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第23講 植樹問題（提高版）
為使其更直觀，用圖示法來說明．樹用點來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉化為一條非封閉或封閉的線上的“點數”與相鄰兩點間的線的段數之間的關系問題．
一、在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形．
1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多1，即：棵數=間隔數+1．
2、如果植樹線路只有一端要植樹，那么植樹的棵數和要分的段數相等，即：棵數=間隔數．
3、如果植樹線路的兩端都不植樹，那么植樹的棵數比要分的段數少1，即：棵數=間隔數-1．
4、如果植樹路線的兩邊與兩端都植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多1，再乘二，即：棵樹=段數+1再乘二．
二、在封閉線路上植樹，棵數與段數相等，即：棵數=間隔數．
三、在正方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹．則棵數=（每邊的棵數-1）×邊數．
非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下情形：
（1）如果在非封閉線路的兩端都要植樹，那么：
株數=段數+1=全長÷株距+1
全長=株距×（株數-1）
株距=全長÷（株數-1）
（2）如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么：
株數=段數=全長÷株距
全長=株距×株數
株距=全長÷株數．
一．選擇題（共8小題）
1．在一塊長方形草地的周圍植樹，共植樹30棵，則間隔有　　個。
A．31 B．30 C．29 D．32
2．在相距120米的兩樓之間種樹，每隔20米種一棵，共栽了　　棵．
A．6 B．7 C．8 D．5
3．一個圓形廣場的半徑是150米，在它的邊緣每隔3米栽一棵樹，一共可以栽　　棵樹．
A．313 B．314 C．315 D．316
4．某市一條大街長7200米，從起點到終點共設有9個車站，那么每兩個車站之間的平均距離是　　
A．780米 B．800米 C．850米 D．900米
5．一條長的線段，賽門從兩端開始，均勻的點了5個點．每兩個點之間的長度是　　
A．這條線段的 B． C．
6．馬路一邊有一些電線桿，每兩根電線桿中間有一個廣告牌，已知廣告牌有20個，那么電線桿有　　根．
A．19 B．20 C．21
7．把一根2米的木材鋸成4小段，每鋸一次要5分鐘，一共要　　分鐘才能鋸完。
A．12 B．15 C．20 D．30
8．芳芳家所在的樓房共有216級臺階，且每層的臺階數都一樣多。已知從一層到四層共有72級臺階，那么這幢樓房一共有　　層。
A．12 B．11 C．10 D．9
二．填空題（共8小題）
9．笑笑陪奶奶在人行道上散步，從第1盞路燈走到第22盞路燈一共用了21分鐘，當他們以同樣的速度走了40分鐘時，能從第一盞路燈走到了第　　盞路燈旁．
10．15個同學在操場上圍成一個圓圈做游戲，每相鄰兩個同學之間的距離都是，這個圓圈的周長是　 　．
11．公路一邊每兩根電線桿之間的距離是16米，小華從第一根電線桿跑到第11根電線桿，共跑 　　米。
12．市政工人在一段公路的一邊每隔40米挖一個污水管道檢查井，一共挖了16個這樣的污水管道檢查井（含兩端）。現在需要改成每隔60米挖一個這樣的污水管道檢查井，那么，這段公路不用重挖的污水管道檢查井共有 　　個。
13．一條走廊長45米，每隔5米放一盆花（兩端不放），共要放 　　盆花。
14．王大爺要在周長是的圓形魚池邊上植樹，每隔3米植一棵，一共要植 　　棵樹。
15．一條小路的一側共栽了9棵樹（兩端都栽），相鄰兩棵樹之間的距離是，這條小路長 　　；如果在小路兩側每隔放一盆花（兩端都不放），一共要放 　　盆花。
16．同學們玩丟手絹游戲。8名男生手拉手圍成一個圓圈后，要在每兩名男生中間加上一名女生，需要加上 　　名女生。
三．解答題（共14小題）
17．在一條公路的一側插紅旗．每隔5米插一面，且兩端都不插，一共需要紅旗100面，這條路全長多少米？
18．在一根繩子上每隔2米掛一個燈籠起點和終點都不掛，一共掛了12個燈籠，這根繩子長多少米？
19．馬路的一邊每隔8米栽一棵楊樹．小李乘汽車4分鐘看到401棵樹，問汽車每分鐘行多少米？
20．公園走廊的一側擺放著31盆花（兩端都擺）它們每隔5米．現在要改為只放26盆，（兩端都放）它們之間的間隔應改為多少米？
21．在一條長75米的長廊一邊擺花盆，起點和終點都擺，一共擺了26盆．相鄰兩盆花之間的距離相等，相鄰兩盆花之間相距多遠？
22．在一個魚塘周圍筑成周長是1200米的土堤，堤上每隔8米栽1棵楊樹，然后在相鄰兩棵樹之間栽一棵松樹．土堤上栽楊樹和松樹各多少棵？
23．實小四（1）班植樹25棵，四（2）班植樹32棵，四（3）班植樹39棵，三個班平均每班植樹多少棵？如果將三個班植的樹植在池塘四周，可以每9米植一棵，這個池塘四周長多少米？
24．有一根木頭每15厘米鋸成一段，剛好鋸成6段，并且鋸一次需要3分鐘．這根木頭一共長多少厘米？鋸這根木頭一共需要多少時間？
25．沿著一個圓廣場的一周，每隔10米安裝一盞路燈，一共需要32盞，這個圓形廣場的周長是多少米？
26．在一段100米的街道兩旁安裝路燈，每隔10米安裝一盞（街道的兩頭都要安裝），這段街道一共要安裝多少盞路燈？
27．一根鋼材截成4段花了2分鐘，用同樣的速度截另外一段鋼材用了12分鐘，另一段鋼材被截成了幾段？
28．校門口兩側種樹苗，原打算兩側都種7棵，每隔4米種一棵，實際兩側都種了9棵，每兩棵樹間的距離是多少？
29．一段街道長1150米，原來在街道的兩端各設置一個垃圾桶，中間沒有垃圾桶，現在為了方便市民，在中間等距離地增加22垃圾桶（不包括原來兩個），現在第16個垃圾桶和第1個垃圾桶相隔多少米？
30．在一條長75米的大路兩旁栽一行樹，如果首尾都種樹，并且每相鄰的兩棵樹之間的距離都是15米，一共需要栽多少棵樹？
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【分析】在長方形草地的周圍植樹，長方形是一個封閉圖形，植樹棵數間隔數，據此解答即可。
【解答】解：在一塊長方形草地的周圍植樹，共植樹30棵，則間隔有30個。
故選：。
【點評】本題主要考查了植樹問題，解題的關鍵是明確圍成一個封閉的圖形植樹時，植樹棵數間隔數。
2．【分析】樹的間隔數為：個，由于兩端都不栽，所以一共栽了棵；據此解答．
【解答】解：，
，
（棵；
答：一共可以種5棵樹．
故選：。
【點評】本題考查了植樹問題，知識點是：樹的棵數間隔數，間隔數總長度間距；知識鏈接（沿直線上栽）：栽樹的棵數間隔數（兩端都不栽），植樹的棵數間隔數（兩端都栽），植樹的棵數間隔數（只栽一端）．
3．【分析】先根據圓的周長求出圓形廣場的周長，因為圍成一個圓圈植樹時，植樹棵數間隔數，據此用圓形廣場的周長除以間距3米求出間隔數即可解答．
【解答】解：
（米
（棵
答：一共可以栽314棵樹．
故選：。
【點評】此題考查了圍成一個圓圈植樹問題：植樹棵數間隔數；關鍵是求出圓形廣場的周長．
4．【分析】從起點到終點共設有9個車站，間隔數是：個，用7200除以間隔數就是間距；據此解答即可。
【解答】解：
（米
答：每兩個車站之間的平均距離是900米。
故選：。
【點評】如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數應比要分的段數多1，即：棵數間隔數．
5．【分析】均勻的點了5個點，間隔數是個．求每兩個點之間的長度，就是每份的長度，用這條線段的長度除以進率平均分成的份數，或根據分數的意義，求1份的長度占這條線段的長度份）所占的分率即可．
【解答】解：每兩個點之間的長度：（厘米）
或，每兩個點之間的長度占的分率：
故選：．
【點評】解答此題的關鍵是明白這條線段被平均分成的份數是點數減1．
6．【分析】已知廣告牌有20個，相當于20個間隔，那么電線桿有（根；據此解答．
【解答】解：根據分析可得，
（根；
答：電線桿有21根．
故選：．
【點評】本題考查了植樹問題，知識點是：植樹的棵數間隔數（兩端都栽）．
7．【分析】首先求得一根木材鋸成段5需要的次數：（次，再乘鋸一次需要的時間即可求解。
【解答】解：
（分鐘）
答：一共要15分鐘才能鋸完。
故選：。
【點評】此題的關鍵是明確鋸成的段數與次數之間的關系：鋸成的次數鋸的段數，依此結合其它條件解決問題。
8．【分析】共有216級臺階，每兩層樓之間都是級臺階，根據除法的意義可知，用總的臺階數除以兩層樓之間的臺階，求出樓梯間隔，樓梯間隔加1就是這幢樓房的層數。
【解答】解：
（層
答：這幢樓房一共有10層。
故選：。
【點評】完成此類問題時要注意一樓是沒有樓梯的，因此計算出樓梯間隔數后要加1。
二．填空題（共8小題）
9．【分析】從第1盞路燈走到第22盞路燈一共是21個間隔，用21分鐘除以21，就是每個間隔需要的時間，再用40分鐘除以每個間隔需要的時間，就是經過的間隔數，最后用間隔數加上1即可求解．
【解答】解：
（分鐘）
（根；
答：能從第一盞路燈走到了第 41盞路燈旁．
故答案為：41．
【點評】本題屬于兩端都栽的類型：間隔數植樹棵數．
10．【分析】15個同學在操場上圍成一個圓圈就有15個間隔，每相鄰兩個同學之間的距離都是2米，所以這個圓圈的周長是米．
【解答】解：（米
答：這個圓圈的周長是30米．
故答案為：30．
【點評】解答此題的關鍵是明確：圍成一個圓圈時，人數間隔數．
11．【分析】從第一根電桿到第11根電線桿，共跑了10段，也就是10個16米。總長度即可求。
【解答】解：
（米
故答案為：160。
【點評】明確植樹問題的具體情形是解決本題的關鍵。
12．【分析】根據題干，路的兩端都挖，所以先用挖水管道檢查井的總數減去1，再乘間距40米，求出這條公路的總長度，因為40和60的最小公倍數是120，所以用總長度除以120再加上1即可得出不用重挖的污水管道檢查井的個數。
【解答】解：
（米
60和40的最小公倍數是120，
（個
答：這段公路不用重挖的污水管道檢查井共有6個。
故答案為：6。
【點評】解決本題根據最小公倍數和兩端都栽的植樹問題的數量關系解決問題。
13．【分析】先求出間隔數為個，再根據“走廊兩端都不放”，所以再減去1后就是一共放花的盆數。
【解答】解：
（盆
答：共要放8盆花。
故答案為：8。
【點評】抓住兩端都不放花的情況：放花的盆數間隔數，代入數據即可解答。
14．【分析】此題屬于環形植樹問題，公式是：植樹棵數間隔數，間隔數間隔總長間隔距離。據此計算即可。
【解答】解：（棵
答：一共要植28棵樹。
故答案為：28。
【點評】此題主要考查了環形植樹問題的公式，要熟練掌握。
15．【分析】由于從一端到另一端一共栽了9棵樹，共有間隔數為：個；又由于間距是3米，根據總距離間距間隔數，可以求出這條小路的長。當兩端都不放花時，花的盆數間隔數，間隔數小路總長，最后再乘2（兩側都放花）。據此解答。
【解答】解：
（米
答：這條小路長24米。
（個
（盆
（盆
答：一共要放22盆花。
故答案為：24，22。
【點評】本題是植樹問題，栽樹的棵數間隔數（兩端都不栽），植樹的棵數間隔數（兩端都栽），植樹的棵數間隔數（只栽一端）。
16．【分析】由題意，8名男生手拉手圍成一個圓圈后，每相鄰兩個男生中間有一個女生，如果男生有8名，間隔數和人數相等，就有8個間隔，所以女生有8名，據此解答。
【解答】解：8個男生圍成一圈，間隔數和人數相等，就有8個間隔，所以女生有8名。
答：需要加上8名女生。
故答案為：8。
【點評】本題主要考查了植樹問題，解題的關鍵是明確在封閉線路上植樹，棵數與段數相等，即：棵數間隔數。
三．解答題（共14小題）
17．【分析】兩端都不要插時，間隔數紅旗面數，所以這里一共有個間隔，再乘以5就是這條公路的長度．
【解答】解：（米
答：這條路全長505米．
【點評】此題屬于植樹問題中兩端都要栽的情況：抓住間隔數植樹棵數即可解答．
18．【分析】由于兩端都不掛，從這一頭到那一頭燈籠的間隔數為：個，所以再乘2，即可求出繩子的長度，據此解答．
【解答】解：
（米
答：這根繩子長26米．
【點評】本題考查了植樹問題，知識點是：燈籠的個數間隔數，間隔數總長度間距；知識鏈接（沿直線上栽）：栽樹的棵數間隔數（兩端都不栽），植樹的棵數間隔數（兩端都栽），植樹的棵數間隔數（只栽一端）．
19．【分析】根據題意可知，路邊有401棵樹，共有個間隔，每個間隔距離是8米，用可以求出汽車4分鐘行駛的距離，再根據路程時間速度，可以求出汽車的速度．
【解答】解：根據題意可得：
，
，
（米分）．
答：汽車每分鐘行800米
【點評】根據題意，在植樹問題中，如果兩端都栽，那么間隔數間隔距離路程長，再根據路程時間速度，進一步解答即可．
20．【分析】根據題意，公園走廊的一側擺放著31盆花（兩端都擺），那么間隔數是（個，再乘上間隔距離5米可以求出走廊的長度；現在要改為只放26盆（兩頭都要擺），這時的間隔數是（個，用走廊長度除以間隔數，就是間隔距離．
【解答】解：（米；
（米．
答：現在的間隔應該是6米．
【點評】兩端不植樹，間隔數比植樹棵數多1；兩端植樹，間隔數比植樹棵數少1；然后再進一步解答即可．
21．【分析】根據題意可知，一共有的間隔數比花盆數少1，即個間隔數，然后用長廊的長度除以間隔數就是相鄰兩盆花之間的距離．
【解答】解：
（米
答：相鄰的兩盆花之間的距離是3米．
【點評】植樹問題，要看清是兩側，還是一側，然后根據一側的棵數，求出間隔數，就不難求出相鄰兩棵樹之間的距離．
22．【分析】（1）圍成一個圓圈植樹時：植樹棵數間隔數，由此先求出間隔數，從而得出楊樹的棵數；
（2）由上面求出的間隔數就是栽種的松樹棵數．
【解答】解：（棵
（棵
答：土堤上栽楊樹和松樹各150棵．
【點評】圍成圓圈植樹時：植樹棵數間隔數，由此即可解決此類問題．
23．【分析】（1）求出三個班的總棵數，然后除以班級數就是平均每班植樹多少棵；
（2）屬于在封閉圖形上植樹，根據間隔數植樹棵數解答即可．
【解答】解：（1）
（棵；
答：三個班平均每班植樹32棵．
（2）
（米
答：這個池塘四周長864米．
【點評】此題可以歸屬在封閉圖形上植樹的情況，只要求出間隔數問題即可解決．
24．【分析】根據題意，每15厘米鋸成一段，剛好鋸成6段，用可以求出這根木頭的長度；鋸成6段需要鋸次，再乘上鋸一次時間3分鐘即可．
【解答】解：
（厘米）；
（分鐘）．
答：這根木頭一共長90厘米，鋸這根木頭一共需要15分鐘．
【點評】鋸成的段數減去1，就是鋸的次數．再乘上鋸每次的時間，然后再進一步解答．
25．【分析】圍成圓圈植樹時，植樹棵數間隔數，由此可得這個廣場一周的周長有32個間隔，一個間隔的長度是10米，根據乘法的意義，米就是這個圓形廣場的周長．
【解答】解：（米，
答：這個圓形廣場的周長是320米．
【點評】抓住圍成圓圈植樹時，植樹棵數間隔數，即可解決此類問題．
26．【分析】兩端都要安裝時，路燈盞數間隔數，由此先求出間隔數是：，再加上1，最后乘以2即可．
【解答】解：，
，
（盞，
答：這段街道一共要安裝22盞路燈．
【點評】此題屬于植樹問題中的兩端都要栽的情況：抓住植樹棵數間隔數即可解答．
27．【分析】根據鋸的次數鋸出的段數，鋸成4段，則是鋸了次，由此求出鋸1次需要的時間是分鐘，“用同樣的速度截另外一段鋼材用了12分鐘”，說明是鋸了次，由此即可解決問題．
【解答】解：鋸1次需要：（分鐘），
（次，
（段，
答：另一段鋼材被鋸成了19段．
【點評】此題屬于植樹問題，關鍵是抓住鋸的次數鋸出的段數，先利用除法的意義求出鋸1次需要的時間，再求出12分鐘鋸的次數即可解答．
28．【分析】此題只考慮一側植樹情況即可：原打算植樹7棵，則有個間隔，所以校門口一側的總長度是：米，實際一共植9棵樹，即有個間隔，由此即可求出每個間隔的長度．
【解答】解：，
，
（米；
答：每兩棵樹之間的距離是3米．
【點評】此題屬于植樹問題中的兩端都要栽的問題：植樹棵數間隔數，根據原計劃植樹棵數求出校門口一側的長度，是解決本題的關鍵．
29．【分析】根據題干可知，此題可以看做是兩端都不栽的情況：間隔數植樹棵數，所以間隔數是，全長是1150米，所以每個間隔的長度是米，因為第16個垃圾桶和第1個垃圾桶之間一共有個間隔，所以距離是米．
【解答】解：
（米
答：第16個垃圾桶和第1個垃圾桶相隔750米．
【點評】此題考查植樹問題中，兩端都不栽的情況是：間隔數植樹棵數；兩端都要栽的情況是：間隔數植樹棵數；由此即可解答問題．
30．【分析】先求出大路一旁植樹棵數：兩端都要栽時，植樹棵數間隔數，由此先求出間隔數為：，再加上1就是大路一旁植樹棵數，再乘2即可．
【解答】解：，
，
（棵，
答：一共要種12棵．
【點評】此題是植樹問題中的兩端都要栽的情況，抓住植樹棵數間隔數即可解答，這里要注意兩旁，不要忘記乘2．

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