資源簡介

第22講 逆推還原問題（提高版）
1、逆推問題內(nèi)容。
逆推問題還可稱為還原問題，解答這類問題時，要根據(jù)題意的敘述順序，由后向前逆推計算．
2、解題方法。
（1）要根據(jù)題意的順序，從最后一組數(shù)量關(guān)系逆推至第一組數(shù)量關(guān)系，這就是逆推法中去處順序的逆推含義．
（2）原題相加，逆推用減；原題相減，逆推用加；原題相乘，逆推用除；原題相除，逆推用乘，這就是逆推法中計算方法的逆運算含義。
一．選擇題（共6小題）
1．池塘里某種水草生長極快，當(dāng)天的水草數(shù)量是它前一天的2倍，又知10天長滿池塘，則　　天長了池塘．
A．4 B．6 C．8 D．9
2．將一根長米的繩子一半再一半的剪去，剪了4次，剩下的正好是2米。這根繩子原來長　　米。
A．8 B．16 C．32
3．一箱蘋果，第一天賣出全部的一半，第二天賣出剩下的一半，還剩下6個，原來這箱蘋果有　　個。
A．12 B．18 C．24 D．30
4．將一根長米的繩子一半再一半的減去，剪了兩次后剩下的正好是3米，這根繩子原來是　　米．
A．6 B．12 C．24 D．48
5．一種水草生長很快，一天增加一倍．如果第一天往池子里投一棵水草，第二天發(fā)展為兩棵，第28天恰好長滿池塘，問如果一天投入四棵，幾天可以長滿池塘？　　
A．23天 B．24天 C．25天 D．26天
6．小明去書店，買了一本故事書用去他所帶錢的一半還多6元，這是還剩37元，小明一共帶了　　元。
A．74 B．86 C．62 D．68
二．填空題（共10小題）
7．司機開車按順序到五個車站接學(xué)生到學(xué)校，每個站都有學(xué)生上車，第一站上了一 批學(xué)生，以后每站上車人數(shù)都是前一站上車人數(shù)的一半，到學(xué)校時，車上最少有學(xué) 生　 　人．
8．玩具店的玩具每賣出一半就補充20個，到第十次賣出一半后，恰好余下20個，則玩具店原來有玩具　 　個．
9．文遠書店上午賣出故事書總數(shù)的一半多25本，下午賣出剩下的一半多16本，還剩84本。書店原有故事書 　　本。
10．農(nóng)科所打算在某水庫的水面上養(yǎng)殖一種水上綠色植物，這種植物每天長大1倍，經(jīng)計算，該植物種植20天剛好能長滿整個水面。那么 　　天能長滿整個水面的四分之一。
11．某種細菌體一周進行一次細胞分裂。研究員往水中投放了2個這樣的細菌體，一周后這個細菌體分裂成4個這樣的細菌體；又經(jīng)過一周分裂成8個這樣的細菌體。研究員要新培育32個這樣的細菌體，需要 　　周時間。
12．小紅、小麗、小敏三人各有年歷卡若干張．如果小紅給小麗13 張，小麗給小敏23張，小敏給小紅3 張，那么她們每人各有40 張．原來小敏有年歷卡　 　張．
13．農(nóng)業(yè)站有一批化肥，第一天賣出一半又多15噸，第二次賣出余下的一半多8噸，第三次賣 出180噸，正好賣完，這批化肥原來有　 　噸．
14．甲乙兩個盒子里各有一些彩球，先從甲盒中拿出放入乙盒，再從乙盒中拿出現(xiàn)有個數(shù)的放入甲盒，此時兩個盒子里各有170個彩球。甲盒中原有彩球 　　個。
15．樹林中的三棵樹上共落著48只鳥．如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數(shù)相等．問：原來每棵樹上各落　 　、　 　、　 　只鳥．
16．老師把兩個整數(shù)交給杰克讓他用減法計算，結(jié)果得29，又把同樣兩個數(shù)交給漢斯讓他用除法計算，結(jié)果漢斯發(fā)現(xiàn)大數(shù)不能被小數(shù)整除，但要是把大數(shù)加上1后除以小數(shù)的結(jié)果正好是3，兩個數(shù)中較大的數(shù)為 　　。
三．解答題（共14小題）
17．李奶奶提著一籃子雞蛋去賣．第一次賣掉籃內(nèi)雞蛋總數(shù)的一半多1個，第二次賣掉余下的一半多1個，籃內(nèi)還有1個雞蛋．籃內(nèi)原有雞蛋多少個？
18．?dāng)?shù)學(xué)與詩歌：太陽落山晚霞紅，我把鴨子趕回籠．一半在外鬧哄哄，一半的一半進籠中．剩下十五圍著我，共有多少請算清？
19．小麗買一只書包用去所帶錢的一半，又和同學(xué)借了2元剛好夠買一把價值12元的圓規(guī)．小麗出門時帶了多少錢？
20．苗苗家的兩個魚缸內(nèi)共養(yǎng)了25尾金魚．星期天，苗苗從第一缸內(nèi)撈出了5尾放入第二缸，又從第二缸內(nèi)撈出7尾送給了別人．這時，第一缸內(nèi)金魚尾數(shù)恰好是第二缸內(nèi)金魚尾數(shù)的2倍．苗苗家的兩個魚缸原來各有金魚多少尾？
21．一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后連桶重8千克，已知桶重3千克，原來桶里有油多少千克？
22．甲、乙、丙三人共有游戲幣24枚．甲給乙3枚，乙給丙5枚，丙給甲2枚后，三人的游戲幣同樣多．原來三人各有游戲幣多少枚？
23．第一次倒出一瓶果汁的，然后把40毫升倒回瓶中；第二次再倒出瓶中剩下果汁的，然后又把180毫升倒去，發(fā)現(xiàn)瓶中還剩下60毫升果汁．問瓶中最初有多少毫升果汁．
24．四年級有96名同學(xué)乘甲、乙兩輛車去春游，如果從乙車下來12人去甲車，這時兩輛車人數(shù)同樣多，原來甲車和乙車各有多少人？
25．幼兒園分蘋果，大班分到總數(shù)的一半多20個，中班分到余下的一半多20個，最后60個全部給了小班，蘋果一共有多少個？
26．甲乙兩班共有學(xué)生92人．從甲班調(diào)5名學(xué)生到乙班，再從乙班調(diào)32名學(xué)生到丙班，這時甲班的人數(shù)是乙班的3倍．原來甲乙兩班各有多少人？
27．甲、乙、丙三人共有“千紙鶴”72只．若甲給乙、丙一些，使他們的數(shù)量分別增加1倍；接著乙又給甲、丙一些，使他們的數(shù)量也增加一倍，最后丙給甲、乙一些，使他們的數(shù)量也增加一倍．這時三人數(shù)量相等．甲、乙、丙三人原來各有多少只千紙鶴？
28．甲、乙、丙共有24張畫片，甲把自己的一半平分給乙、丙，然后乙把自己的一半平分給了丙、甲，最后丙也把自己的一半平分給了甲、乙，這時甲、乙、丙三人的畫片數(shù)完全相同，問他們?nèi)嗽挟嬈鞫嗌購垼?br/>29．小明和小聰各有畫片若干張，如果小明拿出和小聰同樣多的畫片送給小聰，小聰再拿出和小明同樣多的畫片給小聰，這時兩個人都有24張．問兩人原來各有多少張？
30．小華拿出自己的畫片的給小強，小強再從自己現(xiàn)有的畫片中拿出給小華，這時兩人各有畫片12張，原來兩人各有畫片多少張？
參考答案
一．選擇題（共6小題）
1．【分析】此題采用逆推法解答．當(dāng)天的水草數(shù)量是它前一天的2倍，又知道10天長滿池塘，那么9天長到池塘的，則8天長到池塘的，據(jù)此解答．
【解答】解：因為當(dāng)天的水草數(shù)量是它前一天的2倍，且10天長滿池塘，
那么9天長到池塘的，
則8天長到池塘的，
故選：。
【點評】此題如果按常規(guī)來做，會很麻煩，也不易推出答案，因此一改常規(guī)，從后先前推算，很容易得出結(jié)果．
2．【分析】剪3次剩下繩子的長度是米，剪2次剩下繩子的長度是米，剪1次剩下繩子的長度是米，不剪時繩子的長度應(yīng)是米，據(jù)此解答。
【解答】解：
（米
答：這根繩子原來長32米。
故選：。
【點評】本題的關(guān)鍵是從最后的數(shù)據(jù)入手，從后向前進行推理，根據(jù)逆運算思維進行解答。
3．【分析】利用逆推法，求賣之前的個數(shù)即可。
【解答】解：（個
答：原來這箱蘋果有24個。
故選：。
【點評】本題主要考查逆推法的應(yīng)用。
4．【分析】這條繩子的全長為單位“1”，未知，一根繩子減去一半即減去單位“1”的，還剩下單位“1”的，第二次剪去剩下的，就是單位“1”的的就是，第二次剪去后剩下的3米占全長的，用除法求出全長即可．
【解答】解：，
，
，
，
（米，
答：繩子原來12米．
故選：．
【點評】此題考查分數(shù)除法應(yīng)用題，關(guān)鍵是找準單位“1”，已知數(shù)量除以所占的分率，既得單位“1”的量．
5．【分析】先分析一棵水草的生長情況，28天長滿，所以（天長滿池塘的，則（天長滿池塘的，相當(dāng)于4棵水草生長的時間，據(jù)此解答．
【解答】解：（天
答：如果一天投入四棵，26天可以長滿池塘．
故選：．
【點評】本題主要考查逆推問題，關(guān)鍵是根據(jù)“一天增加一倍”做題．
6．【分析】小明用自己所帶錢的一半還多6元買一本故事書，則剩下的錢數(shù)加上6元就是所帶錢的一半，據(jù)此解答即可。
【解答】解：
（元
答：小明一共帶了86元。
故選：。
【點評】明確買一故事書用去的6元加上最后剩下的37元即是小明原來所帶錢的一半是完成本題的關(guān)鍵。
二．填空題（共10小題）
7．【分析】5個站依次減半，那么從最后的一站（第5站）至少要上1個人，依次第4站為2人，第3站為4人，第2站為8人，第一站為16人．相加得：個．
【解答】解：最后的一站（第5站）至少要上1個人，依次第4站為2人，第3站為4人，第2站為8人，第一站為16人．
（個．
答：車上最少有31個學(xué)生．
故答案為：31．
【點評】考查了逆推問題，關(guān)鍵是從最后的一站（第5站）至少要上1個人進行推理求解．
8．【分析】每次賣出一半余下20個，就補充20個，這樣不管多少次，始終余下20個，所以玩具店原來有玩具的個數(shù)就是．
【解答】解：（個
答：玩具店原來有玩具40個．
故答案為：40．
【點評】解答此題的關(guān)鍵是，弄清題意，知道每次賣出一半余下個，就補個，這樣不管多少次，始終余個，所以原有的個數(shù)是個．
9．【分析】利用逆推方法，從還剩84本，向前逆推即可。
【解答】解：
（本
（本
答：書店原有故事書450本。
故答案為：450。
【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是抓住最后得到的數(shù)量，從后向前進行推理，根據(jù)加減乘除的逆運算思維進行解答。
10．【分析】從后向前逆推即可求出經(jīng)過多少天能長滿整個水面的四分之一。
【解答】解：第19天：
第18天：
答：18天能長滿整個水面的四分之一。
故答案為：18。
【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是抓住最后得到的數(shù)量，從后向前進行推理即可。
11．【分析】正推就可以，第一周2個分裂成4個；第二周4個分裂成8個；第三周8個分裂成16個；第四周16個分裂成32個。所以需要4周時間。
【解答】解：，經(jīng)過了4周。
故答案為：4。
【點評】逆推也很快，，需要4周。
12．【分析】因為小敏給小紅3張，則之前小敏有（張，在這之前，小麗給小敏23張，則小敏原有（張；據(jù)此解答即可．
【解答】解：小敏原有：
（張；
答：原來小敏有年歷卡20張．
故答案為：20．
【點評】此題考查了運用逆推法解決問題的能力，解決此類問題的關(guān)鍵是抓住最后得到的數(shù)量，從后向前進行推算，根據(jù)逆運算思維進行解答．
13．【分析】第二次賣出余下的一半多8噸，如果第二次少賣8噸，最后剩下的就會增加8噸，即噸，這也是第一天賣出后剩下質(zhì)量的一半，再乘2，就是第一天賣出后剩下的質(zhì)量；第一天賣出一半又多15噸，再用第一天賣出后的質(zhì)量加上15噸，就是總質(zhì)量的一半，再乘2，就是總質(zhì)量．
【解答】解：（噸
（噸
（噸
答：這批化肥原來有 782噸．
故答案為：782．
【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是抓住最后得到的數(shù)量，從后向前進行推算，得出最初的狀態(tài)．
14．【分析】利用倒推法，乙盒中拿出現(xiàn)有個數(shù)的后有170個彩球，用求出乙盒拿出彩球前的個數(shù)為200個，拿出了200個的也就是30個放入了甲盒，用170個減去30個就是甲盒拿出后的個數(shù)，列除法算式即可解答。
【解答】解：（個
（個
（個
答：甲盒原有彩球160個。
故答案為：160。
【點評】此題屬于較復(fù)雜的分數(shù)應(yīng)用題，采用倒推法解答比較簡便。
15．【分析】應(yīng)先從最后結(jié)果出發(fā)，最后三棵樹上各有鳥的只數(shù)（只；因為從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上有16只，因此原有（只；從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上，從第二棵樹上飛走6只，這時第二棵樹上有鳥16只，因此原有（只；再根據(jù)從第一棵樹上飛走8只，這時是16只，原有只．
【解答】解：最后三棵樹上各有鳥的只數(shù)：
（只；
第三棵樹上原有：
（只；
第二棵樹上原有：
（只；
第一棵樹上原有：
（只；
答：原來每棵樹上分別落 24只、14只、10只鳥．
故答案為：24只，14只，10只．
【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是抓住最后得到的數(shù)量，從后先前進行推理，在逆推過程中總數(shù)是不變的，我們要找出關(guān)鍵條件入手分析，得出結(jié)果．
16．【分析】設(shè)兩個數(shù)中較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為，根據(jù)把大數(shù)加上1后除以小數(shù)的結(jié)果正好是3，列出方程，求解即可。
【解答】解：設(shè)兩個數(shù)中較大的數(shù)為，則較小的數(shù)為，列方程得
答：兩個數(shù)中較大的數(shù)為44。
故答案為：44。
【點評】解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程。
三．解答題（共14小題）
17．【分析】根據(jù)題意，第二次賣掉余下的一半多1個，即去掉這1個放進剩余的里面，剛好賣掉余下的一半，已知籃內(nèi)還剩一個雞蛋，即是剩下的一半，所以剩下個，第一次賣掉籃內(nèi)雞蛋總數(shù)的一半多1個，即去掉這一個放進剩下里，剛好賣出雞蛋總數(shù)的一半，所以總數(shù)有個，據(jù)此回答．
【解答】解：根據(jù)題意得
（個
答：籃內(nèi)原有雞蛋10個．
【點評】本題考查了逆推問題，解決本題的關(guān)鍵是從籃內(nèi)還有1個雞蛋入手，這個雞蛋數(shù)，正好是余下的一半，然后同樣的辦法求出雞蛋總數(shù)量．
18．【分析】由題意“一半的一半進籠中．剩下十五圍著我”可知，15只是一半的一半，那么一半就是只，再乘2就是鴨子總數(shù)；據(jù)此解答．
【解答】解：
（只
答：共有60只鴨子．
【點評】逆推問題還可稱為還原問題，解答這類問題時，要根據(jù)題意的敘述順序，由后向前逆推計算．
19．【分析】運用逆推法，先用圓規(guī)的單價減去2元，就是小麗帶錢的一半，然后再乘上2即可求解．
【解答】解：
（元
答：小麗出門時帶了20元錢．
【點評】解決本題運用逆推的方法，從結(jié)果出發(fā)，得出最初的狀態(tài)，從而解決問題．
20．【分析】由“從第二缸內(nèi)撈出7尾送給了別人，這時第一缸內(nèi)金魚尾數(shù)恰好是第二缸內(nèi)金魚尾數(shù)的2倍”可知：兩缸內(nèi)還剩下的尾就是第二缸的倍，由此用除法可求得后來第二缸剩下多少尾，再逆推分別求得兩個魚缸原來各有金魚多少尾．
【解答】解：
（尾
原來第二缸有：（尾
原來第一缸有：（尾
答：第一缸原有金魚17尾，第二缸原有金魚8尾．
【點評】解答此題關(guān)鍵是明確：后來兩缸內(nèi)還剩下的尾就是第二缸的倍．
21．【分析】由題意，倒了三次后連桶重8千克，已知桶重3千克，則油重千克，每次倒掉油的一半，則第三次沒倒前油重，同理第二次沒倒前油重，第一次沒倒前油重；由此解答即可．
【解答】解：，
，
（千克），
答：原來桶里有油40千克．
【點評】關(guān)鍵是先求出倒了三次后，桶里面油的重量，再利用逆推的方法求出原來桶里的油的質(zhì)量．
22．【分析】后來三人的游戲幣同樣多，也就是每人有游戲幣枚，甲給乙3枚，乙給丙5枚，丙給甲2枚，那么甲原來有枚；那么乙原來有枚；則丙原來有枚．解決問題．
【解答】解：（枚，
（枚，
（枚，
（枚
答：甲原來有游戲幣9枚，乙原來有游戲幣10枚，丙原來有游戲幣5枚．．
【點評】從結(jié)果出發(fā)，根據(jù)加減乘除的逆運算思維，進行一步步推算，解決問題．
23．【分析】最后剩下60毫升果汁，在第二次沒倒去之前瓶有應(yīng)有果汁毫升，就是剩下果汁的，就是第一次倒回瓶中前瓶中有克果汁，再瘭40就是這瓶果汁的，據(jù)此進行解答．
【解答】解：
（毫升）
，
（毫升）
答：瓶中最初有750毫升．
【點評】本題的關(guān)鍵是從最后的結(jié)果入手進行逆推，難點是第二次倒出前剩下酒精的重量．
24．【分析】總?cè)藬?shù)是96人，那么用總?cè)藬?shù)除以2，求出后來兩輛車上各有多少人，再用甲車后來的人數(shù)減去12人，就是甲車原來的人數(shù)，用乙車后來的人數(shù)加上12人，即可求出后來乙車的人數(shù)．
【解答】解：（人
（人
（人
答：原來甲車有36人，乙車有60人．
【點評】本題關(guān)鍵是根據(jù)后來兩輛車的人數(shù)一樣多，分別求出后來的人數(shù)，再向前推算即可．
25．【分析】此題先根據(jù)“中班分到余下的一半多20個，最后60個全部給了小班”，也就是說正好是大班分完以后剩下的一半，可推出大班分完以后剩余（個；然后根據(jù)“大班分到總數(shù)的一半多20個”，也就是說（個正好是原有蘋果的一半，那么蘋果原來有（個．
【解答】解：，
，
，
（元；
答：蘋果一共有180個．
【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是抓住最后得到的數(shù)量，從后向前逐步進行推算，最終得出答案．
26．【分析】先用“”求出后來甲班和乙班人數(shù)和，然后根據(jù)這時甲班的人數(shù)是乙班的3倍，即這時乙班人數(shù)的倍是60人，根據(jù)已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)，用除法求出這時乙班的人數(shù)，進而運用倒推，求出原來兩個班的人數(shù)．
【解答】解：這時乙班有學(xué)生：
（人；
原來乙班：（人；
原來甲班：（人；
答：原來甲班有學(xué)生50人，乙班有42人．
【點評】此題應(yīng)運用倒推的方法進行解答；明確這時乙班人數(shù)的倍是60人，是解答此題的關(guān)鍵．
27．【分析】此題可用逆推的方法解答，從最后的條件入手，一共有72只，最后三人的數(shù)量相同，用72除以3，即可求出最后各有24只；然后逆著變化的情況，從結(jié)果出發(fā)，列表逐步得出原來三人的只數(shù)．
【解答】解：（只
根據(jù)變化情況，列表如下：
變化情況 甲的只數(shù) 乙的只數(shù) 丙的只數(shù)
最后的只數(shù) 24 24 24
丙平分時的變化 增加一倍 增加一倍
丙平分之前的只數(shù) 12 12 48
乙平分時的變化 增加一倍 增加一倍
乙平分之前的只數(shù) 6 42 24
甲平分時的變化 增加一倍 增加一倍
甲平分之前的只數(shù)（原來的只數(shù)） 39 21 12
由上表可知：甲原來有39只，乙原來有21只，丙原來有12只．
【點評】解決本題運用列表法進行逆推，抓住最后得到的數(shù)量，從后向前一步步進行推算，最終得出結(jié)果．
28．【分析】此題可用逆推的方法解答，從最后的條件入手，一共有24張，最后三人的數(shù)量相同，用24除以3，即可求出最后最后各有8張；然后逆著變化的情況，從結(jié)果出發(fā)，列表逐步得出原來三人的張數(shù)．
【解答】解：（張
根據(jù)變化情況，列表如下：
變化情況 甲的張數(shù) 乙的張數(shù) 丙的張數(shù)
最后的張數(shù) 8 8 8
丙平分時的變化
丙平分之前的張數(shù) 4 4 16
乙平分時的變化
乙平分之前的張數(shù) 2 8 14
甲平分時的變化
甲平分之前的張數(shù)（原來的張數(shù)） 4 7 13
由上表可知：甲原來有4張，乙原來有7張，丙原來有13張．
【點評】解決本題運用列表法進行逆推，抓住最后得到的數(shù)量，從后向前一步步進行推算，最終得出結(jié)果．
29．【分析】最后兩人各有24張，那么兩人一共有張，設(shè)小聰原來的張數(shù)是張，由下表可以得出最后小聰?shù)膹垟?shù)是張，也就是24張，由此列出方程求出小聰原來的張數(shù)，進而求出小明原來的張數(shù)．
小明的張數(shù)（張 小聰?shù)膹垟?shù)（張
原來
第一次之后
第二次之后
第二次之后的數(shù)量 24 24
【解答】解：（張
設(shè)原來小聰有張，則小明有張，
（張
答：原來小聰有18張，小明有30張．
【點評】本題的過程比較難理解，運用列表的方法進行分析，找清楚這個過程中量的變化，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解．
30．【分析】最后兩人各有12張，一共有張，在此之前小強的張數(shù)看成單位“1”，它的就是12張，根據(jù)分數(shù)除法的意義，此時小強的張數(shù)就是張，進而求出此時小華的張數(shù)為張；再把原來小華的張數(shù)看成單位“1”，它的就是8張，再根據(jù)分數(shù)除法的意義求出小華原來的張數(shù)，進而求出小強原來的張數(shù)．
【解答】解：一共有（張
小強拿到小華給的后的畫片張數(shù)：
（張
（張
（張
小強原有郵票張數(shù)：
（張
答：小強原來有郵票14張，小華原來有郵票10張．
【點評】解決本題運用逆推的方法，找清楚兩個不同的單位“1”以及它們對應(yīng)的數(shù)量，根據(jù)分數(shù)除法的意義逐步向前推算．

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