資源簡介

高考數學必須牢記的 136 個關鍵注意點
1. 因為命題p 與 ﹁p 的真假性相反，因此不管是全稱命題，還是特稱命題，若其 真假不容易正面判斷時，可先判斷其否定的真假．
2. 題目中若有條件 B A ，則應分 B＝ 和 B≠ 兩種情況進行討論．
3. 定義域是一個集合，要用集合或區間表示，若用區間表示數集，不能用“或” 連接，而應該用并集符號“∪”連接．
4. 判斷函數的單調性還有圖象法、導數法、性質法等．
5. 導數法求最值下章講解，數形結合求最值見本節方法素養．
6. 求分段函數的單調性時，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值．
函數具有奇偶性包括兩個必備條件：
7. 定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考
慮定義域．
8. 判斷f(x)與f(－x)的關系．在判斷奇偶性時，可以轉化為判斷奇偶性的等價關 系式f(x)＋f(－x) ＝0(奇函數)或f(x)－f(－x) ＝0(偶函數)是否成立．
常見特殊結構的奇偶函數：f(x) ＝loga( －x)(a ＞0 且 a≠ 1)為奇函數，f(x)＝ ax ＋a－x(a ＞0 且 a≠ 1)為偶函數．
9. 已知函數奇偶性可以解決的 3 個問題
( 1)求函數值：將待求值利用奇偶性轉化為已知區間上的函數值求解．
(2)求解析式：將待求區間上的自變量轉化到已知區間上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的參數：利用待定系數法求解，根據f(x)±f(－x) ＝0 得到關于參數 的恒等式，由系數的對等性得參數的方程或方程(組) ，進而得出參數的值．
10. 函數周期性的判定與應用
( 1)判斷函數的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周
期為 T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題．
(2)根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決具 體問題時，要注意結論：若 T 是函數的周期，則 kT(k∈Z 且k≠0)也是函數的周期． 11. 周期性與奇偶性結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進 行轉換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的定義域內求解．
12. 奇函數的最值性質
已知函數f(x)是定義在區間 D 上的奇函數，則對任意的 x ∈D ，都有f(x)＋f(－x)
＝0.特別地，若奇函數f(x)在 D 上有最值，則f(x)max＋f(x)min ＝0 ，且若 0∈D ，則 f(0) ＝0.
13. 抽象函數的周期性
( 1)如果f(x ＋a)＝－f(x)(a≠0) ，那么f(x)是周期函數，其中的一個周期 T＝2a.
(2)如果f(x ＋a)＝(a≠0) ，那么f(x)是周期函數，其中的一個周期 T＝2a.
(3)如果f(x ＋a)＋f(x)＝c(a≠0) ，那么f(x)是周期函數，其中的一個周期 T＝2a.
14. 抽象函數的對稱性
已知函數f(x)是定義在 R 上的函數．
( 1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線 x ＝對稱，特別地，
若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，則y＝f(x)的圖象關于直線 x＝a 對稱．
(2)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a－x) ＝0 ，即f(x)＝－f(2a－x) ，則f(x)的圖象關 于點(a ，0)對稱．
15. 冪函數的圖象與性質特征的關系
( 1)冪函數的形式是y＝xα(α ∈R)，其中只有一個參數α，因此只需一個條件即可確 定其解析式．
(2)判斷冪函數y＝xα(α ∈R)的奇偶性時，當α是分數時，一般將其先化為根式，再 判斷．
(3)若冪函數y＝xα在(0 ，＋∞)上單調遞增，則α>0，若在(0 ，＋∞)上單調遞減，則 α<0.
16. 識別二次函數圖象應學會“三看”
[提醒] 運算結果不能同時含有根號和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指 數，形式力求統一．
17. 指數冪運算的一般原則
[提醒] 對數的運算性質以及有關公式都是在式子中所有的對數符號有意義的 前提下才成立的，不能出現 log2 12 ＝log2 [(－3) ×(－4)] ＝log2(－3)＋log2(－4)的錯 誤．
18. 解與對數函數有關的函數的單調性問題的“一求二判”
19. 換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變 換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中再研究，從而使非標準型問題標準 化、復雜問題簡單化．換元法經常用于研究指數型、對數型函數的性質、三角函 數式的化簡求值、解析幾何中計算等．
20. 畫函數的圖象一定要注意定義域．利用圖象變換法時要注意變換順序，對不 能直接找到熟悉的基本函數的要先變形，并應注意平移變換與伸縮變換的順序對
變換單位及解析式的影響．
21. 當參數的不等關系不易找出時，可將函數(或方程)等價轉化為方便作圖的兩
個函數，再根據題設條件和圖象確定參數的取值范圍．
22. 函數的零點是高考命題的熱點，主要涉及判斷函數零點的個數或范圍，常考 查三次函數與復合函數相關零點，與函數的性質和相關問題交匯．對于嵌套函數 的零點，通常先“換元解套”，將復合函數拆解為兩個相對簡單的函數，借助函數 的圖象、性質求解．
23. 求解已知函數模型解決實際問題的關鍵
( 1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．
(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．
(3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．
24. 建模解決實際問題的三個提醒
( 1)建模：抽象出實際問題的數學模型．
(2)解模：對數學模型進行邏輯推理或數學演算，得到問題在數學意義上的解．
(3)回歸 ：對求得的數學結果進行深入的討論，作出評價、解釋，返回到原來的
實際問題中去，得到實際問題的解．
即：
25. 構建函數模型時不要忘記考慮函數的定義域．
(
b
)26. 利用模型f(x)＝ax＋ 求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件． x
27. 在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數 函數模型表示．通常可以表示為y＝N( 1＋p)x(其中 N 為基礎數，p 為增長率，x 為時間)的形式．解題時，往往用到對數運算，要注意與已知表格中給定的值對 應求解．
28. 有關對數型函數的應用題，一般都會給出函數解析式，要求根據實際情況求 出函數解析式中的參數，或給出具體情境，從中提煉出數據，代入解析式求值， 然后根據值回答其實際意義．
29. 求導之前，應利用代數、三角恒等式等對函數進行化簡，然后求導，這樣可 以減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數的商的形式時，如能化簡則
先化簡，這樣可避免使用商的求導法則，減少運算量．
30. 對解析式中含有導數值的函數，即解析式類似f(x)＝f′ (x0)g(x)＋h(x)(x0 為常數) 的函數，解決這類問題的關鍵是明確f′ (x0)是常數，其導數值為 0. 因此先求導數 f′ (x) ，令 x＝x0 ，即可得到f′ (x0)的值，進而得到函數解析式，求得所求導數值．
31. “過”與“在” ：曲線y＝f(x)“在點 P(x0，y0)處的切線”與“過點 P(x0，y0)的切線” 的區別：前者 P(x0，y0)為切點，而后者 P(x0，y0)不一定為切點．
32. 研究含參函數的單調性時，需注意依據參數取值對不等式解集的影響進行分 類討論．
33. 所求函數的單調區間不止一個時，這些區間之間不能用“∪”及“或”連接，只
能用“ ，”及“和”隔開．
34. 利用導數比較大小，其關鍵在于利用題目條件構造輔助函數，把比較大小的 問題轉化為先利用導數研究函數的單調性，進而根據單調性比較大小．
與抽象函數有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數．題目中存在消 去f(x)與f′ (x)的不等關系時，常構造含f(x)與另一函數的積(或商)的函數，與題設 形成解題鏈條，利用導數研究新函數的單調性，從而求解不等式．
35. 含參數函數的單調性問題一般要分類討論，常見的分類討論標準有以下幾種 可能 ：①方程f′ (x) ＝0 是否有實數根；②若f′ (x) ＝0 有實數根，求出實數根后判 斷其是否在定義域內；③若實數根在定義域內且有兩個，比較實數根的大小是常 見的分類方法．
36. 函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能稱為極值點．
37. 在函數的整個定義域內，極值不一定是唯一的，有可能有多個極大值或極小 值．
38. 極大值與極小值之間無確定的大小關系．
39. 由圖象判斷函數y＝f(x)的極值，要抓住兩點 ：( 1)由y＝f′ (x)的圖象與 x 軸的 交點，可得函數y＝f(x)的可能極值點；(2)由導函數y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′ (x) 的值的正負，從而可得函數y＝f(x)的單調性，兩者結合可得極值點．
40. 已知函數極值點或極值求參數的兩個要領
( 1)列式 ：根據極值點處導數為 0 和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法 求解．
(2)驗證 ：因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數 法求解后必須驗證根的合理性．
41. 若函數y＝f(x)在區間(a ，b)內有極值，那么y＝f(x)在(a ，b)內絕不是單調函 數，即在某區間上單調函數沒有極值．
利用(f(x)＋kx＋b)′＝f′ (x)＋k ，根據導數符號，可得出函數 g(x)＝f(x)＋kx＋b 的單 調性，利用其單調性比較函數值大小、解抽象函數的不等式等．
(
由于
e
x
>
0
，故
[
e
x
f
(
x
)]′
＝
[
f
(
x
)
＋
f
′
(
x
)]
e
x
，其符號由
f
(
x
)
＋
f
′
(
x
)
的符號確定，
e
x
′
＝
，其符號由
f
′
(
x
)
－
f
(
x
)
的符號確定．含有
f
(
x
)±
f
′
(
x
)
類的問題可
以
)f (x )
考慮構造上述兩個函數．
42. 常見構造原函數的類型如下：
( 1)對于不等式 xf′(x)＋f(x)>0 ，構造函數 g(x)＝xf(x)．
(2)對于不等式 xf′(x)－f(x)>0 ，構造函數 g(x)＝(x≠0)．
(3)對于不等式 xf′(x)＋nf(x)>0 ，構造函數 g(x)＝xnf(x)．
(4)對于不等式 xf′(x)－nf(x)>0 ，構造函數 g(x)＝(x≠0)．
43. 含f′ (x)tan x±f(x)或f′ (x)±f(x)tan x 型
該類型構造原函數如下：
( 1)對于f′ (x)tan x＋f(x)>0(<0) ，構造函數 h(x)＝f(x)sin x．
(
sin
x
.
)(2)對于f′ (x)tan x－f(x)>0(<0) ，構造函數 h(x)＝f (x )
(3)對于f′ (x)－f(x)tan x>0(<0) ，構造函數 h(x)＝f(x)cos x．
(
cos
x
.
)(4)對于f′ (x)＋f(x)tan x>0(<0) ，構造函數 h(x)＝f (x )
44. 待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函
數，利用導數研究其單調性，借助所構造函數的單調性即可得證． ( 1)在證明不等式中，若無法轉化為一個函數的最值問題，則可以考慮轉化為兩 個函數的最值問題．
(2)在證明過程中，“隔離”化是關鍵，此處f(x)min>g(x)max 恒成立．從而f(x)>g(x)， 但此處f(x)與 g(x)取到最值的條件不是同一個“x 的值”．
對于不適合分離參數的不等式，常常將參數看作常數直接構造函數，常用分類討 論法，利用導數研究單調性、最值，從而得出參數范圍．
45. “恒成立”“存在性”問題一定要正確理解其實質，深刻挖掘內含條件，進行等 價轉化．
46. 構造函數是求范圍問題中的一種常用方法，解題過程中盡量采用分離參數的 方法，轉化為求函數的最值問題．
47. 已知函數(方程)零點的個數求參數范圍
( 1)函數在定義域上單調，滿足零點存在性定理．
(2)若函數不是嚴格的單調函數，則求最小值或最大值結合圖象分析．
(3)分離參數后，數形結合，討論參數所在直線與函數圖象交點的個數．
[注意] 注意“順轉減，逆轉加”的應用，如角α 的終邊逆時針旋轉 180°可得角α＋ 180°的終邊，類推可知α＋k· 180°(k∈Z)表示終邊落在角α 的終邊所在直線上的角． 48. 運用弧度制下有關弧長、扇形面積公式的前提是角的度量單位為弧度．
49. 三角函數線是三角函數的幾何表示，正弦線、正切線的方向同縱軸一致，向 上為正，向下為負；余弦線的方向同橫軸一致，向右為正，向左為負．
50. 利用同角三角函數的基本關系求解問題的關鍵是熟練掌握同角三角函數的 基本關系的正用、逆用、變形．同角三角函數的基本關系本身是恒等式，也可以 看作是方程，對于一些題，可利用已知條件，結合同角三角函數的基本關系列方 程組，通過解方程組達到解決問題的目的．
51. 三角函數式的化簡要遵循“三看”原則
52.在求解與抽象函數有關的不等式時，往往是利用函數的單調性將符號“f”脫掉， 使其轉化為具體的不等式求解，此時應特別注意函數的定義域．
53. 求解誘導公式與同角關系綜合問題的基本思路和化簡要求
基本 思路 ①分析結構特點，選擇恰當公式； ②利用公式化成單角三角函數； ③整理得最簡形式
化簡 要求 ①化簡過程是恒等變換； ②結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值 的要求出值
54. 要注意求函數y＝Asin(ωx ＋p)的單調區間時ω 的符號，若ω<0，那么一定要先 借助誘導公式將ω化為正數．同時切莫漏掉考慮函數自身的定義域．
55. 利用函數的單調性比較大小
( 1)比較同名三角函數的大小，首先把三角函數轉化為同一單調區間上的三角函 數，利用單調性，由自變量的大小確定函數值的大小；
(2)比較不同名三角函數的大小，應先化成同名三角函數，再進行比較．
[注意] 平移變換和伸縮變換都是針對 x 而言，即 x 本身加減多少值，而不是ωx 加減多少值．
56. 三角函數模型在實際應用中體現的兩個方面
( 1) 已知函數模型，利用三角函數的有關性質解決問題，其關鍵是準確理解自變 量的意義及自變量與因變量之間的對應法則； (2)需要建立精確的或者數據擬合的模型去解決問題，尤其是利用已知數據建立 擬合函數解決實際問題，此類問題體現了數學建模核心素養，考查應用意識． 三角函數的零點(方程根)個數問題可轉化為兩個函數圖象的交點問題．
57. “角化邊”后要注意用因式分解、配方等方法得出邊的相應關系；“邊化角”后
要注意用三角恒等變換公式、三角形內角和定理及誘導公式推出角的關系．
58. 正弦定理、余弦定理與三角函數性質的綜合應用中，要注意三角函數公式的 工具性作用．
59. 解決距離問題的兩個注意事項
( 1)選定或確定要創建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知 則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一個確定的三角形中求解． (2)確定用正弦定理還是余弦定理，如都可以用，就選便于計算的定理，選定合 適的三角形．
60. 解決高度問題的三個注意事項
( 1)要理解仰角、俯角的定義； (2)在實際問題中可能會遇到空間與平面(底面)同時研究的問題，這時最好畫兩個 圖形，一個空間圖形，一個平面圖形；
(3)注意山或塔垂直底面或海平面，把空間問題轉化為平面問題．
61. 解決角度問題的三個注意事項
( 1)測量角度時，首先應明確方位角及方向角的含義；
(2)求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
(3)在解應用題時，要根據題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉化 為可用數學方法解決的問題，解題過程中也要注意體會正、余弦定理綜合使用的 優點．
62. 解三角形應用題的 4 個要點
(
63.
平面向量的兩點提
醒
(
1)
向量不同于數量，向量不僅有大小，而且還有方向．
(
2
)
任意向量
a
的模都是非負實數，即
|
a
|≥0.
64
.
平面向量有關概念的四個關注點
(
1)
相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．
(
2)
共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．
(
3)
向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函
數圖象的移動混淆
．
(4)
非零向量
a
與
|
a
a
|
的關系：
|
a
a
|
是與
a
同方向的單位向量．
6
5.
證明三點共線時，需說明共線的兩個向量有公共點．
66.
當且僅當
x
2
y
2
≠0
時，
a
∥
b
與
x
1
＝
y
1
等價．
x
2
y
2
即
兩
個不平行于坐標軸的共線向量的對應坐標成比例．
67.
運算遵法則
基底定分
解
(
1)
應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則
)
進行向量的加、減或數乘運算． (2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條 件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．
68. 向量共線的兩種表示形式
設 a＝(x1，y1) ，b ＝(x2，y2) ，①a ∥b a＝λb(b≠0) ；②a ∥b x1y2－x2y1 ＝0 ，至于 使用哪種形式，應視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標的應用②.
69. 兩向量共線的充要條件的作用
判斷兩向量是否共線(平行) ，可解決三點共線的問題；另外，利用兩向量共線的 充要條件可以列出方程(組) ，求出未知數的值．
70. 計算向量數量積的三個角度
( 1)定義法 ：已知向量的模與夾角時，可直接使用數量積的定義求解，即 a·b＝ |a||b|cos θ(θ是 a 與 b 的夾角)．
(2)基向量法 ：計算由基底表示的向量的數量積時，應用相應運算律，最終轉化 為基向量的數量積，進而求解．
(3)坐標法 ：若向量選擇坐標形式，則向量的數量積可應用坐標的運算形式進行 求解．
71. 向量的模的求法
( 1)求形如 ma ＋nb 的向量的模，可通過平方，轉化為數量的運算． (2)用定義法和坐標法求模的范圍時，一般把它表示成某個變量的函數，再利用 函數的有關知識求解；用幾何法求模的范圍時，注意數形結合的思想，常用三角
不等式進行最值的求解．
72. 解決復數概念問題的方法及注意事項 ( 1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的 條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即 可．
(2)解題時一定要先看復數是否為 a＋bi(a ，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．
73. 復數的幾何意義及應用
( 1)復數 z、復平面上的點 Z 及向量O→Z相互聯系，即 z＝a＋bi(a ，b∈R) Z(a，
b) O→Z.
(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、 向量與解 析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀． 74. 在解答題中證明一個數列為等差數列時，只能用定義法．
如果{an }為等差數列，m ＋n＝p＋q，則 am ＋an＝ap ＋aq(m，n，p，q∈N*) ．因此， 若出現 am －n ，am ，am ＋n 等項時，可以利用此性質將已知條件轉化為與 am(或其他 項)有關的條件；若求 am 項，可由 am ＝(am －n ＋am ＋n)轉化為求 am －n ，am ＋n 或 am －n ＋am ＋n 的值．
75. 等差數列前 n 項和的性質
在等差數列{an }中，Sn 為其前 n 項和，則
( 1)S2n＝n(a1 ＋a2n)＝ …＝n(an ＋an＋1)；
(2)S2n－1 ＝(2n－1)an；
(3)當項數為偶數 2n 時，S 偶 －S 奇＝nd ；項數為奇數 2n－1 時， S 奇 －S 偶 ＝a 中 ，S 奇 ∶S 偶 ＝n ∶(n－1)．
76. 等比數列的 4 點提醒
( 1)在解答題中證明一個數列為等比數列時，只能用定義法； (2)如果要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續的三項不成等比數 列即可．
(3)在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件．利用性質，特別是性 質“若 m ＋n＝p＋q ，則 am ·an＝ap ·aq” ，可以減少運算量，提高解題速度． (4)在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變 形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．
77. 與等比數列前 n 項和 Sn 相關的結論
( 1)項的個數的“奇偶”性質：等比數列{an }中，公比為 q.
①若共有 2n 項，則 S 偶 ∶S 奇＝q；
②若共有 2n＋1 項，則 S 奇 －S 偶 ＝(q≠ 1 且 q≠－1)．
(2)分段求和：Sn ＋m ＝Sn ＋qnSm qn ＝(q 為公比)．
78. 分組轉化法求和的常見類型
( 1)若 an ＝bn±cn ，且{bn } ，{cn }為等差或等比數列，可采用分組求和法求{an }的前 n 項和．
(
b
n
，
n
為奇
數，
c
n
，
n
為偶
數
差數列，可采用分組轉化法求和
．
)(2)通項公式為 an＝ 的數列，其中數列{bn } ，{cn }是等比數列或等
79. 利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注 意求和時，正負項相消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項． 80. 平面圖形與其直觀圖的關系
( 1)在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段．平行于 x 軸的線段平行性不變， 長度不變；平行于y 軸的線段平行性不變，長度減半．
(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系：S 直觀圖 ＝S 原圖形．
81. 求解與數學文化有關的立體幾何問題，首先要在閱讀理解上下功夫，明確其 中一些概念的意義，如“斬堵”“陽馬”
和“鱉臑”等的特征是求解相關問題的前提，其次目標要明確，根據目標聯想相關 公式，然后進行求解．
82. 點共線、線共點等都是應用公理 3 ，證明點為兩平面的公共點，即證明點在 交線上．
83. 應用線面平行的性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經過已知直線 作輔助平面來確定交線．該定理的作用是由線面平行轉化為線線平行．
84. 立體幾何中的最值或范圍問題，常用函數思想來解決．常見問題是求幾何體 截面面積或周長的最值或范圍，動點的軌跡等，解題關鍵是通過對幾何體中條件
的分析和轉化，設出未知量，建立函數關系式或軌跡方程．
85. 平行與垂直的綜合問題主要是利用平行關系、垂直關系之間的轉化去解 決．注意遵循“空間到平面”“低維”到“高維”的轉化關系．
86. 構造法實質上是結合題意構造符合題意的直觀模型，然后利用模型對問題直 觀地作出判斷．這樣減少了抽象性，避免了因考慮不全面而導致的解題錯誤．由 于長方體或正方體中包含了線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直及面面垂 直等各種位置關系．故構造長方體或正方體來判斷空間直線、平面間的位置關系， 顯得直觀、易判斷．構造時注意其靈活性，想象各種情況反復驗證．
87. 求異面直線所成的角的兩個關注點 ( 1)用向量方法求兩條異面直線所成的角，是通過兩條直線的方向向量的夾角來
求解的．
(2)由于兩異面直線所成角的范圍是θ∈ 0 ， ，兩方向向量的夾角α 的范圍是
[0 ，π] ，所以要注意二者的區別與聯系，應有 cosθ＝|cosα|.
88. 判斷兩條直線位置關系應注意：
〈1 〉注意斜率不存在的特殊情況．
〈2 〉注意 x，y 的系數不能同時為零這一隱含條件．
89. 解決兩直線平行與垂直的參數問題要“前思后想”
90. 在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化．在一個平面內作交線的垂 線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．
91. 解答圓的有關問題，應注意數形結合，充分運用圓的幾何性質．
92. 求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，然后求切線方 程．若點在圓上(即為切點) ，則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點 的切線有兩條(若通過上述方法只求出一個 k，則說明另一條切線的斜率一定不存 在，此時另一條切線的方程為 x＝x0)．
93. 判斷圓與圓的位置關系時，一般不用代數法，因為利用代數法不能判斷內切 與外切，內含與外離；利用幾何法的關鍵是判斷圓心距|C1 C2 |與 R ＋r，R －r 的關 系．
94. 橢圓定義的應用技巧
橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是明確平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢 圓；二是當 P 在橢圓上時，與橢圓的兩焦點 F1，F2 組成的三角形通常稱為“焦點 三角形” ，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求|PF1 | · |PF2 | ，通過整體 代入可求其面積等．
95. 當橢圓焦點位置不明確時，可設為＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可設為Ax2 ＋By2＝1(A>0 ，B>0 ，且 A≠B)．
96. 對于橢圓方程，在第二步中得到的方程的二次項系數一定不為 0 ，故一定為 一元二次方程．
97. 雙曲線定義的應用
( 1)判定滿足某條件的平面內動點的軌跡是否為雙曲線，進而根據要求可求出曲 線方程．
(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經常結合||PF1 |－|PF2 || ＝2a， 運用平方的方法，建立|PF1 |與|PF2 |的關系．
98. 在應用雙曲線定義時，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是 雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．
99. 兩條漸近線的傾斜角互補，斜率互為相反數，且兩條漸近線關于 x 軸，y 軸 對稱．
100. 解決概念型多項選擇題的關鍵如下：
( 1)明概念，巧借選項所給信息，正確理解概念，明確辨析點；
(2)辨問題，結合概念的內含和外延，對題中所述概念再進一步深層次辨析； (3)定選項，利用概念對選項作選擇，也可借助反例法、特值法求解．
101. 解決運算求解型問題多項選擇題就是根據題中已知條件，通過運算求得結 果，然后進行判斷的問題，此類問題實質就是一個定量的分析問題．其解題關鍵 如下：
( 1)定問題，即根據選項明確所求解的問題，建立相應的求解目標；
(2)析條件，即分析題中與所求目標相關的條件，確定計算所需的基本量，如圓 錐曲線方程中的參數、數列中的通項公式和項數、三角函數中的角等；
(3)求數值，即通過目標建立相關問題的模型，然后利用相應的數學知識求解相
關數值；
(4)定選項，根據所求解的結果判斷選項的正誤，從而得到正確的結果．
102. 邏輯推理型多項選擇題就是根據已知條件，利用相關的定理、性質等逐項 進行推理論證的多項選擇．解決此類問題的關鍵如下：
( 1)判斷類型，即判斷選項涉及的數學問題類型，確定數學模塊歸屬； (2)確定依據，即根據選項確定解決此類問題的模塊理論依據，如不等式的性質、 空間線面關系的判定定理、函數的性質等；
(3)邏輯推理，即利用相關的定理、推理、性質等對選項進行逐項判斷，然后選 出正確選項．
103. 數據分析就是根據統計圖表，提取相關數據，并根據數據的特征以及變化
進行分析判斷，從而得到相關結論．解題關鍵如下：
( 1)提取數據，即根據選項研究的問題，從統計圖表中讀取相應的數據； (2)分析數據，即分析提取數據的特征，如變化率、變化趨勢、最值等，根據選 項研究的問題進行簡單分析；
(3)確定選項，即根據數據分析的結果逐項判斷選項的正誤，從而得到正確結果． 104. 綜合型多選題就是同一道選擇題中，定量、定性問題都出現，此類問題既 需要利用相關理論進行邏輯推理，又必須根據條件進行定量分析，所以思考量比 較大．解決此類問題的基本思路是先分類，再逐項進行檢驗．其解題步驟如下： ( 1)合理分類：即根據選項研究的問題類型進行合理分類，將其分為定性型問題(如 空間中的線面關系、函數的性質的判斷等)與定量型問題(如求角、距離、面積、
體積等)兩大類．
(2)逐類判斷 ：即對歸類后的問題進行逐類分析，對于定性型問題，可利用相關 的定理、性質等進行邏輯推理，進而判斷正誤；對于定量型問題，如幾何體的體 積、平面圖形的面積、圓錐曲線的離心率等的求解，可根據已知條件代入求值，
進而判斷正誤．
(3)確定選項：即根據判斷結果得到正確選項．
105. 利用拋物線的定義可解決的常見問題
①軌跡問題：用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關的軌跡是否
為拋物線.
②距離問題：涉及拋物線上的點到焦點的距離和點到準線的距離問題時，注意在
解題中利用兩者之間的相互轉化.
[提醒] 一定要驗證定點是否在定直線上.
106. 拋物線定義的應用規律
107. 建立函數關系后，一定要根據題目的條件探求自變量的取值范圍，即函數 的定義域．
108. 涉及弦的中點、斜率時，可采用“點差法”求解．
109. 與拋物線上的點到準線距離有關的最值問題，一般都是利用拋物線的定義， 將到準線的距離轉化為到焦點的距離，然后通過數形結合直接判斷出取得最值時
所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數運算．
110. 若拋物線上的點 P 到直線 l 的距離最小，則過點 P 與 l 平行的直線與拋物線 相切，且最小距離為兩平行直線間的距離，所以可將問題轉化為求與拋物線相切 的直線，然后求兩平行直線間的距離．
111. 解與拋物線有關的最值問題可通過兩點間距離公式或者點到直線的距離公 式建立目標函數，再用求函數最值的方法求解．解題的關鍵是根據所給拋物線方 程設出動點坐標．
112. 對于證明問題，一般是根據已知條件，運用所涉及的知識通過運算化簡， 利用定義、定理、公理等，直接推導出所證明的結論即可，證明不等式常用不等 式的性質，或基本不等式求得最值．
113. 圓錐曲線中的證明問題涉及證明的范圍比較廣，但無論證明什么，其常用 方法有直接法和轉化法，對于轉化法，先是對已知條件進行化簡，根據化簡后的 情況，將證明的問題轉化為另一問題．本題證明的關鍵是能夠利用拋物線的定義 將所證結論轉化為證明 HN∥y 軸．通過直線與拋物線聯立得到根與系數的關系 的形式，利用根與系數的關系的結論證得 HN∥y 軸．
114. 求解圓錐曲線中的最值問題，即通過圓錐曲線的定義、幾何性質將最值轉 化，利用平面幾何中的定理、性質，結合圖形的直觀性求解最值問題．常用的結
論有：
( 1)兩點間線段最短；
(2)點到直線的垂線段最短．
115. 指構建所求式子的不等關系，通過不等式變形或不等式的求解確定范圍的
方法．解決問題的關鍵如下：
( 1)構建所求式子的不等關系，可根據已知條件中的不等式(組)建立不等關系或根 據題意建立不等關系．一般通過以下幾何條件建立不等關系：三角形兩邊之和大 于第三邊、直角三角形斜邊大于直角邊、點的橫(縱)坐標大小比較、直線的斜率、 圓錐曲線中線段長的范圍等．
(2)求范圍，利用不等式的性質或解不等式求解所要求的式子的范圍．
圓錐曲線的最值與范圍問題中，若目標表達式與已知條件具有比較明確的關系， 則可以考慮建立目標函數，通過研究函數的單調性、圖象或基本不等式等來解決，
116. 破解最值或范圍類問題的關鍵如下：
( 1)定變量，根據題目定變量以及變量的取值范圍．
(2)定目標函數，根據題目信息確定目標函數(一般以所求式子為函數解析式)． (3)求最值或范圍，根據目標函數解析式，借助配方、基本不等式、三角函數的 有界性、函數的單調性(可借助導數研究)等確定目標函數的最值或取值范圍． 證明直線或曲線過某一定點(定點坐標已知) ，可把要證明的結論當條件，逆推上 去，若得到使已知條件成立的結論，則證明了直線或曲線過定點．
117. 分類加法計數原理的兩個條件
( 1)根據問題的特點能確定一個適合它的分類標準，然后在這個標準下進行分類． (2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方 法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數原理．
118. 利用分步乘法計數原理解題分步必須滿足兩個條件 ：一是步驟互相獨立， 互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成． ( 1)解決排列組合問題經常用到分類討論思想，其分類原則經常為 ：一是按元素 的性質分類，二是按事件發生的過程分類，本例是按元素的性質分類． (2)由于排列、組合問題的答案一般數目較大，不易直接驗證，因此在檢查結果 時，應著重檢查所設計的解決問題的方案是否完備，有無重復或遺漏，也可采用 多種不同的方法求解，看結果是否相同．
119. 概率與頻率的關系
120. 離散型隨機變量分布列的性質的應用
( 1)利用分布列中各概率之和為 1 可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證每個 概率值均為非負值．
(2)若 X 為隨機變量，則 2X＋1 仍然為隨機變量，求其分布列時可先求出相應的
隨機變量的值，再根據對應的概率寫出分布列．
121. 獨立重復試驗的特點
①每次試驗中，事件發生的概率是相同的；
②每次試驗中的事件是相互獨立的，其實質是相互獨立事件的特例．
122. 判斷隨機變量X 服從二項分布的條件(X~B(n，p))
①X 的取值為 0 ，1 ，2 ，… ，n；
②P(X＝k) ＝Cpk( 1－p)n －k(k＝0 ，1 ，2 ，… ，n，p 為試驗成功的概率)．
123. 在實際應用中，往往出現數量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試驗可
視為獨立重復試驗，進而判定是否服從二項分布．
124. 均值與方差的實際應用
( 1)D(X)表示隨機變量 X 對 E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越 大，說明X 的取值越分散；反之，D(X)越小，X 的取值越集中在 E(X)附近，統計 中常用來描述X 的分散程度．
125. 隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取 值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于 方案取舍的重要的理論依據，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定． 126. 抽簽法與隨機數法的適用情況 ①抽簽法適用于總體中個體數較少的情況，隨機數法適用于總體中個體數較多的 情況．
②一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：
一是制簽是否方便；二是號簽是否易攪勻．一般地，當總體容量和樣本容量都較 小時可用抽簽法．
127. 分層抽樣問題類型及解題思路
①求某層應抽個體數量，根據該層所占總體的比例計算． ②已知某層個體數量，求總體容量，根據分層抽樣即按比例抽樣，列比例式進行 計算．
③確定是否應用分層抽樣：分層抽樣適用于總體中個體差異較大的情況．
128. 通過扇形統計圖可以很清楚的表示出各部分數量同總數之間的關系．
129. 折線圖可以顯示隨時間(根據常用比例放置)而變化的連續數據，因此非常適 用于顯示在相等時間間隔下數據的趨勢．
130. 由莖葉圖可以清晰地看到數據的分布情況 ，這一點同頻率分布直方圖類 似．它優于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數據，沒有任何信 息損失，第二點是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點是當樣本容量較大時，作圖較 煩瑣．
131. 準確理解頻率分布直方圖的數據特點： ①頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距的結果，不要誤以為縱 軸上的數據是各組的頻率，不要和條形圖混淆． ②頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為 1，這是解題的關鍵，常利用頻率 分布直方圖估計總體分布．
132. 眾數、中位數、平均數、方差的意義及常用結論
( 1)平均數與方差都是重要的數字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反 映的情況有著重要的實際意義，平均數、中位數、眾數描述其集中趨勢，方差和
標準差描述波動大小．
(2)方差的簡化計算公式 ：s2 ＝[(x1 (2)＋x2 (2)＋ … ＋xn (2)) －n－x 2]或寫成 s2 ＝(x1 (2)＋x2 (2)＋ … ＋xn (2))－－x 2 ，即方差等于原數據平方的平均數減去平均數的平方．
133. 頻率分布直方圖是表達和分析數據的重要工具，破解此類頻率分布直方圖 的關鍵：一是會求頻率，即會觀圖、讀數據，利用頻率分布直方圖中每一個小矩 形的高乘以組距求出這一組的頻率；二是會求頻數，利用頻率乘以樣本容量，即 可求出樣本數據落在對應區間上的頻數．
134. 統計與概率“搭臺” ，方案選擇“唱戲”
破解此類頻率分布直方圖、分層抽樣與概率相交匯的開放性問題的關鍵：一是活 用性質，即利用頻率分布直方圖中各小矩形面積和為 1 ，得含參數的方程，從而 達到求參數的目的；二是不混淆，即利用頻率分布直方圖求中位數與平均數時， 注意區分其本質的不同，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等，平均數等于頻 率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．
135. 破解頻數分布表、獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列與期望相交匯題 的易錯點有三處：一是忽視關鍵字眼，導致所得的數據出錯，從而補全 2×2 列聯 表時出錯，如本題，若把“不少于 60 元”誤以為“少于 60 元”，則會導致求解出錯； 二是計算 K2 的觀測值時不會利用分子、分母先約分再計算的技巧，導致計算結
果出錯，從而推斷出錯；三是二項分布與超幾何分布搞混，或把非二項分布誤以 為二項分布，導致求期望值出錯，如本題，誤以為是二項分布，導致誤得 E(X)
＝3×＝1.
136. 正態分布下的概率計算常見的兩類問題 ( 1)利用正態分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態 曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與 x 軸之間的面積為 1.
(2)利用 3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區間或范圍與正態變量的μ ，σ進 行對比聯系，確定它們屬于(μ －σ，μ ＋σ] ，(μ －2σ，μ ＋2σ] ，(μ －3σ，μ ＋3σ]中的 哪一個．

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