦長的最小值為 ．
15. 已知直線與橢圓交于，兩點，線段中點在直線上，且線段的垂直平分線交軸于點，則橢圓的離心率是______ ．
16. 已知函數，若曲線過點的切線有兩條，則實數的取值范圍為 ．
四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 本小題分
在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足．
求；
若，點在邊上，且，，求．
18. 本小題分
已知在遞增數列中，，為函數的兩個零點，數列是公差為的等差數列．
求數列的通項公式；
設數列的前項和為，證明：．
19. 本小題分
中共中央國務院關于全面推進鄉村振興加快農業農村現代化的意見，這是世紀以來第個指導“三農”工作的中央一號文件文件指出，民族要復興，鄉村必振興，要大力推進數字鄉村建設，推進智慧農業發展某鄉村合作社借助互聯網直播平臺進行農產品銷售，眾多網紅主播參與到直播當中，在眾多網紅直播中，統計了名網紅直播的觀看人次和農產品銷售量的數據，得到如圖所示的散點圖．
利用散點圖判斷，和哪一個更適合作為觀看人次和銷售量的回歸方程類型；只要給出判斷即可，不必說明理由
對數據作出如下處理：得到相關統計量的值如表：
其中令，根據的判斷結果及表中數據，求關于的回歸方程，并預測當觀看人次為萬人時的銷售量；
規定：觀看人次大于等于萬人次的主播為優秀主播，從這名主播中隨機抽取名，記其中優秀主播的人數為，求的分布列和數學期望．
參考數據和公式：，
附：對于一組數據，，，，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．
20. 本小題分
如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，點為線段上一點不含端點，平面平面．
證明：；
若，四棱錐的體積為，求二面角的余弦值．
21. 本小題分
我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點，分別為橢圓的左、右頂點．
求雙曲線的方程；
設過點的動直線交雙曲線右支于，兩點，若直線，的斜率分別為，．
試探究與的比值是否為定值若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；
求的取值范圍．
22. 本小題分
已知定義域為的函數，其導函數為，滿足對任意的都有．
若，，求實數的取值范圍；
證明：方程至多只有一個實根；
若，是周期為的周期函數，證明：對任意的實數，，都有．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，
則或，而，
所以或．
故選：．
根據給定條件，利用補集、并集的定義求解作答．
本題主要考查了集合補集及并集運算，屬于基礎題．
2.【答案】
【解析】解：，
故對應的點為．
故選：．
根據已知條件，結合復數的四則運算，求出，再結合復數的幾何意義，即可求解．
本題考查了復數的代數表示法及其幾何意義，屬于基礎題．
3.【答案】
【解析】解：向量，，
則，
，
則，解得．
故選：．
根據已知條件，結合空間向量的數量積運算，即可求解．
本題主要考查空間向量的數量積運算，屬于基礎題．
4.【答案】
【解析】解：連接，，如圖所示：
，，
四邊形為平行四邊形，，
異面直線與所成的角為，
為等邊三角形，，
異面直線與所成的角為．
故選：．
連接，，則異面直線與所成的角為，再根據為等邊三角形，即可求出結果．
本題主要考查了求異面直線所成的角，屬于基礎題．
5.【答案】
【解析】解：由題意得，名代表排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，
則不同的排法共有種，
故選：．
根據相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解．
本題考查了排列組合的應用，屬于基礎題．
6.【答案】
【解析】解：是第四象限角，
，則，，
又，，．
，
，．
．
故選：．
由題意，先確定的范圍，再利用誘導公式及同角三角函數基本關系式、兩角和與差的正切公式，求得要求式子的值．
本題考查兩角和與差的正切，考查誘導公式及同角三角函數基本關系式的應用，是基礎題．
7.【答案】
【解析】解：在三棱錐中，底面，
如圖所示：
在中，，，
利用余弦定理：，解得：，
設的外接圓的半徑為，利用正弦定理，解得，
過點作的垂線和的垂直平分線交于點，
即點為三棱錐外接球的球心，設球的半徑為，
故；
所以．
故選：．
首先利用正弦定理和余弦定理求出三棱錐的外接球的半徑，進一步利用球的表面積公式求出結果．
本題考查的知識要點：正弦定理和余弦定理，求和三棱錐的關系，球的表面積公式，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題和易錯題．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本題考查構造函數，用導數判斷函數的單調性，再由函數的單調性和函數值的大小關系，判斷自變量的大小關系，屬較難題．
【解答】
解：為偶函數，
的圖象關于對稱，
，
設，
則，
又，
，
，
單調遞減，
，
，即，
又，
，
，
即不等式的解集是

9.【答案】
【解析】解，
所以的對稱軸為，故B正確；
所以，
，
的周期為，故C正確；
為上的奇函數，故A錯誤；
，
，，，
，
，故D正確．
故選：．
由為奇函數，判斷；
由，可得的對稱軸為，從而判斷；
由題意可得函數的周期為，從而判斷；
結合函數的周期為，可得，從而判斷．
本題考查了函數的對稱性、周期性及奇函數的性質，屬于中檔題．
10.【答案】
【解析】解：以點為坐標原點，，，所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，
對于選項A，設平面交棱于點，設，，
當時，點，
因為平面，平面，平面，
所以，即，
得，所以，
所以點為棱的中點，
設平面交棱于，同理可知點為棱的中點，即，
故，而，
所以，
所以且，
由空間兩點間距離公式得，，
由，，則．
所以，
所以四邊形是等腰梯形，故選項A正確；
在正方體中，平面，
因為平面，所以，
因為四邊形是正方形，所以，
因為，所以平面，
因為平面，所以，
同理可證，
因為，所以平面，
所以是其中一個截面圖形，
易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，
設，，，，，，分別為，，，，，的中點，
易知六邊形是邊長為的正六邊形，其面積為，
且平面平面，
所以平面，
所以六邊形也是其中一個截面圖形，
易知，六邊形是最大截面，
所以平面截正方體所得的截面面積的最大值為，故選項B正確；
對于選項C，將矩形與正方形延展到一個平面內，如下圖所示，
若的和最小，則、、三點共線，
因為，所以，
因為，所以，
所以，故，故選項C錯誤；
對于選項D，，，設點，
因為平面，
則為平面的一個法向量，且，
設直線與平面所成角為，
因為，當時，最大，最大值為，此時，
故直線與平面所成角的最大值為，故選項D正確．
故選：．
對于選項A，，利用空間向量的坐標運算求解判斷即可；對于選項 B，畫出圖形，利用直線和平面垂直，結合面積求解即可；對于選項C，利用展開圖，計算距離的最小值，判斷即可．
本題考查了空間中的截面形狀和截面面積的計算以及線面角的最值等立體幾何綜合問題，屬于難題．
11.【答案】
【解析】解：已知拋物線：，則，拋物線上兩點，，過點，分別作拋物線的兩條切線，，直線，交于點，則，
則由題意可知：：，：，
對于，聯立，當時，，
此時直線方程為，符合，
當，直線的斜率，所以直線的方程為：，
因為在直線上，所以，所以直線的方程為，故A正確；
對于，因為，在拋物線上，所以，則或，
由得，則或，點，，的橫坐標不成等差數列，故B不正確；
對于，由，可得，即，點是拋物線上一點，所以，
聯立，同理可得，
所以，
，
．
所以，故C正確；
對于，由得，
，
，，
所以，故D正確．
故選：．
根據已知得：，：，結合拋物線上點的坐標關系，可判斷，選項；根據直線方程與拋物線方程，列方程組，解出，坐標，根據向量的坐標運算，可判斷，選項．
本題考查了直線與拋物線的綜合運用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
12.【答案】
【解析】解：對于，由為偶函數得，即有，
則的圖象關于直線對稱，
對兩邊同時求導得：，
令，得，故A正確；
對于，由關于直線對稱得，
由，得，
所以，即的圖象關于直線對稱，故B正確；
對于，對兩邊同時求導得，
由，得，
則，即，
所以的圖象關于直線對稱，故C正確；
對于，由，得，
結合選項可知，，
即，
所以，
所以是函數的一個周期，
由，得也是函數的一個周期，
由，得，
所以，故D錯誤．
故選：．
根據為偶函數，可得，兩邊求導即可判斷；
由關于直線對稱得，結合，即可判斷；
根據，兩邊同時求導得，從而可判斷；
先求出函數和的周期，再結合函數的對稱性即可判斷．
本題考查了復合函數的奇偶性、周期性、對數性及復合函數的求導、導數的對稱性及奇偶性，屬于中檔題．
13.【答案】
【解析】解：由題意，其展開式的通項為，
令，解得，則含的系數為．
故答案為：．
根據二項式定理，寫出展開式通項，利用賦值法，可得答案．
本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．
14.【答案】
【解析】解：圓：的圓心坐標為，半徑為．
由直線：，得，
聯立，解得．
直線過定點，又，
點在圓內部，則當直線與線段垂直時，直線被圓截得的弦長最小．
此時．
直線被圓截得的弦長的最小值為．
故答案為：．
由圓的方程求出圓心坐標與半徑，由直線方程可得直線過定點，求得，再由垂徑定理求得直線被圓截得的弦長的最小值．
本題考查直線與圓的位置關系，考查了垂徑定理的應用，屬中檔題．
15.【答案】
【解析】解：根據題意設中點，又，
直線的斜率為，又，
直線的斜率為，
設，，
則，兩式相減可得：
，
，
，
橢圓的離心率，
故答案為：．
根據直線垂直的條件，點差法，方程思想，化歸轉化思想，即可求解．
本題考查橢圓的離心率的求解，點差法的應用，方程思想，屬中檔題．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本題考查曲線的切線問題，為中檔題．
【解答】
解：設切點為，直線的斜率為，又，
則，所以切線方程為
將代入化簡得，所以方程有兩個不同的實數解，
所以，且，所以或，
即實數的取值范圍為

17.【答案】解：根據題干條件，整理化簡可得，
進一步整理得到，
即，
因為，
所以，
所以可以解得．
在和中，由余弦定理可得到，
，
，整了到，
聯立，可以解得，．
【解析】利用兩角和差的余弦公式結合正弦定理邊化角化簡可得，即可求得答案；
在和中，分別利用余弦定理可得關于，的方程，解方程組可得答案．
本題主要考查解三角形，屬于中檔題．
18.【答案】解：在遞增數列中，，為函數的兩個零點，
可得，，公差，
則數列是首項為，公差為的等差數列，則，
則；
證明：，
則，
因為，所以．
【解析】令，解方程可得，，再由等差數列的通項公式和數列的恒等式，等差數列的求和公式，計算可得所求通項公式；
求得，再由數列的裂項相消求和，結合不等式的性質可得證明．
本題考查等差數列的通項公式和求和公式的運用，以及數列的裂項相消求和，考查轉化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．
19.【答案】解：由散點圖可知，散點分布在一條對數型曲線附近，
所以選擇回歸方程更適合；
令，則，
因為，，
所以，
又，，
所以，
所以與的線性回歸方程為，
故關于的回歸方程為．
令，代入回歸方程可得千件，
所以預測觀看人次為萬人時的銷售量約為件；
由散點圖可知，這名主播中，優秀主播的個數有個，
所以的可能取值為，，，，
所以，，，，
所以的分布列為：
數學期望．
【解析】觀察散點圖，根據散點的分布規律判斷應采用的模型；
令，先求與的線性回歸方程，由此可得與的回歸方程，再利用回歸方程預測；
確定隨機變量的的可能取值，再求取各值的概率，由此可得的分布列，利用均值公式求其期望．
本題主要考查了線性回歸方程的求解，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．
20.【答案】證明：平面，且平面，過點所有垂直于的直線都在平面內，
平面平面，且平面，存在一條過的直線平面，且平面，
平面，，則平面，平面平面，與為同一條直線，
即平面，平面，；
在平面內，過作，且，連接，作圖如下：
平面，且平面，，同理可得，
，，，平面，平面，
平面，為二面角的平面角，
在中，，且，則，
在四棱錐中，底面的面積，則其體積，解得，
在中，，
故二面角的余弦值為．
【解析】利用面面垂直性質定理與線面垂直性質定理，結合公理，可得線面垂直，可得答案；
根據二面角的平面角定義作圖，利用等面積法以及棱錐體積公式，求得邊長，結合直角三角形的性質，可得答案．
本題考查了線線垂直的證明和二面角的計算，屬于中檔題．
21.【答案】解：由題意可設雙曲線：，
則，解得，
雙曲線的方程為；
設，，直線的方程為，
由，消去得，則，，
且，，
；
設直線：，代入雙曲線方程并整理得，
由于點為雙曲線的左頂點，此方程有一根為，
，解得，
點在雙曲線的右支上，，
解得，即，
同理可得，
由，
，

【解析】由題意可設雙曲線：，利用，可求；
設，，直線的方程為，與雙曲線聯立方程組可得，，進而計算可得為定值．
設直線：，代入雙曲線方程可得，進而可得，，進而由可得，進而求得的取值范圍．
本題考查橢圓和雙曲線的標準方程與離心率，雙曲線的幾何性質，直線與雙曲線的位置關系，漸近線與雙曲線的位置關系，屬中檔題．
22.【答案】解：因為，，所以，
由題意知，在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，易知，在上，函數和均單調遞增，
所以，即實數的取值范圍是．
證明：令，故，
所以函數是嚴格減函數，故至多只有一個實根；
證明：設的最大值為，最小值為，
在一個周期內，函數值必能取到最大值與最小值，
設，，
因為函數是周期為，取一個周期，且，
則有，
若，則成立，
若，設，即，故，且，則，
所以成立，
綜上，對任意實數，都成立，所以原式得證．
【解析】根據題意，將問題轉化成恒成立問題，即在上恒成立，再利用函數的單調性即可求出結果；
構造函數，由題易知在定義域上嚴格單調，從而得到證明；
利用函數是定義域為的周期函數，知函數在一個周期上必有最大值和最小值，再利用條件，得到，再對與的大小關系進行分類討論，即可得出結論．
本題主要考查利用導數研究函數的單調性與最值，考查不等式的證明，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于難題．
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