資源簡介

第24講 盈虧問題（提高版）
1、盈虧問題。
在等分除法的基礎上發展起來的。他的特點是把一定數量的物品，平均分配給一定數量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足的數量，求物品適量和參加分配人數的問題，叫做盈虧問題。
2、解題關鍵。
盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數，進而再求得物品數。
3、解題規律。
總差額÷每人差額=人數
總差額的求法可以分為以下四種情況：
第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足
一．選擇題（共4小題）
1．有一段木頭用一根繩子來量，繩子多出150公分，將繩子對折后量，又短了35公分。問這段木頭有多長？　　
A．220 B．250 C．320 D．360
2．美猴王帶著蟠桃回到花果山分給眾猴，先分給3只老猴各6個，每只小猴4個，發現還有4只小猴分不到，于是收回重新分，3只老猴各5個，每只小猴3個，可是還剩下12個，那么花果山共有　　只猴．
A．24 B．25 C．26 D．28
3．米奇專賣店以100元的單價賣出兩套不同的童裝，其中一套賺，另一套虧本，那么這個童裝店賣這兩套服裝總體核算是　　
A．虧本 B．賺錢
C．不虧也不賺 D．不能確定虧本或賺錢
4．搬運1000塊玻璃，規定搬一塊可得運費3角，但打碎一塊除了得不到運費外還要賠5角，運完后，搬運工共得搬運費260元，搬運工損失了　　元。
A．10 B．5 C．20 D．25
二．填空題（共12小題）
5．一袋糖分給一些小朋友，每人分10粒剛好分完；如果每人分16粒，則有3個小朋友分不到糖。這袋糖共 　　粒。
6．某公司給職工發獎金，每人發250元則缺180元，每人發200元則余220元，那么平均每人能發獎金　 　元．
7．甲、乙、丙三人一起買了8個面包，平分著吃．甲拿出5個面包的錢，乙付了3個面包的錢，丙沒帶錢，等吃完后核算，丙應拿出4元錢，甲應收回　　錢，乙應收回　　錢．
8．某筆獎金原計劃8人均分，現退出1人，其余每人多得200元，這筆獎金共　　元。
9．實驗小學的學生乘汽車外出旅游，如果每車坐65人，則有5人無車可乘；如果每車多坐5人，則可少用一輛車．那么，外出旅游的學生有　 　人．
10．學校買來一些皮球，分給五年級各個班．每班3個多3個，每班5個差5個．五年級一共有個　　班，買了　　個皮球．
11．甲用1000元人民幣購買了一手股票，隨即他將這手股票轉賣給了乙，獲利，而后來乙又將這手股票轉給了甲，但乙損失了，最后甲按乙賣給甲的價格的將這手股票賣給了乙．甲在上述股票交易中　　選填“盈利”或“虧本” 　　元．
12．小慧在統計本組期末考試平均成績時發現：如果自己多得15分，小組的平均成績就達到92分；如果自己的成績少得5分，小組的平均成績就只有90分；那么小慧他們小組有　 　人．
13．若干學生搬一堆磚，若每人搬8塊，則剩下20塊未搬走，若每人搬9塊，則最后一個學生只搬了6塊，那么搬磚的學生共有　 　人．
14．實驗小學學生外出參觀，如果每輛車坐50人，就會余下20個座位，如果每輛車坐45人，就還可以坐5人．問有　 　輛車，有　 　名學生．
15．公司準備包一輛客車送家在外地的員工回家過年，包車的費用是固定的．根據外地員工人數統計，每人需付15元．后來有6人不回去，這樣每人多付3元．包車費用是　 　元．
16．幾個人共同種一批樹苗，如果每人種15棵，則剩下4棵樹苗未種；如果每人種16棵樹苗，則缺4棵樹苗，則這批樹苗共有　　棵．
三．解答題（共14小題）
17．朱老師為參加軍訓的學生安排宿舍．如果每間宿舍住8人，那么這些宿舍正好住滿；如果每間宿舍住6人，那么正好缺4間宿舍．學生宿舍有多少間？參加軍訓的學生有多少人？
18．小明去體育用品專賣店買乒乓球，買10個還差8.9元，買5個還剩1.6元，小明有多少錢？
19．用一根繩子測量一口枯井的深度，把繩子對折一次量，井外多6米，把繩子對折兩次量，井外多1米．井深多少米？繩子長多少米？
20．一條繩子測量井深，單股量，井外余6米，雙股量差4米不到井口，求繩長多少米？井深多少米？
21．小明從家到某校參加考試，開始時以每分鐘50米的速度走了2分鐘，這時他根據以往的經驗，再以這個速度走下去，肯定要比考試時間遲到5分鐘．于是他立即加快速度，每分鐘多走10米，結果小明比考試時間早到了5分鐘．小明家到某校的路程是多少米？
22．為了測量樓的高度，在樓上將繩子6折后垂至地面，尚余3米；將繩子剪去10米，4折后垂至地面，尚余5米，求繩子和樓高多少米？
23．近年來火車大提速，1427次火車自北京西站開往安慶西站，行駛至全程的，再向前56千米處所用時間比提速前減少了60分鐘，而到達安慶西站比提速前早了2小時．問北京西站、安慶西站兩地相距多少千米？
24．鑄造車間要生產一批零件，如果每天鑄造300個，完成任務要延長10天；如果每天鑄造350個，完成任務要延長5天．問：按時完成任務要用多少天？
25．小華家買來許多蘋果和橘子，橘子的個數是蘋果的3倍．如果每人分2個蘋果，還多1個蘋果；如果每人分8個橘子，還差5個橘子．問小華家有幾人？買來蘋果和橘子各多少個？
26．某中學組織初一的學生春游，如果租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位，如果租用同樣數量的60座的客車，則多出一輛，其余車恰好坐滿．已知45座的客車每日租金為每輛250元，60座的客車每日租金為每輛300元．
（1）這個學校七年級有學生多少人？
（2）怎樣租車最經濟合算？
27．某小學的部分學生外出參觀，如果每輛車坐55人，就會余下30個座位；如果每輛車坐50人，還可以坐10人．有多少輛車？有多少個參觀的學生？
28．前進村第一小組村民共同出資購買電動抽水機．如果每戶人家出資250元，那么所出的總錢數比電動抽水機的價格少3300元；如果每戶人家出資300元，那么錢的總數比電動抽水機的價格多300元．問前進村第一組有多少戶人家？電動抽水機的價格是多少元？
29．014子弟學校初一年級天文小實驗家科技活動小組，在一次外出活動中，如果四人坐一輛車，那么2輛車是空的； 如果三人坐一輛車，那么缺1輛車；問天文小實驗家科技活動小組有幾個人？這天找了幾輛車？
30．光華玻璃廠委托運輸公司包運2000塊玻璃，每塊運輸費0.4元，如損壞一塊，要賠償損失費7元，結果運輸公司得到運費711.2元，問運輸公司損失玻璃多少塊？
參考答案
一．選擇題（共4小題）
1．【分析】木頭的長度比繩子長度的一半長35公分，所以木頭長度的2倍比繩子的長度長了70公分，即2個木頭的長度減去繩子長度就是70公分，1個木頭的長度加上150公分就是繩子的長度，所以木頭的長度減去150公分就是70公分，據此解答即可。
【解答】解：（公分）
答：這段木頭長220公分。
故選：。
【點評】明確1段木頭的長度比繩子短150公分以及2段木頭的長度比繩子長70公分是解題的關鍵。
2．【分析】設花果山共有只猴，則小猴有只．根據“先分給3只老猴各6個，每只小猴4個，發現還有4只小猴分不到”可知，一共有桃子個桃子．根據“只老猴各5個，每只小猴3個，可是還剩下12個”可知，一共有桃子個桃子．根據桃子總個數不變即可列方程解答．
【解答】解：設花果山共有只猴．
答：花果山共有28只猴．
故選：．
【點評】此類題最好是用方程解答，設其中的一個量為未知數，另一個數也用未知數表示，根據題意，找出數量間的相等關系式，列出方程，解答即可．
3．【分析】先求出每套童裝原來的價格，由題意可得，一套賺，就是售出的總價是原價的，原價為；另一套虧本，也就是售出的總價是原價的，原價為，把這兩部分的價格加起來，與200元作比較即可．
【解答】解：一套賺，原來的價格為：
，
，
（元；
另一套虧本，原來的價格為：
，
，
（元；
這兩套童裝原來的價格為：
（元；
實際賣出的價錢為：
（元．
因為，所以虧本了．
故選：．
【點評】此題貼近生活，以商品買賣為出發點，主要考查學生能否積極靈活運用數學觀點和方法，分析判斷日常生活中的問題的能力．解開表面數字相等，抓住問題的實質，不要誤認為“不虧也不賺”．
4．【分析】假設沒有打碎玻璃，可得運費（角，這比實得運費260元多了（角，打碎一塊除了得不到運費外還要賠5角，這樣每破一塊玻璃收入就會減少（角，可用（塊玻璃打碎了，這50塊總價就是損失的錢數。
【解答】解：
（角
（元
答：搬運工損失了25元。
故選：。
【點評】本題屬于雞兔同籠問題范疇，可用假設法解答。
二．填空題（共12小題）
5．【分析】如果每人分16粒，則有3個小朋友分不到糖，說明糖少了（粒；每人分10粒剛好分完，說明每個小朋友分16粒比分10粒多分了（粒，每個小朋友多分6粒時差了48粒，由此可知：小朋友的數量是（個，糖果有（粒。
【解答】解：（粒
（粒
（個
（粒
答：這袋糖共80粒。
故答案為：80。
【點評】解答此題的關系式為：虧數兩次分物數量的差人數。
6．【分析】由題意可知，獎金總數是不變的，員工人數是不變的，有等量關系：人數人數，就可以計算出人數，然后求出獎金總數，除以人數就是平均每人發的獎金數．
【解答】解：設員工共人，則
每人發250元則缺180元，所以獎金總數：
（元，
那平均每人發的獎金數就是：（元，
答：平均每人能發獎金227.5元．
故答案為：227.5．
【點評】本題的關鍵是根據每人多發的錢數，和應多發的總錢數，求出職工的人數．
7．【分析】要求甲乙各應收回錢多少元，先求出每人分得幾個面包，即：個，丙應付4元錢（平均每人付的錢數），根據“總價數量單價”求出每個面包的單價，即元，進而用計算出甲實際付的錢數，用計算出乙實際付的錢數，然后分別減去4元即可．
【解答】解：
（元
甲應收回：（元
乙應收回：（元．
答：甲應收回3.5元，乙應收回0.5元．
故答案為：3.5元；0.5元．
【點評】解答此題應根據單價、總價和數量之間的關系以及平均數的計算方法進行解答即可．
8．【分析】某筆獎金原計劃8人均分，現退出1人，此時還有（人，又其余每人多得200元，那么7人共多得了（元，這1400元就是退出的那個人的錢，原來共有8人，則這筆獎金共有（元。
【解答】解：
（元
答：這筆獎金共有11200元。
故答案為11200。
【點評】完成本題要注意是7人每人多得200元，而不是原來的8人。
9．【分析】根據題意知：如果每車多坐5人，則就少了原來坐65人剩下的5人，與現在少一輛車的人數人．據此可求出原來車的輛數，求出車的輛數，就很容易求出學生數．據此解答．
【解答】解：，
，
（輛，
，
，
（人．
答：外出旅游的學生有980人．
故答案為：980．
【點評】本題的關鍵是根據每車多坐5人時，缺少的人數，求出原來車的輛數，再去求人數．
10．【分析】根據題意，前后班數相差（個，皮球數量相差為（個．也就是說，多出2個班，就要多出8個皮球，因此班數為（個，皮球個數就好求了．
【解答】解：班數為：
，
，
（個；
皮球數量：
（個，
或（個；
答：五年級一共有個4班，買了15個皮球．
故答案為：4，15．
【點評】此題屬于盈虧問題，運用了關系式：（盈數虧數）兩次分物數量的差分物份數．
11．【分析】要求甲最后是盈利還是虧本，應先計算出第一次賣給乙的價錢，通過題意可知，第一次交易，甲獲利，把甲買股票的原價看作單位“1”，賣給乙的價錢是原價的，即賣了1100元；第二次交易，乙損失了，把甲獲利后的價錢元）看作單位“1”，賣了1100元的即990元；第三次交易，甲按乙賣給甲的價格的將這手股票賣給了乙，把乙賣給甲的價格（即990元）看作單位“1”，實際賣了990元的即891元；然后根據交易的數據，進行計算即可．
【解答】解：甲乙第一次交易：（元，
第二次交易：（元，
第三次交易：（元，
甲的實際收入：（元，
答：甲在上述股票交易中盈利1元．
故答案為：盈利，1．
【點評】此題屬于復雜的分數應用題，做題時應先判斷單位“1”，然后根據一個數乘分數的意義進行列式計算，進而得出結論．
12．【分析】兩次平均成績的總分數差是：（分，兩次平均成績的分數的差是：（分，那么小慧他們小組的人數是：（人；據此解答．
【解答】解：，
，
（人；
答：小慧他們小組有10人．
故答案為：10．
【點評】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數，再根據盈虧問題的基本數量關系：一次有余（盈，一次不夠（虧，可用公式：（盈虧）（兩次每人分配數的差）人數解答．
13．【分析】若每人搬8塊，則剩下20塊未搬走，若每人搬9塊，即還差塊，則每人多搬塊就要多搬塊，根據盈虧問題公式可知，一共有人．
【解答】解：
（人
答：搬磚的學生共有 23人．
故答案為：23．
【點評】本題為一次盈余，一次不足的盈虧問題，計算公式為：（盈虧）兩次分配的差分配的對象數．
14．【分析】由“如果每輛車坐50人，就會余下20個座位”，說明如果再加上20人就能坐滿全部的車輛；由“如果每輛車坐45人，就還可以坐5人”，說明如果再加上5人也能坐滿全部的車輛．前后人數差為（人，每輛車坐的人數差為（人．也就是說，每輛車多坐5人，就會多坐25人．那么，車的數量為（輛，人數就好求了．
【解答】解：車的數量：
（輛；
學生人數：
（人；
答：有5輛車，有230個參觀的學生．
故答案為：5，230．
【點評】此題解答的關鍵是先根據關系式“（大虧數小虧數）兩次分物數量的差分物份數”求出車的輛數，然后再求人數．
15．【分析】根據題意知：原來的人數每人付的錢數（原來的人數現在每人付的錢數，據此數量關系可列方程解答．
【解答】解：設原來有人，則現在的人數是人．根據題意得
，
，
，
，
，
．
（元．
答：包車費用是540元．
故答案為：540．
【點評】本題的關鍵是找出數量關系，再列方程解答．
16．【分析】總差額是（棵，每份的差額是（棵人），將這兩個差相除，就可求出由多少人，再根據每人種15棵剩下4棵，求出樹苗總數即可．
【解答】解：總人數為：
（人
樹苗總數：（棵
答：這批樹苗共有124棵
故答案為：124．
【點評】本題主要考查了盈虧問題，需要學生熟練掌握解盈虧問題的公式．
三．解答題（共14小題）
17．【分析】如果每個房間住6人，則少4間宿舍，即盈人；如果每個房間住8人，那么房間正好住滿；兩次分配的差為人，人數總差為24人，根據盈虧問題公式可知共有宿舍間，則共有學生人；據此解答．
【解答】解：
（間
（人
答：學生宿舍有12間，參加軍訓的學生有96人．
【點評】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數，一是總差額，二是每份的差額，將這兩個差相除，就可求出總份數，然后再求物品數；基本關系式為：總差額每份的差額總份數．
18．【分析】兩次購物的總差額是：（元，兩次購物的個數的差額是：（個，那么每個球的單價是：（元；則小明有：（元；據此解答．
【解答】解：單價：，
，
（元；
共有：（元；
答：小明有12.1元．
【點評】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數，再根據盈虧問題的基本數量關系：一次有余（盈，一次不夠（虧，可用公式：（盈虧）（兩次每份分配數的差）份數解答．
19．【分析】由題意可知，繩子長度的比井深多6米，長度的比井深多1米，所以繩長的比它的多5米，因此繩長：（米；井深：，計算即可．
【解答】解：繩長：
（米；
井深：
（米；
答：井深4米，繩子長20米．
【點評】此題也可用方程解答，設井深為米：由題意得，解得．繩長：（米．
20．【分析】此為典型盈虧問題，單股量，井外余6米，盈余的總米數為6米，雙股量差4米不到井口，則虧的總米數為米，盈虧總數米；由此可得井深：米，繩長米．
【解答】解：井深為：
（米；
繩長為：（米；
答：繩長20米，井深14米．
【點評】此為一次有余（盈，一次有夠（虧的盈虧問題，計算公式為：（盈虧）兩次分配的差所求數量．
21．【分析】由題意，以每分鐘50米的速度走了2分鐘，以這個速度走下去，肯定要比考試時間遲到5分鐘，每分鐘多走10米，結果小明比考試時間早到了5分鐘，由此可知：遲到5分鐘，離學校還有（米，后來每分鐘走（米，早到5分鐘，即超過學校（米，由此可求出原定時間，加遲到5分鐘的路程，進而求得小明家到學校的路程。
【解答】解：遲到5分鐘，離學校還有：（米
后來每分鐘走：（米，則早到5分鐘，超過學校：（米
按開始的速度到達學校還需要：
（分
因為開始時走了2分鐘，所以到學校所需時間為
（分
小明家到學校的路程是
（米
答：小明家到某校的路程是3100米。
【點評】此題屬于盈虧問題，求出原計劃行走時間是解題關鍵．
22．【分析】同一根繩子第一次從樓上折6折后垂至地面，尚余3米，而第二次剪掉10米后折4次尚余5米，可以把這兩次利用這同一根繩來建立一個等量關系來求解，設樓高為米則第一次可以記作：；而第二次可以記作：；利用同一根繩子把前后兩次建立起一個等式：；解得，則繩長就是米．
【解答】解：設樓高為米，則有：
則繩長就是：
（米
答：樓高是6米，繩長是54米．
【點評】本題主要是考查怎么樣利用樓高和兩次的條件，建立一個等量關系來求解，知道樓高的高度，就可求出繩子的長度．
23．【分析】根據“行駛至全程的，再向前56千米處所用時間比提速前減少了60分鐘，而到達安慶西站比提速前早了2小時”，可知行駛至全程的，再向前56千米處就行了全程的，就是全程的就是56千米．據此解答．
【解答】解：，
，
（千米）；
答：北京西站、安慶西站兩地相距1232千米．
【點評】本題的關鍵是讓學生理解“行駛至全程的，再向前56千米處就行了全程的”，然后再根據分數除法的意義列式解答．
24．【分析】由題意可知：這批零件的總量是一定的，則每天生產的數量與生產天數成反比例，據此即可列比例求解．
【解答】解：設按時完成任務用天，
則有
答：按時完成任務用25天．
【點評】解答此題的關鍵是明白：若兩個相關聯量的乘積一定，則這兩個量成反比例，從而可以列比例求解．
25．【分析】蘋果每人分2個多1個，橘子是蘋果的3倍，也就是說：如果橘子每人分6個多3個；再由“如果每人分8個橘子，還差5個橘子”，可知橘子前后共相差：（個；前后每人分得的橘子相差：（個，也就是每人多分2個橘子，就會多出8個橘子，那么人數為：（人；則有蘋果：（個；橘子：（個．
【解答】解：人數為：
，
，
（人；
蘋果數量：
（個；
橘子數量：
（個．
答：小華家有4人，買來蘋果9個，橘子27個．
【點評】此題解答的關鍵是根據“蘋果每人分2個多1個，橘子是蘋果的3倍”，推出“橘子每人分6個多3個”這一關鍵條件．
26．【分析】（1）由題意“租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位”，說明多出15人；由“租用同樣數量的60座的客車，則多出一輛”，說明少了60人．因此，前后每輛車座位之差是（個，人數之差為（人．所以車的數量為（輛；人數為或，計算即可；
（2）45座車平均每人費用：（元，60座車平均每人費用：（元，所以盡量多的租用60座車，且盡量減少空座。
【解答】解：（1）車的數量為：
，
，
（輛；
人數為：
，
，
（人；
答：這個學校七年級有學生240人．
（2）盡量多的租用60座車，且沒有空位則最合算，
（輛
（元
答：租用4輛60座的車最合算。
【點評】此題考查了盈虧問題以及最優化問題，在求車的數量時，運用了關系式：（盈數虧數）兩次分物數量差分物份數（車的數量）．
27．【分析】由“如果每輛車坐55人，就會余下30個座位”，說明如果再加上30人就能坐滿全部的車輛；由“如果每輛車坐50人，還可以坐10人”，說明如果再加上10人也能坐滿全部的車輛．前后人數差為（人，每輛車坐的人數差為（人．也就是說，每輛車多坐5人，就會多坐20人．那么，車的數量為（輛，人數就好求了．
【解答】解：車的數量：
，
，
（輛；
學生人數：
，
，
（人；
答：有4輛車，有190個參觀的學生．
【點評】此題解答的關鍵是先根據關系式“（大虧數小虧數）兩次分物數量的差分物份數”求出車的輛數，然后再求人數．
28．【分析】由“每戶人家出資250元，比電動抽水機的價格少3300元；每戶人家出資300元，比電動抽水機的價格多300元”可知，前后每戶出資相差（元，總錢數相差元．也就是說，每戶多出50元，就多出3600元，因此戶數為（戶．那么，電動抽水機的價格是或，解決問題．
【解答】解：戶數為：
，
，
（戶；
電動抽水機的價格：
，
（元；
答：前進村第一組有21300戶人家，電動抽水機的價格是21300元．
【點評】此題屬于盈虧問題，先根據關系式“（虧數盈數）兩次分物數量的差”求出戶數，再根據戶數與有關數據求出電動抽水機的價格，解決問題．
29．【分析】兩次的總差額是：（人，兩次每車的差額是：（人，那么車的輛數是：（輛；則總人數：（人；據此解答．
【解答】解：車：，
，
（輛；
人數：（人；
答：天文小實驗家科技活動小組有36個人，這天找了11輛車．
【點評】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數，再根據盈虧問題的基本數量關系：一次有余（盈，一次不夠（虧，可用公式：（盈虧）（兩次每人分配數的差）人數解答．
30．【分析】根據題意，每塊運輸費是0.4元，如損壞一塊要賠償7元，意思是損壞一塊不但得不到0.4元的運費，還要賠償7元，也就是損壞一塊要從運費中扣除元，由此解答．
【解答】解：假如沒有損壞應得運費：
（元；
損失一塊跟完好相比相差：
（元；
所以損壞了：
（塊；
答：運輸公司損失玻璃12塊．
【點評】此題的解答關鍵是理解損壞一塊不但得不到0.4元的運費，還要賠償7元，也就是損壞一塊要從運費中扣除元，由此列式解答即可．

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