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第12講 比（提高版）
1、比的意義。
兩個數相除又叫做兩個數的比。
“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。
2、比與分數、除法的關系。
各部分名稱以及相當的部分 區別
比 前項 比號 后項 比值 表示兩個數之間的相除關系
除法 被除數 除號 除數 商 是一種運算
分數 分子 分數線 分母 分數值 是一個數，也表示兩個量之間的關系
3、比的基本性質。
比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質。
4、求比值和化簡比。
求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結果是一個數值可以是整數，也可以是小數或分數。
根據比的基本性質可以把比化成最簡單的整數比。它的結果必須是一個最簡比，即前、后項是互質的數。
5、按比例分配問題的解題方法。
（1）把比看作分得的份數，用先求出每一份的方法來解答．解題步驟：
a．求出總份數；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相應的具體數量．
（2）轉化成分數乘法來解答．解題步驟：
a．先根據比求出總份數；
b．再求出各部分量占總量的幾分之幾；
c．求出各部分的數量．
6、按比例分配問題常用解題方法的應用。
（1）已知一個數量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外幾個部分量；
（2）已知兩個量或幾個量的比和其中兩個量的差，求總量。
一．選擇題（共8小題）
1．如果A：B＝，那么（A×9）：（B×9）＝（　　）
A．1 B． C．2 D．81
2．如果一個等腰三角形的邊長都是自然數，其中兩條邊的長度比是2：5，那么它的周長不可能是（　　）
A．12cm B．9cm C．36cm
3．在一張長方形紙上剪下一個最大的正方形，得到一個正方形和一個小長方形，這時，小長方形面積剛好是正方形面積的一半，原來大長方形面積和正方形面積的比是　　
A． B． C．
4．美術課上折花，奇奇需要小時，妙妙需要小時。奇奇和妙妙折花的效率之比是　　
A． B． C． D．無法確定
5．下面四個情境中，不能用表示的是　　
A．弟弟高，小明高，弟弟與小明的身高比
B．一袋大米，已經吃了，吃了的大米與剩下的比
C．龜兔賽跑中，烏龜2分鐘跑了3米，烏龜所行路程與時間的比
D．一個直角三角形其中一個銳角是，這個直角三角形兩個銳角的度數比
6．兩輛汽車的速度比是，行駛的時間比是，那么兩輛汽車行駛的路程比是　　
A． B． C． D．
7．甲數和乙數的比是，乙數和丙數的比是，那么甲數和丙數的比是　　
A． B． C． D．
8．某衣物消毒液的使用說明為：將1瓶蓋本品與3升水混合，將衣物浸泡15分鐘后再正常洗滌。對說明中的“”錯誤的理解是　　。
A．1份的原液配50份水
B．如果放的原液就要配的水
C．水的體積是原液體積的50倍
D．水與稀釋后的液體總體積比為
二．填空題（共8小題）
9．剪紙在我國有著非常悠久的歷史。如果同時剪一幅相同的作品，王爺爺用了小時，李爺爺用了45分鐘，王爺爺和李爺爺工作效率的最簡整數比是 　 　，比值是 　 　。
10．要調制一杯360毫升的奶茶，其中奶與茶的比是，那么應準備 　　毫升茶。
11．某工廠12月份口罩的生產量與醫用外科口罩的生產量之比是，則醫用外科口罩的生產量是口罩的 　　。
12．六年級有400名同學，男女生人數的比是，則男生有 　　人，女生有 　　人。
13．2008年發射的神舟七號在太空停留3天；2022年4月，神州十三號載人飛船在太空停留183天后成功返回地面，創造了中國航天員連續在軌飛行時長新紀錄。“神七”和“神十三”在太空停留的時間比是 　　，比值為 　　。
14．把化成最簡單的整數比是 　　，比值是 　　。
15．的后項擴大到原來的4倍，要使比值不變，比的前項5應 　　。
16．把的后項擴大到原來的1000倍，要使比值不變，前項也應 　　，這是運用了 　　。
三．計算題（共2小題）
17．先將各比化成最簡單的整數比，再求比值。
（1） （2）
（3） （4）
18．化簡比與求比值。
（化簡比） 噸：750千克（求比值）
四．解答題（共12小題）
19．甲乙兩地相距450千米，現有一輛客車和一輛貨車同時從兩地面對面開出，經過3小時相遇。已知客車與貨車的速度比是8：7，客車和貨車每小時各行多少千米？
20．學校買來270本圖書，把圖書總數的分給六年級后，再把剩下的圖書按的數量比分給五年級和四年級。六年級、五年級和四年級分別分到多少本圖書？
21．一批物資第一次運走了36噸，第二次運走了總物資的，剩下的物資與運走的物資的質量比是，這批物資原來共有多少噸？
22．一輛客車從甲地到乙地，第一天行駛了全程的，第二天行駛了450千米，這時已行路程和剩下路程的比是，甲、乙兩地相距多少千米？
23．小明用一根192厘米長的鐵絲焊了一個長方體框架，已知這個框架的長、寬、高的比是。則這個長方體框架的長、寬、高各是多少厘米？
24．工廠加工一批零件，第一天完成的零件個數與未完成的零件個數的比是，如果再加工300個，就可以完成這批零件的一半。這批零件共有多少個？
25．小李和小張兩人同時錄入一份文稿，已知兩人的效率比為，完成任務時，小張比小李多錄入1100個字，這篇文稿有多少個字？
26．王大爺想給家門口一塊周長48米的長方形空地種上蔬菜，這塊地長與寬的比為，請你幫王大爺算一下這塊地的面積是多少平方米？
27．教育部出臺了小學生睡眠管理的通知，明確要求小學生每天睡眠時間應達到10小時。王歡是一個六年級學生，她每天睡眠時間與其他時間比是。王歡每天的睡眠時間是否達到要求？
28．兩列火車同時從兩城相對開出，經6小時相遇，乙車與甲車的速度比是，已知乙車速度是每小時行駛60千米。
（1）甲車每小時行駛多少千米？
（2）兩城相距多少千米？
29．六年級一班，原來有42個學生，其中男生占，后來又轉進女生若干人，這時男生和女生人數的比是，轉來女生多少人？
30．酸梅湯是夏季防暑去火的上佳飲品。林阿姨多次嘗試，發現用60毫升的酸梅原汁和140毫升的水配制的酸梅湯口感最佳。現在林阿姨打算配制3600毫升同樣口感的酸梅湯，需要酸梅原汁多少毫升？
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0除外），比值不變。據此解答。
【解答】解：如果A：B＝，那么（A×9）：（B×9）＝
故選：B。
【點評】熟練掌握比的性質是解題的關鍵。
2．【分析】根據“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”的性質及等腰三角形的意義及三邊長都是自然數，這個三角形的腰為5，底為2，三邊之比是5：5：2。這個三角形的周長必須是（5+5+2）的倍數。
【解答】解：根據題意，這個等腰三角形的三邊的比是5：5：2
5+5+2＝12
12÷12＝1，符合題意；
9÷12＝，不符合題意；
36÷12＝3，符合題意。
故選：B。
【點評】由于這個三角形的三邊長均為自然數，因此，周長必須是各邊比的各項之和的倍數。
3．【分析】根據題意，一張長方形紙上剪下一個最大的正方形，小長方形面積剛好是正方形面積的一半，原來大長方形面積就是小長方形面積的3倍，正方形面積是小長方形面積的2倍，據此解答即可。
【解答】解：因為小長方形面積剛好是正方形面積的一半，所以原來大長方形面積就是小長方形面積的3倍，正方形面積是小長方形面積的2倍，所以原來大長方形面積和正方形面積的比是。
故選：。
【點評】本題考查了圖形的剪拼、長方形的面積及比的意義知識，結合題意分析解答即可。
4．【分析】把折花的工作量看作“1”，根據“工作效率工作量工作時間”即可分別求出奇奇和妙妙的工作效率，再根據比的意義即可寫出二人的工作效率比，并化成最簡整數比。
【解答】解：
答：奇奇和妙妙折花的效率之比是。
故選：。
【點評】此題主要考查了比的意義及化簡。關鍵是根據工作量、工作時間、工作效率三者之間的關系，求出二人的工作效率。
5．【分析】根據比的意義，分別寫出四個選項中的比，然后即可作出選擇。
【解答】解：、
弟弟高，小明高，弟弟與小明的身高比是；
、
一袋大米，已經吃了，吃了的大米與剩下的是；
、龜兔賽跑中，烏龜2分鐘跑了3米，烏龜所行路程與時間的是；
、
一個直角三角形其中一個銳角是，這個直角三角形兩個銳角的度數比是。
故選：。
【點評】此題考查了比的意義及化簡。
6．【分析】把這兩輛汽車的速度看作“6”、“5”，行駛的時間為“5”、“4”，根據“路程速度時間”，即可求出這兩輛汽車所行駛的路程，再根據比的意義，即可寫出兩輛汽車行駛的路程比，再化成最簡整數比。
【解答】解：
答：兩輛汽車行駛的路程比是。
故選：。
【點評】此題考查了比的意義及化簡。關鍵是掌握路程、時間、速度三者之間的關系。
7．【分析】根據比的基本性質，把甲、乙兩數比的前、后項都3，乙丙兩數比的前、后項都乘2，即可求出甲、乙、丙三數的連比，由此可得出甲、丙兩數的比。
【解答】解：甲數和乙數的比
乙數和丙數的比
甲數、乙數和丙數的比
由此得出甲數和丙數的比是
故選：。
【點評】此題考查了比的意義及比的基本性質的應用。乙數作為橋梁，關鍵是把兩個比中的乙數化成相同的數，然后求出三數的連比。
8．【分析】是指1份的原液與50份的水混合，即水是原液的50倍，稀釋后的液體為。據此即可作出選擇。
【解答】解：、是指1份的原液配50份水。原題說法正確；
、，如果放的原液就要配，即。原題說法正確；
、是指水的體積是原液體積的50倍。原題說法正確；
、水與稀釋后的液體總體積比是，原題說法錯誤。
故選：。
【點評】關鍵是弄清中“1”、“50”所表示的意義。
二．填空題（共8小題）
9．【分析】要求王爺爺和李爺爺工作效率比，先把單位化統一，可以把小時換算成36分鐘，再根據工作效率＝工作總量÷工作時間，寫比并化簡比求值即可解決。
【解答】解：小時＝36分鐘
（1÷36）：（1÷45）＝：＝5：4＝
答：王爺爺和李爺爺工作效率的最簡整數比是5：4，比值是。
故答案為：5：4，。
【點評】此題考查寫比并化簡比及求值，要注意：先把單位化統一后再寫比，進而化簡比求值。
10．【分析】奶與茶的比是，把奶看作4份，茶看作5份，則奶和茶一共是（份，由此求出1份，進一步求出奶和茶的數量即可。
【解答】解：
（毫升）
（毫升）
答：應準備200毫升茶。
故答案為：200。
【點評】也可以這樣想，奶占奶和茶的，茶占奶和茶的，根據求一個數的幾分之幾是多少，用乘法解答即可。
11．【分析】把12月份口罩的生產量平均分成8份，醫用外科口罩的生產量占其中的5份，用5除以8求醫用外科口罩的生產量占口罩的生產量百分比即可。
【解答】解：
答：醫用外科口罩的生產量是口罩的。
故答案為：62.5。
【點評】正確理解比的含義，是解答此題的關鍵。
12．【分析】把六年級總人數平均分成份，先用除法求出1份的人數，再用乘法分別求出13份（男生）、12份（女生）人數。
【解答】解：
（人
（人
（人
答：男生有208人，女生有192人。
故答案為：208，192。
【點評】此題考查了比的應用。此題除按上述解答方法外，也可分別求出男、女生人數所占的分率，再根據分數乘法的意義解答。
13．【分析】求神七”和“神十三”在太空停留的時間比，就是求3與183的比，再求出這個比的比值即可。
【解答】解：
答：神七”和“神十三”在太空停留的時間比是，比值為。
故答案為：，。
【點評】解答本題需明確：求兩個數的比，其結果要化成最簡整數比，求比值的結果是一個值。
14．【分析】（1）根據比的基本性質作答，即比的前項和后項同時乘或除以一個數除外）比值不變；
（2）用比的前項除以后項即可．
【解答】解：
故答案為：；。
【點評】注意化簡比的結果是一個比，它的前項和后項都是整數，并且是互質數；而求比值的結果是一個商，可以是整數、小數或分數。
15．【分析】比的前項和后項同時乘或除以相同的數除外），比值不變，據此解答。
【解答】解：的后項擴大到原來的4倍，要使比值不變，比的前項5應乘4。
故答案為：乘4。
【點評】熟練掌握比的基本性質是解題的關鍵。
16．【分析】根據比的基本性質，比的前項和比的后項同時乘或除以相同的數除外），比值不變，由此解答。
【解答】解：把的后項擴大到原來的1000倍，要使比值不變，前項也應擴大到原來的1000倍，這是運用了比的基本性質。
故答案為：擴大到原來的1000倍；比的基本性質。
【點評】關鍵是掌握并靈活運用比的基本性質。
三．計算題（共2小題）
17．【分析】根據比的基本性質作答，即比的前項和后項同時乘一個數或除以一個數除外）比值不變；再用最簡比的前項除以后項即可。
【解答】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【點評】此題主要考查了化簡比和求比值的方法，另外還要注意化簡比的結果是一個比，它的前項和后項都是整數，并且是互質數；而求比值的結果是一個商，可以是整數，小數或分數。
18．【分析】根據比的基本性質，即比的前項和后項同時乘或除以一個相同的數除外）比值不變，進而把比化成最簡比；用比的前項除以后項，所得的商即為比值。
【解答】解：
噸：750千克
千克：750千克
【點評】此題主要考查了化簡比和求比值的方法，另外還要注意化簡比的結果是一個比，它的前項和后項都是整數，并且是互質數；而求比值的結果是一個商，可以是整數、小數或分數。
四．解答題（共12小題）
19．【分析】根據“速度＝路程÷時間”，用甲乙兩地的距離除以兩車的相遇時間就是兩車的速度之和。相遇時兩車的速度之比就是所行的路程之比。把兩車的速度之和平均分成（8+7）份，先用除法求出1份是多少千米，再用乘法分別求出8份、7份各是多少千米，即客車和貨車每小時行的千米數。
【解答】解：450÷3÷（8+7）
＝150÷15
＝10（千米）
10×8＝80（千米）
10×7＝70（千米）
答：客車每小時行80千米，貨車每小時行70千米。
【點評】關鍵明白：相遇時兩車的速度之比就是所行的路程之比，再根據路程、時間、速度三者之間的關系求出兩邊的速度之和，然后再根據按比例分配問題解答。
20．【分析】先把總本數看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用總本數乘就是分給六年級的本數；總本數減分給六年級的本數就是分給四、五年級的本數，把分配四、五年級的本數平均分成份，先用除法求出1份的本數，即分給四年級的本數，再用乘法即可求出5份的本數，即分給五年級的本數。
【解答】解：六年級：（本
（本
（本
答：六年級分到162本圖書，五年級分到90本圖書，四年級分到18本圖書。
【點評】此題屬于按比例分配問題，根據分數乘法的意義求出分給六年級的本數之后，除按上述解答方法外，也可分別求出分給四、五年級的本數占剩下本數的分率，再根據分數乘法的意義解答。
21．【分析】把這批貨物的質量看作單位“1”，第一次運走了36噸，第二次運走了總質量，兩次運走總質量了，則36噸占總質量的，根據分數（百分數）除法的意義，用36噸除以就是總噸數。
【解答】解：
（噸
答：這批物資原來共有120噸。
【點評】此題考查了比的應用。關鍵是把比轉化成分數，進而求出36噸所占的分率（或百分率），再根據分數（或百分數）除法的意義解答。
22．【分析】把甲、乙兩地的距離看作單位“1”，第一天行駛了全程的，第二天行了450千米，已行駛的路程占全程的，則450千米占全程的，根據分數除法的意義，用450千米除以進率就是全程。
【解答】解：
（千米）
答：甲、乙兩地相距4500千米。
【點評】此題是考查比的應用。關鍵是把比轉化成分數，進而求出450千米占全程的幾分之幾，再根據分數除法的意義解答。
23．【分析】根據長方體的特征，長方體的12條棱分3組，每組4條，長度相等，192厘米除以4就是一組的長度，即長方體的長、寬、高之和。把這個長方體的長、寬、高之和平均分成份，先用除法求出1份的長度，再用乘法分別求出5份、3份、4份的長度，即這個長方體框架的長、寬、高。
【解答】解：
（厘米）
（厘米）
（厘米）
（厘米）
答：這個長方體框架的長是20厘米，寬是12厘米，高是16厘米。
【點評】解答此題的關鍵是根據長方體的特征，求出這個長方體框架的長、寬、高之和，然后再根據按比例分配問題解答。求這個長方體框架的長、寬、高之和后，除按上述解答方法外，也可分別求出這個長方體框架的長、寬、高各占長、寬、高之和的幾分之幾，再根據分數乘法的意義解答。
24．【分析】把這批零件的個數看作單位“1”，第一天加工了這批零件的，再加300個，就是這批零件的，根據分數除法的意義，用300個除以，就是這批零件的個數。
【解答】解：
（個
答：這批零件共有1400個。
【點評】此題是考查比的應用。關鍵是把比轉化成分數，進而求出300個占這批零件個數的幾分之幾，再根據分數除法的意義解答。
25．【分析】小李、小張兩人的效率比為，即兩人完成任務時，所錄入的字數之比為。小張比小李多錄入1100個字，小張比小李多錄入了份，先用除法求每份的數字，再用1份的數字乘份，就是這篇文稿的字數。
【解答】解：
（個
答：這篇文稿有12100個字。
【點評】此題是考查比的應用。除按上述解答方法外，也可把總字數看作單位“1”，求出二人錄入的字數的分率之差，再根據分數除法的意義解答。
26．【分析】先計算出長方形菜地長與寬的和，再根據按比分配的一般方法，把長與寬的和平均分成份，分別計算出這樣的5份、3份是多少，再根據長方形面積公式“”解答即可。
【解答】解：（米
（米
（米
（平方米）
答：這塊地的面積是135平方米。
【點評】本題主要考查了按比例分配應用題的特點以及解答規律，先求出總份數，用它作公分母，再分別求出各部分占總數的幾分之幾，然后根據一個數乘分數的意義，用乘法解答。
27．【分析】把一天的時間小時）看作單位“1”，她的睡眠時間占，根據分數乘法的意義，用一天的時間乘，就是她的睡眠時間，再根據計算結果用10小時進行比較，即可確定王歡每天的睡眠時間是否達到要求。
【解答】解：
（小時）
答：王歡每天的睡眠時間是達到要求。
【點評】此題是考查比的應用。關鍵是把比轉化成分數，再根據分數乘法的意義，求出該同學每天的睡眠時間。
28．【分析】（1）已知乙車速度和乙車與甲車的速度比，可以計算出甲車的速度；
（2）由（1）可知甲車的速度，且兩車相遇時間已知，根據關系式：兩車速度和相遇時間路程，代入相應數據，即可解答。
【解答】（1）解：設甲車每小時行駛千米。
答：甲車每小時行駛90千米。
（2）
（千米）
答：兩城相距900千米。
【點評】解答本題的關鍵是根據甲乙兩車速度比，求出兩車速度和，再運用關系式求出兩城距離。
29．【分析】男生人數沒變，看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用原來的人數乘，就是男生人數；又轉進女生若干人，這時男生和女生人數占總人數的，根據分數除法的意義，用男生人數除以，就是此時的總人數，再用此時的總人數減原來的人數，就是轉來的女生人數。
【解答】解：
（人
答：轉來女生2人。
【點評】關鍵抓住男生人數沒變，看作單位“1”，求出男生人數，再把比轉化成分數，根據分數除法的意義，求出轉來幾名女生后的人數。
30．【分析】由信息“60毫升的酸梅原汁和140毫升的水配制酸梅湯，口感最佳”可知，酸梅與水的比是一定的，根據此列出方程解答。設需要酸梅毫升，那么水就有毫升，根據酸梅：水的比一定列出比例即可。
【解答】解：設需要酸梅毫升，那么水就有毫升。
2000
答：需要酸梅原汁毫升1080毫升。
【點評】解答此題關鍵找出酸梅的濃度不變，根據此列比例解答即可。

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