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第11講 解方程及其應用（提高版）
1、等式：表示相等關系的式子叫等式。
2、方程：含有未知數的等式叫做方程。
判斷一個式子是不是方程應具備兩個條件：一是含有未知數；二是等式。所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。
方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符號和已知數組成，它表示未知數。方程是一個等式，在方程里的未知數可以參加運算，并且只有當未知數為特定的數值時，方程才成立 。方程是表示兩個數學式（如兩個數、函數、量、運算）之間相等關系的一種等式，通常在兩者之間有一等號“=”．
3、等式的性質。
①等式的兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式；
②等式的兩邊同時乘或除以一個不等于0的數，所得結果仍然是等式。
4、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解。 解方程：求方程的解的過程叫做解方程。
5、解方程的方法
①直接運用四則運算中各部分之間的關系去解。
加數+加數=和 一個加數=和－另一個加數
被減數－減數=差 減數=被減數－差 被減數=差＋減數
被乘數×乘數=積 一個因數=積÷另一個因數
被除數÷除數=商 除數=被除數÷商 被除數=除數×商
②先把含有未知數x的項看作一個數，然后再解。
③ 按四則運算順序先計算，使方程變形，然后再解。
④利用運算定律或性質，使方程變形，然后再解。
6、列方程解應用題
列方程解答應用題的步驟。
① 弄清題意，確定未知數并用x表示；
② 找出題中的數量之間的相等關系；
③ 列方程，解方程；
④ 檢查或驗算，寫出答案。
一．選擇題（共8小題）
1．x＝2是方程（　?。┑慕狻?br/>A．7x+7＝21 B．3x﹣2＝8 C．2x﹣3＝5 D．3×2x﹣5＝66
2．聰聰在計算時，錯算成，他的計算結果與正確答案相差　　
A．24 B．19 C．19.2
3．不計算，觀察比較下面關于的方程中，　　的解的數值最大。
A． B． C．
4．一個數的2倍加上5，和是25，求這個數。列方程正確的是　　
A． B． C．
5．，則方程　　
A．沒有解 B．有無數個解 C．只有一個解
6．下面　　不是方程。
A． B． C．
7．下面各式中，方程有　　個。
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
8．根據圖中的等量關系列出的方程是　　
A． B． C． D．
二．填空題（共8小題）
9．當　　時，的結果是1；方程的解是　　。
10．方程的解比方程的解 　　。（填“大”“小”或“相等”
11．甲、乙兩人分別從、兩地同時出發相向而行，甲每小時走，乙每小時走，1.5小時后兩人相遇，、兩地相距 　　。
12．如果，那么　　。
13．解方程時，可以在等式兩邊　 　，就可以得到　 　．
解方程時，可以在等式兩邊　 　，就可以得到　 ?。?br/>14．已知方程的解是，那么　　。
15．在，，，，中，等式有 　　，方程有 　　。
16．如果，根據等式的性質，那么　　。
三．計算題（共2小題）
17．解方程。
5.5x+6.7＝7.8　　　 2.8+x+3.6＝20
3.5x﹣0.8x＝11.34 8x﹣27.54÷2.7＝1.8
18．解方程。
39÷x＝3 x﹣0.2x＝32 4x+11＝35.4 3（x+2）＝10.08
四．解答題（共14小題）
19．公園里有松樹120棵，比楊樹的棵數少，公園里有楊樹多少棵？（列方程解答）
20．學校組織五、六年級同學聽抗疫英雄巡回演講會，一共有972人。報告廳每排可以坐18人，五年級坐了26排，六年級坐了多少排？（列方程解答）
21．甲、乙兩車分別從東西兩鎮同時開車，相向而行。相遇時甲車行了全程的多28千米，乙車行了52千米。東西兩鎮相距多少千米？（用方程解）
22．甲、乙兩地相距230千米，一輛貨車與一輛客車同時從兩地相對開出，2.5小時后兩車相遇，已知貨車的速度是客車的1.3倍，貨車和客車每小時各行多少千米？（列方程解答）
23．、兩地間的路程是425千米，甲、乙兩車同時從兩地相對開出，經過2.5小時兩車相遇。甲車平均每小時行83千米，乙車平均每小時行多少千米？（列方程解答）
24．一輛快車與一輛慢車分別從甲、乙兩地同時出發相向而行，2.5時后兩車相遇。
（1）根據題中信息，畫出示意圖。
（2）相遇時，快車比慢車多行了20千米。已知快車每時行68千米，則慢車每時行多少千米？（用方程解）
25．王叔叔去商店買了6套衣服，一共用了528元，一條褲子38元，一件上衣多少元？（用方程解答）
26．2022年6月，中國第三艘航空母艦福建艦正式下水，滿載排水量約8萬噸，比中國第一艘航空母艦遼寧艦滿載排水量多，遼寧艦的滿載排水量約為多少萬噸？
27．某單位10、11月份兩個月一共用電1680度，已知11月份的用電量是10月份的。10
月份用電多少度？（列方程解答）
28．故宮博物院的面積是72萬平方米，比天安門廣場面積的2倍少16萬平方米。天安門廣場的面積是多少萬平方米？（列方程解答）
29．兩個修路隊合修一條長2700米的路，甲隊每天修150米，乙隊每天修120米。兩個修路隊修完這條路需要多少天？（列方程解答）
30．學校電腦房要配置6個新鼠標和6個新鍵盤，一共用去682.8元。每個鼠標45元，每個鍵盤多少元？（列出兩種不同的方程解答）
31．明德小學和希望小學共有1000名學生。如果從希望小學轉150名學生到明德小學，那么此時明德小學的學生人數比希望小學人數的3倍還多100人。原來兩校各有學生多少人？
32．學校買來20個籃球和30個足球，共用去4600元，一個籃球比一個足球便宜20元。籃球和足球的單價分別是多少？
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】根據等式的性質分別求出各選項中各個方程的解即可。
【解答】解：7x+7＝21
7x+7﹣7＝21﹣7
7x÷7＝14÷7
x＝2
3x﹣2＝8
3x﹣2+2＝8+2
3x÷3＝10÷3
x＝
2x﹣3＝5
2x﹣3+3＝5+3
2x÷2＝8÷2
x＝4
3×2x﹣5＝66
6x﹣5＝66
6x﹣5+5＝66+5
6x÷6＝71÷6
x＝
故選：A。
【點評】此題主要考查了根據等式的性質解方程的能力，即等式兩邊同時加上或同時減去、同時乘或同時除以一個數（0除外），兩邊仍相等。
2．【分析】用減去，計算解答即可。
【解答】解：
答：與正確答案相差19。
故選：。
【點評】熟練掌握乘法分配律以及四則混合運算的方法是解題的關鍵。
3．【分析】在三個選項中，依據等式的性質可得：中，中，中，所以三個選項中，中方程的解的數值最大。
【解答】解：中，中，中，
因為，，
所以三個選項中，中方程的解的數值最大。
故選：。
【點評】此題主要考查了根據等式的性質解方程的能力，即等式兩邊同時加上或同時減去、同時乘或同時除以一個數除外），兩邊仍相等。
4．【分析】設這個數是，這個數的2倍是，再加上5是，所以列方程正確的是：。
【解答】解：一個數的2倍加上5，和是25，求這個數。列方程正確的是：。
故選：。
【點評】此題主要考查了根據等式的性質解方程，要熟練掌握，解答此題的關鍵是弄清楚題中的各個量之間的數量關系。
5．【分析】根據等式的性質，兩邊同時除以6，求出方程的解即可。
【解答】解：
所以，則方程只有一個解：。
故選：。
【點評】此題主要考查了根據等式的性質解方程的能力，即等式兩邊同時加上或同時減去、同時乘或同時除以一個數除外），兩邊仍相等。
6．【分析】含有未知數的等式叫做方程。據此判斷。
【解答】解：，含有未知數，且是等式，所以是方程；
，含有未知數，但不是等式，所以不是方程；
，含有未知數，且是等式，所以是方程。
故選：。
【點評】熟練掌握方程的概念是解題的關鍵。
7．【分析】方程是指含有未知數的等式；所以方程必須具備兩個條件：①含有未知數；②等式。據此解答。
【解答】解：方程有①、④，共2個。
故選：。
【點評】此題考查方程的辨識：只有含有未知數的等式才是方程。
8．【分析】根據數量關系：鴨的只數的2倍只雞的只數，據此解答即可。
【解答】解：根據圖中的等量關系列出的方程是。
故選：。
【點評】本題考查根據數量關系列出方程。理解題意，找出數量關系，列式計算即可。
二．填空題（共8小題）
9．【分析】利用等式的性質，分別計算出方程和方程的解即可。
【解答】解：
答：當時，的結果是1；方程的解是。
故答案為：0.4；3.2。
【點評】本題考查了方程的解法，解題過程要利用等式的性質。
10．【分析】利用等式的性質，分別求出兩個方程的解，然后進行比較即可。
【解答】解：
故答案為：小。
【點評】此題考查的目的是理解掌握利用等式的性質解方程的方法及應用。
11．【分析】分別求出甲乙行駛的路程，甲行駛的路程是千米，乙行駛的路程是千米，然后加在一起即可。
【解答】解：（千米）
答：、兩地相距。
故答案為：。
【點評】本題運用路程、速度、時間之間的關系分別表示出路程，進一步求出總路程即可。
12．【分析】根據等式的基本性質，方程兩邊同時減去6，兩邊再同時除以2，求出的值，把的值代入，計算即可。
【解答】解：
把代入，得：
故答案為：56。
【點評】熟練掌握等式的基本性質以及代入求值法是解題的關鍵。
13．【分析】（1）根據等式的基本性質，在等式兩邊同時減3，就可以得到的值；
（2）根據等式的基本性質，在等式兩邊同時除以0.5，就可以得到的值．
【解答】解：（1）
，
解方程時，可以在等式兩邊同時減3，就可以得到；
（2）
，
解方程時，可以在等式兩邊同時除以0.5，就可以得到．
故答案為：同時減3，1；同時除以0.5，8．
【點評】此題考查了根據等式的性質解方程，即方程兩邊同加、同減、同乘或同除以某數除外），方程的左右兩邊仍相等；注意“”號上下要對齊．
14．【分析】把代入方程，得，兩邊再同時減去16，然后兩邊再同時除以3即可得解。
【解答】解：把代入方程，得；
故答案為：18。
【點評】熟練掌握代入法和等式的基本性質是解題的關鍵。
15．【分析】表示兩個數或兩個代數式相等關系的式子叫做等式；含有未知數的等式叫方程。據此判斷。
【解答】解：在，，，，中，等式有，，；方程有，。
故答案為：，，；，。
【點評】明確等式與方程的意義是解題的關鍵。
16．【分析】等式兩邊加上同一個數，等式兩邊仍然相等，據此解答即可。
【解答】解：如果，根據等式的性質，那么。
故答案為：8。
【點評】本題主要考查了等式的基本性質，需要學生熟記并靈活運用。
三．計算題（共2小題）
17．【分析】（1）根據等式的基本性質，兩邊同時減去6.7，再同時除以5.5即可；
（2）先算2.8+3.6＝6.4，根據等式的基本性質，兩邊同時減去6.4即可；
（3）先算3.5x﹣0.8x＝2.7x，根據等式的基本性質，兩邊同時除以2.7即可；
（4）先算27.54÷2.7＝1.02，根據等式的基本性質，兩邊同時加上1.02，再同時除以8即可。
【解答】解：（1）5.5x+6.7＝7.8
5.5x+6.7﹣6.7＝7.8﹣6.7
5.5x＝1.1
5.5x÷5.5＝1.1÷5.5
x＝0.2
（2）2.8+x+3.6＝20
6.4+x＝20
6.4+x﹣6.4＝20﹣6.4
x＝13.6
（3）3.5x﹣0.8x＝11.34
2.7x＝11.34
2.7x÷2.7＝11.34÷2.7
x＝4.2
（4）8x﹣27.54÷2.7＝1.8
8x﹣10.2＝1.8
8x﹣10.2+10.2＝1.8+10.2
8x＝12
8x÷8＝12÷8
x＝1.5
【點評】解答方程要把能先算出的部分算出來，再觀察方程的特點，再靈活選用等式的性質計算。
18．【分析】（1）方程的兩邊先同時乘x，然后兩邊同時除以3；
（2）先化簡x﹣0.2x，然后方程的兩邊同時除以（1﹣0.2）的差；
（3）方程的兩邊先同時減去11，然后兩邊同時除以4；
（4）方程的兩邊先同時除以3，然后兩邊同時減去2。
【解答】解：（1）39÷x＝3
39÷x×x＝3×x
3x÷3＝39÷3
x＝13
（2）x﹣0.2x＝32
0.8x＝32
0.8x÷0.8＝32÷0.8
x＝40
（3）4x+11＝35.4
4x+11﹣11＝35.4﹣11
4x÷4＝24.4÷4
x＝6.1
（4）3（x+2）＝10.08
3（x+2）÷3＝10.08÷3
x+2﹣2＝3.36﹣2
x＝1.36
【點評】此題主要考查了根據等式的性質解方程的能力，即等式兩邊同時加上或同時減去、同時乘或同時除以一個數（0除外），兩邊仍相等。
四．解答題（共14小題）
19．【分析】根據題意，這道題的等量關系是：楊樹的棵數松樹的棵數，根據這個等量關系，列方程解答。
【解答】解：設公園里有楊樹棵。
答：公園里有楊樹150棵。
【點評】本題考查列方程解應用題，解題關鍵是找出題目中的等量關系：楊樹的棵數松樹的棵數，列方程解答。
20．【分析】根據題意，設六年級坐了排；根據題意可得：（五年級坐的排數六年級坐的排數）每排坐的人數總人數，據此列出方程進行解答。
【解答】解：設六年級坐了排，根據題意可得：
答：六年級坐了28排。
【點評】列方程解決實際問題，關健是根據題意設出未知數，找出等量關系，然后再列出方程進行解答。
21．【分析】設東西兩鎮相距千米，甲車行駛的路程加上乙車行駛的路程等于東西兩鎮的距離，據此列方程解答即可。
【解答】解：設東西兩鎮相距千米。
答：東西兩鎮相距120千米。
【點評】本題考查列方程解決實際問題，明確等量關系：甲車行駛的路程加上乙車行駛的路程等于東西兩鎮的距離是解題的關鍵。
22．【分析】相遇時兩車行的路程和就是兩地之間的距離，根據相遇問題的數量關系式：（客車速度貨車速度）相遇時間路程，列方程解答。
【解答】解：設客車每小時行千米，貨車每小時行千米。
（千米）
答：貨車每小時行52千米，客車每小時行40千米。
【點評】本題考查列方程解應用題，解題關鍵是找出題目中的等量關系：（客車速度貨車速度）相遇時間路程，列方程解答。
23．【分析】設乙車每小時行千米，根據題意可得等量關系式：速度和相遇時間、兩地的距離，列方程解答即可。
【解答】解：設乙車平均每小時行千米。
答：乙車平均每小時行87千米。
【點評】本題考查了用方程解決相遇問題，明確題目中的等量關系是解題的關鍵。
24．【分析】（1）畫一條線段表示甲、乙兩地的距離。兩車2.5小時行完全程，標出相遇點，并標出甲比乙多行的路程。
（2）用20除以2.5就得快車比慢車每小時多行的路程，用快車速度減去每小時多的路程就得慢車的速度。
【解答】解：（1）示意圖如下：
（2）設慢車每小時行千米，可得，
答：慢車每時行60千米。
【點評】明確相遇問題數量間的關系是解決本題的關鍵。
25．【分析】根據題意可知，每套衣服的價格×6＝528元，設一件上衣x元，據此列方程解答。
【解答】解：設一件上衣x元。
（38+x）×6＝528
（38+x）×6÷6＝528÷6
38+x＝88
38+x﹣38＝88﹣38
x＝50
答：一件上衣50元。
【點評】解答此題，首先弄清題意，分清已知與所求，再找出基本數量關系，設出未知數，由此列方程解答。
26．【分析】根據題意可得等量關系式：福建艦的排水量遼寧艦的排水量，然后列方程解答即可。
【解答】解：遼寧艦的滿載排水量約為萬噸。
答：遼寧艦的滿載排水量約為6萬噸。
【點評】此題考查列方程解應用題，關鍵是根據題意找出基本數量關系，設未知數為，由此列方程解決問題。
27．【分析】設10月份用電度，則11月份的用電量為度，兩個月合起來共1680度，據此列方程解答。
【解答】解：設10月份用電度，則11月份的用電量為度。
（度
答：10月份用電1050度。
【點評】利用列方程解決問題的關鍵是找準題目中的等量關系。
28．【分析】由題意可以得到數量關系：天安門廣場的面積故宮的面積，設出天安門廣場的面積，依據得到的等量關系，即可列出符合題意的方程。
【解答】解：設天安門廣場的面積是萬平方米。
答：天安門廣場的面積44萬平方米。
【點評】解答此題的關鍵是：依據題意，把一倍的量設為未知數，然后找出等量關系，即可列出方程。
29．【分析】設兩個修路隊修完這條路需要天，列出方程，解出方程即可。
【解答】解：設兩個修路隊修完這條路需要天。
答：兩個修路隊修完這條路需要10天。
【點評】解答本題關鍵是理解和運用工作量工作效率時間。
30．【分析】（1）根據“單價數量總價”，可列等量關系式：鼠標的數量鼠標的單價鍵盤的數量鍵盤的單價總價，設每個鍵盤元，據此列方程解答。
（2）根據“單價數量總價”，可列等量關系式：鍵盤的數量鍵盤的單價總價標的數量鼠標的單價，設每個鍵盤元，據此列方程解答。
【解答】解：（1）設每個鍵盤元。
答：每個鍵盤68.8元。
（2）設每個鍵盤元。
答：每個鍵盤68.8元。
【點評】此題主要考查了列方程解應用題，弄清題意，找出合適的等量關系，進而列出方程是解答此類問題的關鍵。
31．【分析】根據題意可知，明德小學的人數希望小學的人數人，設希望小學轉出150人后還有人，則明德小學現在有人，據此列方程解答。
【解答】解：設希望小學轉出150人后還有人，則明德小學現在有人。
（人
（人
答：希望小學原來有375人，明德小學原來有625人。
【點評】此題屬于含有兩個未知數的應用題，這類題用方程解答比較容易，關鍵是找準數量間的相等關系，設一個未知數為，另一個未知數用含的式子來表示，進而列并解方程即可。
32．【分析】根據“20個籃球和30個足球，共用去4600元”，可以提煉出這道題的等量關系是：籃球的單價足球的單價，根據這個等量關系，列方程解答。
【解答】解：設一個足球元。
（元
答：籃球的單價是80元，足球的單價是100元。
【點評】本題考查列方程解應用題，解題關鍵是找出題目中的等量關系：籃球的單價足球的單價，列方程解答。

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